1.2 Definizioni 1.1 Idrodinamica Capitolo 1 - Brevi richiami sull’argomento -

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Capitolo 1

- Brevi richiami sull’argomento -

1.1 Idrodinamica

Studia le leggi che regolano il moto dei liquidi relativamente a:

- Particelle che lo costituiscono.

- Particelle delle pareti con cui viene a contatto.

La caratteristica fondamentale dei liquidi che sta alla base dell’Idrodinamica è l’attrito. I tipi di attrito delle particelle liquide sono:

- Interno: Fra particella e particella a contatto (viscosità). - Esterno: Fra particelle e pareti della conduttura.

Lo studio avviene considerando il comportamento del liquido come “perfetto” cioè considerando le particelle prive di attrito.

Le leggi studiate in assenza di attrito si riportano alla realtà considerando opportuni coefficienti correttivi che tengono conto della:

- Viscosità: Resistenza allo scorrimento esercitata fra le particelle. - Scabrezza: Ruvidezza delle pareti del condotto.

- Tipo di moto.

1.2 Definizioni

La posizione delle particelle di una massa liquida in moto (corrente) è definita da: - Filetto: Percorso lineare della singola particella (traiettoria).

- Vena: Insieme di più filetti adiacenti e paralleli.

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Un liquido perfetto, al variare della velocità v e della pressione p, può muoversi con moto:

- Uniforme: Pressione e velocità costanti nel tempo e nello spazio.

- Permanente: Pressione e velocità costanti nel tempo e variabili nello spazio. - Vario: Pressione e velocità variabili nel tempo e nello spazio.

In particolare, all’ interno di una conduttura aperta o chiusa, il moto può essere:

- Laminare: Traiettorie ben definite, regolari e parallele. - Turbolento: Traiettorie caotiche .

1.3 Portata

La portata di un liquido ideale, in moto con velocità U, attraverso la sezione A è: Q = V A ( _{/ sec)}

Nei liquidi reali la velocità, a causa dell’attrito con le pareti e tra filetti adiacenti, non è costante in tutti i punti della sezione ma varia da zero, a contatto con la parete, a vMax nel centro del tubo. Nei canali, essendo a pelo libero, il centro è in funzione del

raggio medio (rapporto tra sezione trasversale liquida e contorno bagnato): RM =

Per i liquidi reali si adotta la velocità media [Vm ],

quindi:

Q = Vm A ( / sec)

1.4 Legge della continuità

Una corrente di liquido è detta a regime permanente quando in ogni punto della stessa la velocità e la pressione si mantengono costanti al variare del tempo.

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“ In una corrente liquida a regime permanente attraverso una qualsiasi sezione la portata risulterà costante

1.5 Equazione di continuità.

Poiché le particelle di una corrente procedono in aderenza, esse non creeranno spazi vuoti, per cui la portata liquida non varia al variare

Q = Q1 = Q Se, però, è: A1 ≠ A₂ Deve, necessariamente,

L’equazione di continuità si esprime come

1.6 Equazione di Bernoulli

L'equazione di Bernoulli, citata in seguito, è il cuore di tutta l'idrodinamica. Essa altro non è che una formulazione matematica della legge di

dell'energia totale, che sfrutta parametri quali l'altezza di partenza e di arrivo del flusso d'acqua, la velocità di partenza e di arrivo, la pressione di partenza e di arrivo, la densità e l'accelerazione di gravità.

Abbiamo quindi altezza

É bene ricordare, tuttavia, che tale equazione deve sottostare a delle ipotesi: ci si deve trovare, infatti, nell

incomprimibile.

n una corrente liquida a regime permanente attraverso una qualsiasi sezione la portata risulterà costante” .

Equazione di continuità.

Poiché le particelle di una corrente procedono in aderenza, esse non creeranno spazi vuoti, per cui la portata liquida non varia al variare della sezione della conduttura:

= Q2 = cost.

e Q1= Q2

Deve, necessariamente, essere: V1 ≠ V₂

continuità si esprime come :

=

Equazione di Bernoulli

L'equazione di Bernoulli, citata in seguito, è il cuore di tutta l'idrodinamica. Essa altro non è che una formulazione matematica della legge di

dell'energia totale, che sfrutta parametri quali l'altezza di partenza e di arrivo del flusso d'acqua, la velocità di partenza e di arrivo, la pressione di partenza e di arrivo,

erazione di gravità.

Abbiamo quindi altezza geodetica, altezza piezometrica e altezza cinetica.

É bene ricordare, tuttavia, che tale equazione deve sottostare a delle ipotesi: ci si deve trovare, infatti, nelle situazioni di flusso no viscoso, stazionario, irrotazionale ed

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n una corrente liquida a regime permanente attraverso una qualsiasi sezione la

Poiché le particelle di una corrente procedono in aderenza, esse non creeranno spazi della sezione della conduttura:

L'equazione di Bernoulli, citata in seguito, è il cuore di tutta l'idrodinamica. Essa altro non è che una formulazione matematica della legge di conservazione dell'energia totale, che sfrutta parametri quali l'altezza di partenza e di arrivo del flusso d'acqua, la velocità di partenza e di arrivo, la pressione di partenza e di arrivo,

geodetica, altezza piezometrica e altezza cinetica.

É bene ricordare, tuttavia, che tale equazione deve sottostare a delle ipotesi: ci si , stazionario, irrotazionale ed

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1.7 Teorema di Bernoulli.

Una particella fluida in movimento possiede tre Energia: è la capaci

Energia = Lavoro Le tre aliquote di energia i

velocità [V], riferite al peso unitario

- Posizione ( h1):

Rispetto alla quota di riferimento (0.00), dovuta al su peso (corrispondente alla Potenziale):

- Pressione ( h2):

Rappresenta la pressione in [B] riguarda il liqu

coinciderebbe con [H]

fosse in quiete (come nel serbatoio), ma diminuisce, cominciando da [A], in quanto l’aliquota [

in velocità. E

- Cinetica (h3):

Dovuta alla velocità acquisita a scapito del dislivello:

Poiché l’energia si può convertire ma non distruggere la somma delle 3 aliquote deve essere costante; per un liquido perfetto:

i Bernoulli.

a fluida in movimento possiede tre forme di energia. è la capacità di fare lavoro.

= Lavoro = Forza x Spostamento = Peso x Altezza di caduta

aliquote di energia in corrispondenza della sezione [B], dove l’acqua ha , riferite al peso unitario [P] = 1, sono:

Rispetto alla quota di riferimento (0.00), dovuta al su peso (corrispondente alla Potenziale):

E1 = P h1 = h1

Rappresenta la pressione in [B] e riguarda il liquido in moto; coinciderebbe con [H] se il liquido fosse in quiete (come nel serbatoio), ma diminuisce, cominciando da [A], in quanto l’aliquota [ h3] si trasforma

E2 = P h2 = h2

Dovuta alla velocità acquisita a scapito del dislivello:

E3 = m V 2

energia si può convertire ma non distruggere la somma delle 3 aliquote costante; per un liquido perfetto:

H0 = E1+ E2+ E3= cost. C ap it ol o :1 4 Altezza di caduta = P h. [B], dove l’acqua ha

Rispetto alla quota di riferimento (0.00), dovuta al su peso [P] in quel punto

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1.8 Legge di Torricelli

La legge di Torricelli afferma che la velocità di un fluido in uscita da un foro (di sezione molto piccola rispetto alle dimensioni del recipiente) è pari al alla radice quadrata del doppio prodotto dell'accelerazione di gravità e della distanza [h] fra il pelo libero del fluido e il centro del foro che è stato praticato.

La velocità è uguale a quella che avrebbe il fluido durante una caduta libera dall'altezza [h].

L'equazione di Torricelli può essere ottenuta, calcolando il differenziale di questa formula, a meno di una costante arbitraria (che è la velocità iniziale Vi ). Gli unici

termini variabili sono la velocità [V] e l'altezza [h]. La velocità di deflusso è:

V3 = 2g H h

Detta [A] la sezione del tubo,

La Portata è: Q = V3 A

1.9 Perdite di carico

Il Teorema di Bernoulli vale per liquidi perfetti, cioè con viscosità nulla (senza attrito) e in regime permanente (pressione e velocità costanti nel tempo e variabili nello spazio).

Per i fluidi reali occorre considerare le perdite di carico z generate da:

a) Viscosità interna fra le particelle. b) Attrito con le pareti.

c) Brusche variazioni di sezione e direzione, presenza di ostruzioni.

Le perdite di tipo ;

(a) e (b) sono dette “continue”, (c) “localizzate”.

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1.10 Contrazione della vena fluida

Consideriamo un serbatoio in cui sia presente un foro sulla superficie laterale del serbatoio stesso. Si vede sperimentalmente che la sezione del getto liquido che esce dal foro è minore della sezione del foro: questo fenomeno è chiamato vena contratta. La contrazione della vena fluida è graduale, e da una certa distanza dal foro non si ha più contrazione: la sezione che corrisponde a questa distanza è detta sezione

contratta. Si definisce coefficiente di contrazione [Cc ] il rapporto tra la sezione della

vena contratta [Ac ] e la sezione del foro [A] :

Cc =

Nel caso di foro di dimensioni piccole rispetto al serbatoio e bordo tagliato a 90° (cioè non smussato), Kirchhoff ha ricavato nel 1869 un valore del coefficiente di contrazione pari a 0,61.

Il coefficiente di contrazione è adimensionale e può essere considerato dal punto di vista fisico come un numero di Froude.

1.11 Foronomia

La foronomia è una branca dell'idraulica che esamina il deflusso dei liquidi attraverso orifizi, fori, bocche aperte nelle pareti di un recipiente che può essere serbatoio a pelo libero, un corso d’acqua, un canale; anche il deflusso di una corrente al di sotto di una paratoia parzialmente sollevata, disposta lungo un corso d’acqua per regolarne le portate defluenti, costituisce un fenomeno da includere nel capitolo della foronomia. L'obiettivo principale è la stima della portata smaltita a valle della luce, il cui valore è minore della portata che si avrebbe in assenza di dissipazioni fluidodinamiche, a causa dell'inevitabile perdita di carico che si manifesta in prossimità della luce.

La foronomia si occupa quindi del caso in cui la legge di Torricelli non è valida, ovvero del caso in cui il foro non è di dimensioni trascurabili rispetto al serbatoio. A seconda della posizione del foro si distinguono le Bocche (o Luci) a:

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- Luci a Battente: sono fori con contorno chiuso interamente sommerso rispetto alla superficie libera del liquido contenuto del recipiente o nel bacino di alimentazione; pertanto il liquido viene scaricato da tali luci sotto pressione.

- Luci a Stramazzo: sono aperture il cui contorno è solo parzialmente al di sotto della superficie libera del liquido contenuto nel serbatoio di carico , per cui tale superficie incide la luce stessa; quindi la luce di uno stramazzo o è aperta verso l’alto o è chiusa ma con la parte superiore del contorno al di sopra del pelo libero del liquido.

In ambedue i casi, sia per le lici a battente che per le luci a stramazzo, la corrente defluente dette getto o vena liquida, si sviluppa sotto l’azione della forza peso, in conseguenza di un carico motore o di un dislivello.

1.12 Luci a battente

Si indica con il nome di battente il dislivello tra il pelo libero a monte della luce ed il punto più elevato del contorno della luce, mentre il carico [h] è pari al dislivello tra il pelo libero ed il baricentro della luce.

La luce è detta libera se la vena effluente dal recipiente sbocca nell’atmosfera ed il liquido si raccoglie ad un livello più basso del livello della luce.

Se il getto sbocca in un altro ambiente, la cui superficie libera o si trova a quota superiore al punto elevato della luce o interseca il contorno della luce stessa, la luce è detta rispettivamente totalmente rigurgitata o parzialmente rigurgitata.

A partire dal bordo il getto si distacca dalla parete contraendosi, il grado di contrazione della vena liquida è valutato attraverso la determinazione del coefficiente di contrazione [Cc] pari al rapporto tra la sezione del getto e la sezione della luce;

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C

c

=

Per quanto riguarda la velocità in questo caso non è più verificata, in modo rigoroso, la formula di Torricelli, per cui si tiene conto di un coefficiente di

velocità [Cv] determinato sperimentalmente, ed è pari al rapporto tra la velocità

media del getto nella sezione contratta e la velocità teorica. La portata [Q] di efflusso dipende da

efflusso:

Dove :

- µ = (CA Cv), Coefficiente di efflusso o coefficiente di portata, essa vaia con la

forma della luce e le dimensioni della luce e con il carico [h]. Esprimendo la velocità con la formula di Torricelli, risulta la portata:

V =

1.13 Luci a stramazzo

La portata [Q] di efflusso dipende dalla forma della sezione e dalla velocità di efflusso:

Q = µ Dove:

[h] = Carico dello stramazzo. [L] = Larghezza dello stramazzo. [µ] = 0,41 Coefficiente

legato ai valori di

=

Per quanto riguarda la velocità in questo caso non è più verificata, in modo la formula di Torricelli, per cui si tiene conto di un coefficiente di

] determinato sperimentalmente, ed è pari al rapporto tra la velocità media del getto nella sezione contratta e la velocità teorica.

di efflusso dipende dalla forma della sezione e dalla velocità di

Q = µ v A0 = (CA Cv) v A0

Coefficiente di efflusso o coefficiente di portata, essa vaia con la forma della luce e le dimensioni della luce e con il carico [h].

Esprimendo la velocità con la formula di Torricelli, risulta la portata:

V = Q =

Luci a stramazzo

di efflusso dipende dalla forma della sezione e dalla velocità di

dello stramazzo. = Larghezza dello stramazzo.

Coefficiente di efflusso legato ai valori di h e H. C ap it ol o :1 8

] determinato sperimentalmente, ed è pari al rapporto tra la velocità

lla forma della sezione e dalla velocità di

Coefficiente di efflusso o coefficiente di portata, essa vaia con la forma della luce e le dimensioni della luce e con il carico [h].

Esprimendo la velocità con la formula di Torricelli, risulta la portata:

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1.14 Bocche rigurgitate

Se il pelo libero a valle dello stramazzo sale al di sopra della soglia si ha un comportamento rigurgitato dello stramazzo stesso. In tale caso il livello di monte è influenzato dal livello di valle per cui la portata è funzione di ambedue i livelli. Il rapporto tra

[

2

1

]

è definito rapporto di sommergenza.

La portata [Q] di efflusso dipende dalla forma della sezione, dalla velocità di efflusso e dall’ altezza del rigurgito [h2]. Per una luce parzialmente e totalmente rigurgitate

abbiamo :

Q = μ₂ con [µ’]= 0,8 Q = μ₂ con [µ’] = 0,61

in cui in prima approssimazione il coefficiente [µ’] può essere posto nella forma seguente :

µ’ = k µ

[µ] = coefficiente di deflusso relativo allo stramazzo libero.

[k ] = coefficiente sperimentale correttivo funzione del rapporto di sommergenza e del tipo di stramazzo.