Riscaldamento massimo di un corpo

Riscaldamento massimo di un corpo

Un corpo di capacit`a termica costante C si trova ad una temperatura T₀. Si dispone di una sorgente termica a temperatura T_S> T₀. Si possono effet- tuare sul corpo trasformazioni termodinamiche arbitrarie, anche utilizzando macchine termiche, ma gli scambi di calore devono avvenire solamente con la sorgente termica ed il corpo.

Quale `e la massima temperatura TF raggiungibile dal corpo?

Soluzione

Mettendo in contatto il corpo con il serbatoio termico, esso raggiunge la temperatura T_S. Tuttavia questo avviene con una trasformazione irre- versibile, per cui viene sprecata, o inutilizzata, una quantit`a di energia

Ein = TS∆SU = CTSlogTS

T0

− C(T_S− T₀) (1) dove abbiamo scritto la variazione di entropia dell’universo ∆S_U come:

∆S_U = ∆S_corpo+ ∆S_serb (2)

Essendo un solido, la variazione di entropia del corpo `e data solamente dal termine in temperatura, mentre la variazione di entropia del serbatoio `e data da:

∆S_serb = Q_serb

T_S = −Q_corpo

T_S (3)

Si noti che:

∆S_U = C T₀

T_S − log T₀ T_S



− 1



≥ 0 (4)

dove ∆SU = 0 se e solo se T0= TS.

Tuttavia `e pi`u efficiente innalzare la temperatura del corpo fino a T_S utilizzando una macchina reversibile che produce un lavoro uguale all’energia inutilizzata. Questo lavoro pu`o poi essere fornito ad una macchina termica che preleva un calore Q<sub>S2</sub> dal serbatoio e fornisce un calore Qc2 al corpo, innalzandone cos`ı ulteriormente la temperatura fino ad un valore T_F > T_S.

Il calore ceduto al corpo da questa macchina termica `e:

Q_C2 = −C(T_F − T_S) (5)

1

dove il segno “-” indica che per la macchina termica questo `e calore ceduto.

Il calore assorbito dal serbatoio dalla macchina termica `e dato da:

QS2 = L^ext− Q_C2= −Ein− Q_C2

= −CT_Slog^T_T^S

0 + C(T_S− T₀) + C(T_F − T_S)

= −CTSlog^T_T^S

0 + C(TF − T₀)

(6)

Abbiamo utilizzato il lavoro della prima macchina reversibile, uguale all’energia inutilizzabile del caso irreversibile, come lavoro effettuato su (segno

“-”) una seconda macchina termica. Si pu`o pensare al primo passaggio come ad una macchina termica che, durante il flusso di calore dal serbatoio al corpo, immagazzina energia comprimento una molla, o sollevando un peso.

Nella seconda fase, questa energia viene rilasciata per assorbire calore dal serbatoio e riscaldare ulteriormente il corpo.

Si noti, per`o, che se l’energia accumulata venisse rilasciata sotto forma di calore, avremmo un processo irreversibile, ed il corpo raggiugerebbe una termperatura finale data da:

C(TF − T_S) = Ein

Invece sfruttando una macchina reversibile, in questo caso una pompa di calore, la quantit`a di calore fornita al corpo `e:

C(TF − T_S) = Ein+ |QS2|

(attenzione ai segni: nell’equazione appena scritta stiamo parlando del calore assorbito dal corpo, mentre in eq.6 le quantit`a sono riferite alla macchina termica!)

Si vede, quindi, che la temperatura raggiunta `e maggiore sfruttando il lavoro estratto nel primo passaggio per far funzionare una pompa di calore piuttosto che fornirlo direttamente al corpo, come indicato schematicamente in figura 1.

Il limite di questo processo `e dato dal fatto che l’entropia dell’universo non pu`o scendere al di sotto dello zero. Nel caso limite ∆SU = 0, includendo in ∆S_U tutte le trasformazioni fatte. Alla fine del processo il corpo ha aumentato la sua entropia di

∆Scorpo= C logTF

T₀ (7)

mentre il serbatoio ha ceduto una quantit`a di calore QS = −C(TF − T₀), assorbita dal corpo, a temperatura T_S, per cui:

∆S_serb= −CT_F − T₀ TS

(8) In totale ∆S_U = 0, per cui:

CTF − T₀ TS

= C logTF

T0

(9)

2

Figure 1:

Sostituendo in eq.6 si pu`o trovare il calore ceduto dal serbatoio nella seconda fase:

Q_S2= −CT_SlogT_S T0

+ C(T_F − T₀) = CT_SlogT_F TS

> 0 (10) Il valore di Q_S2 `e positivo in quanto, visto dalla macchina termica, si tratta di calore assorbito. Naturalmente dal punto di vista del serbatoio si tratta di calore ceduto, e quindi prende un segno “-”.

In definitiva, la temperatura finale `e data dalla relazione:

CTSlogTF

T_S = −CTSlogTS

T0

+ C(TS− T₀) + C(TF − T_S) (11) che pu`o essere riscritta come:

T_F

T_S − logT_F T_S = T₀

T_S − log T₀

T_S (12)

La funzione f (x) = x − log x, con x = T_f/T_S, `e mostrata in figura 2;

essa ha un minimo per x = 1 (T_f = T_S) e diverge per x → 0 e per x → ∞.

La retta orizzontale corrisponde a

y = x₀− log x₀

con x₀ = T₀/T_S < 1. L’intersezione a T_f/T_S > 1 mostra come la mas- sima temperatura raggiungibile sia maggiore rispetto a quella del serbatoio termico.

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Figure 2:

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