Capitolo 5 - Analisi Dimensionale
5. ANALISI DIMENSIONALE
Prima di procedere all’elaborazione dei dati ottenuti dagli esperimenti eseguiti e alla conseguente discussione dei risultati, è stato necessario definire dei parametri adimensionali di riferimento, attraverso il ricorso al Teorema di Buckingham- Riabucinski o Teorema P e alla Incomplete Self-Similarity citata da Barenblatt (1987).
I principali parametri utili alla descrizione e alla spiegazione del fenomeno di modificazione del fondo mobile dovuto alla presenza dei Log Vane nel modello sono:
- la massima profondità di scavo zm;
- l’altezza media del tronco di legno costituente la struttura hst;
- la lunghezza della struttura lst ;
- la larghezza del canale B;
- il massimo dislivello tra la quota del pelo libero subito a monte della struttura e quella subito a valle del tratto del Log Vane perpendicolare alla corrente, Δy; - la portata liquida di prova Q;
- la densità del materiale di fondo ρs;
- la densità dell’acqua ρ;
- viscosità dinamica dell'acqua µ; - viscosità cinematica dell'acqua n; - l’accelerazione di gravità g;
- il diametro mediano del materiale di fondo d50.
Perciò l’intero fenomeno può essere schematizzato nella seguente forma:
f (hst, lst, B,Δy, Q, g, µ) = 0 (1)
Osservando che la viscosità cinematica è funzione della temperatura, considerando che le prove sperimentali sono state condotte in un ambiente a temperatura pressoché costante, si può confermare l'invarianza di tale parametro durante le prove.
Pertanto, il legame funzionale di tali grandezze è rappresentato dalla seguente equazione:
F (zm, hst, lst, B,Δy, Q, ρ, ρs, g, d50) = 0 (2) In accordo con il P Teorema di Barenblatt (1987), si può affermare che lo stesso
fenomeno può essere descritto come funzione di n-x parametri adimensionali (P1,
P2, P3, P4, P5, P6, P7) intendendo n come il numero di parametri dimensionali
della funzione originaria e x come il numero di dimensioni fondamentali (o grandezze primarie) presenti in tali parametri:
P1 = F (P2, P3, P4, P5, P6, P7) (3)
Capitolo 5 - Analisi Dimensionale
in cui si è indicato con F un simbolo funzionale. In questo specifico caso si ha:
n = 10 cioè zm, hst, lst, B,Δy, Q, ρ, ρs, g, d50
x = 3 cioè massa [M], lunghezza [L] e tempo [T] perciò nπ = n - x = 7
Scegliendo come dimensionali variabili indipendenti hst, Q. e ρ il primo dei sette
parametri adimensionali che regolano il fenomeno è stato scelto sulla base del principale obiettivo del presente lavoro di tesi di dottorato, che è quello di prevedere la profondità di scavo. La profondità è stata adimensionalizzata dividendola per l’altezza della struttura, ottenendo quindi:
st m
h
z
=
1π
(4)I sei successivi parametri adimensionali sono stati ricavati mediante risoluzione di sistemi a 3 equazioni e 3 incognite.
Deducendo st st
h
l
=
2π
(5) sth
B
=
3π
(6) st yh
Δ
=
4π
(7)ρ
ρ
ρ
π
5=
(
s−
)
(8) 2 6)
(
Q
h
g
⋅
st=
π
(9) sth
d
50 7=
π
(10)Tenendo conto delle equazioni (5) e (6) si ottiene
:
B
l
st=
3 2π
π
(11) 93Capitolo 5 - Analisi Dimensionale
A questo punto è stato possibile considerare il fenomeno come descritto sopra (3), ovvero,
)
,
,
,
,
,
(
50 2ρ
ρ
ρ
−
⋅
Δ
=
st s t s st y st t s t s st mQ
h
g
h
d
h
h
B
h
l
f
h
z
(12)Combinando le equazioni (5), (8), (9) e (10) si ottiene la seguente formula del
parametro adimensionale A50: 2 / 1
)
1
(
1
7 6 5 2 50=
Π
⋅
Π
Π
Π
A
2 / 1⎤
⎡
⎛
−
⎞
=
ρ
ρ
Q
(13)3) può essere riscritta nella forma seguente
50
⎥
⎦
⎢
⎣
⋅
⋅
⎜⎜
⎝
⎟⎟
⎠
⋅
⋅
ρ
s st sth
g
d
l
Infine la relazione funzionale (
)
,
,
,
(
A
50h
B
h
h
st y st t s t s stΔ
l
l
mz =
φ
(14) 3 n n.zero o infinito, il fenomeno è esp alla seguente relazione
2 . (15)
un simbolo funzionale e una costante numerica. ry nel parametro Pn secondo
arenblatt (1979, 1987).
Self-Similarity per il gruppi adimensionale La forma dell'equazione matematica (14) si deduce utilizzando la teoria Self-Simalirity in accordo con Barenblatt (1979, 1987) e Ferro (1997). Un fenomeno è
definito come self-simalir in un dato gruppo adimensionale Pn quando la relazione
funzionale P1 = F (P2, P , ..., P ) che rappresenta il fenomeno fisico
indipendente di P è
Quando la funzione F ha un limite pari a resso
d
P = P1 n 1 3 n-1
in cui si è indicato con F
e F (P , P , ..., P )
1
Questa variabile risulta incomplete self-simila B
Applicando la condizione Incomplete
lst/hst, A50, lst/B si deduce la seguente equazione
Capitolo 5 - Analisi Dimensionale b a b a m
A
k
c
A
h
z
50 50 1)
⋅
=
⋅
⋅
t s y st t s t s stB
h
l
h
l
(
⋅
⋅
Δ
=
=
Π
(16) in cui t s t s y st t sh
B
l
h
l
k
=
⋅
⋅
Δ
, a, b e c sono costanti numeriche da valutarene di determinare la massima lunghezza di scavo, il rghezza dello scavo stesso, la posizione planimetrica del avo e la massima lunghezza della duna formatasi onseguentemente allo scavo.
, utilizzato per l’elaborazione morfologica, è stato o e Ferro (2004) ed è definito dalla seg relazione, come sopra analizzato,
sperimentalmente, mentre A50 è un parametro funzione delle caratteristiche della
corrente, della struttura e del materiale di fondo
.
Con quest’ultima relazione possono essere determinate la massima profondità di scavo per differenti condizioni idrauliche e di geometria della struttura. Con la sostituzione delle variabili nel processo di analisi dimensionale, la relazione trovata può essere utilizzata anche al fi
massimo sviluppo in la punto di massimo sc c
5.1 Il parametro A50
Il parametro adimensionale A50
introdotto in letteratura da D’Agostin uente
5 . 0 50
(
1
)]
[
[
l
h
st⋅g
d
⋅G
s−
(17)ezza della struttura; 50
⋅
⋅
=
Q
stA
stdove, come sopra riportato,
- hst è l’altezza media del tronco di legno costituente la struttura; - lst èla lungh
-
3
Q
Q
st=
è la portata liquida di prova che investe la struttura occupante il canale;-
ρ
ρ
s sG
=
è il rapporto tra la densità del materiale di fondo e dell'acqua;’A50 è un parametro che tiene conto contemporaneamente sia delle caratteristiche
geometriche che idrauliche del modello utilizzato. Inoltre attraverso il Gs viene
preso in considerazione anche la granulometria costituente il letto mobile. - g è l’accelerazione di gravità;
- d50 è il diametro mediano del materiale di fondo.
L
