FUNZIONI GONIOMETRICHE. Prof. Walter Pugliese

FUNZIONI GONIOMETRICHE

Prof. Walter Pugliese

Le funzioni seno e coseno

Definizione:

Consideriamo la circonferenza

goniometrica e un angolo orientato 𝛼, e sia 𝐵 il punto della circonferenza

associato ad 𝛼.

Definiamo coseno e seno di 𝛼, e indichiamo con 𝐜𝐨𝐬 𝜶 e 𝐬𝐢𝐧 𝜶:

cos 𝜶 = 𝒙_𝑩 sin 𝜶 = 𝒚_𝑩

Le funzioni seno e coseno

Circonferenza di raggio unitario

Indichiamo con (x; y) le coordinate di B.

x = cos a y = sen a

Circonferenza di centro O e raggio qualsiasi

Indichiamo con (x'; y') le coordinate di B’.

𝒙²

𝒓² = 𝑶𝑨²

𝑶𝑩² = 𝑶𝑨

𝑶𝑩 = cos 𝜶 𝒚²

𝒓² = 𝑩²𝑨²

𝑶𝑩² = 𝑩𝑨

𝑶𝑩 = sen 𝜶

Scopriamo che:

Indichiamo con (x'; y') le coordinate di B’.

𝒙²

𝒓² 𝒆 𝒚² 𝒓²

e quindi sen a e cos a non dipendono dalla

particolare circonferenza considerata, ma solo

dall’angolo a.

Il triangolo 𝑂𝐴²𝐵² è un triangolo rettangolo.

Le proprietà del seno e del coseno si applicano a tutti i triangoli

rettangoli

Triangoli rettangoli

Le funzioni seno e coseno

sen a = rapporto tra il cateto opposto all’angolo e l’ipotenusa.

cos a = rapporto tra il cateto adiacente all’angolo e

l’ipotenusa.

Le variazioni e il grafico delle funzioni seno e coseno

Costruiamo il grafico delle funzioni y = sen x e y = cos x in [0; 2p]

riportando sull’asse x i valori degli angoli e sull’asse y le coordinate dei punti della circonferenza

goniometrica.

Proprietà:

In particolare si verifica che :

−𝟏 ≤ 𝐬𝐞𝐧 𝒙 ≤ 𝟏

−𝟏 ≤ 𝐜𝐨𝐬 𝒙 ≤ 𝟏 Inoltre:

il coseno è una funzione pari cos 𝑥 = cos −𝑥

il seno è una funzione dispari sen 𝑥 = −se𝑛 −𝑥

Poiché:

sen 𝑥 + 2𝜋 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = sen 𝑥 + 4𝜋 = ⋯ , cos 𝑥 + 2𝜋 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = cos 𝑥 + 4𝜋 = ⋯ ,

cioè sen 𝑥 + 2𝑘𝜋 = sen 𝑥

cos 𝑥 + 2𝑘𝜋 = cos 𝑥 le funzioni seno e coseno sono periodiche di periodo 𝟐𝝅

Sinusoide e cosinusoide

Il grafico completo della funzione seno si chiama sinusoide, quello della funzione coseno cosinusoide.

I due grafici differiscono per una traslazione di ^Q_R .

Prima relazione fondamentale della goniometria.

𝒄𝒐𝒔^𝟐𝜶 + 𝒔𝒆𝒏^𝟐𝜶 = 𝟏 da cui

sen 𝛼 = ± 1 − 𝑐𝑜𝑠^R𝛼 se è noto cos 𝛼 cos 𝛼 = ± 1 − 𝑠𝑒𝑛^R𝛼 se è noto sen 𝛼

La prima relazione fondamentale

DEFINIZIONE:

Consideriamo un angolo orientato 𝛼 e chiamiamo 𝐵 l’intersezione fra il lato termine e la

circonferenza goniometrica di centro 𝑂.

Definiamo tangente di 𝛼 la funzione che ad 𝛼

associa il rapporto, quando esiste, fra l’ordinata e l’ascissa dal punto 𝐵^.

𝐭𝐚𝐧 𝜶 = 𝒚_𝑩 𝒙_𝑩

La funzione tangente

𝑶𝒔𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒛𝒊𝒐𝒏𝒆: il rapporto ^𝒚_𝒙^𝑩

𝑩 non esiste solo quando 𝑥_k = 0, ossia quando 𝐵 si trova sull’asse 𝑦 e l’angolo è uguale a ^Q_R o ⁿ_R𝜋 o un altro valore che ottieni da ^Q_R aggiungendo multipli interi dell’angolo piatto. Quindi la tangente esiste solo se:

𝜶 ≠ 𝝅

𝟐 + 𝒌𝝅, 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ 𝑍

Seconda relazione fondamentale della goniometria.

Considerando la circonferenza goniometrica. Per Definizione:

tan 𝛼 = ^t_v^u

u , 𝑦_k= sen 𝛼 𝑒 𝑥_k = cos 𝛼 Sostituiamo sen 𝛼 𝑒 cos 𝛼 nell’espressione della tangente:

𝒕𝒂𝒏 𝜶 = 𝒔𝒆𝒏 𝜶 𝐜𝐨𝐬 𝜶

La seconda relazione fondamentale

La funzione tangente

Circonferenza di centro O e raggio qualsiasi

Indichiamo con (x'; y') le coordinate di B’.

𝒙²

𝒚² = 𝑨²𝑩²

𝑶𝑨² = 𝑨𝑩

𝑶𝑨 = tan 𝜶

Triangolo rettangolo Considerando il triangolo rettangolo 𝑂𝐴𝐵. Possiamo pensare l’ipotenusa 𝑂𝐵 come il raggio di una

circonferenza di centro 𝑂.

Pertanto:

Un altro modo per definire la tangente:

Consideriamo la circonferenza goniometrica e la retta tangente a essa nel punto 𝐸, origine degli archi, e un angolo 𝛼.

Il prolungamento del lato termine 𝑂𝐵 interseca la retta tangente nel punto 𝑇.

La tangente di 𝜶 può anche essere definita come il valore dell’ordinata di T: tan 𝜶 = 𝒚_𝑻

Le variazioni e il grafico della funzione tangente

Costruiamo il grafico della funzione

y = tg x e in [0; p] riportando sull’asse x i valori degli angoli e sull’asse y l’ordinata del punto 𝑇.

Proprietà:

Data la funzione y = tg x Dominio:

𝒙 ≠ 𝝅

𝟐 + 𝒌𝝅, 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ 𝑍 Codominio:

−∞ ≤ 𝐭𝐚𝐧 𝒙 ≤ +∞

Inoltre:

𝐭𝐠 𝒙 = −𝒕𝒈 −𝒙

la tangente è una funzione dispari.

Poiché:

𝑡𝑔 𝛼 + 𝜋 = 𝑡𝑔 𝛼 = 𝑡𝑔 𝛼 + 2𝜋 = ⋯ cioè:

𝒕𝒈 𝜶 = 𝒕𝒈 𝜶 + 𝑲𝝅 𝒄𝒐𝒏 𝒌 ∈ 𝒁 la funzione tangente è periodica di periodo 𝝅.

La tangentoide

Il grafico completo della funzione tangente si chiama tangentoide

𝐬𝐢𝐧 𝜶 = 𝐭𝐚𝐧 𝜶

± 𝟏 + 𝒕𝒂𝒏^𝟐𝜶

𝐜𝐨𝐬 𝜶 = 𝟏

± 𝟏 + 𝒕𝒂𝒏^𝟐𝜶

Formule per trovare sin 𝜶 e cos 𝜶 in funzione di tan 𝜶

Tracciamo la circonferenza goniometrica e la retta di equazione 𝒚 = 𝒎𝒙, da cui:

𝑚 = ^t_v In particolare se 𝑥 = 1, 𝑦 = tan 𝛼 e:

𝒎 = tan 𝛼

1 = 𝐭𝐚𝐧 𝜶

Il coefficiente angolare della retta è uguale alla tangente dell’angolo fra la retta e l’asse 𝒙.

Significato geometrico del coefficiente angolare di una retta

Definizione:

Dato un angolo 𝛼, chiamiamo:

• secante di 𝛼 la funzione che associa ad 𝛼 il reciproco del valore di cos 𝛼, purchè cos 𝛼 sia diverso da 0. Si indica con sec 𝛼:

𝐬𝐞𝐜 𝜶 = 𝟏

𝐜𝐨𝐬 𝜶 , con α ≠ 𝜋

2 + 𝑘𝜋 𝑒 𝑘 ∈ 𝑍

• cosecante di 𝛼 la funzione che associa ad 𝛼 il reciproco del valore di sin 𝛼, purchè sin 𝛼 sia diverso da 0. Si indica con csc 𝛼:

𝐜𝐬𝐜 𝜶 = 𝟏

𝒔𝒊𝒏 𝜶, con α ≠ 𝑘𝜋 𝑒 𝑘 ∈ 𝑍

Secante e cosecante, come seno e coseno, sono funzioni periodiche di periodo 2𝜋.

Funzioni secante e cosecante

Consideriamo la circonferenza goniometrica, l’angolo 𝛼 e la tangente in 𝐵 che interseca gli assi 𝑥 e 𝑦 rispettivamente in 𝑆 e 𝑆².

Dalla similitudine dei triangoli risulta:

𝑶𝑺 = 𝐬𝐞𝐜 𝜶 e

𝑶𝑺² = 𝐜𝐬𝐜 𝜶

La secante di 𝜶 quindi è l’ascissa del punto 𝑺, intersezione della retta tangente nel punto 𝐵, associato ad 𝛼 sulla

circonferenza goniometrica, con l’asse 𝑥.

La cosecante di 𝜶 quindi è l’ordinata del punto𝑺², intersezione della retta tangente in 𝐵, con l’asse 𝑦.

Un altro modo per definire la secante e la cosecante

Proprità:

Data la funzione 𝒚 = 𝐬𝐞𝐜 𝒙 Dominio:

x ≠ 𝜋

2 + 𝑘𝜋 𝑒 𝑘 ∈ 𝑍 Codominio:

𝑅 − −1; 1

Data la funzione 𝒚 = 𝐜𝐬𝐜 𝒙 Dominio:

x ≠ 𝑘𝜋 𝑒 𝑘 ∈ 𝑍 Codominio:

𝑅 − −1; 1

OSS.: Il grafico di una funzione si ottiene da quello dell’altra con una traslazione di vettore parallelo all’asse 𝑥 e modulo ^Q_R.

I grafici delle funzioni secante e cosecante

Definizione:

Consideriamo un angolo 𝛼 e chiamiamo 𝐵 l’intersezione fra il lato termine e la

circonferenza goniometrica. Definiamo cotangente di 𝛼 la funzione che associa ad 𝛼 il rapporto, quando esiste, fra l’ascissa e l’ordinata del punto 𝐵:

𝐜𝐨𝐭 𝜶 = 𝒙_𝑩 𝒚_𝑩

La funzione cotangente

𝑶𝒔𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒛𝒊𝒐𝒏𝒆: il rapporto ^𝒙𝑩

𝒚_𝑩 non esiste quando 𝑦_k = 0, ossia quando 𝐵 si trova sull’asse 𝑥, cioè

quando l’angolo misura 0, 𝜋 e tutti i multipli interi di 𝜋.

𝒄𝒐𝒕 𝜶 esiste quindi solo se 𝜶 ≠ 𝒌𝝅

La funzione cotangente

𝑶𝒔𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒛𝒊𝒐𝒏𝒆:

Poiché tan 𝛼 =

u

e cot 𝛼 =

u

, risulta tan 𝛼 • cot 𝛼 = 1, da cui:

𝐜𝐨𝐭 𝜶 =

𝐭𝐚𝐧 𝜶

con 𝛼 ≠ 𝑘

Osservazione:

Considerando la circonferenza goniometrica. Per Definizione:

𝑐𝑜𝑡 𝛼 =

t_u

, 𝑥

= 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑒 𝑦

= sen 𝛼

Sostituiamo cos 𝛼 𝑒 sen 𝛼 nell’espressione della cotangente:

𝒄𝒐𝒕 𝜶 =

𝒔𝒆𝒏 𝜶

con 𝛼 ≠ 𝑘𝜋

Un altro modo di definire la cotangente

Consideriamo la circonferenza goniometrica e la retta tangente a essa nel punto 𝐹.

Il prolungamento del lato 𝑂𝐵 incontra la retta tangente nel punto 𝑄.

La cotangente dell’angolo 𝛼 può anche essere definita come il valore dell’ascissa del punto 𝑄.

𝐜𝐨𝐭 𝜶 = 𝒙

Grafico della funzione 𝒚 = cot 𝒙

Come la tangente, anche la funzione cotangente può assumere qualunque valore reale, il codominio della cotangente è quindi 𝑅, mentre il suo dominio è: 𝑥 ≠ 𝑘𝜋.

In analogia con la tangente, la funzione cotangente risulta periodica di

periodo 𝜋.

𝐬𝐢𝐧 𝜶 = 𝟏

± 𝟏 + 𝒄𝒐𝒕^𝟐𝜶

𝐜𝐨𝐬 𝜶 = ± 𝐜𝐨𝐭 𝜶 𝟏 + 𝒄𝒐𝒕^𝟐𝜶

Formule per trovare sin 𝜶 e cos 𝜶 in funzione di cot 𝜶

L’angolo ^𝝅_𝟔:

Il triangolo 𝑂𝐵𝐶 è equilatero perché ha gli angoli di ^Q_n, quindi 𝐵𝐶 = 1.

𝐴𝐵 è la metà di 𝐵𝐶, ossia 𝑨𝑩 = ^𝟏_𝟐

Ricaviamo 𝑂𝐴 applicando il teorema di Pitagora al triangolo 𝑂𝐴𝐵:

𝑶𝑨 = 𝑂𝐵^R − 𝐴𝐵^R = 1^R − 1 2

R

= 3

4 = 𝟑 𝟐 Pertanto:

𝐬𝐢𝐧 𝝅

𝟔 = 𝟏

𝟐 𝒆 𝐜𝐨𝐬𝝅

𝟔 = 𝟑 𝟐

Da cui sono poi facilmente ricavabili:

𝐭𝐚𝐧^𝝅

𝟔 = ^𝟑

𝟑 𝒆 𝐜𝐨𝒕 ^𝝅

𝟔 = 𝟑; 𝐬𝒆𝒄 ^𝝅_𝟔 = ^{𝟐 𝟑}

𝟑 𝒆 𝐜𝒔𝒄^𝝅

𝟔 = 𝟐

Funzioni goniometriche di angoli particolari

L’angolo ^𝝅_𝟒:

Poiché anche l’angolo in 𝐵 misura ^Q_ž , il triangolo 𝑂𝐴𝐵 è isoscele.

Applicando il teorema di Pitagora al triangolo 𝑂𝐴𝐵:

𝑂𝐴^R + 𝐴𝐵^R = 𝑂𝐵^R

Poiché 𝑂𝐴 = 𝐴𝐵 𝑒 𝑂𝐵 = 1 :

2𝑂𝐴^R = 1 → 𝑶𝑨 = 1

2 = 𝟐 𝟐 Pertanto:

𝐬𝐢𝐧 𝝅

𝟒 = 𝟐

𝟐 𝒆 𝒄𝒐𝒔 𝝅

𝟒 = 𝟐

Da cui sono poi facilmente ricavabili:𝟐 𝐭𝐚𝐧^𝝅

𝟒 = 𝐜𝐨𝒕 ^𝝅

𝟒 = 𝟏; 𝐬𝒆𝒄 ^𝝅_𝟒 = 𝐜𝒔𝒄 ^𝝅

𝟒 = 𝟐

Funzioni goniometriche di angoli particolari

L’angolo ^𝝅_𝟑:

Consideriamo il triangolo O𝐴𝐵 nella circonferenza goniometrica.

Poiché 𝛼 = ^Q_n, l’angolo in 𝐵 misura ^Q .

Congiungendo 𝐵 con 𝐸, otteniamo il triangolo equilatero OE𝐵.

𝐵𝐴 è l’altezza mediana del triangolo 𝑂𝐸𝐵, quindi 𝑶𝑨 = ^𝟏_𝟐

Ricaviamo 𝐴𝐵 applicando il teorema di Pitagora al triangolo 𝑂𝐴𝐵:

𝑨𝑩 = 𝑂𝐵^R − 𝑂𝐴^R = 1^R − 1 2

R

= 3

4 = 𝟑 𝟐 Pertanto:

𝒄𝒐𝒔 𝝅

𝟑 = 𝟏

𝟐 𝒆 𝒔𝒆𝒏 𝝅

𝟑 = 𝟑

Da cui sono poi facilmente ricavabili:𝟐 𝐭𝐚𝐧^𝝅

𝟑 = 𝟑 𝒆 𝐜𝐨𝒕^𝝅

𝟑 = ^𝟑

𝟑 ; 𝐬𝒆𝒄 ^𝝅_𝟑 = 𝟐 𝒆 𝐜𝒔𝒄^𝝅

𝟑 = ^{𝟐 𝟑}

𝟑

Funzioni goniometriche di angoli particolari

Funzioni goniometriche di angoli particolari

TABELLA RIASSSUNTIVA 𝜶 = 𝝅

𝟔 𝜶 = 𝝅

𝟒 𝜶 = 𝝅

𝟑

𝐬𝐢𝐧 𝜶 1

2 2

2

3 2

𝐜𝐨𝐬 𝜶 3

2

2 2

1 2

𝐭𝐚𝐧 𝜶 3

3

1 3

𝐜𝐨𝐭 𝜶 3 1 3

3

𝐬𝐞𝐜 𝜶 2 3

3

2 2

𝐜𝐬𝐜 𝜶 2 2 2 3

3

Angoli associati

Consideriamo un angolo 𝛼. Chiamiamo angoli associati (o archi associati) ad 𝛼 i seguenti angoli:

−𝛼, ^Q_R − 𝛼, ^Q

R + 𝛼, 𝜋 − 𝛼, 𝜋 + 𝛼, ^nQ_R − 𝛼, ^nQ

R + 𝛼, 2𝜋 − 𝛼.

Angoli 𝜶 e −𝜶 :

𝐬𝐢𝐧 −𝜶 = −𝐬𝐢𝐧 𝜶 𝐭𝐚𝐧 −𝜶 = − 𝐭𝐚𝐧 𝜶

𝐜𝐨𝐬 −𝜶 = 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝐜𝐨𝐭 −𝜶 = − 𝐜𝐨𝐭 𝜶

Angoli 𝜶 e 2𝛑 − 𝜶 :

𝐬𝐢𝐧 2𝛑 − 𝜶 = −𝐬𝐢𝐧 𝜶 𝐭𝐚𝐧 2𝛑 − 𝜶 = − 𝐭𝐚𝐧 𝜶 𝐜𝐨𝐬 2𝛑 − 𝜶 = 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝐜𝐨𝐭 2𝛑 − 𝜶 = − 𝐜𝐨𝐭 𝜶

Angoli associati

Angoli 𝜶 e ^𝝅_𝟐 − 𝜶: 𝐬𝐢𝐧 𝝅

𝟐 − 𝜶 = 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝐭𝐚𝐧 𝝅

𝟐 − 𝜶 = 𝐜𝐨𝐭 𝜶 𝐜𝐨𝐬 𝝅

𝟐 − 𝜶 = 𝐬𝐢𝐧 𝜶 𝐜𝐨𝐭 𝝅

𝟐 − 𝜶 = 𝐭𝐚𝐧 𝜶 Angoli 𝜶 e ^𝝅_𝟐 + 𝜶:

𝐬𝐢𝐧 𝝅

𝟐 + 𝜶 = 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝐭𝐚𝐧 𝝅

𝟐 + 𝜶 = − 𝐜𝐨𝐭 𝜶 𝐜𝐨𝐬 𝝅

𝟐 + 𝜶 = −𝐬𝐢𝐧 𝜶 𝐜𝐨𝐭 𝝅

𝟐 + 𝜶 = − 𝐭𝐚𝐧 𝜶

Angoli associati

Angoli 𝜶 e 𝝅 − 𝜶:

𝐬𝐢𝐧 𝝅 − 𝜶 = 𝐬𝐢𝐧 𝜶 𝐭𝐚𝐧 𝝅 − 𝜶 = − 𝐭𝐚𝐧 𝜶 𝐜𝐨𝐬 𝝅 − 𝜶 = −𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝐜𝐨𝐭 𝝅 − 𝜶 = − 𝐜𝐨𝐭 𝜶

Angoli 𝜶 e 𝝅 + 𝜶:

𝐬𝐢𝐧 𝝅 + 𝜶 = −𝐬𝐢𝐧 𝜶 𝐭𝐚𝐧 𝝅 + 𝜶 = 𝐭𝐚𝐧 𝜶 𝐜𝐨𝐬 𝝅 + 𝜶 = −𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝐜𝐨𝐭 𝝅 + 𝜶 = 𝐜𝐨𝐭 𝜶

Angoli associati

Angoli 𝜶 e ^𝟑𝝅_𝟐 − 𝜶: 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝝅

𝟐 − 𝜶 = −𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝐭𝐚𝐧 𝟑𝝅

𝟐 − 𝜶 = 𝐜𝐨𝐭 𝜶 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝝅

𝟐 − 𝜶 = −𝐬𝐢𝐧 𝜶 𝐜𝐨𝐭 𝝅

𝟐 − 𝜶 = 𝐭𝐚𝐧 𝜶 Angoli 𝜶 e ^𝟑𝝅_𝟐 + 𝜶:

𝐬𝐢𝐧 𝟑𝝅

𝟐 + 𝜶 = −𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝐭𝐚𝐧 𝟑𝝅

𝟐 + 𝜶 = − 𝐜𝐨𝐭 𝜶 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝝅

𝟐 + 𝜶 = 𝐬𝐢𝐧 𝜶 𝐜𝐨𝐭 𝟑𝝅

𝟐 + 𝜶 = − 𝐭𝐚𝐧 𝜶

Riduzione al primo quadrante

Utilizzando le relazioni stabilite per gli angoli associati, è possibile determinare le funzioni goniometriche di qualunque angolo, conoscendo le funzioni goniometriche degli angoli che appartengono al primo quadrante.

Il procedimento relativo viene detto riduzione al primo quadrante.

Esempio:

Riduciamo al primo quadrante 𝑠𝑖𝑛 110^°.

Poiché

110

= 90

+ 20

sin 110° = sin 90° + 20° = cos 20°

Funzioni goniometriche inverse

Le funzioni inverse delle funzioni seno, coseno, tangente e cotangente sono, rispettivamente:

arcoseno: 𝒚 = arcsin 𝒙 𝑫: −𝟏; 𝟏 ; 𝑪: −

;

ES.: arcsin(1) =

arcocoseno: 𝒚 = arc𝑐𝑜𝑠 𝒙 𝑫: −𝟏; 𝟏 ; 𝑪: 𝟎; 𝝅

ES.: arc𝑐𝑜𝑠(−1) = 𝜋

arcotangente: 𝒚 = arc𝑡𝑎𝑛 𝒙 𝑫: 𝑹 ; 𝑪: −

;

𝟐

ES.: arctan(1) =

arcocotangente: 𝒚 = arc𝑐𝑜𝑡 𝒙 𝑫: 𝑹 ;𝑪: 𝟎; 𝝅

ES.: arccot

=

n

Funzioni goniometriche e trasformazioni geometriche

Dai grafici delle funzioni goniometriche si ottengono grafici di altre

funzioni mediante traslazioni, simmetrie, dilatazioni e contrazioni. Noi

studieremo soltanto grafici di funzioni sinusoidali.

Funzioni sinusoidali

Una funzione sinusoidale è una funzione del tipo:

𝒚 = 𝑨 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒙 + 𝝋 , 𝐲 = 𝐀 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒙 + 𝝋 con 𝐴, 𝜔, 𝜑 ∈ 𝑅. Chiamiamo:

• Ampiezza della funzione sinusoidale il numero 𝐴 ;

• Pulsazione il numero 𝜔;

• Sfasamento il numero 𝜑.

Il codominio di una funzione sinusoidale è − 𝐴 ; 𝐴

Il periodo di una funzione sinusoidale è 𝑇 =

.

Il grafico di una funzione sinusoidale sinusoidale

Studiamo il grafico di 𝑦 = 𝐴 cos 𝜔𝑥 + 𝜑

Esempio di di una funzione sinusoidale sinusoidale

Consideriamo la funzione y = 3 sin 2𝑥 +

Raccogliendo 2 all’interno della parentesi si può riscrivere come:

𝑦 = 3 sin 2 𝑥 + 𝜋

quindi è possibile ottenere il suo grafico a partire da quello di 𝑦 = sin 𝑥