Capitolo 1. Equazioni di Primo Grado

Equazioni di Primo Grado Equazione

Si dice equazione, una uguaglianza tra due espressioni verificata per particolari valori (detti soluzioni) assegnati alle variabili (incognite) in essa contenute. Ad esempio:

3x + 1 = 7 è vera solo per x = 2 x = 2 è soluzione dell’equazione.

Tutta l’espressione che si trova a sinistra dell’uguale si dice primo membro.

Tutta l’espressione che si trova a destra dell’uguale si dice secondo membro.

Risolvere un'equazione significa determinare l' insieme delle soluzioni S, ossia l'insieme di quei particolari valori che, assegnati alle variabili, soddisfano l'equazione trasformandola in uguaglianza vera. Si noti che, a priori, data un'equazione, non sappiamo se esistono soluzioni.

Tra poco vedremo come fare a risolvere un'equazione. Intanto vediamo una prima classificazione delle equazioni in base all'esistenza e al numero di soluzioni.

Un'equazione si dice:

• determinata, se ammette un numero finito di soluzioni (ad esempio: 5x – 3 = 4x+1)

• indeterminata, se ammette infinite soluzioni (ad esempio: 2x + 1 = 2x + 2-1)

• impossibile, se non ammette soluzioni (ad esempio: x + 1 = x – 1).

Equazioni equivalenti

Due equazioni si dicono equivalenti se ammettono le stesse soluzioni. Cioè, se un certo valore dell'incognita è soluzione di una equazione, è soluzione anche per la seconda; e viceversa.

Esempio:

5x – 3 = 2 e 2x + 4 = 6 sono equivalenti perché ammettono la stessa (unica) soluzione x = 1.

A questo punto, per risolvere un'equazione, si dovrà fare attenzione, nel fare i calcoli, a passare dall'equazione data a una ad essa equivalente, e da questa ad un'altra ancora equivalente ecc... Basterà, infine, trovarne le soluzioni e saremo sicuri che queste sono soluzioni anche per quella iniziale. In pratica vogliamo arrivare alla fina a scrivere l’equazione del tipo x uguale a un numero. Quel numero sarà soluzione dell’equazione.

Vediamo quali sono i principi di equivalenza che ci permettono di trasformare l'equazione data in una, ad essa equivalente.

Primo principio di equivalenza (di addizione e sottrazione)

Aggiungendo o sottraendo ad ambo i membri di una equazione una stessa espressione, contenente o no l'incognita, si ottiene un'equazione equivalente alla data.

Come importante conseguenza, si può trasportare un termine da un membro all'altro purché lo si cambi di segno (regola del trasporto).

Ad esempio:

5x – 3 = 2

diventa, sottraendo due ad ambo i membri, 5x-3-2=2-2 da cui 5x-5=0.

Secondo principio di equivalenza (di moltiplicazione e divisione)

Moltiplicando o dividendo ambo i membri di una equazione per una stessa espressione algebrica diversa da zero, contenente o no l'incognita, si ottiene una equazione equivalente a quella data.

Ad esempio:

Si può moltiplicare ambo i membri per 6, ottenendo: 3x + 4 = 5x – 1.

Questa operazione consente di "eliminare" il denominatore.

Questo principio ha due importanti conseguenze.

La prima è che, cambiando i segni a tutti i termini di una equazione, se ne ottiene una equivalente a quella data (significa, infatti, moltiplicare per -1 ambo i membri). La seconda è che, se tutti i termini di una equazione hanno lo stesso denominatore (non contenente l'incognita), esso può essere eliminato¹.

Risoluzione delle equazioni di primo grado

Siamo ora in grado di risolvere un'equazione di primo grado.

Vediamo le operazioni da svolgere per poter risolvere una equazione:

¾ Operiamo i calcoli algebrici necessari per togliere eventuali parentesi e operazioni interne, in modo da ottenere solo termini sia al primo che al secondo membro:

da 3(x – 2) = x + 4 ottengo 3x – 6 = x + 4

¾ Portiamo al primo membro tutti i termini con la x e al secondo tutti i termini noti utilizzando la regola del trasporto:

3x – x = 4 + 6

¾ Sommiamo i termini simili tra loro:

2x = 10

¾ Applichiamo il II principio di equivalenza: dividiamo (se possibile) entrambi i membri per il coefficiente della x:

2 10 2 =2x

¾ Otteniamo così l’equazione del tipo x uguale a un numero, che sarà soluzione dell’equazione:

x = 5 Altro esempio:

conviene ridurre tutto allo stesso denominatore:

2 2 9 10 2

2

3x− = x− x+ moltiplichiamo ambo i membri per 2:

2 9 10 2

3x− = x− x+ porto a sinistra le x e a destra i termini noti:

2 2 9 10

3x− x+ x= + sommo:

4 2x= divido per due:

1 se il denominatore contiene l'incognita, abbiamo di una equazione fratta che va trattata in modo particolare che vedremo più avanti.

x = 2 Soluzione dell’equazione Verifica

Dopo aver risolto un'equazione, è utile verificare di aver fatto bene i calcoli.

Per farlo, basterà prendere il valore (o i valori) trovato e sostituirlo all'incognita nell'equazione di partenza. Se viene un'identità (ad esempio 5=5), il valore trovato è effettivamente soluzione dell'equazione.

• Vediamo un esempio di equazione impossibile:

3x – 4 = 2x + x + 1 0x = 5

Come si vede, l'uguaglianza 0 = 5 non potrà mai essere verificata: l'equazione non ammette soluzioni.

• Infine, il caso di equazione indeterminata:

Facendo il m.c.m. ed “eliminando” il denominatore:

3x – 2 = 12x – 9x – 2 0x =0

Ovvero 0=0, che è sempre verificata. Qualsiasi valore della x è soluzione dell'equazione o, se si preferisce, l'equazione è soddisfatta per qualsiasi valore della x.

Capitolo 2

Equazioni di Secondo Grado

Si dice equazione di secondo grado nell'incognita x ogni equazione del tipo:

ax² + bx + c = 0

con a ≠ 0 (i termini in x² non devono annullarsi altrimenti l’equazione sarebbe di primo grado).

Quella che abbiamo appena scritto è detta Forma Normale (FN) dove a, b e c sono numeri qualsiasi.

Per risolvere una qualsiasi equazione di secondo grado occorre ridurla prima alla FN. Poi, partendo da questa applicare la formula risolutiva:

a ac b

x b

2

2 4

2 , 1

−

±

= −

Come si vede, nella formula compaiono solamente i coefficienti dell'equazione in FN; noti questi, si calcolano immediatamente le radici dell'equazione.

L'espressione che compare sotto radice quadrata nella formula risolutiva: b² −4ac

viene chiamato discriminante (tra poco vedremo cosa "discrimina") ed è generalmente indicato con la lettera greca Δ (delta maiuscolo).

Per cui, d'ora in poi avremo: Δ = b² – 4ac

Le soluzioni di un'equazione di secondo grado dipendono dal valore del discriminante (il delta).

Per l'esattezza, ecco lo schema di riferimento:

™ Δ>0: l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte date dalla formula risolutiva vista sopra.

™ Δ=0: l'equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti della forma: x = –b/2a

™ Δ<0: l'equazione non ammette soluzioni reali.

Esempi:

1) 4x² + 27x – 7= 0

8 841 27±

= −

x quindi: x₁ = –7 x₂ = 1/4 2) 4x² – 4x + 1 = 0

2 1 8 4 8

16 16

4± − = =

= + x 3) x² + x + 1 = 0

Δ = 1 – 4 < 0 Equazione impossibile

Capitolo 3

Sistemi di Equazioni

Considereremo i sistemi di due equazioni in due incognite.

Mettere a sistema due o più equazioni significa trovare le soluzioni in comune tra le equazioni stesse.

La Forma Normale di un sistema di due equazioni in due incognite è:

⎩⎨

⎧

= +

= +

' ' 'x b y c a

c by ax dove a, b, c, a’, b’, c’ sono numeri reali qualsiasi.

Le prime operazioni da svolgere sono quelle di ridurre il sistema in FN. Una volta fatto questo, occorre decidere quale metodo risolutivo applicare. Noi ne vedremo solo uno.

Metodo di sostituzione

Vedremo come applicare il metodo utilizzando un esempio:

⎩⎨

⎧

= +

= +

3 4

1 3 2

y x

y x

occorre isolare in una delle due equazioni una incognita (come se volessimo risolvere l’equazione in quell’incognita) ad esempio scelgo la y nella seconda equazione:

⎩⎨

⎧

−

=

= +

x y

y x

4 3

1 3 2

ora sostituiamo il “valore” di y nell’altra equazione (ovviamente al posto di y):

( )

⎩⎨

⎧

−

=

=

− +

x y

x x

4 3

1 4 3 3 2

otteniamo una equazione (la prima) ad una sola incognita, che sappiamo risolvere:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

=

= x y

x 4 3 5

4

noto il valore di x, lo sostituiamo nella seconda equazione:

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

=

= 5 4 4 3

5 4

y x

ottenendo il valore sia di x, sia di y:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

=

=

5 11 5 4 y

x

Questo sistema è determinato perché abbiamo trovato un valore per la x ed uno per la y. Vediamo altri casi:

¾ Sistema impossibile, si trova quando una delle due equazioni, durante la risoluzione, risulta impossibile;

¾ Sistema indeterminato, si trova quando una delle due equazioni, durante la risoluzione, risulta indeterminata.

Capitolo 4

Equazioni Fratte

Un’equazione si dice fratta (o frazionaria) quando l’incognita è presente al denominatore.

Esempio:

3 3 2

2 1 −

=

− x

x

x 3

21 = +

− x

x

E’ intera E’ fratta

Le operazioni principali da svolgere sono sempre le stesse:

trovare il denominatore comune e moltiplicare ambo i membri per lo stesso denominatore per poter

“eliminare” le frazioni e continuare a lavorare con equazioni intere.

Il problema principale rispetto alle equazioni intere è che il denominatore, contenendo l’incognita, potrebbe anche annullarsi (essere zero)! Occorre imporre le:

condizioni di esistenza (o accettabilità), cioè imporre che i denominatori siano tutti diversi da zero.

Cioè, trovo per quali valori dell’incognita i denominatori si annullano, e scrivo che la x non può assumere questi valori. Una volta risolta l’equazione, dovrò controllare che tra le soluzioni non ci siano anche i suddetti valori, se ci fossero non sarebbero accettabili come soluzioni.

Equazione Intera Equazione Fratta

6 6 2 6

3

12 −

− x = x

x

( )

2 2 3 2 1

+

= + +

−

x x x

x

12x – 3x = 2x – 6 12x – 3x – 2x = –6

7x = –6 7

−6

= x

( ) ( )( )

2 2 3 2

2 1 +

+

= + +

+ − x

x x x

x x

x – 1 = 3x + 6 –2x = 7

2

−7

=

x ACCETTABILE

x + 2 = 0 ⇒ x = –2 C.E.: x ≠ –2

Esempi

⇒ ²

(

) (

)

= + + +

x x

x x

x

x

1) ^x

(

)

il denominatore è zero se: ^x

(

)

è un’equazione di II grado che ha come soluzioni x = 0 e x = –1 quindi le condizioni da imporre sono:

C.E. x ≠ 0 e x ≠ –1

moltiplico ambo i membri per il denominatore e ottengo:

2 + 2x = x + 1 2x – x = 1 – 2

x = –1 soluzione non accettabile!!

Il – 1 non è accettabile come soluzione perché era stato imposto nelle condizioni di esistenza (o accettabilità) che si dovesse escludere lo 0 e il –1.

2) 5

2 1 =

−

x ⇒

( )

2 2 5 2 1

−

= −

− x

x

x

C.E. x – 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ 2

⇒ 1 = 5x – 10 ⇒ –5x = –11 ⇒ 5

=11

x soluzione accettabile.