Due masse in equilibrio sul fondo di un bacino

Due masse in equilibrio sul fondo di un bacino

Figure 1:

In fondo ad un bacino d’acqua, alla profondit`a h = 20m, `e posato un corpo rigido composto da due cubi pieni di spigolo s = 0.5m, uno di ferro (ρ_{F e}= 7.86 gr/cm³) e l’altro di alluminio (ρ_Al = 2.70 gr/cm³), collegati in alto, a met`a del lato, da una barra di massa trascurabile e lunghezza l = 1m (distanza fra i cubi). Determinare:

1. in quale punto deve essere agganciato il cavo in modo che il corpo venga sollevato mantenendo la barra orizzontale (si trascuri quello che avviene all’istante del distacco dal suolo);

2. il lavoro necessario a far affiorare la barra;

3. la posizione di equilibrio del corpo una volta che sia totalmente solle- vato dall’acqua. In questa posizione, quale `e il cubo pi`u basso?

Soluzione 1

Sui due cubi agiscono le forze peso e la spinta di Archimede. Con- siderando un asse x diretto lungo la barra, con origine nel punto di mezzo e

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verso negativo definito dal cubo di Ferro, asse z diretto verso l’altro e asse y definito di conseguenza, e quindi uscente dal foglio rispetto alla figura 1, l’equilibrio dei momenti si scrive:

(ρF e− ρ_H2O)(l + s

2 + x) − (ρ_Al− ρ_H2O)(l + s

2 − x) = 0 da cui

x = − ρF e− ρ_Al

ρF e+ ρ_Al− 2ρ_H2O ·l + s

2 = −45.2cm (1)

Soluzione 2 Il lavoro `e dato da

L = F^toth = (ρ_{F e}+ ρ_Al− 2ρ_H2O)V gh = 210kJ (2)

Soluzione 3

Quando il corpo e’ fuori dall’acqua agiscono solamente le due forze peso, che possiamo considere applicate al centro dei due cubi. Prendendo per origine del sistema cartesiano il punto di aggancio del cavo alla barra, quando la barra `e orizzontale, i due centri sono individuati da due raggi vettori di modulo:

r_F = _ρ ^ρAl−ρH2O

F e+ρAl−2ρ_H2O(l + s) = 38.9cm r_A= _ρ ^{ρF e−ρH2O}

F e+ρAl−2ρ_H2O(l + s) = 122.8cm e formano un angolo con la barra di modulo:

tan α_F = _l+s+2x^s = 0.839 → α_F = 0.698

tan α_A= _l+s−2x^s = 0.208 → α_A= 0.205 (3) Fuori dall’acqua, la barra forma un angolo θ con l’orizzontale, dove usi- amo la solita convenzione di misurare l’angolo a partire dal semiasse x posi- tivo, lato dal quale si trova il cubo di alluminio (vedere figura 2). Ne risulta che il vettore ~rA forma un angolo θ − αA con l’asse x, mentre il vettore

~r_F forma un angolo π + θ + α_F, per cui le loro proiezioni sull’asse x, che rappresentano i bracci delle forze peso, risultano:

r_Acos(θ − α_A) > 0

rF cos(π + θ + αF) = −rF cos(θ + αF) < 0 di conseguenza l’equilibrio dei momenti si scrive:

r_Aρ_Alcos(θ − α_A) − r_Fρ_{F e}cos(θ + α_F) = 0 (4) Introducendo la variabile adimensionale

 = r_Fρ_{F e}

r_Aρ_Al = ρ_{F e}(ρ_Al− ρ_H2O)

ρ_Al(ρ_{F e}− ρ_H2O) = 1 − ρ_H2O/ρ_Al 1 − ρ_H2O/ρ_{F e} < 1 2

Figure 2:

e sviluppando i coseni, si arriva alla seguente espressione per l’angolo di equilibrio θ:

tan θ =  cos αF − cos α_A

 sin αF + sin αA

= −0.343 → θ = −18.9^o (5)

Essendo θ < 0, la barra pende dalla parte del cubo di alluminio.

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