Astronomia Lezione 7/1/2016

Astronomia

Lezione 7/1/2016

Docente: Alessandro Melchiorri

e.mail:alessandro.melchiorri@roma1.infn.it

Sito web per slides lezioni: oberon.roma1.infn.it:/alessandro/astro2015/

Libri di testo consigliati:

- An introduction to modern astrophysics B. W. Carroll, D. A. Ostlie, Addison Wesley

- Universe, R. Freedman, w. Kaufmann, W.H. Freeman and Company, New York

-

Perche’ la notte e’ buia ?

Paradosso di Olbers:

Se l’Universo e’ costituito da una distesa infinita di stelle,

distribuite in modo omogeneo, allora la notte non dovrebbe essere buia, ma luminosa.

Soluzioni intorno al 1900:

- L’Universo deve essere finito.

-Non vi e’ una distribuzione finita di stelle.

Universo di Friedmann

0 1 0 1

a(t1) a(t2)

In un simile universo in espansione i fotoni sono sottoposti ad un redshift. Quindi se misuriamo lo

spettro delle galassie lontane dovremmo vederle spostate verso il rosso, come se si allontanassero da noi.

  ^t

a ^a   ^t

Redshift ^{z=0 z=z}

^z=z

^z=z

z=0 z=z

z=z

z=z

Distanza

velocita’

Nel 1929 Hubble e Humason misurano le distanze di queste galassie e trovano una relazione di proporzionalità tra la loro velocità e la distanza.

La legge di Hubble

1929: H

(sbagliata di circa un fattore 10 per via del diverso tipo di cefeidi).

La costante di Hubble fornisce anche una stima per l’età dell’universo:

Gyrs 9.8

) /

100

(

0

H

t 

v=H

d

Legge di Hubble ed Universo in espansione

Hubble trova che la velocità è proporzionale alla distanza:

V=H⁰ d

dove H⁰ è la costante di Hubble che ha dimensioni dell’inverso di un tempo.

In un universo in espansione la distanza tra due punti può scriversi come:

d(t)=a(t) L

dove a(t) e’ un fattore di scala che cresce con in il tempo. Se definiamo al tempo attuale a(t⁰)=1 allora L è la distanza tra due punti al tempo t⁰.

Derivando rispetto al tempo troviamo:

v=(da/dt)L=(da/dt)L a/a=(da/dt)d/a=H(t)d

quindi si trova la legge di Hubble. Infatti se guardiamo oggetti a distanze non molto grandi, quindi con t vicino a t⁰ H(t)= H0.

La Legge di Hubble

Con questi valori l’età è più ragionevole:

Gyrs 14

Gyrs 9.8

) 70 /

100

0

 ( 

t

Distanze con la legge di Hubble

1929: H

Esempio: distanza di M87

Piu’ recentemente la survey 2dF ha catalogato circa 200.000 galassie.

La survey piu’

recente e piu’

completa e’

quella della SLOAN DIGITAL SKY SURVEY

930.000 galassie Con un telescopio di 2.5 m nel

New Mexico.

Equazione di Friedmann

Ma come evolve il fattore di scala a(t) in funzione del tempo.

Dipende da cosa e’ composto l’universo.

Dalla relatività generale si trova che il fattore di scala del modello di Friedmann deve seguire questa semplice equazione differenziale:

Dove a destra abbiamo la densità media dell’universo.

Per risolverla dobbiamo conoscere come la densità scala in funzione di a(t).

  3

2

8

2

G

a

H a  



 



  

Facciamo qualche esempio molto semplice.

Radiazione

Materia (Polvere)

Costante Cosmologica

Abbiamo espansione anche con materia ordinaria !

  3

2

8

2

G

a

H a  



 



  

3

3 4

 















a a

 

 



  





t t

a

t t

a

t t

a

exp 3 )

( ) (

) (

3 / 2

2 / 1

ρ_m=ρ_m⁰ /a³

H (t)= ˙ a

a = √ ^{8 π G 3 ρ}

^a

^{= H}

^a

da

dt = H₀

√

∫

^a

^da=H

t

a(t )=( 3

2 H ₀t )

2 /3

=( t t₀)

2 /3

˙a

a(t=t₀)=H₀=(8 π G 3 ρ_m⁰)

1/ 2

t=t

a(t

)=1

t₀=2

39.8 h⁻¹Gyrs∼10Gyrs (h≈0.67)

Modello composto da sola Materia (non relativistica)

L'Universo si espande sotto la forza della sola gravità !

Esiste una relazione ben precisa tra

costante di Hubble ed età dell'Universo !

ρ_r=ρ_r⁰/a⁴

H (t)= ˙ a

a = √ ^{8 π G 3 ρ}

^a

^{= H}

^a

da

dt = H₀ a

∫

^{a da=H}

t

a(t )=( 1

2 H₀t )

1/ 2

=( t t₀)

1/ 2

a˙

a(t=t₀)=H₀=(8 π G 3 ρ_r⁰)

1/ 2

t=t

a(t

)=1

t₀=1

29.8 h⁻¹Gyrs∼7.3 Gyrs (h≈0.67) Modello composto da sola Radiazione

L'Universo si espande sotto la forza della sola gravità !

Esiste una relazione ben precisa tra

costante di Hubble ed età dell'Universo !

ρ_Λ=ρ_Λ⁰

H (t)= ˙ a

a = √ ^{8 π G 3 ρ}

^{= H}

da

adt =H₀

∫ ^{da /a=H}

^t

a(t )=e

a˙

a(t=t₀)=H₀=(8 π G 3 ρ_Λ⁰)

1 /2

t=t

a(t

)=1

t →0

a(0)> 0→t

=∞

Modello composto da sola Costante Cosmologica

L'espansione dell'Universo è esponenziale !

In questo modello non si ha Big Bang.

L'età dell'universo è infinita.

H (t)²=(a˙ a)

2

=8 πG

3 (ρ_m⁰ /a³+ρ_r/a⁴+ρ_Λ)

ρ_c= 3 H₀²

8 π G Ω_m=ρ_m/ρ_c Ω_r=ρ_r/ρ_c Ω_Λ=ρ_Λ/ρ_c

(H ( t ) H₀ )

2

=( ˙a a )

2 1

H₀²=Ω_m

a³ +Ω_r

a⁴ +Ω_Λ

Ω_m≈0.3 Ω_Λ≈0.7 Ω_r≈10⁻⁵

Nessuno di questi modelli funziona. Dobbiamo realisticamente Considerare un modello che abbia tutte e tre le componenti.

Se non ci sono interazioni rilevanti tra esse su scale cosmologiche L'equazione di Friedmann per un modello composito è:

Le osservazioni attuali suggeriscono come valori:

Definendo come:

Si ha:

Radiazione

Materia Costante Cosmologica

Log(a(t)) Log(Densita’)

In questo semplice modello possiamo attenderci 3 “ere” nella storia dell’universo dominate energeticamente da Radiazione, Materia e, infine, Costante Cosmologica.

In generale io posso pensare che la densita’ di energia totale sia data da una somma di queste componenti con singole ampiezze da determinare sperimentalmente:





   



Un universo in evoluzione apre prospettive completamente nuove.

La persona che per primo applico’ la fisica fondamentale all’Universo in espansione puo’ essere considerata George Gamow:

Se l’Universo e’ in espansione quale era il suo stato primordiale ?

Il modello di Gamow trovo’ pero’

La resistenza della

Steady State Theory proposta da Hoyle, Bondi e Gold.

In tale teoria la densita’ di materia rimane costante con il tempo.

Si crea quindi una piccola quantita’ di materia.

Non c’e’ evoluzione.

L’universo e’ sempre rimasto uguale a se stesso.

Il modello del Big Bang Caldo

 L’universo primordiale e’ costituito da un plasma relativistico di energia elevatissima.

 Infatti, per i fotoni e per le particelle relativistiche l’energia e’ inversamente proporzionale al fattore di scala





E  1

a

dt= da

H (a) t₀=c H₀⁻¹

∫

(Ω_ma+Ω_r+Ω_Λa⁴)^{1/ 2}

Per calcolare l'età dell'universo in questo modello è necessario fare un semplice integrale numerico:

Una stima dell’eta’ dell’universo puo’ essere ottenuta attraverso 2 metodi differenti:

Eta’ degli ammassi globulari

Gli ammassi globulari sono tra gli oggetti piu’ antichi della nostra galassia ed una stima della loro eta’ permette un limite inferiore all’eta’ dell’universo.

L’eta’ dell’ammasso globulare puo’ essere stimata attraverso modelli di evoluzione stellare e considerazioni dinamiche.

Eta’ di clusters con bassa presenza di metalli sono stimate tra i 15 e i 17 miliardi di anni.

Datazione con elementi radioattivi

Due isotopi dell’Uranio, il 235 e il 238 possiedono tempi di vita dell’ordine dei 4.5 miliardi di anni. L’ U-238 decade in piombo

Pb-206. Assumendo di conoscere quanto U-238 ci fosse in origine possiamo determinare un limite inferiore all’eta’ dell’universo

attraverso misure di U-238 e Pb-206.

Questi metodi pongono un limite inferiore sui 13 miliardi di anni.

Misure attuali

0 0

H t

Le età attuali degli oggetti più antichi

ansieme ad una costante di Hubble intorno

ai 70 km/s/Mpc suggeriscono un'età maggiore di almeno 12 miliardi di anni.

E' necessario aggiungere una costante cosmologica per avere questa età in un modello

di Friedmann.

ds²=−c²dt²+(dx²+dy²+dz²)

ds²=−c²dt²+a(t)²(dx²+dy²+dz²) ds²=−c²dt²+a(t)²(dr²+r²d Ω²)

ds²=0→dr =c dt a (t) ds²=0→dr =c dt

a (t )=c da a²H (a)

r (a)=

∫

a '² H (a ')

Distanze e metrica di Friedmann

Metrica di Minkowsky

(relatività speciale) Metrica di Friedmann Coord. Cartesiane Coord. Sferiche

! coordinate comobili Non dipendono da t!

Per un fotone si ha:

Distanza percorsa da un raggio di luce

emesso quando il fattore di scala valeva a.

Distanza propria (comobile):

Ω_m=1 Ω_Λ=0

H (a)=H₀a^{−3/ 2}

r (a)=cH⁻¹₀

∫

−1

[a '^{1 /2}]¹_a=2 cH⁻¹₀ [1−a^{1/ 2}] a= 1

1+ z

r (z )=2 c H₀⁻¹[1− 1

(1+ z )^{1/ 2}]

z≪1 r (z )≈2 c H₀⁻¹[1−(1−1

2 z +oz²+...)]=cH⁻₀¹ z r (a)=

∫

a '² H (a ')

Relazione distanza-redshift in modello di sola materia

Simile alla

legge di Hubble!

Ω_m=0 Ω_Λ=0

H (a)=H₀a⁻²

r (a)=cH⁻¹₀

∫

a= 1 1+ z r ( z )=c H₀⁻¹[1− 1

(1+ z)] z≪1

r ( z )≈c H⁻₀¹[1−(1−z+ oz²+...)]=cH⁻¹₀ z Ω_r=1

Relazione distanza-redshift in modello di sola radiazione

Simile alla

legge di Hubble!

Ω_m=0 Ω_Λ=1

H (a)=H₀

r (a)=cH⁻¹₀

∫

a= 1 1+ z

r (z )=c H₀⁻¹[1+ z−1]=cH₀⁻¹z Ω_r=0

Relazione distanza-redshift in modello di sola costante cosmologica

Simile alla

legge di Hubble!

A piccoli redshift la distanza propria soddisfa la legge di Hubble.

F= E

4 π (1+ z)²r (z)²

d_L(z)=(1+ z )r (z )=cH₀⁻¹(1+z )

∫

z≪1

d_L(z)≈r (z)≈cH₀⁻¹ z

q₀=[− 1 H₀²

¨a a ]

t =t0

z <1

d_L(z)≈cH₀⁻¹ z(1+1

2(1−q₀)z +oz²+...) q₀<0→ ¨a>0

q₀>0→ ¨a<0

Ma Hubble misura distanze di luminosità non proprie.

Come sono legate le due ?

Il Flusso ricevuto

sarà minore per un termine (1+z) redshift dei fotoni

e (1+z) per minor numero di fotoni.

La distanza di luminosità di un oggetto a redshift z è la sua distanza propria moltiplicata per (1+z) ! La Legge di Hubble

è quindi verificata

ma solo a piccoli redshifts !!!

Introducendo il

parametro di decelerazione:

La legge di Hubble si

deve modificare anche per z leggermente più grandi.

¨a

a=−4 π G

3 (ρ+3 P)

P_m=0 P_r=ρ_r/3 P_Λ=−ρ_Λ

¨a a

1

H₀²=−1

2(Ω_m/a³+2 Ω_r/a⁴−2Ω_Λ)

q₀=−( ¨a a

1 H₀²)

t =t₀

=1

2(Ω_m+2 Ω_r−2 Ω_Λ)

q₀<0→ ¨a>0 →ΩΛ>(Ω_m/2+Ω_r)

d_L(z)≈cH₀⁻¹z(1+1

2(1−q₀)z +oz²+...) q₀<0→d_L(z)↑

q₀>0→d_L(z)↓

Seconda Equazione di Friedmann

Stabilisce il rate di

Espansione dell'universo.

Abbiamo le seguenti equazioni di stato per le 3 componenti:

Possiamo quindi riscrivere:

Se quindi

ho una costante cosmologica l'universo

“accelera”

L'espansione...

… e a parità di redshift gli oggetti hanno

distanze di luminosità maggiori !

d^Th_L (z_i)=cH⁻¹₀

∫

d^exp_L (z_i)

μ=m−M =5 log ( d_L 10 pc)

μ=m−M =5 log( d_L

1 Mpc)+5

χ²=

∑

σ_μ²

Supponiamo di aver misurato la distanza di luminosità di I=1,..,n supernovae ciascuna con redshift zi e distanza:

Per ciascun redshift corrispondente ci possiamo calcolare, Assunto un valore per i parametri cosmologici, una

Distanza di luminosità teorica tramite:

Abbiamo visto la legge di Pogson:

In cosmologia di preferisce riscrivere in Mpc:

Dato un catalogo di SN-Ia ed un modello possiamo calcolare:

Evidenza per una costante cosmologica !!!

I modelli aperti sono esclusi.

I fotoni si disaccoppiano dalla materia 300.000 anni dopo il Big Bang.

La distanza di questa superficie di ultimo scattering e’ circa 13 miliardi di anni luce.

La radiazione cosmica di fondo

A. Penzias e R. Wilson scoprono nel 1964 un segnale nelle

microonde 1964. E’ l’eco dell’universo primordiale ?

La radiazione cosmica di fondo

Scoperta (definitivamente) da Penzias e Wilson nel 1964.

Premi Nobel nel 1975.

Lo spettro in frequenza della CMB (misurato dal satellite COBE)

e’ un corpo nero perfetto a T=2.728 K.

Il satellite COBE nel 1992 «prova» che la radiazione di fondo cosmico ha uno spettro di «corpo nero». E’ effettivamente l’eco del Big Bang.

Il modello dello stato stazionario e’ definitivamente scartato.

COBE porta il premio nobel a Mather e Smoot nel 2006.

Il premio Nobel George Smoot nella serie televisiva

«The Big Bang Theory»

Altamente Isotropo...

Anisotropia di dipolo...

Via Lattea (z=0)

Il cielo a microonde

COBE (1991)

“Impronte” lasciate da strutture

primordiali a redshift (z~1000)?