RIPASSO SULLE DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE Svolgere le seguenti disequazioni goniometriche in

Gianluca Ferrari A.S. 2017/2018 Classe 4ªC ITT

RIPASSO SULLE DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE

Svolgere le seguenti disequazioni goniometriche in ℝ:

1. √3 cos 𝑥 − sen 𝑥 ≥ 0 2. √3 sen 𝑥 − cos 𝑥 + 1 ≥ 0 3. sen 𝑥 + √3 cos 𝑥 − 1 < 0

4. 3 sen²𝑥 + 2√3 sen 𝑥 cos 𝑥 − 3 cos²𝑥 ≤ 0 5. 2 sen²𝑥 + cos²𝑥 < 1 + √3 sen 𝑥 cos 𝑥 6. 4 sen²𝑥 − √3 sen 𝑥 cos 𝑥 + cos²𝑥 − 1 > 0 7. 2 sen²𝑥 − 2 sen 𝑥 cos 𝑥 + 2 cos²𝑥 ≥ 1 8. cos 2𝑥

tg 𝑥 + 1≤ 0

9. 2 cos 𝑥 + √3

sen 𝑥 (cos 𝑥 + 1)≥ 0 10. cos²𝑥 − sen²𝑥

√3 tg 𝑥 + 1 ≤ 0 11. sen 𝑥 (2 cos²𝑥 + cos 𝑥)

tg²𝑥 − 1 ≤ 0 12. (2 sen 𝑥 + 1)(cos 𝑥 + 1)

3 cos 𝑥 − √3 sen 𝑥 < 0

13. cos 𝑥 (3 tg²𝑥 − 1)(cos²𝑥 − cos 𝑥) ≥ 0

14. (cotg²𝑥 − √3 cotg 𝑥)(tg²𝑥 − tg 𝑥) cos 𝑥 ≥ 0 15. sen 𝑥 (2 cos 𝑥 + 1)

sen 𝑥 − cos 𝑥 ≤ 0

Gianluca Ferrari A.S. 2017/2018 Classe 4ªC ITT

Nota Bene: Alcuni esercizi sono sulle disequazioni di secondo grado omogenee, che oggi non abbiamo ripassato. Ricordati che l’eventuale termine noto va moltiplicato per (sen²𝑥 + cos²𝑥) e che il tutto va diviso per cos²𝑥, in modo tale da ricondursi ad un’equazione di secondo grado in 𝐭𝐠 𝒙. Tuttavia, così facendo, si esclude la soluzione 𝑥 = ^𝜋₂+ 𝑘𝜋 (a causa del dominio della tangente). Il ^𝜋₂ va sostituito nella traccia originale e bisogna vedere se soddisfa o meno la disuguaglianza. Se la disuguaglianza che si ottiene è vera, allora il ^𝜋₂ va incluso; se è falsa, allora va esclusa.

Questo è ciò che accade anche nelle equazioni e nelle disequazioni lineari, quando si sostituisce il parametro 𝑡 = tg^𝑥₂. In quel caso è necessario verificare se ^𝑥₂ = ^𝜋₂+ 𝑘𝜋, ossia 𝑥 = 𝜋 + 2𝑘𝜋, soddisfa o meno la disuguaglianza nella traccia di partenza.

Facciamo un esempio in riferimento all’esercizio 7.

2 sen²𝑥 − 2 sen 𝑥 cos 𝑥 + 2 cos²𝑥 ≥ 1 In primo luogo scriviamo l’1 come sen²𝑥 + cos²𝑥.

2 sen²𝑥 − 2 sen 𝑥 cos 𝑥 + 2 cos²𝑥 ≥ sen²𝑥 + cos²𝑥 Da cui

sen²𝑥 − 2 sen 𝑥 cos 𝑥 + cos²𝑥 ≥ 0 Dividendo tutto per cos²𝑥 diventa

tg²𝑥 − 2 tg 𝑥 + 1 ≤ 0

che è un’equazione di secondo grado in tangente (da risolvere…).

È necessario verificare se 𝑥 = ^𝜋₂ soddisfa o meno la disuguaglianza di partenza, ossia se

Gianluca Ferrari A.S. 2017/2018 Classe 4ªC ITT

2 sen²𝜋

2− 2 sen𝜋 2cos𝜋

2+ 2 cos²𝜋 2 ≥ 1 è vera oppure falsa. In questo caso avremmo

2 ⋅ (1)²− 2 ⋅ 1 ⋅ 0 + 2 ⋅ (0)² ≥ 1 ⟹ 2 ≥ 1 𝑽𝑬𝑹𝑶 Quindi il ^𝜋

2 va eventualmente incluso.

Soluzioni:

1. 𝑅: [−2

3𝜋 + 2𝑘𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋

3+ 2𝑘𝜋]

2. 𝑅: [𝜋

3+ 2𝑘𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 + 2𝑘𝜋]

3. 𝑅: [𝜋

2+ 2𝑘𝜋 < 𝑥 < 11

6 𝜋 + 2𝑘𝜋]

4. 𝑅: [−𝜋

3+ 2𝑘𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋

6+ 2𝑘𝜋]

5. 𝑅: [𝑘𝜋 < 𝑥 < 𝜋

3+ 𝑘𝜋]

6. 𝑅: [−𝜋

2+ 𝑘𝜋 ≤ 𝑥 < 𝜋 ∨𝜋

6+ 𝑘𝜋 < 𝑥 ≤𝜋

2+ 𝑘𝜋]

7. 𝑅: [∀𝑥 ∈ ℝ]

8. 𝑅: [𝜋

4+ 𝑘𝜋 ≤ 𝑥 < 𝜋

2+ 𝑘𝜋]

9. 𝑅: [2𝑘𝜋 < 𝑥 ≤ 5

6𝜋 + 2𝑘𝜋 ∨ 𝜋 + 2𝑘𝜋 < 𝑥 ≤7

6𝜋 + 2𝑘𝜋]

10. 𝑅: [𝜋

4 + 𝑘𝜋 ≤ 𝑥 <𝜋

2+ 𝑘𝜋 ∨3

4𝜋 + 𝑘𝜋 ≤ 𝑥 < 5

6𝜋 + 𝑘𝜋]

Gianluca Ferrari A.S. 2017/2018 Classe 4ªC ITT

11. 𝑅: [2𝑘𝜋 ≤ 𝑥 < 𝜋

4+ 2𝑘𝜋 ∨𝜋

2 + 2𝑘𝜋 < 𝑥 ≤ 2

3𝜋 + 2𝑘𝜋 ∨3

4𝜋 + 2𝑘𝜋 < 𝑥

≤ 𝜋 + 2𝑘𝜋 ∨5

4𝜋 + 2𝑘𝜋 < 𝑥 ≤4

3𝜋 + 2𝑘𝜋 ∨3

2𝜋 + 2𝑘𝜋 < 𝑥

< 7

4𝜋 + 2𝑘𝜋]

12. 𝑅: [𝜋

3 + 2𝑘𝜋 < 𝑥 < 7

6𝜋 + 2𝑘𝜋 ∨4

3𝜋 + 2𝑘𝜋 < 𝑥 < 11

6 𝜋 + 2𝑘𝜋]

13. 𝑅: [𝜋

6 + 𝑘𝜋 ≤ 𝑥 ≤5𝜋

6 + 𝑘𝜋 ∧ 𝑥 ≠ 𝜋

2+ 𝑘𝜋 ∨ 𝑥 = 𝑘𝜋]

14. 𝑅: [−3𝜋

4 + 2𝑘𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝑘𝜋 ∧ 𝑥 ≠ −𝜋

2+ 2𝑘𝜋 ∨𝜋

6+ 2𝑘𝜋 ≤ 𝑥

≤ 𝜋

4+ 2𝑘𝜋 ∨ 𝜋 + 2𝑘𝜋 < 𝑥 ≤ 7𝜋

6 + 2𝑘𝜋]

15. 𝑅: [−𝜋

4+ 2𝑘𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝑘𝜋 ∨2𝜋

3 + 2𝑘𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 3𝜋

4 + 2𝑘𝜋 ∨ 𝜋 + 2𝑘𝜋 ≤ 𝑥

≤ 4𝜋

3 + 2𝑘𝜋]