PRIMA PROVA PARZIALE DI
FONDAMENTI DI ANALISI MATEMATICA 2
Ing. dell’Energia e dei Processi Industriali e dei Materiali (II Squadra) A.A. 2010/2011, 27 Novembre 2010
Tema 1
Cognome e Nome: ...
Matricola: ...
1 2
ESERCIZIO 1. [8.5 punti] Si consideri la forma differenziale ω(x, y) = 1
1 + x − y2dx− 2y
1 + x − y2dy.
(i) Determinare se ω `e chiusa (fornendone motivazioni) .
(ii) Determinare se ω `e esatta nelle componenti connesse del suo dominio (e se ne calcoli eventualmente un potenziale).
(iii) Data la curva γ avente per sostegno la frontiera dell’insieme
(x, y) ∈ R2 : 9|y| ≤ x2, 0 ≤ x ≤ 3 , orientata in senso antiorario, si calcoli l’integrale curvilineo
Z
γ
ω= (indicando i passaggi fondamentali).
ESERCIZIO 2. [8.5 punti] Sia f la funzione definita da f (x, y) = ln 3 + 2x2− 2y2.
(i) Determinare gli eventuali punti critici di f .
(ii) Calcolare la matrice Hessiana di f nei punti critici, e determinare la natura dei punti critici di f .
(iii) Si consideri l’insieme
D=
(x, y) ∈ R2 : x2+ y2≤ 1, x ≤ r
y2+ 1 2
,
e si determinino gli estremi della restrizione di f alla frontiera di D (indicando i passaggi fondamentali):
min∂D f = max
∂D f =
(iv) Calcolare l’immagine della restrizione di f all’insieme D:
f(D) =
