ε su = 0.01

1. Analisi manuale del dominio di resistenza di un pilastro 30 x 30

Nella presente scheda si costruirà il dominio di resistenza di un pilastro in calcestruzzo armato Classe 25/30, con sezione pari a 30 x 30 [cm] ordito con 4 ferri Ø16 in acciaio Feb44k/s.

30 0 26 0

300

ε ^su = 0.01

ε ^yd

ε ^{cu =0.0035} ε ^c1

f

yd

f

cd

Caratteristiche dei materiali

Calcestruzzo: R

_ck

= 30 ^[MPa]

25

f

_ck

= [MPa]

28 . 60 13 . 1

f 85 .

f

_cd

= 0 ⋅

^ck

= [MPa]

0035 .

cu

= 0

ε [-]

0020 .

1

0

c

=

ε [-]

Acciaio: f _yk = 430 [MPa]

9 . 15 373 . 1

f

_yd

= 430 = ^[MPa]

200000

E

_s

= ^[MPa]

010 .

su

= 0

ε [-]

00187 . 200000 0

9 . 373 E

f

s

yd

=

yd

= =

ε [-]

Armature: 4 φ 16

4 402 2 16 A

A

_s

=

_s

′ = ⋅ π ⋅

²

= [mm

²

]

PUNTO 1

30 0 26 0

300

ε ^su = 0.01

ε ^yd

ε ^cu =0.0035 ε ^c1

f

yd

f

cd

Condizioni

Deformazione dell’armatura inferiore: ε

_s

= ε

_su

= 0 . 01 Deformazione dell’armatura superiore: ε′

_s

= ε

_su

= 0 . 01 71 . 300 9 . 373 402 9 . 373 402 f A f A

N _Rd = _s ′ ⋅ _yd + _s ⋅ _yd = ⋅ + ⋅ = [kN]

2 0 d h f

A 2 d

f h A

M

_Rd

=

_s

′ ⋅

_yd

⋅ − ′ +

_s

′ ⋅

_yd

⋅ − − = [kNm]

PUNTO 2

30 0 26 0

300

ε ^su = 0.01

ε ^yd

ε ^cu =0.0035 ε ^c1

f

yd

f

cd

Condizioni

Deformazione dell’armatura inferiore: ε

_s

= ε

_su

= 0 . 01 Deformazione dell’armatura superiore: ε

_su

: d = ε′

_s

: d ′

yd su

s

0 . 01 0 . 00154

260 40 d

d ′ ⋅ ε = ⋅ = < ε

= ε′

yd s s s s

Rd A E A f

N = ′ ⋅ ⋅ ε′ + ⋅

274 9 . 373 402 00154 . 0 200000 402

N

_Rd

= ⋅ ⋅ + ⋅ = [kN]

−

−

⋅

′ ⋅

′ +

−

⋅ ε′

⋅

′ ⋅

= 2

d h f

A 2 d

E h A

M

_{Rd s s s s yd}

915 . 2 2 40

9 300 . 373 402 2 40

00154 300 . 0 200000 402

M

_Rd

= ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − − = [kN]

PUNTO 3

30 0 26 0

300

ε ^su = 0.01

ε ^yd

ε ^{cu =0.0035} ε ^c1

f

yd

f

cd

Condizioni

Deformazione dell’armatura inferiore: ε

_s

= ε

_su

= 0 . 01 Deformazione nel calcestruzzo: ε

_c

= ε

_c1

= 0 . 002 Posizione dell’asse neutro: ε

su

^: ( ^d − ^x ) = ε

c1

^{: x}

( ^{d x} )

x

_c1

su

⋅ = ε ⋅ − ε

33 . 43 002 260

. 0 01 . 0

002 . d 0 x

1 c su

1

c

⋅ =

= + ε ⋅ + ε

= ε [mm]

Deformazione dell’armatura superiore: ε

su

^: ( ^d − ^x ) = ε′

s

^: ( ^x − ^d ′ )

yd su

s

0 . 01 0 . 000154

33 . 43 260

40 33 . 43 x

d d

x ⋅ = < ε

−

= − ε

− ⋅

− ′

= ε′

yd s cd s

s s

Rd A E x b f A f

N = − ′ ⋅ ⋅ ε′ − β ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

84 . 22 9 . 373 402 28 . 13 300 33 . 43 6667 . 0 000154 . 0 200000 402

N

_Rd

= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ = [kN]

⋅ κ

−

⋅

⋅

⋅

⋅ β

−

−

−

⋅

′ ⋅

′ +

−

⋅ ε′

⋅

′ ⋅

−

= x

2 f h b 2 x

d h f

A 2 d

E h A

M

_{Rd s s s s yd cd}

( ^{150 40} ) ^{402 373 . 9} [ ( ^{260 150} ) ] ^{0 . 6667 43 . 33 300 13 . 28} ( ^{150 0 . 375 43 . 33} )

000154 . 0 200000 402

M

_Rd

= − ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅

29 . 33

M

_Rd

= [kNm]

Si noti che per ε

_c

= ε

_c1

= 0 . 02 i valori di β e κ si determinano nel seguente modo:

Coefficiente di riempimento: 0 . 002 0 . 6667

3 250000 002

. 0 3 500

250000

500 ⋅ ε

_c1

− ⋅ ε

²_c1

= ⋅ − ⋅

²

=

=

β ^[-]

Coefficiente di baricentro: 0 . 375

3 002 . 0 500

1 002 . 0 125 3 500

1 125

1 c

1

c

=

−

⋅

−

= ⋅

− ε

⋅

− ε

= ⋅

κ [-]

PUNTO 4 (rottura bilanciata)

30 0 26 0

300

ε ^{su = 0.01}

ε ^yd

ε ^cu =0.0035 ε ^c1

f

yd

f

cd

Condizioni

Deformazione dell’armatura inferiore: ε

_s

= ε

_su

= 0 . 01 Deformazione nel calcestruzzo: ε

_c

= ε

_cu

= 0 . 0035 Posizione dell’asse neutro: ε

su

^: ( ^d − ^x ) = ε

cu

^{: x}

( ^{d x} )

x

_cu

su

⋅ = ε ⋅ − ε

41 . 67 0035 260

. 0 01 . 0

0035 . d 0 x

cu su

cu

⋅ =

= + ε ⋅ + ε

= ε [mm]

Deformazione dell’armatura superiore: ε

su

^: ( ^d − ^x ) = ε′

s

^: ( ^x − ^d ′ )

yd su

s

0 . 01 0 . 001423

41 . 67 260

40 41 . 67 x

d d

x ⋅ = < ε

−

= − ε

− ⋅

− ′

= ε′

In questo caso il coefficiente di riempimento vale β

₀

= 0 . 80 e il coefficiente di baricentro vale κ

₀

= 0 . 40 .

yd s cd 0

s s s

Rd A E x b f A f

N = − ′ ⋅ ⋅ ε′ − β ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

95 . 178 9 . 373 402 28 . 13 300 41 . 67 80 . 0 001423 . 0 200000 402

N

_Rd

= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ = − [kN]

⋅ κ

−

⋅

⋅

⋅

⋅ β

−

−

−

⋅

′ ⋅

′ +

−

⋅ ε′

⋅

′ ⋅

−

= x

2 f h b 2 x

d h f

A 2 d

E h A

M

_{Rd s s s s yd 0 cd 0}

( ^{150 40} ) ^{402 373 . 9} [ ( ^{260 150} ) ] ^{0 . 80 67 . 41 300 13 . 28} ( ^{150 0 . 40 67 . 41} )

001423 . 0 200000 402

M

_Rd

= − ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅

55 . 55

M

_Rd

= ^[kNm]

PUNTI 5

Da questo punto in poi si potrebbero assumere arbitrariamente delle deformazioni dell’aratura inferiore, comprese tra 01

.

su

= 0

ε e ε _yd in modo da ottenere una maggiore accuratezza del dominio di resistenza . Questo è possibile perché il meccanismo di rottura è governato dalla deformazione limite del calcestruzzo e non più dalla deformazione limite dell’acciaio.

30 0 26 0

300

ε ^{su = 0.01}

ε ^yd

ε ^{cu =0.0035} ε ^c1

f

yd

f

cd

Condizioni

Deformazione dell’armatura inferiore: ε _su < ε _s = 0 . 008 < ε _yd “assunta arbitrariamente”

Deformazione nel calcestruzzo: ε

_c

= ε

_cu

= 0 . 0035 Posizione dell’asse neutro: ε

s

^: ( ^d − ^x ) = ε

cu

^{: x}

( ^{d x} )

x

_cu

s

⋅ = ε ⋅ −

ε

13 . 79 0035 260

. 0 008 . 0

0035 . d 0

x

cu s

cu

⋅ =

= + ε ⋅ + ε

= ε [mm]

Deformazione dell’armatura superiore: ε

s

^: ( ^d − ^x ) = ε′

s

^: ( ^x − ^d ′ )

yd s

s

0 . 008 0 . 00173

13 . 79 260

40 13 . 79 x

d d

x ⋅ = < ε

− −

= ε

− ⋅

− ′

= ε′

In questo caso il coefficiente di riempimento vale β

₀

= 0 . 80 e il coefficiente di baricentro vale κ

₀

= 0 . 40 .

yd s cd 0

s s s

Rd A E x b f A f

N = − ′ ⋅ ⋅ ε′ − β ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

241 9 . 373 402 28 . 13 300 13 . 79 80 . 0 00173 . 0 200000 402

N

_Rd

= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ = − [kN]

⋅ κ

−

⋅

⋅

⋅

⋅ β

−

−

−

⋅

′ ⋅

′ +

−

⋅ ε′

⋅

′ ⋅

−

= x

2 f h b 2 x

d h f

A 2 d

E h A

M

_{Rd s s s s yd 0 cd 0}

( ^{150 40} ) ^{402 373 . 9} [ ( ^{260 150} ) ] ^{0 . 80 79 . 13 300 13 . 28} ( ^{150 0 . 40 79 . 13} )

00173 . 0 200000 402

M

_Rd

= − ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅

68 . 61

M

_Rd

= ^[kNm]

Condizioni

Deformazione dell’armatura inferiore: ε _su < ε _s = 0 . 005 < ε _yd “assunta arbitrariamente”

Deformazione nel calcestruzzo: ε

_c

= ε

_cu

= 0 . 0035 Posizione dell’asse neutro: ε

s

^: ( ^d − ^x ) = ε

cu

^{: x}

( ^{d x} )

x

_cu

s

⋅ = ε ⋅ −

ε

06 . 107 0035 260

. 0 005 . 0

0035 . d 0 x

cu s

cu

⋅ =

= + ε ⋅ + ε

= ε [mm]

Deformazione dell’armatura superiore: ε

s

^: ( ^d − ^x ) = ε′

s

^: ( ^x − ^d ′ )

yd s

s

0 . 005 0 . 00219

06 . 107 260

40 06 . 107 x

d d

x ⋅ = > ε

− −

= ε

− ⋅

− ′

=

ε′ “snervata”

In questo caso il coefficiente di riempimento vale β

₀

= 0 . 80 e il coefficiente di baricentro vale κ

₀

= 0 . 40 .

yd s cd 0

yd s

Rd A f x b f A f

N = − ′ ⋅ − β ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

22 . 341 9 . 373 402 28 . 13 300 06 . 107 80 . 0 9 . 373 402

N

_Rd

= − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ = − [kN]

⋅ κ

−

⋅

⋅

⋅

⋅ β

−

−

−

⋅

′ ⋅

′ +

−

⋅

′ ⋅

−

= x

2 f h b 2 x

d h f

A 2 d

f h A

M

_{Rd s yd s yd 0 cd 0}

( ^{150 40} ) ^{402 373 . 9} [ ( ^{260 150} ) ] ^{0 . 80 107 . 06 300 13 . 28} ( ^{150 0 . 40 107 . 06} )

9 . 373 402

M

_Rd

= − ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅

64 . 69

M

_Rd

= [kNm]

Condizioni

Deformazione dell’armatura inferiore: ε _su < ε _s = 0 . 0035 < ε _yd “assunta arbitrariamente”

Deformazione nel calcestruzzo: ε

_c

= ε

_cu

= 0 . 0035 Posizione dell’asse neutro: ε

s

^: ( ^d − ^x ) = ε

cu

^{: x}

( ^{d x} )

x

_cu

s

⋅ = ε ⋅ −

ε

130 0035 260

. 0 0035 . 0

0035 . d 0

x

cu s

cu

⋅ =

= + ε ⋅ + ε

= ε [mm]

Deformazione dell’armatura superiore: ε

s

^: ( ^d − ^x ) = ε′

s

^: ( ^x − ^d ′ )

yd s

s

0 . 0035 0 . 00242

130 260

40 130 x

d d

x ⋅ = > ε

−

= − ε

− ⋅

′

= −

ε′ “snervata”

In questo caso il coefficiente di riempimento vale β

₀

= 0 . 80 e il coefficiente di baricentro vale κ

₀

= 0 . 40 .

yd s cd 0

yd s

Rd A f x b f A f

N = − ′ ⋅ − β ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

34 . 414 9 . 373 402 28 . 13 300 130 80 . 0 9 . 373 402

N

_Rd

= − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ = − [kN]

⋅ κ

−

⋅

⋅

⋅

⋅ β

−

−

−

⋅

′ ⋅

′ +

−

⋅

′ ⋅

−

= x

2 f h b 2 x

d h f

A 2 d

f h A

M

_{Rd s yd s yd 0 cd 0}

( ^{150 40} ) ^{402 373 . 9} [ ( ^{260 150} ) ] ^{0 . 80 130 300 13 . 28} ( ^{150 0 . 40 130} )

9 . 373 402

M

_Rd

= − ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅

67 . 73

M

_Rd

= [kNm]

PUNTO 6

30 0 26 0

300

ε ^su = 0.01

ε ^yd

ε ^{cu =0.0035} ε ^c1

f

yd

f

cd

Condizioni

Deformazione dell’armatura inferiore: ε _s = ε _yd = 0 . 00187 Deformazione nel calcestruzzo: ε

_c

= ε

_cu

= 0 . 0035 Posizione dell’asse neutro: ε

s

^: ( ^d − ^x ) = ε

cu

^{: x}

( ^{d x} )

x

_cu

s

⋅ = ε ⋅ −

ε

46 . 169 0035 260

. 0 00187 . 0

0035 . d 0

x

cu s

cu

⋅ =

= + ε ⋅ + ε

= ε [mm]

Deformazione dell’armatura superiore: ε

c

^{: x} = ε′

s

^: ( ^x − ^d ′ )

yd s

s

0 . 00187 0 . 00267

46 . 169 260

40 46 . 169 x

d d

x ⋅ = > ε

−

= − ε

− ⋅

′

= −

ε′ “snervata”

In questo caso il coefficiente di riempimento vale β

₀

= 0 . 80 e il coefficiente di baricentro vale κ

₀

= 0 . 40 .

yd s cd 0

yd s

Rd A f x b f A f

N = − ′ ⋅ − β ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

1 . 540 9 . 373 402 28 . 13 300 46 . 169 80 . 0 9 . 373 402

N

_Rd

= − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ = − [kN]

⋅ κ

−

⋅

⋅

⋅

⋅ β

−

−

−

⋅

′ ⋅

′ +

−

⋅

′ ⋅

−

= x

2 f h b 2 x

d h f

A 2 d

f h A

M

_{Rd s yd s yd 0 cd 0}

( ^{150 40} ) ^{402 373 . 9} [ ( ^{260 150} ) ] ^{0 . 80 169 . 46 300 13 . 28} ( ^{150 0 . 40 169 . 46} )

9 . 373 402

M

_Rd

= − ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅

47 . 77

M

_Rd

= [kNm]

PUNTO 7

30 0 26 0

300

ε ^su = 0.01

ε ^yd

ε ^{cu =0.0035} ε ^c1

f

yd

f

cd

Condizioni

Deformazione dell’armatura inferiore: ε

_s

= 0 Deformazione nel calcestruzzo: ε

_c

= ε

_cu

= 0 . 0035

Posizione dell’asse neutro: ε

s

^: ( ^d − ^x ) = ε

cu

^{: x}

( ^{d x} )

x

_cu

s

⋅ = ε ⋅ −

ε

260 0035 260

. 0

0035 . d 0 x

cu s

cu

⋅ = ⋅ =

ε + ε

= ε [mm]

Deformazione dell’armatura superiore: ε

c

^{: x} = ε′

s

^: ( ^x − ^d ′ )

yd c

s

0 . 0035 0 . 00296

260 40 260 x

d

x − ′ ⋅ ε = − ⋅ = > ε

=

ε′ “snervata”

In questo caso il coefficiente di riempimento vale β

₀

= 0 . 80 e il coefficiente di baricentro vale κ

₀

= 0 . 40 .

cd 0

yd s

Rd A f x b f

N = − ′ ⋅ − β ⋅ ⋅ ⋅

979 28 . 13 300 260 80 . 0 9 . 373 402

N

_Rd

= − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = − [kN]

⋅ κ

−

⋅

⋅

⋅

⋅ β

−

′

−

⋅

⋅

′

−

= x

2 f h b x 2 d

f h A

M

_{Rd s yd 0 cd 0}

( ^{150 40} ) ^{0 . 80 260 300 13 . 28} ( ^{150 0 . 40 260} )

9 . 373 402

M

_Rd

= − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅

65 . 54

M

_Rd

= [kNm]

PUNTO 8

30 0 26 0

300

ε ^{su = 0.01}

ε ^yd

ε ^cu =0.0035 ε ^c1

f

yd

f

cd

Condizioni

Deformazione nel calcestruzzo: ε

_c

= ε

_cu

= 0 . 0035

Posizione dell’asse neutro: x = h = 300 ^[mm]

Deformazione dell’armatura superiore: ε

c

^{: x} = ε′

s

^: ( ^x − ^d ′ )

yd c

s

0 . 0035 0 . 00303

300 40 300 x

d

x − ′ ⋅ ε = − ⋅ = > ε

=

ε′ “snervata”

Deformazione dell’armatura inferiore: ε

c

^{: x} = ε

s

^: ( ^x − ^d )

yd c

s

0 . 0035 0 . 00046

300 260 300 x

d

x − ⋅ ε = − ⋅ = < ε

=

ε

In questo caso il coefficiente di riempimento vale β

₀

= 0 . 80 e il coefficiente di baricentro vale κ

₀

= 0 . 40 .

s S S cd 0

yd s

Rd A f x b f A E

N = − ′ ⋅ − β ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ε

45 . 1143 00046

. 0 200000 402

28 . 13 300 300 80 . 0 9 . 373 402

N

_Rd

= − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = − [kN]

−

−

⋅ ε

⋅

⋅

−

⋅ κ

−

⋅

⋅

⋅

⋅ β

′ −

−

⋅

′ ⋅

−

= 2

d h E

A 2 x

f h b x 2 d

f h A

M

_{Rd s yd 0 cd 0 s s s}

( ^{150 40} ) ^{0 . 80 300 300 13 . 28} ( ^{150 0 . 40 300} ) ^{402 200000 0 . 00046} [ ( ^{260 150} ) ]

9 . 373 402

M

_Rd

= − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − −

15 . 41

M

_Rd

= [kNm]

PUNTO 9

30 0 26 0

300

ε ^{su = 0.01}

ε ^yd

ε ^cu =0.0035 ε ^c1

f

yd

f

cd

Condizioni

Deformazione nel calcestruzzo: ε

_c

= ε

_c1

= ε

_s

= ε′

_s

= 0 . 002

yd S cd yd

s

Rd A f h b f A f

N = − ′ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅

1496 9

. 373 402 28 . 13 300 300 9 . 373 402

N

_Rd

= − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ = − [kN]

Dominio di resistenza

-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

-1600 -1400 -1200 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400

N - [kN]

M - [k N m ]

Qui di sopra si è riportato il diagramma del dominio di resistenza del pilastro 30 x 30.

Il diagramma rosso rappresenta il dominio costruito manualmente, il diagramma viola rappresenta il dominio costruito con il programma “Sezioni in C.A.” dell’Prof. Ing. Piero Gelfi ed infine il diagramma blu è stato costruito con il modulo “Section Designer” del SAP. Il digramma costruito manualmente e quello costruito con il programma “Sezioni in C.A.” sono praticamente equipollenti, mente quello costruito con il SAP è leggermente più cautelativo.

2. Creazione e analisi del modello F.E.M.

2.1. Creazione della sezione con Section Designer

• File New model

• Selezionare l’unità di misura [kN m C]

• Nel campo Select Template scegliere Blank

2.2. Impostazione dei materiali e della sezione

• Per assegnare il codice di verifica (Eurocodice 2) selezionare: Options Preferences Concrete Frame Design e impostare i parametri come illustrato nella seguente slide:

Number of Interaction Curves:

Serve a definire il numero di curve che serviranno a costruire il dominio tridimensionale di resistenza.

Number of Interaction Points:

Serve a definire il numero di punti con cui ciascuna curva sarà costruita.

2 1 3

5A 4 5C 5B

6

7

8

9

• Per impostare le proprietà del calcestruzzo Classe 25/30 seguire la procedura seguente: Define Materials CONC Modify/Show Material e impostare i parametri come illustrato nella seguente slide:

• Per impostare la sezione del pilastro seguire la procedura seguente: Define Frame Sections Add SD Section Add New Property

• Impostando nel campo Design Type l’opzione Concrete Column e selezionando l’opzione Reinforcement to be Checked ci si assicura che il software verifichi le orditure predisposte.

• Nel campo Define/Edit/Show Section premere il testo Section Designer.

• Nell’ambiente di lavoro del Section Designer selezionare Draw Draw Solid Shape Rectangle , posizionarsi nel baricentro degli assi e premere il tasto sinistro del mouse per inserire la sezione.

• Premendo con il tasto destro del mouse all’interno della sezione è possibile modificare i parametri della stessa in

modo da impostarli per il calcolo del dominio di resistenza:

• Per inserire i ferri verticali di orditura procedere nel modo seguente: Draw Draw Reinforcing Shape Single Bar, posizionarsi nel baricentro degli assi e premere il tasto sinistro del mouse per inserire il ferro.

• Premere con il tasto destro del mouse all’interno del ferro per modificarne le caratteristiche e la posizione, come

indicato nella seguente slide:

• Ripetere la procedura in modo da inserire i ferri in tutti i quattro spigoli del pilastro:

• Per visualizzare ed esportare il dominio di resistenza è necessario selezionare Display Show Interaction Surface

• Selezionando il comando Edit Copy All è possibile esportare la tabella dei valori di resistenza su excel .

FINE SCHEDA 4