Profondit` a di un pozzo
Si vuole misurando la profondit`a di un pozzo lasciando cadere una pietra ed ascoltando il suono dopo che la pietra ha colpito il fondo. Quale `e la profondit`a h se il suono viene sentito dopo un intervallo di tempo τ ?
Soluzione
Il tempo di caduta τc `e legato alla profondit`a h dalla relazione:
τc= s
2h
g (1)
Il suono si propaga a velocit`a vs, per cui il tempo di propagazione dal fondo al bordo del pozzo `e τs= h/vs. L’intervallo di tempo totale `e:
τ = h vs
+ s
2h
g → h +
s 2v2s
g ·√
h − vsτ = 0 (2)
Questa `e una equazione di secondo grado in√
h che ammette come unica soluzione accettabile il valore:
√ h = −
s vs2 2g +
s v2s
2g + vsτ = s
v2s 2g
r
1 +2gτ vs
− 1
(3) Per “alte” velocit`a del suono, pi`u precisamente per 2gτv
s << 1, possiamo utilizzare l’approssimazione:
√1 + x = 1 +x 2 −x2
8 + o(x3) (4)
Si ricava:
√ h '
s v2s 2g
gτ vs
−g2τ2 2vs2
=r g 2· τ
1 −gτ
vs
(5) Per trovare l’altezza h eleviamo al quadrato e, trascurando il termine in (gτ /vs)2, si ha:
h ' 1 2gτ2
1 −gτ
vs
(6)
1
Il primo termine fra parentesi `e il risultato che si avrebbe se trascurassimo il tempo di propagazione del suono, il che equivale a porre vs = ∞. Per capire l’effetto di correzione del secondo termine possiamo usare i seguenti valori numerici: τ = 3s, vs= 300m/s, g = 10m/s. Risulta:
gτ vs
= 0.1 e
h = 45m · (1 − 0.1) = 40.5m
Quindi l’effetto del tempo finito di propagazione del suono porta ad una correzione non trascurabile del 10%. L’ulteriore correzione che abbiamo trascurato `e dell’ordine di 0.12 = 0.01 = 1%.
Si noti che dopo tre secondi la velocit`a (ideale, cio`e trascurando l’attrito) del sasso `e di 30m/s, cio`e, appunto, dell’ordine del 10% della velocit`a del suono.
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