Trasformazioni di impedenza a banda stretta

Appendice B

Trasformazioni di impedenza a banda stretta

Figura B.1: Circuito risonante parallelo composto da un condensatore C ideale senza perdite e da una induttanza L con perdite, schematizzate dalla resistenza in serie R_s.

La conduttanza del circuito risonante di fig. B.1, vista tra i terminali a − b, `e

G(ω) = 1

Rs+ jωL+ jωC = Rs− jωL

R²_s+ ω²L² + jωC (B.1) e separando parte reale ed immaginaria

G(ω) = R_s

R²_s+ ω²L² + jω



C − L

R²_s+ ω²L²



(B.2)

La risonanza `e definita dalla condizione che G(ω) sia una resistenza pura, quindi che il termine immaginario sia nullo, condizione che si verifica quando `e nullo il termine tra parentesi (o quando ω = 0, ma questa soluzione in questo contesto non interessa):

C − L

R²_s+ ω²L² = 0 (B.3)

Risolvendo questa equazione per ω² si ottiene

ω²= 1 LC



1 −R²_sC L



(B.4)

231

232APPENDICE B. TRASFORMAZIONI DI IMPEDENZA A BANDA STRETTA

Indicando con ω0 = 1/√

LC la frequenza di risonanza che il circuito avrebbe nel caso ideale senza elementi dissipativi, si ottiene

ω² = ω₀²



1 − R²_sC ω²₀L²



= ω₀²

 1 − 1

Q²₀



(B.5)

dove con Q₀ = ω₀L/R_s si `e indicato il fattore di merito della induttanza L con resistenza in serie Rs ed alla frequenza ω0.

Gi`a con un valore di Q<sub>0</sub> pari a 10 si ha che ω differisce da ω<sub>0</sub> per non pi`u dello 0.5% circa.

Alla risonanza, dividendo numeratore e denominatore della parte reale di G(ω) per R²_s e sostituendo ωL/R_s' ω₀L/R_s= Q₀ si ottiene

1/G_r = R_s(1 + Q²₀) ' R_sQ²₀ (B.6) Questo `e il caso pi`u semplice di trasformazione di impedenza effettuata mediante un circuito risonante (fig. B.2). Quando si chiude la porta b sulla resistenza Rs, si `e

Figura B.2: Trasformazione di impedenza effettuata mediante un circuito risonante.

nella situazione del circuito di fig. B.1 ed un generatore collegato alla porta a vede l’impedenza equivalente R_p = R_sQ²₀ data dalla eq. B.6. All’inverso, quando si chiude la porta a su una impedenza R_p, un generatore collegato alla porta b vedrebbe una impedenza equivalente Rs.

Naturalmente queste relazioni valgono solo alla frequenza di risonanza f₀ = ω₀/2π ed in un intervallo intorno a questa dell’ordine di f₀/Q₀ (banda passante del circuito risonante). Questa tecnica di trasformazione di impedenza quindi `e utilizzabile solo nei circuiti a banda stretta. Trova ampia applicazione soprattutto nei circuiti a radio frequenza.

Poich`e il circuito risonante ha solo due gradi di libert`a (L, C), `e possibile scegliere arbitrariamente ω<sub>0</sub> ed una soltanto delle due quantit`a Q₀ e R_p/R_s. Introducendo un ulteriore grado di libert`a, come ad esempio nel circuito a pi-greco di fig. B.3 `e possibile scegliere indipendentemente ω0, Q0 e Rp/Rs.

Figura B.3: Circuito a pi-greco