Mat/Fis STPA/TAAEC - Appello straordinario - Novembre 2018
Matematica
Calcolare l’inversa, il determinante e il quadrato della matrice
A = 6 2
2 1
! .
— Risposte:
A−1=
1
2 −1
−1 3
!
, det A = 2, A2 = 40 14 14 5
!
Calcolare i limiti
`1= lim
x→0
1 − e2x
ln(1 − x), `2= lim
x→∞
x2+ 4x3+ 1 7 + 5x3+ x.
— Risposta:
`1 = 2, `2 = 4 5 Calcolare le derivate prime di
f (x) = sin 1 x
, g(x) = ln(x) cos (x)
— Risposte:
f0(x) = −1
x2cos 1 x
, g0(x) = 1 cos2(x)
cos(x)
x + ln(x) sin(x)
Calcolare la primitiva g(x) di
g0(x) = x2ex3
— Risposta:
g(x) = ex3 3 + C Calcolare la derivata prima di
y = xex.
— Risposta: y0= ex(x + 1)
Dire dove la funzione `e crescente e dove `e decrescente
— Risposta: cresce per x > −1, decresce per x < −1 Individuarne i massimi e minimi relativi
— Risposta: ha un minimo relativo a x = −1 Disegnarne il grafico
1
Fisica
Costante di Newton G = 6.674 × 10−11 N m2/kg2. L’accelerazione gravitazionale terrestre `e g = 10 m/s2. Una caloria = 4.184 J. La costante dei gas perfetti `e R = 8.3144 J/(oK mol). la densit`a dell’acqua `e ρH2O= 1kg/litro. Lavorare nel sistema MKS, a meno che non sia specificato diversamente.
1. Una pompa ha una potenza W pari a 15kW . Quanto tempo impiega a riempire una vasca di V = 1800 litri d’acqua posta ad un’altezza h di 30m?
Formula: t = ρH2OV gh/W Valore: 36s
2a. Una massa m = 600kg cade da un’altezza h di 20 metri. Quanto vale l’energia potenziale perduta U ?
Formula: U = mgh Valore: 120kJ
2b. All’inizio della caduta la velocit`a della massa m `e v1 = 36km/ora. Quanto vale la sua energia cinetica K1?
Formula: K1 = mv12/2 Valore: 30kJ
2c Qual’`e la velocit`a v2 con cui la massa si schianta a terra?
Formula: v2 =p2(U + K1)/m[da U = K2− K1 = mv22/2 − K1] Valore: 22.4m/s = 80.5 km/ora
3. Trovare quale percentuale p del volume totale V di un iceberg `e immersa nell’acqua, sapendo che la densit`a del ghiaccio `e ρgh = 0.9kg/litro.
Formula: p = Vimm/V = ρgh/ρH2O [da F = ρghV g = S = ρH2OVimmg]
Valore: 90%
4a. Una macchina termica lavora con un gas perfetto secondo il ciclo di Carnot, con rendi- mento η = 40%. Calcolare la temperatura T1 della sorgente fredda, sapendo che quella calda `e T2= 300oK.
Formula: T1 = T2(1 − η) Valore: 180oK
4b. Il rapporto Vmax/Vmin tra il volume massimo e quello minimo lungo il ciclo vale 2.
Calcolare il rapporto tra la pressione massima e quella minima.
Formula: pmax/pmin = (T1/T2)(Vmax/Vmin) [da pmaxVmin= nRT1, pminVmax= nRT2] 2
2 1 2 1
Valore: 1.2
5a. Una lente biconvessa ha D = 2.5 diottrie. Calcolare quante volte viene ingrandito un oggetto posto a distanza p = 50cm.
Formula: G = 1/(Dp − 1) [da D = 1/f con f in metri]
Valore: 4 volte
5b. A quale distanza q si forma l’immagine?
Formula: q = pG Valore: 2m
3 3.3
