Analisi Matematica 2

Analisi Matematica 2

Derivabilit`a parziale per funzioni di due variabili

Definizione di derivata parziale prima

Sia D un insieme aperto di R² e f (x , y ) definita in D. Consideriamo il punto (x₀, y₀) ∈ D e un suo intorno B_δ(x₀, y₀) ⊂ D. Consideriamo il punto (x0+ h, y0) ∈ D, h ∈ R. Costruiamo il rapporto incrementale

f (x0+ h, y0) − f (x0, y0)

h .

Definizione di Derivata parziale rispetto a x. Se esiste finito il

lim

h→0

f (x₀+ h, y₀) − f (x₀, y₀)

h = f_x(x₀, y₀), definiamo la funzione derivabile rispetto a x in (x₀, y₀).

Una funzione ´e derivabile rispetto a x in D se ´e derivabile rispetto a x in tutti i punti di D.

Derivabilit`a parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 2 / 16

Definizione di derivata parziale prima

Sia D un insieme aperto di R² e f (x , y ) definita in D. Consideriamo il punto (x₀, y₀) ∈ D e un suo intorno B_δ(x₀, y₀) ⊂ D. Consideriamo il punto (x0+ h, y0) ∈ D, h ∈ R. Costruiamo il rapporto incrementale

f (x0+ h, y0) − f (x0, y0)

h .

Definizione di Derivata parziale rispetto a x.

Se esiste finito il

h→0lim

f (x₀+ h, y₀) − f (x₀, y₀)

h = fx(x0, y0), definiamo la funzione derivabile rispetto a x in (x₀, y₀).

Una funzione ´e derivabile rispetto a x in D se ´e derivabile rispetto a x in tutti i punti di D.

Definizione di derivata parziale prima

Sia D un insieme aperto di R² e f (x , y ) definita in D. Consideriamo il punto (x₀, y₀) ∈ D e un suo intorno B_δ(x₀, y₀) ⊂ D. Consideriamo il punto (x0+ h, y0) ∈ D, h ∈ R. Costruiamo il rapporto incrementale

f (x0+ h, y0) − f (x0, y0)

h .

Definizione di Derivata parziale rispetto a x.

Se esiste finito il

h→0lim

f (x₀+ h, y₀) − f (x₀, y₀)

h = fx(x0, y0), definiamo la funzione derivabile rispetto a x in (x₀, y₀).

Una funzione ´e derivabile rispetto a x in D se ´e derivabile rispetto a x in tutti i punti di D.

Derivabilit`a parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 2 / 16

Definizione di derivata parziale prima

Consideriamo ora il punto (x₀, y₀+ k) ∈ D, k ∈ R. Costruiamo il rapporto incrementale

f (x0, y0+ k) − f (x0, y0)

k .

Definizione di Derivata parziale rispetto a y. Se esiste finito il

k→0lim

f (x0, y0+ k) − f (x0, y0)

k = fy(x0, y0), definiamo la funzione derivabile rispetto a y in (x0, y0). Si usano anche i simboli

∂f

∂x(x₀, y₀), ∂f

∂y(x₀, y₀).

Si estendono le regole di derivazione sia per le operazioni che per le funzioni elementari e composte.

Definizione di derivata parziale prima

Consideriamo ora il punto (x₀, y₀+ k) ∈ D, k ∈ R. Costruiamo il rapporto incrementale

f (x0, y0+ k) − f (x0, y0)

k .

Definizione di Derivata parziale rispetto a y.

Se esiste finito il

k→0lim

f (x0, y0+ k) − f (x0, y0)

k = fy(x0, y0), definiamo la funzione derivabile rispetto a y in (x0, y0).

Si usano anche i simboli

∂f

∂x(x₀, y₀), ∂f

∂y(x₀, y₀).

Si estendono le regole di derivazione sia per le operazioni che per le funzioni elementari e composte.

Derivabilit`a parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 3 / 16

Definizione di derivata parziale prima

Consideriamo ora il punto (x₀, y₀+ k) ∈ D, k ∈ R. Costruiamo il rapporto incrementale

f (x0, y0+ k) − f (x0, y0)

k .

Definizione di Derivata parziale rispetto a y.

Se esiste finito il

k→0lim

f (x0, y0+ k) − f (x0, y0)

k = fy(x0, y0), definiamo la funzione derivabile rispetto a y in (x0, y0).

Si usano anche i simboli

∂f

∂x(x₀, y₀), ∂f

∂y(x₀, y₀).

Si estendono le regole di derivazione sia per le operazioni che per le funzioni elementari e composte.

Esercizio

Calcolare f_x(4, 1) con f (x , y ) = log (x − y²)

f_x(4, 1) = lim

h→0

ln(3 + h) − ln3

h = lim

h→0

ln(1 +^h₃)

h = 1

3 (si ´e utilizzato il limite notevole: lim

t→0

ln(1 + t)

t = 1,(?) ) Oppure:

f_x(4, 1) = lim

x →4

ln(x − 1) − log (3)

x − 4 = lim

x →4

1 3

ln^{x −1}₃

x −4 3

=

x →4lim 1 3

ln(1 +^{x −4}₃ )

x −4 3

= 1 3, dove e’ stato utilizzato il limite notevole (?)

Derivabilit`a parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 4 / 16

Significato geometrico della derivata parziale prima

∂f

∂x(x0, y0) ´e il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di f nel punto P = (x₀, y₀, f (x₀, y₀)) che giace sul piano y = y0, analogamente

∂f

∂y(x₀, y₀) ´e il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di f nel punto P = (x₀, y₀, f (x₀, y₀)) che giace sul piano x = x₀

Indichiamo con ∇f = (f_x, f_y), che chiamiamo gradiente di f , il vettore di componenti le derivate parziali prime (rispetto alle

direzioni degli assi x e y ).

Significato geometrico della derivata parziale prima

∂f

∂x(x0, y0) ´e il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di f nel punto P = (x₀, y₀, f (x₀, y₀)) che giace sul piano y = y0, analogamente

∂f

∂y(x₀, y₀) ´e il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di f nel punto P = (x₀, y₀, f (x₀, y₀)) che giace sul piano x = x₀

Indichiamo con ∇f = (f_x, f_y), che chiamiamo gradiente di f , il vettore di componenti le derivate parziali prime (rispetto alle

direzioni degli assi x e y ).

Derivabilit`a parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 5 / 16

Si dimostra

che se non ´e nullo, il vettore gradiente ∇f = (fx, fy), (con f differenziabile) indica la direzione di masssima pendenza di f .

Esempio

Si consideri la funzione:

f (x , y ) = x + 2y , (x , y ) ∈ R²

si ha:

fx = 1, fy = 2, costanti su R²

∇f = (1, 2),

ed esprime la direzione e il verso nel piano di base x ,y in cui conviene muoversi per ottenere il massimo incremento della funzione f (a parit´a di percorso nel piano x , y ).

Si dimostra

che se non ´e nullo, il vettore gradiente ∇f = (fx, fy), (con f differenziabile) indica la direzione di masssima pendenza di f .

Esempio

Si consideri la funzione:

f (x , y ) = x + 2y , (x , y ) ∈ R² si ha:

fx = 1, fy = 2, costanti su R²

∇f = (1, 2),

ed esprime la direzione e il verso nel piano di base x ,y in cui conviene muoversi per ottenere il massimo incremento della funzione f (a parit´a di percorso nel piano x , y ).

Derivabilit`a parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 6 / 16

Si dimostra

che se non ´e nullo, il vettore gradiente ∇f = (fx, fy), (con f differenziabile) indica la direzione di masssima pendenza di f .

Esempio

Si consideri la funzione:

f (x , y ) = x + 2y , (x , y ) ∈ R² si ha:

fx = 1, fy = 2, costanti su R²

∇f = (1, 2),

ed esprime la direzione e il verso nel piano di base x ,y in cui conviene muoversi per ottenere il massimo incremento della funzione f (a parit´a di percorso nel piano x , y ).

Esercizi

Calcolare le derivate parziali prime delle funzioni:

1) f (x , y ) = x³y²+ x²+ y², 2) g (x , y ) = sin(x²y ).

Svolgimento

1) f_x = 3x²y²+ 2x , f_y = 2x³y + 2y , 2) g_x = 2xy cos(x²y ), g_y = x²cos(x²y ).

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Esercizi

Calcolare le derivate parziali prime delle funzioni:

1) f (x , y ) = x³y²+ x²+ y², 2) g (x , y ) = sin(x²y ).

Svolgimento

1) f_x = 3x²y²+ 2x , f_y = 2x³y + 2y , 2) g_x = 2xy cos(x²y ), g_y = x²cos(x²y ).

Esercizi

Calcolare le derivate parziali prime delle funzioni:

1) f (x , y ) = x³y²+ x²+ y², 2) g (x , y ) = sin(x²y ).

Svolgimento

1) f_x = 3x²y²+ 2x , f_y = 2x³y + 2y ,

2) g_x = 2xy cos(x²y ), g_y = x²cos(x²y ).

Derivabilit`a parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 7 / 16

Esercizi

Calcolare le derivate parziali prime delle funzioni:

1) f (x , y ) = x³y²+ x²+ y², 2) g (x , y ) = sin(x²y ).

Svolgimento

1) f_x = 3x²y²+ 2x , f_y = 2x³y + 2y , 2) g_x = 2xy cos(x²y ), g_y = x²cos(x²y ).

La derivabilit´a di una funzione f (x , y ) in un punto, non implica la continuit´a di f in tale punto.

Esempio

Verificare che f (x , y ) = _x2^xy+y², (x , y ) ∈ R², f (0, 0) = 0 a)non ´e continua in (0, 0),

b) ´e derivabile in (0, 0). Si ha

a) : lim

(x ,y )→(0,0)

xy

x²+ y² = lim

ρ→0

ρ²cos θ sin θ

ρ² = cos θ sin θ =6 ∃ (dipende da θ) b) : f_x(0, 0) = lim

h→0

0 h = 0, analogamente si ottiene f_y(0, 0) = 0.

f ´e derivabile in (0, 0)con f_x(0, 0) = f_y(0, 0) = 0, ma non ´e continua in tale punto.

si poteva ottenere lo stesso risultato osservando che

f (x , 0) = 0, f (0, y ) = 0 cio´e f ´e costante lungo gli assi coordinati, si ha allora fx(0, 0) = fy(0, 0) = 0.

La generalizzazione della condizione sufficiente per la continuit´a di una funzione in una variabile f (x ), in R² ´e data dalla differenziabilit´a della f (x , y ).

f (x , y ) differenziabile in (x0, y0) ⇒ f (x , y ) continua in (x0, y0)

Derivabilit`a parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 8 / 16

La derivabilit´a di una funzione f (x , y ) in un punto, non implica la continuit´a di f in tale punto.

Esempio

Verificare che f (x , y ) = _x2^xy+y², (x , y ) ∈ R², f (0, 0) = 0 a)non ´e continua in (0, 0),

b) ´e derivabile in (0, 0).

Si ha a) : lim

(x ,y )→(0,0)

xy

x²+ y² = lim

ρ→0

ρ²cos θ sin θ

ρ² = cos θ sin θ =6 ∃ (dipende da θ) b) : f_x(0, 0) = lim

h→0

0 h = 0, analogamente si ottiene f_y(0, 0) = 0.

f ´e derivabile in (0, 0)con f_x(0, 0) = f_y(0, 0) = 0, ma non ´e continua in tale punto.

si poteva ottenere lo stesso risultato osservando che

f (x , 0) = 0, f (0, y ) = 0 cio´e f ´e costante lungo gli assi coordinati, si ha allora fx(0, 0) = fy(0, 0) = 0.

La generalizzazione della condizione sufficiente per la continuit´a di una funzione in una variabile f (x ), in R² ´e data dalla differenziabilit´a della f (x , y ).

f (x , y ) differenziabile in (x0, y0) ⇒ f (x , y ) continua in (x0, y0)

La derivabilit´a di una funzione f (x , y ) in un punto, non implica la continuit´a di f in tale punto.

Esempio

Verificare che f (x , y ) = _x2^xy+y², (x , y ) ∈ R², f (0, 0) = 0 a)non ´e continua in (0, 0),

b) ´e derivabile in (0, 0).

Si ha a) : lim

(x ,y )→(0,0)

xy

x²+ y² = lim

ρ→0

ρ²cos θ sin θ

ρ² = cos θ sin θ =6 ∃ (dipende da θ)

b) : f_x(0, 0) = lim

h→0

0 h = 0, analogamente si ottiene f_y(0, 0) = 0.

f ´e derivabile in (0, 0)con f_x(0, 0) = f_y(0, 0) = 0, ma non ´e continua in tale punto.

si poteva ottenere lo stesso risultato osservando che

f (x , 0) = 0, f (0, y ) = 0 cio´e f ´e costante lungo gli assi coordinati, si ha allora fx(0, 0) = fy(0, 0) = 0.

La generalizzazione della condizione sufficiente per la continuit´a di una funzione in una variabile f (x ), in R² ´e data dalla differenziabilit´a della f (x , y ).

f (x , y ) differenziabile in (x0, y0) ⇒ f (x , y ) continua in (x0, y0)

Derivabilit`a parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 8 / 16

La derivabilit´a di una funzione f (x , y ) in un punto, non implica la continuit´a di f in tale punto.

Esempio

Verificare che f (x , y ) = _x2^xy+y², (x , y ) ∈ R², f (0, 0) = 0 a)non ´e continua in (0, 0),

b) ´e derivabile in (0, 0).

Si ha a) : lim

(x ,y )→(0,0)

xy

x²+ y² = lim

ρ→0

ρ²cos θ sin θ

ρ² = cos θ sin θ =6 ∃ (dipende da θ) b) : f_x(0, 0) = lim

h→0

0 h = 0, analogamente si ottiene f_y(0, 0) = 0.

f ´e derivabile in (0, 0)con f_x(0, 0) = f_y(0, 0) = 0, ma non ´e continua in tale punto.

si poteva ottenere lo stesso risultato osservando che

f (x , 0) = 0, f (0, y ) = 0 cio´e f ´e costante lungo gli assi coordinati, si ha allora fx(0, 0) = fy(0, 0) = 0.

La generalizzazione della condizione sufficiente per la continuit´a di una funzione in una variabile f (x ), in R² ´e data dalla differenziabilit´a della f (x , y ).

f (x , y ) differenziabile in (x0, y0) ⇒ f (x , y ) continua in (x0, y0)

La derivabilit´a di una funzione f (x , y ) in un punto, non implica la continuit´a di f in tale punto.

Esempio

Verificare che f (x , y ) = _x2^xy+y², (x , y ) ∈ R², f (0, 0) = 0 a)non ´e continua in (0, 0),

b) ´e derivabile in (0, 0).

Si ha a) : lim

(x ,y )→(0,0)

xy

x²+ y² = lim

ρ→0

ρ²cos θ sin θ

ρ² = cos θ sin θ =6 ∃ (dipende da θ) b) : f_x(0, 0) = lim

h→0

0 h = 0, analogamente si ottiene f_y(0, 0) = 0.

f ´e derivabile in (0, 0)con f_x(0, 0) = f_y(0, 0) = 0, ma non ´e continua in tale punto.

si poteva ottenere lo stesso risultato osservando che

f (x , 0) = 0, f (0, y ) = 0 cio´e f ´e costante lungo gli assi coordinati, si ha allora fx(0, 0) = fy(0, 0) = 0.

La generalizzazione della condizione sufficiente per la continuit´a di una funzione in una variabile f (x ), in R² ´e data dalla differenziabilit´a della f (x , y ).

f (x , y ) differenziabile in (x0, y0) ⇒ f (x , y ) continua in (x0, y0)

Derivabilit`a parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 8 / 16

La derivabilit´a di una funzione f (x , y ) in un punto, non implica la continuit´a di f in tale punto.

Esempio

Verificare che f (x , y ) = _x2^xy+y², (x , y ) ∈ R², f (0, 0) = 0 a)non ´e continua in (0, 0),

b) ´e derivabile in (0, 0).

Si ha a) : lim

(x ,y )→(0,0)

xy

x²+ y² = lim

ρ→0

ρ²cos θ sin θ

ρ² = cos θ sin θ =6 ∃ (dipende da θ) b) : f_x(0, 0) = lim

h→0

0 h = 0, analogamente si ottiene f_y(0, 0) = 0.

f ´e derivabile in (0, 0)con f_x(0, 0) = f_y(0, 0) = 0, ma non ´e continua in tale punto.

si poteva ottenere lo stesso risultato osservando che

f (x , 0) = 0, f (0, y ) = 0 cio´e f ´e costante lungo gli assi coordinati, si ha allora fx(0, 0) = fy(0, 0) = 0.

La generalizzazione della condizione sufficiente per la continuit´a di una funzione in una variabile f (x ), in R² ´e data dalla differenziabilit´a della f (x , y ).

Derivabilit`a parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 8 / 16

Esercizi

Stabilire se le funzioni ammettono derivate parziali nei punti (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)

1) f (x , y ) =p

x²+ y², 2) g (x , y ) = |xy |,

3) u(x , y ) = |x − y |(x + y ).

Svolgimento Si ha

1) f_x(0, 0) = lim

h→0

f (h, 0) − f (0, 0)

h = lim

h→0

|h|

h =6 ∃, f_y(0, 0) =6 ∃ fx(0, 1) = lim

h→0

√

h²+ 1 − 1

h = 0

fy(0, 1) = lim

k→0

p(k + 1)²− 1

k = lim

k→0

|1 + k| − 1

k = lim

k→0

k k = 1 f_x(1, 0) = 1, f_y(1, 0) = 0.

f_x(1, 1) = lim

h→0

p(1 + h)²+ 1 −√ 2

h = · · · = 1

√2, f_y(1, 1) = 1

√2

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Esercizi

Stabilire se le funzioni ammettono derivate parziali nei punti (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)

1) f (x , y ) =p

x²+ y², 2) g (x , y ) = |xy |,

3) u(x , y ) = |x − y |(x + y ).

Svolgimento Si ha

1) f_x(0, 0) = lim

h→0

f (h, 0) − f (0, 0)

h = lim

h→0

|h|

h =6 ∃, f_y(0, 0) =6 ∃

fx(0, 1) = lim

h→0

√

h²+ 1 − 1

h = 0

fy(0, 1) = lim

k→0

p(k + 1)²− 1

k = lim

k→0

|1 + k| − 1

k = lim

k→0

k k = 1 f_x(1, 0) = 1, f_y(1, 0) = 0.

f_x(1, 1) = lim

h→0

p(1 + h)²+ 1 −√ 2

h = · · · = 1

√2, f_y(1, 1) = 1

√2

Esercizi

Stabilire se le funzioni ammettono derivate parziali nei punti (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)

1) f (x , y ) =p

x²+ y², 2) g (x , y ) = |xy |,

3) u(x , y ) = |x − y |(x + y ).

Svolgimento Si ha

1) f_x(0, 0) = lim

h→0

f (h, 0) − f (0, 0)

h = lim

h→0

|h|

h =6 ∃, f_y(0, 0) =6 ∃ fx(0, 1) = lim

h→0

√

h²+ 1 − 1

h = 0

fy(0, 1) = lim

k→0

p(k + 1)²− 1

k = lim

k→0

|1 + k| − 1

k = lim

k→0

k k = 1 f_x(1, 0) = 1, f_y(1, 0) = 0.

f_x(1, 1) = lim

h→0

p(1 + h)²+ 1 −√ 2

h = · · · = 1

√2, f_y(1, 1) = 1

√2

Derivabilit`a parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 9 / 16

Esercizi

Stabilire se le funzioni ammettono derivate parziali nei punti (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)

1) f (x , y ) =p

x²+ y², 2) g (x , y ) = |xy |,

3) u(x , y ) = |x − y |(x + y ).

Svolgimento Si ha

1) f_x(0, 0) = lim

h→0

f (h, 0) − f (0, 0)

h = lim

h→0

|h|

h =6 ∃, f_y(0, 0) =6 ∃ fx(0, 1) = lim

h→0

√

h²+ 1 − 1

h = 0

fy(0, 1) = lim

k→0

p(k + 1)²− 1

k = lim

k→0

|1 + k| − 1

k = lim

k→0

k k = 1

f_x(1, 0) = 1, f_y(1, 0) = 0. f_x(1, 1) = lim

h→0

p(1 + h)²+ 1 −√ 2

h = · · · = 1

√2, f_y(1, 1) = 1

√2

Esercizi

Stabilire se le funzioni ammettono derivate parziali nei punti (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)

1) f (x , y ) =p

x²+ y², 2) g (x , y ) = |xy |,

3) u(x , y ) = |x − y |(x + y ).

Svolgimento Si ha

1) f_x(0, 0) = lim

h→0

f (h, 0) − f (0, 0)

h = lim

h→0

|h|

h =6 ∃, f_y(0, 0) =6 ∃ fx(0, 1) = lim

h→0

√

h²+ 1 − 1

h = 0

fy(0, 1) = lim

k→0

p(k + 1)²− 1

k = lim

k→0

|1 + k| − 1

k = lim

k→0

k k = 1 f_x(1, 0) = 1, f_y(1, 0) = 0.

f_x(1, 1) = lim

h→0

p(1 + h)²+ 1 −√ 2

h = · · · = 1

√2, f_y(1, 1) = 1

√2

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Esercizi

Stabilire se le funzioni ammettono derivate parziali nei punti (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)

1) f (x , y ) =p

x²+ y², 2) g (x , y ) = |xy |,

3) u(x , y ) = |x − y |(x + y ).

Svolgimento Si ha

1) f_x(0, 0) = lim

h→0

f (h, 0) − f (0, 0)

h = lim

h→0

|h|

h =6 ∃, f_y(0, 0) =6 ∃ fx(0, 1) = lim

h→0

√

h²+ 1 − 1

h = 0

fy(0, 1) = lim

k→0

p(k + 1)²− 1

k = lim

k→0

|1 + k| − 1

k = lim

k→0

k k = 1 f_x(1, 0) = 1, f_y(1, 0) = 0.

f_x(1, 1) = lim

h→0

p(1 + h)²+ 1 −√ 2

h = · · · = 1

√2, f_y(1, 1) = 1

√2

2) g_x(0, 0) = lim

h→0

0

h = 0, g_y(0, 0) = 0

g_x(0, 1) = lim

h→0

|h|

h = @, g_y(0, 1) = lim

k→0

0 k = 0 g_x(1, 0) = lim

h→0

0

h = @, g_y(1, 0) = lim

k→0

|k| k = @ g_x(1, 1) = lim

h→0

|1 + h| − 1

h = 1, g_y(1, 1) = 1 3) u_x(0, 0) = lim

h→0

|h|h

h = 0, u_y(0, 0) = 0 u_x(0, 1) = lim_h→0|h−1|(h+1)−1

h = 0, u_y(0, 1) = 0 ux(1, 0) = 2, uy(1, 0) = 0

ux(1, 1) = limh→0 |h|(2+h)

h = @, uy(1, 1) = @

Derivabilit`a parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 10 / 16

2) g_x(0, 0) = lim

h→0

0

h = 0, g_y(0, 0) = 0 g_x(0, 1) = lim

h→0

|h|

h = @, g_y(0, 1) = lim

k→0

0 k = 0

g_x(1, 0) = lim

h→0

0

h = @, g_y(1, 0) = lim

k→0

|k| k = @ g_x(1, 1) = lim

h→0

|1 + h| − 1

h = 1, g_y(1, 1) = 1 3) u_x(0, 0) = lim

h→0

|h|h

h = 0, u_y(0, 0) = 0 u_x(0, 1) = lim_h→0|h−1|(h+1)−1

h = 0, u_y(0, 1) = 0 ux(1, 0) = 2, uy(1, 0) = 0

ux(1, 1) = limh→0 |h|(2+h)

h = @, uy(1, 1) = @

2) g_x(0, 0) = lim

h→0

0

h = 0, g_y(0, 0) = 0 g_x(0, 1) = lim

h→0

|h|

h = @, g_y(0, 1) = lim

k→0

0 k = 0 g_x(1, 0) = lim

h→0

0

h = @, g_y(1, 0) = lim

k→0

|k|

k = @

g_x(1, 1) = lim

h→0

|1 + h| − 1

h = 1, g_y(1, 1) = 1 3) u_x(0, 0) = lim

h→0

|h|h

h = 0, u_y(0, 0) = 0 u_x(0, 1) = lim_h→0|h−1|(h+1)−1

h = 0, u_y(0, 1) = 0 ux(1, 0) = 2, uy(1, 0) = 0

ux(1, 1) = limh→0 |h|(2+h)

h = @, uy(1, 1) = @

Derivabilit`a parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 10 / 16

2) g_x(0, 0) = lim

h→0

0

h = 0, g_y(0, 0) = 0 g_x(0, 1) = lim

h→0

|h|

h = @, g_y(0, 1) = lim

k→0

0 k = 0 g_x(1, 0) = lim

h→0

0

h = @, g_y(1, 0) = lim

k→0

|k|

k = @ g_x(1, 1) = lim

h→0

|1 + h| − 1

h = 1, g_y(1, 1) = 1

3) u_x(0, 0) = lim

h→0

|h|h

h = 0, u_y(0, 0) = 0 u_x(0, 1) = lim_h→0|h−1|(h+1)−1

h = 0, u_y(0, 1) = 0 ux(1, 0) = 2, uy(1, 0) = 0

ux(1, 1) = limh→0 |h|(2+h)

h = @, uy(1, 1) = @

2) g_x(0, 0) = lim

h→0

0

h = 0, g_y(0, 0) = 0 g_x(0, 1) = lim

h→0

|h|

h = @, g_y(0, 1) = lim

k→0

0 k = 0 g_x(1, 0) = lim

h→0

0

h = @, g_y(1, 0) = lim

k→0

|k|

k = @ g_x(1, 1) = lim

h→0

|1 + h| − 1

h = 1, g_y(1, 1) = 1 3) u_x(0, 0) = lim

h→0

|h|h

h = 0, u_y(0, 0) = 0

u_x(0, 1) = lim_h→0|h−1|(h+1)−1

h = 0, u_y(0, 1) = 0 ux(1, 0) = 2, uy(1, 0) = 0

ux(1, 1) = limh→0 |h|(2+h)

h = @, uy(1, 1) = @

Derivabilit`a parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 10 / 16

2) g_x(0, 0) = lim

h→0

0

h = 0, g_y(0, 0) = 0 g_x(0, 1) = lim

h→0

|h|

h = @, g_y(0, 1) = lim

k→0

0 k = 0 g_x(1, 0) = lim

h→0

0

h = @, g_y(1, 0) = lim

k→0

|k|

k = @ g_x(1, 1) = lim

h→0

|1 + h| − 1

h = 1, g_y(1, 1) = 1 3) u_x(0, 0) = lim

h→0

|h|h

h = 0, u_y(0, 0) = 0 u_x(0, 1) = lim_h→0|h−1|(h+1)−1

h = 0, u_y(0, 1) = 0

ux(1, 0) = 2, uy(1, 0) = 0 ux(1, 1) = limh→0 |h|(2+h)

h = @, uy(1, 1) = @

2) g_x(0, 0) = lim

h→0

0

h = 0, g_y(0, 0) = 0 g_x(0, 1) = lim

h→0

|h|

h = @, g_y(0, 1) = lim

k→0

0 k = 0 g_x(1, 0) = lim

h→0

0

h = @, g_y(1, 0) = lim

k→0

|k|

k = @ g_x(1, 1) = lim

h→0

|1 + h| − 1

h = 1, g_y(1, 1) = 1 3) u_x(0, 0) = lim

h→0

|h|h

h = 0, u_y(0, 0) = 0 u_x(0, 1) = lim_h→0|h−1|(h+1)−1

h = 0, u_y(0, 1) = 0 ux(1, 0) = 2, uy(1, 0) = 0

ux(1, 1) = limh→0 |h|(2+h)

h = @, uy(1, 1) = @

Derivabilit`a parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 10 / 16

2) g_x(0, 0) = lim

h→0

0

h = 0, g_y(0, 0) = 0 g_x(0, 1) = lim

h→0

|h|

h = @, g_y(0, 1) = lim

k→0

0 k = 0 g_x(1, 0) = lim

h→0

0

h = @, g_y(1, 0) = lim

k→0

|k|

k = @ g_x(1, 1) = lim

h→0

|1 + h| − 1

h = 1, g_y(1, 1) = 1 3) u_x(0, 0) = lim

h→0

|h|h

h = 0, u_y(0, 0) = 0 u_x(0, 1) = lim_h→0|h−1|(h+1)−1

h = 0, u_y(0, 1) = 0 ux(1, 0) = 2, uy(1, 0) = 0

ux(1, 1) = limh→0 |h|(2+h)

h = @, uy(1, 1) = @

Definizione di derivata parziale seconda

Sia D un insieme aperto di R² e f (x , y ) definita in D e ivi dotata di derivate parziale prime fx(x , y ), fy(x , y ). Se a loro volta le funzioni fx, fy

ammettono derivate parziali

∂

∂xfx, ∂

∂yfx, ∂

∂xfy, ∂

∂yfy,

allora definiamo la funzione f derivabile due volte rispetto a x o rispetto a y in (x0, y0) e indicheremo (tralasciando l’indicazione del punto) con i simboli brevi

f_xx, f_xy, f_yx, f_yy oppure con i simboli

∂²f

∂x², ∂²f

∂x ∂y, ∂²f

∂y ∂x, ∂²f

∂y².

In particolare f_xy, f_yx sono dette derivate seconde miste, mentre f_xx, f_yy derivate seconde pure.

Derivabilit`a parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 11 / 16

Definizione di derivata parziale seconda

Sia D un insieme aperto di R² e f (x , y ) definita in D e ivi dotata di derivate parziale prime fx(x , y ), fy(x , y ). Se a loro volta le funzioni fx, fy

ammettono derivate parziali

∂

∂xfx, ∂

∂yfx, ∂

∂xfy, ∂

∂yfy,

allora definiamo la funzione f derivabile due volte rispetto a x o rispetto a y in (x0, y0) e indicheremo (tralasciando l’indicazione del punto) con i simboli brevi

f_xx, f_xy, f_yx, f_yy oppure con i simboli

∂²f

∂x², ∂²f

∂x ∂y, ∂²f

∂y ∂x, ∂²f

∂y².

In particolare f_xy, f_yx sono dette derivate seconde miste, mentre f_xx, f_yy derivate seconde pure.

Definizione di derivata parziale seconda

Sia D un insieme aperto di R² e f (x , y ) definita in D e ivi dotata di derivate parziale prime fx(x , y ), fy(x , y ). Se a loro volta le funzioni fx, fy

ammettono derivate parziali

∂

∂xfx, ∂

∂yfx, ∂

∂xfy, ∂

∂yfy,

allora definiamo la funzione f derivabile due volte rispetto a x o rispetto a y in (x0, y0) e indicheremo (tralasciando l’indicazione del punto) con i simboli brevi

f_xx, f_xy, f_yx, f_yy

oppure con i simboli

∂²f

∂x², ∂²f

∂x ∂y, ∂²f

∂y ∂x, ∂²f

∂y².

In particolare f_xy, f_yx sono dette derivate seconde miste, mentre f_xx, f_yy derivate seconde pure.

Derivabilit`a parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 11 / 16

Definizione di derivata parziale seconda

Sia D un insieme aperto di R² e f (x , y ) definita in D e ivi dotata di derivate parziale prime fx(x , y ), fy(x , y ). Se a loro volta le funzioni fx, fy

ammettono derivate parziali

∂

∂xfx, ∂

∂yfx, ∂

∂xfy, ∂

∂yfy,

allora definiamo la funzione f derivabile due volte rispetto a x o rispetto a y in (x0, y0) e indicheremo (tralasciando l’indicazione del punto) con i simboli brevi

f_xx, f_xy, f_yx, f_yy oppure con i simboli

∂²f

∂x², ∂²f

∂x ∂y, ∂²f

∂y ∂x, ∂²f

∂y².

In particolare f_xy, f_yx sono dette derivate seconde miste, mentre f_xx, f_yy derivate seconde pure.

Definizione di derivata parziale seconda

Sia D un insieme aperto di R² e f (x , y ) definita in D e ivi dotata di derivate parziale prime fx(x , y ), fy(x , y ). Se a loro volta le funzioni fx, fy

ammettono derivate parziali

∂

∂xfx, ∂

∂yfx, ∂

∂xfy, ∂

∂yfy,

allora definiamo la funzione f derivabile due volte rispetto a x o rispetto a y in (x0, y0) e indicheremo (tralasciando l’indicazione del punto) con i simboli brevi

f_xx, f_xy, f_yx, f_yy oppure con i simboli

∂²f

∂x², ∂²f

∂x ∂y, ∂²f

∂y ∂x, ∂²f

∂y².

In particolare f_xy, f_yx sono dettederivate seconde miste, mentre f_xx, f_yy derivate seconde pure.

Derivabilit`a parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 11 / 16

Esempio

Calcolare le derivate parziali seconde delle funzioni 1) f (x , y ) = cos(x²+ y²), in R²

2) g (x , y ) = x^y in D = {(x , y ) ∈ R² : x > 0}

Svolgimento

1) fx = −2x sin(x²+ y²), fy = −2y sin(x²+ y²), perci´o

f_xx = −2 sin(x²+ y²) − 4x²cos(x²+ y²), f_xy = −4xy cos(x²+ y²), f_yy = −2 sin(x²+ y²) − 4y²cos(x²+ y²), f_yx = −4xy sin(x²+ y²). 2) g_x = yx^{y −1}, g_y = x^ylnx , perci´o

gxx = y (y − 1)x^{y −2}, gxy = x^{y −1}+ yx^{y −1}lnx , gyy = x^yln²x , gyx = yx^{y −1}lnx + x^{y −1}

Esempio

Calcolare le derivate parziali seconde delle funzioni 1) f (x , y ) = cos(x²+ y²), in R²

2) g (x , y ) = x^y in D = {(x , y ) ∈ R² : x > 0}

Svolgimento

1) fx = −2x sin(x²+ y²), fy = −2y sin(x²+ y²), perci´o

f_xx = −2 sin(x²+ y²) − 4x²cos(x²+ y²), f_xy = −4xy cos(x²+ y²), f_yy = −2 sin(x²+ y²) − 4y²cos(x²+ y²), f_yx = −4xy sin(x²+ y²).

2) g_x = yx^{y −1}, g_y = x^ylnx , perci´o

gxx = y (y − 1)x^{y −2}, gxy = x^{y −1}+ yx^{y −1}lnx , gyy = x^yln²x , gyx = yx^{y −1}lnx + x^{y −1}

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Teorema di Schwarz

Teorema di Scwarz Sia f (x , y ) definita nell’aperto D e (x0, y0) ∈ D. Se esistono continue in (x0, y0) le derivate seconde di f , allora

f_xy(x₀, y₀) = f_yx(x₀, y₀).

Dimostrazione Sia (x , y ) il generico

punto di D con x 6= x0, y 6= y0 e siano (x , y₀), (x₀, y ) gli altri due punti che con (x0, y0) formano un rettangolo dentro D. Introduciamo le due funzioni:

F (x ) = f (x , y ) − f (x , y0), fissato y G (y ) = f (x , y ) − f (x0, y ), fissato x .

Teorema di Schwarz

Teorema di Scwarz Sia f (x , y ) definita nell’aperto D e (x0, y0) ∈ D. Se esistono continue in (x0, y0) le derivate seconde di f , allora

f_xy(x₀, y₀) = f_yx(x₀, y₀).

Dimostrazione Sia (x , y ) il generico

punto di D con x 6= x0, y 6= y0 e siano (x , y₀), (x₀, y ) gli altri due punti che con (x0, y0) formano un rettangolo dentro D.

Introduciamo le due funzioni: F (x ) = f (x , y ) − f (x , y0), fissato y G (y ) = f (x , y ) − f (x0, y ), fissato x .

Derivabilit`a parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 13 / 16

Teorema di Schwarz

Teorema di Scwarz Sia f (x , y ) definita nell’aperto D e (x0, y0) ∈ D. Se esistono continue in (x0, y0) le derivate seconde di f , allora

f_xy(x₀, y₀) = f_yx(x₀, y₀).

Dimostrazione Sia (x , y ) il generico

punto di D con x 6= x0, y 6= y0 e siano (x , y₀), (x₀, y ) gli altri due punti che con (x0, y0) formano un rettangolo dentro D.

Introduciamo le due funzioni:

F (x ) = f (x , y ) − f (x , y0), fissato y G (y ) = f (x , y ) − f (x0, y ), fissato x .

Dimostrazione del Teorema di Scwarz

Applichiamo ad F (x ) e G (y ) il Teorema di Lagrange per funzioni di una variabile.

In particolare per la F , nell’intervallo (x₀, x ) esister´a un punto x₁ tale che (1) F (x ) − F (x₀) = F⁰(x₁)(x − x₀) = [f_x(x₁, y ) − f_x(x₁, y₀)](x − x₀). Per la G , nell’intervallo (y0, y ) esister´a un punto y1 tale che

(2) G (y ) − G (y0) = G⁰(y1)(y − y0) = [fy(x , y1) − fy(x0, y1)](y − y0). Riapplichiamo ora il Teorema di Lagrange nelle relazioni ottenute ( alla f_x nella relazione (1); alla fy nella relazione (2))

Nella (1) si ha che esiste un y₂ ∈ (y₀, y ) tale che F (x ) − F (x0) = fxy(x1, y2) (x − x0) (y − y0).

Analogamente nella (2) si ha che esiste un x₂ ∈ (x, x₀): G (y ) − G (y0) = fyx(x2, y1) (x − x0) (y − y0).

Derivabilit`a parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 14 / 16

Dimostrazione del Teorema di Scwarz

Applichiamo ad F (x ) e G (y ) il Teorema di Lagrange per funzioni di una variabile.

In particolare per la F , nell’intervallo (x₀, x ) esister´a un punto x₁ tale che (1) F (x ) − F (x₀) = F⁰(x₁)(x − x₀) = [f_x(x₁, y ) − f_x(x₁, y₀)](x − x₀).

Per la G , nell’intervallo (y0, y ) esister´a un punto y1 tale che

(2) G (y ) − G (y0) = G⁰(y1)(y − y0) = [fy(x , y1) − fy(x0, y1)](y − y0). Riapplichiamo ora il Teorema di Lagrange nelle relazioni ottenute ( alla f_x nella relazione (1); alla fy nella relazione (2))

Nella (1) si ha che esiste un y₂ ∈ (y₀, y ) tale che F (x ) − F (x0) = fxy(x1, y2) (x − x0) (y − y0).

Analogamente nella (2) si ha che esiste un x₂ ∈ (x, x₀): G (y ) − G (y0) = fyx(x2, y1) (x − x0) (y − y0).

Dimostrazione del Teorema di Scwarz

Applichiamo ad F (x ) e G (y ) il Teorema di Lagrange per funzioni di una variabile.

In particolare per la F , nell’intervallo (x₀, x ) esister´a un punto x₁ tale che (1) F (x ) − F (x₀) = F⁰(x₁)(x − x₀) = [f_x(x₁, y ) − f_x(x₁, y₀)](x − x₀).

Per la G , nell’intervallo (y0, y ) esister´a un punto y1 tale che

(2) G (y ) − G (y0) = G⁰(y1)(y − y0) = [fy(x , y1) − fy(x0, y1)](y − y0).

Riapplichiamo ora il Teorema di Lagrange nelle relazioni ottenute ( alla f_x nella relazione (1); alla fy nella relazione (2))

Nella (1) si ha che esiste un y₂ ∈ (y₀, y ) tale che F (x ) − F (x0) = fxy(x1, y2) (x − x0) (y − y0).

Analogamente nella (2) si ha che esiste un x₂ ∈ (x, x₀): G (y ) − G (y0) = fyx(x2, y1) (x − x0) (y − y0).

Derivabilit`a parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 14 / 16

Dimostrazione del Teorema di Scwarz

Applichiamo ad F (x ) e G (y ) il Teorema di Lagrange per funzioni di una variabile.

In particolare per la F , nell’intervallo (x₀, x ) esister´a un punto x₁ tale che (1) F (x ) − F (x₀) = F⁰(x₁)(x − x₀) = [f_x(x₁, y ) − f_x(x₁, y₀)](x − x₀).

Per la G , nell’intervallo (y0, y ) esister´a un punto y1 tale che

(2) G (y ) − G (y0) = G⁰(y1)(y − y0) = [fy(x , y1) − fy(x0, y1)](y − y0).

Riapplichiamo ora il Teorema di Lagrange nelle relazioni ottenute ( alla f_x nella relazione (1); alla fy nella relazione (2))

Nella (1) si ha che esiste un y₂ ∈ (y₀, y ) tale che F (x ) − F (x0) = fxy(x1, y2) (x − x0) (y − y0).

Analogamente nella (2) si ha che esiste un x₂ ∈ (x, x₀): G (y ) − G (y0) = fyx(x2, y1) (x − x0) (y − y0).

Dimostrazione del Teorema di Scwarz

Applichiamo ad F (x ) e G (y ) il Teorema di Lagrange per funzioni di una variabile.

In particolare per la F , nell’intervallo (x₀, x ) esister´a un punto x₁ tale che (1) F (x ) − F (x₀) = F⁰(x₁)(x − x₀) = [f_x(x₁, y ) − f_x(x₁, y₀)](x − x₀).

Per la G , nell’intervallo (y0, y ) esister´a un punto y1 tale che

(2) G (y ) − G (y0) = G⁰(y1)(y − y0) = [fy(x , y1) − fy(x0, y1)](y − y0).

Riapplichiamo ora il Teorema di Lagrange nelle relazioni ottenute ( alla f_x nella relazione (1); alla fy nella relazione (2))

Nella (1) si ha che esiste un y₂ ∈ (y₀, y ) tale che F (x ) − F (x0) = fxy(x1, y2) (x − x0) (y − y0).

Analogamente nella (2) si ha che esiste un x₂ ∈ (x, x₀):

G (y ) − G (y0) = fyx(x2, y1) (x − x0) (y − y0).

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Da un calcolo diretto si ottiene F (x ) − F (x0) = G (y ) − G (y0)

e quindi fxy(x1, y2) = fyx(x2, y1).

Tenuto conto della continuit´a delle derivate seconde, se facciamo tendere (x , y ) → (x₀, y₀) si ha f_xy(x₀, y₀) = f_yx(x₀, y₀).

NOTA: Essendo x0 < x1, x2 < x , y0 < y1, y2 < y , al tendere di (x , y ) a (x₀, x₀), anche (x₁, y₂) e (x₂, y₁) tendono a (x₀, y₀).

Da un calcolo diretto si ottiene

F (x ) − F (x0) = G (y ) − G (y0) e quindi fxy(x1, y2) = fyx(x2, y1).

Tenuto conto della continuit´a delle derivate seconde, se facciamo tendere (x , y ) → (x₀, y₀) si ha f_xy(x₀, y₀) = f_yx(x₀, y₀).

NOTA: Essendo x0 < x1, x2 < x , y0 < y1, y2 < y , al tendere di (x , y ) a (x₀, x₀), anche (x₁, y₂) e (x₂, y₁) tendono a (x₀, y₀).

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Derivate parziali successive

Consideriamo la funzione fxx(x , y ), e sia D⁰ il suo dominio.

Se essa risulta derivabile rispetto a x o rispetto a y in (x0, y0), diremo che la f ammette derivate terze fxxx(x0, y0) e fxxy(x0, y0).

Analogamente a partire dalle altre derivate seconde, si definiscono le derivate parziali terze (es. fyyx, fyyy, etc).