Appendice A: Approfondimento sull’impedenza d’ingresso di un’antenna

Appendice A:

Approfondimento sull’impedenza d’ingresso

di un’antenna

Si suppone di disporre di un sistema di trasmissione, costituito da una sorgente di segnale ed un’antenna. Si osserva che il segnale generato dalla sorgente subisce gli effetti delle proprietà circuitali dell’elemento radiante, quindi dell’impedenza d’ingresso dell’antenna.

Si consideri come valore istantaneo del campo elettrico e magnetico, la parte reale delle quantità complesse E exp

( )

( )

ω

ξ j

p= + .

Si osserva che:

• la parte immaginaria di p è legata alla frequenza d’oscillazione del segnale d’ingresso;

• si definisce la parte reale di p , come il tasso di attenuazione dell’ampiezza del campo elettrico o magnetico.

La tensione e la corrente ai terminali d’ingresso di un’antenna dipendono da p , in quanto determinati a partire dai campi E ed H .

Si ricava quindi l’impedenza d’ingresso dell’antenna nel seguente modo:

) ( ) ( ) ( p I p V p Z =

In questa appendice si analizza il comportamento dell’impedenza d’ingresso di un’antenna in funzione della costante d’oscillazione p , quindi della frequenza. Si ricorda che tutta la teoria sull’impedenza d’ingresso di un’antenna, riportata all’interno di tale appendice, è contenuta in [2].

A.1 Impedenza d’ingresso di un’antenna in termini di zeri e poli Gli zeri di Z( p) sono quei valori della costante d’oscillazione per cui vale:

0 ) (p =

Z .

Gli zeri dell’ammettenza propria dell’antenna (che sono i poli di Z( p)) invece si ricavano imponendo, 0 ) ( 1 ) ( = = p Z p Y . Si osserva che:

• dagli zeri dell’impedenza d’antenna si ricavano quei valori della costante d’oscillazione tali che la tensione ai terminali d’ingresso dell’antenna è nulla;

• dagli zeri dell’ammettenza d’antenna si ricavano i valori della costante d’oscillazione associati ad una corrente nulla ai terminali d’ingresso dell’antenna.

Di seguito si riportano alcune importanti proprietà [2]:

1. Le costanti d’oscillazione di ogni circuito fisico passivo, devono trovarsi nella parte sinistra, o sull’asse immaginario, del piano complesso;

2. è possibile ricavare un’espressione di Z( p) in termini di poli e di zeri;

3. gli zeri e i poli, di un’impedenza passiva, non dissipativa, caratterizzata da costanti d’oscillazione che si trovano sull’asse immaginario del piano complesso, sono semplici e separati l’uno dall’altro;

4. gli zeri e i poli, di un’impedenza passiva, dissipativa, caratterizzata da costanti d’oscillazione che si trovano sulla metà sinistra del piano complesso, sono complessi coniugati o reali negativi;

5. le costanti d’oscillazione di un’impedenza passiva dissipativa sono caratterizzate da tassi di crescita negativi.

Nel seguito si riporta una generica espressione di Z( p) in funzione dei suoi poli e zeri, )... )( )( ( )... )( )( ( ) ( 3 2 1 3 2 1 p p p p p p m b z p z p z p n a p Z − − − − − − = , si osserva che: • n a e m

b sono coefficienti reali;

• z₁,z₂,z₃,... sono gli zeri;

• p1,p2,p3,... sono i poli.

A.2Esempio: poli e zeri di un dipolo passivo non dissipativo

La posizione dei poli e degli zeri associati all’impedenza d’ingresso di un dipolo passivo non dissipativo, sul piano complesso, può essere ricavata imponendo che, rispettivamente, la corrente e la tensione ai terminali d’ingresso del dipolo sia nulla. Di seguito si riporta una semplice espressione della corrente associata ad un dipolo di lunghezza 2l posto lungo l’asse z:

   < < − + < < − = 0 ) sin( 0 ), sin( ) ( 0 0 z l z l I l z z l I z I

β

β

Ricordando che

β

ω

εµ

εµ

0 )

sin(βl = (tensione e corrente nulle ai terminali d’ingresso del dipolo):

εµ

π

εµ

π

= m=0,2,4...; (poli dell’impedenza d’ingresso dell’antenna).

La seguente figura rappresenta la distribuzione dei poli e degli zeri, di un dipolo passivo non dissipativo di lunghezza 2l, sul piano complesso.

Figura A-1 Poli e zeri di un dipolo di lunghezza 2l disposti sull’asse immaginario.

Si conclude che gli zeri ed i poli associati all’impedenza d’ingresso di un dipolo passivo non dissipativo, sono posti sull’asse immaginario del piano complesso. Tale osservazione è in accordo con il fatto che la parte reale della costante d’oscillazione (ovvero la costante di attenuazione), risulta nulla nel caso di un dipolo privo di perdite. Se il termine ξ, associato alla costante d’oscillazione p , non fosse nullo (dipolo passivo dissipativo) gli zeri ed i poli di Z( p) sarebbero contenuti nella parte sinistra del piano complesso.

A.3 Sviluppo in serie di potenze di un dipolo corto

Si suppone di disporre un dipolo passivo dissipativo, l’impedenza di ogni circuito fisico passivo può essere espressa come segue [2]:

... 1 * 1 1 ... 1 * 1 1 ) ( 2 1 1 2 1 1       −         −       −       −         −       − = p p p p p p pC z p z p z p p Z

Alle basse frequenze il dipolo assume un comportamento di tipo capacitivo, per questo motivo, nella precedente formula, compare il termine pC al denominatore. Analizzando l’espressione di Z( p), si può notare che:

1. se si moltiplicano i fattori che si trovano al numeratore, otteniamo una serie di potenze in p , in cui il termine costante coincide con l’unità.

2. i termini al denominatore possono essere espansi in serie come segue

.... 1 1 ₂ 1 2 1 1 1 p p p p p p + + =       − − ;

3. il prodotto tra le due serie, così ottenute, è anch’esso una serie di potenze in cui il termine costante coincide nuovamente con l’unità.

Si ricava quindi una nuova espressione di Z( p):

.... 1 ) ( = +R+ pL+ Ap2 + pC p Z

In cui: L è il coefficiente che moltiplica il termine della serie con potenza unitaria, A è un coefficiente reale ed R è il termine costante della serie. Si osserva che:

• tale serie converge se il valore assoluto di p è inferiore al valore assoluto del polo più vicino all’origine;

• alle basse frequenze

pC p

Z( )= 1 ;

• all’aumentare della frequenza gli altri termini dell’espansione di Z( p) diventano significativi.

A.4 Calcolo dei termini dell’espansione in serie dell’impedenza d’ingresso del dipolo corto

Si vuole analizzare l’impedenza d’ingresso del dipolo corto in funzione della sola frequenza (Z(jω)), si ottiene: .... 1 ) ( = + +

ω

ω

ω

ω

• il valore di R dipende dalla frequenza;

• il termine R non è legato alla potenza irradiata ma a quella dissipata dal dipolo.

• i parametri A , C, ed L sono indipendenti dalla frequenza. Quindi per un dipolo passivo privo di perdite si ottiene:

.... 1 ) ( = +

ω

ω

ω

ω

in quest’ultima espressione di Z(jω), compaiono termini reali, la cui somma dà come risultato la resistenza d’ingresso del dipolo considerato.

Si riscrive quindi l’espressione precedente nel seguente modo:

.... 1 ) ( = + + j L+ in R C j j Z

ω

ω

ω

La resistenza d’ingresso (R ) di un dipolo corto di lunghezza _in 2l, come osservato nel primo capitolo di tale documento di tesi, coincide con la resistenza di radiazione del medesimo dipolo,

2 2 2 ) ( 80

λ

π

Infine si riportano le espressioni di C ed L [2], per un dipolo corto di lunghezza 2l e raggio del conduttore cilindrico pari ad a:

2 log 1 ) / 2 log( 0 − − = a l l C πε ,       − = 6 11 2 log 3 0 a l l L π µ .

Si ricorda che con

ε

µ

Si conclude che attraverso lo studio approfondito del significato fisico dell’impedenza d’ingresso di un’antenna, risulta possibile trarre informazioni importanti su di essa, come ad esempio la predizione dei valori assunti da tale grandezza in funzione della frequenza.