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FIRMA PER CONSEGNARE FIRMA PER RITIRARSI

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Academic year: 2021

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Calcolo Numerico Informatica

TEST del 22 SETTEMBRE 2017

Cognome e nome Matricola

Postazione

FIRMA PER CONSEGNARE FIRMA PER RITIRARSI

Si raccomanda agli studenti di commentare adeguatamente script e function Matlab.

• Si scriva una funzione Matlab, di nome newton.m, che implementi il metodo di Newton per risolvere numericamente, sotto opportune condizioni, equazioni nonlineari del tipo f (x) = 0. La funzione deve avere come dati d’ingresso

(a) la funzione f → f;

(a) la funzione f (1) → f1;

(b) un valore iniziale x0;

(c) la tolleranza toll del criterio d’arresto;

(d) il numero massimo di iterazioni nmax che possono essere eseguite (il dato di ingresso x0 ´ e da considerare come 1 iterazione svolta dal metodo).

La funzione deve avere quali dati in uscita

(a) Il vettore colonna xv contenente x0 e le successive iterate calcolate dal metodo;

(b) il vettore colonna fxv contenente le corrispondenti valutazioni della funzione f nel punto x0 e nelle successive iterate calcolate dal metodo (ovveri i residui);

(c) il numero n di iterazioni effettuate (inclusa x0);

(d) una variabile di controllo flag che indichi un’eventuale derivata nulla a qualche iterata o l’uscita dal ciclo per raggiungimento del numero massimo di iterazioni nmax (contando x0 come iterazione).

Quale criterio di arresto per il metodo di Newton si utilizzi |f |f (x

0

(x

nn

)| )| < toll.

La function deve avere la seguente intestazione:

% NEWTON Metodo di Newton

% Uso:

% [xv, fxv, n, flag] = newton (f, f1, x0, toll, nmax)

%

% Dati di ingresso:

% f: funzione (inline function)

% f1: funzione (inline function), derivata di f

% x0: valore iniziale

% toll: tolleranza richiesta dal criterio d’arresto;

% nmax: massimo numero di iterazioni permesse

%

% Dati di uscita:

% xv: vettore colonna contenente le iterate

% fxv: vettore colonna contenente i corrispondenti residui

% n: numero di iterazioni effettuate

% flag: se flag = 1 si e’ verificata un’eventuale derivata nulla a qualche iterata o

% si sono raggiunte le nmax iterazioni, flag=0 altrimenti.

• Si scriva uno script newtonscript.m per determinare un approssimazione della soluzione dell’equazione nonlineare f (x) = log(x) + x = 0, utilizzando il metodo di Newton con x0=1 ovvero richiedendo l’esecuzione della function precedentemente scritta.

• Le funzioni f, f1 devono essere generate con il comando inline. Si utilizzino toll= 10 −8 e nmax= 100.

• Lo script deve produrre un grafico (scala semi-logaritmica sull’asse y) che contenga come ordinate i valori assoluti residui contenuti nel vettore fxv, e come ascisse i corrispondenti indici, ovvero l’indice della componente del vettore fxv in cui si trova il residuo. Si salvi come file figura.jpg il grafico ottenuto.

• Si scriva una function tabella.m, avente in input le variabili xv, fxv che scriva su un file esterno di nome tabella.txt una tabella contenente nella prima colonna l’indice delle iterate del metodo (inclusa x0), nella seconda colonna il corrispondente valore dell’approssimazione, componente di xv, nella terza i valori assoluti dei residui fxv.

Le componenti di xv, fxv devono essere scritte in notazione esponenziale con una cifra prima della virgola e 15 dopo

la virgola. Una volta scritta tabella.m, la si richiami in newtonscript.m.

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