Due masse collegate da una molla

Due masse collegate da una molla

Si descriva il moto di due masse m₁ e m₂ appoggiate su un piano orizzontale senza attrito collegate da una molla di massa nulla avente costante elastica k e lunghezza a riposo l₀. Si assuma che il moto avvenga solamente lungo la direzione individuata dalle due masse.

Cosa cambia se le due masse cadono verticalmente? Di nuovo si consideri il moto solamente lungo una direzione.

Soluzione 1

Consideriamo le due masse poste sull’asse x, e siano x₁ e x₂ le loro coordinate, x₂ > x₁. L’unica forza che agisce sulle masse `e quella esercitata dalla molla:

 m₁x¨₁ = k(x₂− x₁− l₀)

m2x¨2 = −k(x2− x1− l0) (1)

Per trovare il moto conviene sommare le due equazioni e poi sottrarle, una volta diviso per le masse. Il sistema diventa:







m₁x¨₁+ m₂x¨₂ = 0

¨

x₂− ¨x₁ = −k(x₂− x₁− l₀) ·

 1 m₁ + 1

m₂

 (2)

Per capire meglio la soluzione, introduciamo le seguenti quantit`a:

X_G= m₁x₁+ m₂x₂ m₁+ m₂ x = x2− x1

µ = m₁m₂ m₁+ m₂

(3)

X_G`e il centro di massa del sistema, mentre µ `e la cosiddetta massa ridotta del sistema.

Risulta:

 (m₁+ m₂) ¨X_G = 0

µ¨x = −k(x − l₀) (4)

Da cui se ne ricava che il centro di massa delle due masse ha accelerazione nulla, e quindi o `e fermo o si muove di velocit`a costante. Intorno ad esso le masse oscillano e la distanza relativa x(t) `e descritta dall’oscillazione di un singolo corpo di massa µ, con l’altro estremo della molla fisso.

Quindi:

x(t) = A sin(ωt + φ) + l₀ (5)

1

con ω² = k/µ e con i parametri A e φ determinati dalle condizioni iniziali. Il termine l₀ a secondo membro `e una soluzione particolare dell’equazione differenziale completa.

Soluzione 2

Se le due masse stanno cadendo verticalmente si ha:

 m₁x¨₁ = k(x₂− x₁− l₀) + m₁g

m2x¨2 = −k(x2− x1− l0) + m2g (6) dove l’asse x in questo caso `e verticale e diretto verso il basso, con x<sub>2</sub> > x<sub>1</sub>, cio`e m₂ pi`u in basso rispetto a m1.

Operando come nel caso precedente, si ha:

 (m₁+ m2) ¨XG = (m1 + m2)g

µ¨x = −k(x − l₀) (7)

In questo caso il centro di massa “cade” con una accelerazione g, mentre la distanza relativa fra i corpi `e data dalla stessa relazione trovata per il caso orizzontale.

x(t) = A sin(ωt + φ) + l₀ (8)

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