A.A. 2018/2019 Istituzioni di Analisi Matematica

(1)

A.A. 2018/2019

Istituzioni di Analisi Matematica

Stampato integrale delle lezioni

(Volume 2)

Massimo Gobbino

(2)

(3)

Indice

Lezione 25. Derivate W-deboli e H-deboli: definizione, prime propriet`a, H implica W.

Esempio di funzione con le derivate seconde deboli miste ma senza derivate prime deboli. Spazi di Sobolev in piena generalit`a (ogni ordine e dimensione, aperto qualunque): definizione W e H. Osservazione che H `e contenuto in W. . . 6 Lezione 26. Enunciato dei quattro teoremi di approssimazione. Richiami su mollificato-

ri e regolarizzazione per convoluzione. Le convoluzioni commutano con le derivate W-deboli. Dimostrazione del teorema di approssimazione low-cost. Inizio della dimostrazione che le derivate W-deboli sono anche H-deboli. . . 11 Lezione 27. Fine della dimostrazione che le derivate W-deboli sono anche H-deboli.

Partizioni dell’unit`a associate al ricoprimento di un aperto. Dimostrazione del teorema H=W (Meyers-Serrin 1964). . . 16 Lezione 28. Derivata debole del prodotto (caso Sobolev per smooth e caso Sobolev per

Sobolev), della composizione e del valore assoluto. Discussione di varie strategie dimostrative a seconda del teorema di approssimazione che si vuole utilizzare. . . 22 Lezione 29. Enunciato dei tre casi del teorema di immersione (su tutto lo spazio), sia

per derivate prime, sia per derivate di ordine qualunque. Problema dell’estensione, e sue implicazioni in termini di approssimazione e di immersione. Semplici esempi patologici in dimensione uno. . . 28 Lezione 30. Disuguaglianza di Gagliardo (caso speciale di Brascamp-Lieb): enunciato

e dimostrazione. Esempio di funzione di Sobolev che ricade nel caso critico del teorema di immersione. . . 33 Lezione 31. Dimostrazione delle immersioni di Sobolev nel caso di esponente minore

o uguale della dimensione. Esempio di funzione che sta esattamente negli spazi coinvolti in tali immersioni. . . 39 Lezione 32. Dimostrazione delle immersioni di Sobolev negli spazi di funzioni Holde-

riane (Morrey). Annullamento all’infinito delle funzioni di Sobolev con esponente maggiore della dimensione. Argomento di riscalamento che conduce ad individuare gli esponenti esatti nelle immersioni di Sobolev. . . 45 Lezione 33. Introduzione ai teoremi di estensione. Estensione per riflessione nei cilindri.

Strategie per la costruzione di m-estensioni nei cilindri. . . 50 3

(4)

4 Istituzioni di Analisi Matematica – A.A. 2018/2019 Lezione 34. Aperti con bordo regolare. Isomorfismo tra gli spazi di Sobolev di aperti

diffeomorfi. Partizioni dell’unit`a per aperti con bordo compatto. Dimostrazione dell’esistenza di una 1-estensione per aperti con bordo regolare. . . 56 Lezione 35. Enunciato del teorema di immersione compatta (Rellich-Kondrakov). Ca-

ratterizzazione dei sottoinsiemi relativamente compatti in spazi metrici. Criterio di relativa compattezza in spazi Lp (versione Lp di Ascoli-Arzel`a). . . 62 Lezione 36. Dimostrazione del teorema di immersione compatta. Enunciato della disu-

guaglianza di interpolazione in spazi Lp. Controesempio all’immersione compatta nel caso critico. . . 68 Lezione 37. Tracce di funzioni di Sobolev nel caso modello: disuguaglianza fonda-

mentale nel caso smooth, ulteriore regolarità Lp, definizione per approssimazione, proprietà di base (linearità, integrazione per parti). Road map per estendere la definizione ad aperti regolari. . . 73 Lezione 38. Holderianità della traccia, dipendenza continua della traccia sotto ipotesi

di limitatezza dei gradienti, controesempio nel caso p=1. . . 78 Lezione 39. Funzioni di Sobolev che si approssimano mediante funzioni C-infinito a

supporto compatto: caso di tutto lo spazio e di tutto lo spazio meno un punto. . . 83 Lezione 40. Funzioni di Sobolev che si approssimano mediante funzioni C-infinito a

supporto compatto: teoremi di immersione e di compattezza. Caratterizzazione negli aperti regolari mediante traccia nulla o estensione a zero. Disuguaglianza di Poincar´e. . . 88 Lezione 41. Applicazioni dei teoremi di immersione e compattezza: disuguaglianze alla

Poincar´e (stima della q-norma di una funzione nulla al bordo in termini della p- norma del gradiente) e alla Wirtinger (stima della q-norma della differenza tra una funzione e la sua media in termini della p-norma del gradiente). . . 93 Lezione 42. Esempio di approccio variazionale ad una equazione ellittica: esistenza via

metodo diretto. Road map verso la regolarit`a delle soluzioni via stime in spazi di Sobolev di ordine alto. . . 98 Lezione 43. Introduzione alle equazioni ellittiche: condizione di ellitticit`a, equazioni

lineari, semi-lineari, quasi-lineari, fully nonlinear. Quadro generale dei risultati di regolarità per equazioni lineari ed applicazioni al caso semi-lineare. Enunciato del teorema di regolarità interna L2. . . 103 Lezione 44. Enunciato del teorema di regolarità L2 fino al bordo. Stime a priori per la

regolarità interna, in tutto lo spazio ed in un aperto generico. Stime a priori per la regolarità fino al bordo in un semispazio. . . 108 Lezione 45. Derivate discrete: definizione e principali proprietà. Caratterizzazione degli

spazi di Sobolev in termini di derivate discrete. Giustificazione delle disuguaglianze alla base della regolarit`a (interna e al bordo) mediante le derivate discrete. . . 114

(5)

Stampato integrale delle lezioni (Volume 2) 5 Lezione 46. Regolarit`a fino al bordo per soluzioni del problema di Dirichlet in aperti

regolari. Accenno alle tracce di funzioni di Sobolev in codimensione maggiore di uno.120

(6)

6 Istituzioni di Analisi Matematica – A.A. 2018/2019

Lezione 25

(7)

Stampato integrale delle lezioni (Volume 2) 7

Lezione 25

(8)

Lezione 25

(9)

Lezione 25

(10)

Lezione 25

(11)

Lezione 26

(12)

Lezione 26

(13)

Lezione 26

(14)

Lezione 26

(15)

Lezione 26

(16)

Lezione 27

(17)

Lezione 27

(18)

Lezione 27

(19)

Lezione 27

(20)

Lezione 27

(21)

Lezione 27

(22)

Lezione 28

(23)

Lezione 28

(24)

Lezione 28

(25)

Lezione 28

(26)

Lezione 28

(27)

Lezione 28

(28)

Lezione 29

(29)

Lezione 29

(30)

Lezione 29

(31)

Lezione 29

(32)

Lezione 29

(33)

Lezione 30

(34)

Lezione 30

(35)

Lezione 30

(36)

Lezione 30

(37)

Lezione 30

(38)

Lezione 30

(39)

Lezione 31

(40)

Lezione 31

(41)

Lezione 31

(42)

Lezione 31

(43)

Lezione 31

(44)

Lezione 31

(45)

Lezione 32

(46)

Lezione 32

(47)

Lezione 32

(48)

Lezione 32

(49)

Lezione 32

(50)

Lezione 33

(51)

Lezione 33

(52)

Lezione 33

(53)

Lezione 33

(54)

Lezione 33

(55)

Lezione 33

(56)

Lezione 34

(57)

Lezione 34

(58)

Lezione 34

(59)

Lezione 34

(60)

Lezione 34

(61)

Lezione 34

(62)

Lezione 35

(63)

Lezione 35

(64)

Lezione 35

(65)

Lezione 35

(66)

Lezione 35

(67)

Lezione 35

(68)

Lezione 36

(69)

Lezione 36

(70)

Lezione 36

(71)

Lezione 36

(72)

Lezione 36

(73)

Lezione 37

(74)

Lezione 37

(75)

Lezione 37

(76)

Lezione 37

(77)

Lezione 37

(78)

Lezione 38

(79)

Lezione 38

(80)

Lezione 38

(81)

Lezione 38

(82)

Lezione 38

(83)

Lezione 39

(84)

Lezione 39

(85)

Lezione 39

(86)

Lezione 39

(87)

Lezione 39

(88)

Lezione 40

(89)

Lezione 40

(90)

Lezione 40

(91)

Lezione 40

(92)

Lezione 40

(93)

Lezione 41

(94)

Lezione 41

(95)

Lezione 41

(96)

Lezione 41

(97)

Lezione 41

(98)

Lezione 42

(99)

Lezione 42

(100)

Lezione 42

(101)

Lezione 42

(102)

Lezione 42

(103)

Lezione 43

(104)

Lezione 43

(105)

Lezione 43

(106)

Lezione 43

(107)

Lezione 43

(108)

Lezione 44

(109)

Lezione 44

(110)

Lezione 44

(111)

Lezione 44

(112)

Lezione 44

(113)

Lezione 44

(114)

Lezione 45

(115)

Lezione 45

(116)

Lezione 45

(117)

Lezione 45

(118)

Lezione 45

(119)

Lezione 45

(120)

Lezione 46

(121)

Lezione 46

(122)

Lezione 46

(123)

Lezione 46

(124)

Lezione 46