Dati di input: Rigidezza dell'oscillatore: k 939.06 kN ⋅mm

ESEMPIO DI ANALIS I DI UN OSCILLATORE SEMPLICE Redattore: Dott. Ing. Simone Caffè - 26/10/2013

Analizzare il comportamento di un'oscillatore semplice avente rigidezza pari a 939.06 kN/mm, massa pari a 12000 kg e soggetto ad una forza armonica verticale pari a 100 kN. Descriverne il comportamento dinamico in termini di spostamento verticale, assumendo inizialmente smorzamento del sistema pari al 2% dello smorzamento critico e poi uno smorzamento viscoso lineare dell'oscillarore pari a 0.63 kNs/mm (a 50 Hz). A seguito di ciò, analizzare il medesimo oscillatore considerando rigidezza e smorzamento viscoso lineare, variabili in funzione delle frequenza.

Dati di input:

Rigidezza dell'oscillatore: k 939.06 kN

⋅mm :=

Forza armonica verticale: Fv:= 100 kN⋅

Massa vibrante: mv:= 12000 kg⋅

Periodo proprio di vibrazione: T0 2_⋅π ^mv

⋅ k =0.02246 s :=

Frequenza propria di vibrazione: f0:= T0⁻¹=44.52216 Hz⋅

Pulsazione propria di vibrazione: ω₀ 2_⋅π_⋅f0 279.74rad

⋅ s

= :=

CASO A - Analisi in caso di smorzamento del sistema pari al 2%:

Rapporto di smorzamento: ξ_A:= 0.02

Si definisce ora la parte reale dello spostamento (previa definizione di una variabile di frequenza " f_A "):

uz_real_A fA( ) ^Fv_k

1

2_⋅π_fA ω₀



 



2

−









1

2⋅πfA ω₀



 



2

−









2

2⋅ξ_A 2⋅πfA ω₀



 

⋅ 



 



2 +

⋅ :=

Si definisce ora la parte immaginaria dello spostamento:

uz_imm_A fA( ) ^Fv_k

−2_⋅ξ_A

2_⋅π_fA ω₀



 

⋅ 

1

2⋅πfA ω₀



 



2

−









2

2⋅ξ_A 2⋅πfA ω₀



 

⋅ 



 



2 +

⋅ :=

L'anadamento dello spostamento complessivo risulterà pertanto pari alla "magnitudo":

uz_magnitudo_A fA( )^:= uz_real_A fA( )²⁺ uz_imm_A fA( )²

40 45 50 55 60

0 1 10× ⁻³ 2 10× ⁻³

[Hz]

[m]

uz_magnitudo_A fA( )

fA

fA:= 1 Hz⋅

Spostamento massimo nel caso di sistema con smorzamento al 2%:

Maximize uz_magnitudo_A fA( , )^{=44.504 Hz⋅} (funzione che restituisce la frequenza alla quale si verifica il massimo) uz_magnitudo_A 44.504 Hz( ⋅ ) =2.663 mm⋅

Di seguito si riporta passo passo come inserire la suddetta analisi su SAP 2000:

La matrice di smorzamento [C] è composta da un termine MPD (mass proportional dumping α) che moltiplica la matrice delle masse [M] e da un termine SPD (stiffness proportional dumping β) che moltiplica la matrice delle rigidezze [K]:

[C] = α[M] + β[K]

MPD ed SPD possiedono due caratteristiche opposte, rese evidenti dalla seguente formulazione:

ξ_n = α/2ω_n + βω_n/2

Lo smorzamento modale ξ_n relativo all'n-esima pulsazione propria ω_n è costituito da un primo termine che diminuisce iperbolicamente all'aumentare della frequenza e da un secondo termine che aumenta linearmente all'aumentare della frequenza.

Nel nostro esempio il rapporto di smorzamento ξ è fissato al 2%, pertanto per ottenere la medesima oscillazione in risonanza che si avrebbe nel dominio del tempo, è necessario che il rapporto di smorzamento isteretico possieda un valore doppio, per fare ciò il coefficiente β deve essere posto uguale al 4%.

NOTA:

Il risultato è perfettamente analogo a quello ricavato manualmente.

CASO B1 - Analisi in caso di smorz amento del sistema pari z ero e smorzamento dell'oscillatore pari a 0.63 kNs/mm:

Smorzamento viscoso lineare:

cv 0.63 kN s⋅

⋅mm :=

Determinazione dello smorzamento critico:

ccrit_B 2⋅ mv k⋅ 6.7138 kN s⋅

⋅mm

= :=

Rapporto di smorzamento:

ξ_B1 ^cv

ccrit_B =0.0938 :=

Si definisce ora la parte reale dello spostamento (previa definizione di una variabile di frequenza " f_B1"):

uz_real_B1 fB1( ) ^Fv_k

1

2⋅πfB1 ω₀



 



2

−









1

2_⋅π_fB1 ω₀



 



2

−









2

2_⋅ξ_B1

2_⋅π_fB1 ω₀



 

⋅ 



 



2 +

⋅ :=

Si definisce ora la parte immaginaria dello spostamento:

uz_imm_B1 fB1( ) ^Fv_k

−2⋅ξ_B1 2⋅πfB1 ω₀



 

⋅ 

1

2_⋅π_fB1 ω₀



 



2

−









2

2_⋅ξ_B1

2_⋅π_fB1 ω₀



 

⋅ 



 



2 +

⋅ :=

L'anadamento dello spostamento complessivo risulterà pertanto pari alla "magnitudo":

uz_magnitudo_B1 fB1( )^:= uz_real_B1 fB1( )²⁺ uz_imm_B1 fB1( )²

40 45 50 55 60

1 10× ⁻⁴ 2 10× ⁻⁴ 3 10× ⁻⁴ 4 10× ⁻⁴ 5 10× ⁻⁴

[Hz]

[m]

uz_magnitudo_B1 fB1( )

fB1

fB1:= 1 Hz⋅

Spostamento massimo risulta:

Maximize uz_magnitudo_B1 fB1( , )^{=44.128 Hz⋅} (funzione che restituisce la frequenza alla quale si verifica il massimo) uz_magnitudo_B1 44.128 Hz( ⋅ ) =0.5699 mm⋅

Di seguito si riporta passo passo come inserire la suddetta analisi su SAP 2000:

L'analisi svolta si inputerà su SAP in due modi:

- utilizzando un link con smorzamento viscoso lineare

- utilizzando i frequency dependent link con rigidezza fissa e smorzamento isteretico

Primo modo

NOTA:

Il risultato è perfettamente analogo a quello ricavato manualmente.

Secondo modo

Per utilizzare gli FDL bis ogna trasformare lo smorzamento viscos o nello smorzamento isteretico v ariabile linearmente al variare della frequenza.

Se a 50Hz lo smorzamento viscoso è costante a 0.63kNs/mm lo smorzamento isteretico sarà lineare:

ch_50Hz_B1 cv 2⋅ ⋅π⋅50⋅Hz 197.92 kN

⋅mm

= :=

Considerando un andamento lineare si otterrano i valori a 40 Hz e a 60 Hz:

ch_40Hz_B1 ch_50Hz_B1 40 Hz⋅ 50 Hz⋅

⋅ 158.34 kN

⋅mm

= :=

ch_60Hz_B1 ch_50Hz_B1 60 Hz⋅ 50 Hz⋅

⋅ 237.5 kN

⋅mm

= :=

NOTA:

Gli FDL sovrascriv ono interamente le proprietà assegnate al link.

NOTA:

Il risultato è perfettamente analogo a quello ricavato manualmente.

CASO B2 - Analisi in caso di smorz amento del sistema pari al 2% e smorzamento dell'oscillatore pari a 0.63 kNs/mm:

Smorzamento viscoso lineare:

cv 0.63 s kN

⋅mm

=

Determinazione dello smorzamento critico:

ccrit_B 6.7138s kN

⋅mm

=

Rapporto di smorzamento:

ξ_B2 ξ_A ^cv ccrit_B

+ =0.1138

:=

Si definisce ora la parte reale dello spostamento (previa definizione di una variabile di frequenza " f_B2"):

uz_real_B2 fB2( ) ^Fv_k

1

2_⋅π_fB2 ω₀



 



2

−









1

2⋅πfB2 ω₀



 



2

−









2

2⋅ξ_B2 2⋅πfB2 ω₀



 

⋅ 



 



2 +

⋅ :=

Si definisce ora la parte immaginaria dello spostamento:

uz_imm_B2 fB2( ) ^Fv_k

−2_⋅ξ_B2

2_⋅π_fB2 ω₀



 

⋅ 

1

2⋅πfB2 ω₀



 



2

−









2

2⋅ξ_B2 2⋅πfB2 ω₀



 

⋅ 



 



2 +

⋅ :=

L'anadamento dello spostamento complessivo risulterà pertanto pari alla "magnitudo":

uz_magnitudo_B2 fB2( )^:= uz_real_B2 fB2( )²⁺ uz_imm_B2 fB2( )²

40 45 50 55 60

1 10× ⁻⁴ 2 10× ⁻⁴ 3 10× ⁻⁴ 4 10× ⁻⁴

[Hz]

[m]

uz_magnitudo_B2 fB2( )

fB2

fB2:= 1 Hz⋅

Spostamento massimo risulta:

Maximize uz_magnitudo_B2 fB2( , )^{=43.941 Hz⋅} (funzione che restituisce la frequenza alla quale si verifica il massimo) uz_magnitudo_B2 43.941 Hz( ⋅ ) =0.4708 mm⋅

Di seguito si riporta passo passo come inserire la suddetta analisi su SAP 2000:

L'analisi svolta si inputerà su SAP in due modi:

- utilizzando un link con smorzamento viscoso lineare

- utilizzando i frequency dependent link con rigidezza fissa e smorzamento isteretico Primo modo

NOTA:

Il risultato di SAP differisce dello 0.21% rispetto a quello manuale.

Secondo modo

Per utilizzare gli FDL bis ogna trasformare lo smorzamento viscos o più lo smorzamento del s istema, nello smorzamento isteretico variabile linearmente al variare della frequenza.

Se a 50Hz lo smorzamento viscoso vale 0.63kNs/mm lo smorzamento isteretico sarà lineare e pari a:

ch_50Hz_B2^:= (4_⋅π_⋅ξ_{A⋅ k mv⋅} ⋅50⋅Hz)⁺(^{cv 2⋅ ⋅π⋅50⋅Hz}) ^=240.1⋅_mm^kN

Considerando un andamento lineare si otterrano i valori a 40 Hz e a 60 Hz:

ch_40Hz_B2 ch_50Hz_B2 40 Hz⋅ 50 Hz⋅

⋅ 192.08 kN

⋅mm

= :=

ch_60Hz_B2 ch_50Hz_B2 60 Hz⋅ 50 Hz⋅

⋅ 288.13 kN

⋅mm

= :=

NOTA:

Il risultato è perfettamente analogo a quello ricavato manualmente.

CASO C - Analisi in caso di smorzamento del sistema pari a z ero. La rigidezza e lo smorzamento dell'oscillatore variano al variare delle frequenza:

Rigidezza variabile: Smorzamento addizionale variabile: Frequenza:

k40 1023.27 kN

⋅mm

:= c40 1.15 kN s⋅

⋅mm

:= f40:= 40 Hz⋅

k50 939.06 kN

⋅mm

:= c50 0.63 kN s⋅

⋅mm

:= f50:= 50 Hz⋅

k60 736.57 kN

⋅mm

:= c60 0.64 kN s⋅

⋅mm

:= f60:= 60 Hz⋅

Considerando un coportamento lineare tra i suddetti valori, si costruiscono le funzioni di rigidezza e smorzamento in ragione della frequenza:

Funzione di rigidezza variabile:

kvar f() k40 k50−

f40 f50− ⋅f (k50 f40⋅ −k40 f50⋅ )

f40 f50−

+ if f ≤f50

k50 k60−

f50 f60− ⋅f (k60 f50⋅ −k50 f60⋅ )

f50 f60−

+ otherwise

:=

40 45 50 55 60

7 10× ⁸ 8 10× ⁸ 9 10× ⁸ 1 10× ⁹ 1.1 10× ⁹

kvar f()

f Funzione di smorzamento variabile:

cv_var f() c40 c50−

f40 f50− ⋅f (c50 f40⋅ −c40 f50⋅ )

f40 f50−

+ if f ≤f50

c50 c60−

f50 f60− ⋅f (c60 f50⋅ −c50 f60⋅ )

f50 f60−

+ otherwise

:=

40 45 50 55 60

6 10× ⁵ 8 10× ⁵ 1 10× ⁶ 1.2 10× ⁶

cv_var f()

f Periodo proprio di vibrazione variabile in ragione della frequenza:

T0_var f() 2_⋅π ^mv kvar f()

⋅ :=

ω_{0_var f}( )^:= 2_⋅π^⋅(_{T0_var f()})⁻¹

40 45 50 55 60 0.021

0.022 0.023 0.024 0.025 0.026

T0_var f()

f

40 45 50 55 60

240 250 260 270 280 290 300

ω_{0_var f}( )

f Smorzamento critico variabile in funzione della frequenza:

ccrit_var f():= 2⋅ mv kvar f()⋅

40 45 50 55 60

5.5 10× ⁶ 6 10× ⁶ 6.5 10× ⁶ 7 10× ⁶ 7.5 10× ⁶

ccrit_var f()

f Funzione del rapporto di smorzamento finale al variare della frequenza:

ξ_{var f}( ) ξ_A ^{cv_var f()} ccrit_var f() +

:=

20 40 60 80

0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

ξ_{var f}( )

f Si definisce ora la parte reale dello spostamento:

uz_real f() Fv kvar f()

1 2_⋅πf ω_{0_var f}( )









2

 −







1 2_⋅πf ω_{0_var f}( )









2

 −







2

2⋅ξ_{var f}( ) 2_⋅πf ω_{0_var f}( )







⋅ 









2 +

⋅ :=

Si definisce ora la parte immaginaria dello spostamento:

uz_imm f() Fv kvar f()

−2⋅ξ_{var f}( ) 2_⋅πf ω_{0_var f}( )







⋅ 

1 2_⋅πf ω_{0_var f}( )









2

 −







2

2⋅ξ_{var f}( ) 2_⋅πf ω_{0_var f}( )







⋅ 









2 +

⋅ :=

L'anadamento dello spostamento complessivo risulterà pertanto pari alla "magnitudo":

uz_magnitudo f() := uz_real f()²+ uz_imm f()²

40 45 50 55 60

0 1 10× ⁻⁴ 2 10× ⁻⁴ 3 10× ⁻⁴ 4 10× ⁻⁴

[Hz]

[m]

uz_magnitudo f()

f

Spostamento Massimo:

f:= 1 Hz⋅

Maximize uz_magnitudo f( , )^{=46.38 Hz⋅}

uz_magnitudo 46.38 Hz( ⋅ ) =0.354 mm⋅

Inputazione dei Frequency Dependent Link su SAP 2000:

Rigidezze: Smorzamenti isteretici:

k40_SAP k40 1023.27 kN

⋅mm

=

:= c40_SAP 4_⋅π_⋅ξ_{A⋅ mv k40⋅ ⋅f40+ c40 2⋅ ⋅}π_⋅f40 324.25 kN

⋅mm

= :=

k50_SAP k50 939.06 kN

⋅mm

=

:= c50_SAP 4_⋅π_⋅ξ_{A⋅ mv k50⋅ ⋅f50+ c50 2⋅ ⋅}π_⋅f50 240.1 kN

⋅mm

= :=

k60_SAP k60 736.57 kN

⋅mm

=

:= c60_SAP 4_⋅π_⋅ξ_{A⋅ mv k60⋅ ⋅f60+ c60 2⋅ ⋅}π_⋅f60 286.11 kN

⋅mm

= :=

NOTA:

Il risultato di SAP differisce dello 2.74% rispetto a quello manuale.

Per interpretare lo scostamento tra il calcolo manuale ed i risultati di SAP, vediamo di studiare l'andamento dello smorzamento isteretico in funzione della frequenza:

Se l'andamento dello smorzamento viscoso è linerare, l'andamento dello smorzamento isteretico è parabolico, pertanto sarà necessario inputare su SAP più valori in modo da rispettarne il corretto andamento:

NOTA:

Ora il risultato è

perfettamente analogo a quello ricavato

manualmente.