A.A. 2018/2019 Istituzioni di Analisi Matematica

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A.A. 2018/2019

Istituzioni di Analisi Matematica

Stampato integrale delle lezioni

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Massimo Gobbino

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Indice

Lezione 01. Presentazione degli obiettivi del corso. Metodo indiretto nel calcolo delle variazioni: variazione di un funzionale lungo una curva, derivata secondo Ga- teaux. Metodo diretto nel calcolo delle variazioni: compattezza, semi-continuit`a, coercivit`a, teorema di Weierstrass rispetto ad una nozione di convergenza. . . 6 Lezione 02. Introduzione al metodo indiretto nel calcolo delle variazioni. Forme inte-

grali e differenziali della variazione prima. Equazione di Eulero-Lagrange. Studio esplicito di tre casi modello di funzionali integrali dipendenti da potenze della derivata. Caso di una Lagrangiana (strettamente) convessa dipendente dalla sola derivata. . . 12 Lezione 03. Lemma fondamentale del calcolo delle variazioni e lemma di Du Bois

Reymond (setting classico e setting Lebesgue): enunciato, possibili dimostrazioni, discussione di possibili varianti. . . 17 Lezione 04. Nascita delle condizioni al bordo per le equazioni di Eulero-Lagrange.

Esempi che portano a condizioni di Dirichlet, di Neumann, e periodiche. Esempio con derivate di ordine superiore al primo. . . 22 Lezione 05. Equazione di Eulero-Lagrange per una Lagrangiana generale: forme in-

tegrali, forma differenziale classica, alla Du Bois Reymond, alla Erdmann per il caso autonomo. Discussione delle ipotesi di regolarit`a necessarie per le varie forme.

Minimalit`a via convessit`a. . . 28 Lezione 06. Variazione prima di funzionali con integrali multipli: integrale di Dirichlet e

Laplaciano, equazione di Eulero-Lagrange in forma di divergenza, derivata normale al bordo e nascita di condizioni al bordo di Neumann. . . 34 Lezione 07. Come dimostrare che un punto stazionario `e un punto di minimo globale:

utilizzo della convessit`a o di un opportuno funzionale ausiliario. Esempi di esistenza e non esistenza del minimo per una Lagrangiana non convessa dipendente dalla sola derivata. Discussione sullo spazio in cui ambientare i problemi di minimo. . . 40 Lezione 08. Variazione interna (orizzontale) di un funzionale integrale. Argomento di

troncamento. Esempi finali di metodo indiretto. . . 46 Lezione 09. Introduzione agli spazi di Hilbert. Definizione di base Hilbertiana (siste-

ma ortonormale completo). Ogni spazio di Hilbert separabile ammette una base Hilbertiana. Componenti di una vettore rispetto ad una base Hilbertiana. Rap- presentazione di norma e prodotto scalare in termini di componenti: enunciato e lemmi utili per la dimostrazione. . . 51

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Lezione 10. Dimostrazione della rappresentazione di norma e prodotto scalare in termini di componenti. Convergenza debole in spazi di Hilbert: definizione, prime propriet`a, passaggio al limite nei prodotti scalari con una convergenza forte e una debole. Convergenza debole come convergenza delle componenti rispetto ad una base Hilbertiana. . . 57 Lezione 11. Semi-continuit`a della norma rispetto alla convergenza debole in uno spazio

di Hilbert. Compattezza debole delle palle negli spazi di Hilbert separabili. Osser- vazione che non `e lecito scambiare limiti e serie. Assoluta convergenza di serie in spazi di Banach. Accenno alle basi Hilbertiane in spazi non separabili. . . 64 Lezione 12. L2 come spazio di Hilbert. Dimostrazione elementare della completezza

dello spazio l2. Esempio di spazio di Hilbert non separabile. Esempio di successione di funzioni che converge debolmente ma non fortemente in L2. . . 69 Lezione 13. Derivata debole: definizione W (mediante integrazione per parti) vs defini-

zione H (mediante approssimazione). Principali propriet`a ed esempi. Dimostrazione che le derivate H-deboli sono derivate W-deboli. Definizione W di spazi di Sobolev in dimensione uno (su un intervallo). . . 74 Lezione 14. Definizione H (mediante approssimazione e mediante completamento astrat-

to) di spazi di Sobolev in dimensione uno. Le funzioni di Sobolev sono le primitive delle loro derivate deboli. Dimostrazione che W `e contenuto in H. Le funzioni di Sobolev sono Holderiane. Nella definizione H la convergenza delle funzioni `e anche uniforme. . . 80 Lezione 15. Road map del metodo diretto: formulazione debole negli spazi di Sobolev,

compattezza dei sottolivelli rispetto ad un’opportuna nozione di convergenza, se- micontinuità, recupero della regolarità (passo iniziale e bootstrap). Primo esempio di applicazione. . . 86 Lezione 16. Discussione generale dei teoremi di semicontinuità per funzionali integrali

(caso di uniforme convergenza e Lagrangiana continua, caso di convergenza debole e Lagrangiana convessa). Discussione generale delle strategie per mostrare la compattezza dei sottolivelli (come ottenere stime integrali sulle derivate e uniformi sulle funzioni). . . 92 Lezione 17. Approccio variazionale ai problemi al bordo per equazioni differenziali

di ordine due: esistenza, regolarità, unicità sotto ipotesi di monotonia/convessità (dimostrata sia via unicità del punto di minimo, sia guardando direttamente l’e- quazione). . . 98 Lezione 18. Adattamento dell’approccio variazionale ad equazioni con diverse con-

dizioni al bordo di tipo Dirichlet/Neumann. Regolarità della soluzione e stretta positività della derivata seconda della Lagrangiana rispetto alla velocità. . . 104 Lezione 19. Esempio motivazionale di funzionale con crescita non quadratica nella

derivata. Definizione di convergenza debole in Lp. In spazi di misura finita la convergenza debole L1 è la più debole di tutte. Per le successioni limitate è sufficiente testare la convergenza debole su un insieme con Span denso. . . 110

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Lezione 20. Lemma di approssimazione monotona per funzioni convesse. Semiconti- nuità rispetto alla convergenza debole sotto ipotesi di convessità. Enunciato dei risultati di compattezza debole delle palle in Lp (con dimostrazione sotto ipotesi aggiuntive), ed in L1 sotto ipotesi di crescita superlineare. Mancanza di coercività vs regolarità Holderiana della derivata dei minimi. . . 116 Lezione 21. Regolarità Holderiana ottimale per un problema senza stretta coercività.

Esempio di non unicit`a per un problema di Dirichlet. Esempi di funzionali con competizione tra crescita rispetto alla derivata e rispetto alla funzione. . . 121 Lezione 22. Enunciato del metodo dei moltiplicatori di Lagrange in termini di variazione

prima. Applicazione: disuguaglianza di Poincaré su un intervallo. Esempi basati su disuguaglianze di tipo Poincaré. . . 126 Lezione 23. Identità del parallelogrammo. Caratterizzazione delle norme derivanti da

un prodotto scalare (Jordan-Fréchet-von Neumann). Proiezione su un convesso chiuso: esistenza, unicità, 1-Lipschitzianità, caratterizzazione. . . 130 Lezione 24. Separazione stretta (mediante iperpiani) di un punto da un convesso e

di un convesso compatto da un convesso. Chiusura forte + convessità implica chiusura debole. Semicontinuità forte + convessità implica semicontinuità debole.

Proiezione su sottospazi chiusi: linearit`a e caratterizzazione. Ortogonale di un sottospazio. Somme dirette ortogonali. . . 136

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