Capitolo 5 Analisi delle sollecitazioni e LTCA

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Analisi delle sollecitazioni e LTCA

Fino a questo momento sono state analizzate le condizioni di ingranamento in condizioni di rigidezza infinita; se si introducono nei modelli le caratteristiche meccaniche reali del materiale e si applica una coppia motrice, ci si sposta dal dominio della TCA a quello della LTCA (Loaded Tooth Contact Analysis). Ancora una volta le grandezze principali sono la funzione di trasmissione (e quindi l’errore di trasmissione) e il bearing contact, che stavolta interessa più coppie di denti in presa a causa della deformabilità del modello. Insieme alla LTCA è di fondamentale importanza la stress analysis, ovvero l’analisi dello stato di tensione. Tipicamente vengono rilevate la tensione equivalente secondo

Von Mises σV M, la tensione principale S1 e le pressioni di contatto.

Per la valutazione di LTCA e stress analysis in Hypoid Face Milled, i valori delle grandezze date in input al software sono state le stesse di quelle utilizzate per la TCA, fatta eccezione naturalmente per il valore di coppia motrice sul pignone, pari a 916700 Nmm (valore massimo di esercizio fornito da Avio). Si `e adottato il mesh template MEDIUM sia per la corona che per il pignone.

5.1 Creazione di un modello comparativo ad elementi

finiti in ambiente Ansys

Per validare i risultati ottenuti da Hypoid Face Milled è sorta la necessità di creare un modello comparativo in grado di stimare le grandezze suddette; si è scelto di sviluppare un modello ad elementi finiti in ambiente Ansys 8.0.

5.1.1 Campionamento di punti sul modello teorico

Per la riproduzione della geometria dei denti in Ansys si è adottato un approccio di tipo bottom-up, partendo da punti (keypoints) campionati sul modelli teorici dei denti di ruota e pignone. Tale operazione è stata compiuta tramite il codice DIMNP seguendo il procedimento che viene presentato; è stata ripetuta per le 7 posizioni di ingranamento già analizzate in termini di TCA.

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Per determinare le porzioni di superficie che effettivamente costituiscono la superficie del dente reale, occorre determinare dei limiti per le superfici reali che costituiscono i bordi del dente fisico. L’approccio utilizzato consiste nell’estrarre un certo numero di punti, definito a priori dall’utente, tenendo conto di tali limiti.

Questa operazione deve essere effettuata separatamente sia per la superficie del fianco attivo (a) del dente che per quella del raccordo alla base del dente (b). Il dente conside-rato `e un dente del pignone, ma i ragionamenti si applicano al dente corona in maniera perfettamente analoga.

Campionamento punti sulla superficie del raccordo (b) Si definiscono per comodit`a le seguenti equazioni:

f_ct(b)(θp, ψ1, c) = = [X₁(b)(θp, ψ1)]2+ [Y1(b)(θp, ψ1)]2− cot2(γ1) h Am1−Fw1/2+c cos γ1 − [Z (b) 1 (θp, ψ1) + d1f a] i₂ = 0 f_λ¯_f(θp, ψ1, ¯λ) = λf(θp, ψ1) − ¯λ = 0.

La prima equazione rappresenta la famiglia di curve ottenute intersecando la superficie

del raccordo Σ(b)₁ con una famiglia di coni di semiapertura (π/2 − γ1), paralleli perci`o al

back cone (se gli angoli δf 2 del front cone e δb2 sono uguali a γ1) e che hanno vertice

sull’asse Z1. In particolare la distanza dall’origine O1 dal vertice del generico cono della

famiglia `e

Z1(c) =

Am1− Fw1/2 + c

cos γ1

− d1f a. (5.1)

Il punto O1 `e l’origine del sistema di riferimento S1 ed `e detto anche crossing point C.P.,

come indicato in Fig.2.1.

Il parametro c rappresenta la distanza dal front cone del cono attuale, misurata sulla

generatrice del cono primitivo e considerata positiva se concorde con l’asse Z1.

La seconda equazione, che `e l’equation of meshing per la superficie del raccordo Σ(b)₁

risolta rispetto al parametro λf, rappresenta invece la famiglia di curve, nel piano dei

parametri θp e ψ1, che si ottiene al variare del parametro ¯λ.

Le coordinate parametriche (θp, ψ1), che corrispondono ai punti sulla superficie del

raccordo (b), vengono calcolate risolvendo il sistema    f_ct(b)(θp, ψ1, c) = 0 f¯_λ_f(θp, ψ1, ¯λ) = 0, (5.2)

per tutte le coppie di punti (c, ¯λ) volute. Per determinare tutta la porzione di superficie

interessante del raccordo occorre che i parametri suddetti varino nei seguenti intervalli

c ∈ [ 0, Fw1] (5.3)

¯

λ ∈ [ 0, π

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Nel modello, gli intervalli in c ed in ¯λ sono stati suddivisi, rispettivamente, in NFw e

nrac intervalli elementari. Ci`o corrisponde ad approssimare la superficie del dente con

una griglia ordinata di punti in numero pari a (NFw+ 1, nrac + 1).

Dunque si hanno NF w + 1 punti in direzione longitudinale e nrac + 1 in direzione del profilo del raccordo.

Campionamento punti sulla superficie del fianco attivo (a) Si definiscono per comodit`a le seguenti equazioni

f_ct(a)(θp, ψ1, c) =

[X₁(a)(θp, ψ1)]2+ [Y1(a)(θp, ψ1)]2− cot(γ1)2

h Am1−Fw1/2+c cos γ1 − [Z (a) 1 (θp, ψ1) + d1f a] i₂ = 0 f_cl(a)(θp, ψ1, γ) = [X1(a)(θp, ψ1)]2+ [Y1(a)(θp, ψ1)]2−

h

[Z₁(a)(θp, ψ1) + d1f a] tan γ

i₂ = 0. La prima equazione rappresenta la famiglia di curve ottenute intersecando la superficie

del fianco attivo Σ(a)₁ con una famiglia di coni di semiapertura π/2 − γ1, paralleli perci`o

al back cone (se gli angoli δf 2 del front cone e δb2 sono uguali a γ1) e che hanno vertice

sull’asse Z1. In particolare la distanza dall’origine O1 dal vertice del generico cono della

famiglia `e

Z1(c) =

Am1− Fw1/2 + c

cos γ1

− d1f a. (5.5)

Il punto O1 `e l’origine del sistema di riferimento S1 ed `e detto anche crossing point C.P..

Il parametro c rappresenta la distanza dal front cone del cono attuale, misurata sulla

generatrice del cono primitivo e considerata positiva se concorde con l’asse Z1.

La seconda equazione rappresenta, invece, la famiglia di curve ottenute intersecando

la superficie del fianco attivo Σ(a)₁ con una famiglia di coni con vertice coincidente a quello

del face cone ed angolo di semiapertura γ variabile.

Le coordinate parametriche (θp, ψ1), che corrispondono ai punti sulla superficie del

fianco attivo (a), vengono calcolate risolvendo il sistema    f_ct(a)(θp, ψ1, c) = 0 f_cl(a)(θp, ψ1, γ) = 0, (5.6) per tutte le coppie di punti (c, γ) volute. Per determinare tutta la porzione di superficie interessante del fianco occorre che i parametri suddetti varino nei seguenti intervalli

c ∈ [ 0, Fw1] (5.7)

γ ∈ [γ(b), γa2]. (5.8)

Si noti che il valore del parametro γ(b) _{rappresenta il valore che sancisce il passaggio}

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tarsversali. In particolare i valori che assume dipendono dal numero di divisioni trasversali

NFw, e ci`o impone di avere egual numero di divisioni longitudinali sia per la superficie

del fianco attivo che del raccordo.

Nel modello, gli intervalli in c e γ sono stati divisi, rispettivamente, in NFw e nf

intervalli elementari. Ci`o corrisponde ad approssimare la superficie del fianco del dente

con una griglia ordinata di punti in numero pari a (NFw+ 1, nf + 1).

5.1.2 Creazione della geometria: primo modello e modello finale

Il primo approccio bottom-up seguito nella modellazione delle superfici `e stato quello di considerare via via gruppi di 4 punti, fra quelli campionati, come vertici di un’areola (patch) rappresentativa di una piccola porzione della superficie del dente. Ansys interpola 4 punti mediante una patch di Coons (una superficie rigata bilineare). Effettuando un merge di tutte le entit`a coincidenti, l’insieme delle areole create racchiude il volume del

dente considerato. In fig. 5.1 `e riportata un’immagine delle superfici del dente ruota

modellate nel modo descritto. Il campionamento dei punti era stato fatto con NFw =

10, nrac = 3, nf = 3. I risultati ottenuti con questo modello hanno per`o messo in luce

1 JUL 17 2004 11:32:42 AREAS TYPE NUM

Fig. 5.1: Modellazione del dente ruota con patch di Coons.

un problema: fra patch adiacenti esisteva continuit`a geometrica di tipo GC0_{, ma non di}

tipo GC1_{, con la conseguente presenza di spigoli che falsavano il risultato in termini di}

pressioni di sollecitazioni di contatto e forma del contact pattern, come testimoniato dalla

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1 MN MX .34069297.108 193.876 290.643 387.41 484.178 580.945 677.713 774.48 871.248 JUL 17 2004 11:45:47 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB =4 TIME=1 SEQV (AVG) DMX =.01771 SMN =.340692 SMX =871.248

Fig. 5.2: Tensioni secondo Von Mises nel modello con patch di Coons.

Per migliorare questa situazione, una soluzione poteva essere quella di aumentare notevolmente il numero di punti campionati, ma dal momento che a ciascuno di tali punti corrisponde un keypoint in Ansys e a ciascun keypoint corrisponde un nodo, il numero di elementi ottenuto secondo un tale approccio sarebbe stato senz’altro eccessivo, troppo pesante da gestire. Per di pi`u, l’influenza della discontinuit`a delle derivate prime sarebbe stata attenuata, ma non eliminata.

Si `e quindi seguito un approccio diverso, campionando innanzitutto un numero pi`u

elevato di punti sulle superfici teoriche (NFw = 19, nrac = 19, nf = 19) ed

organiz-zando le coordinate di tali punti secondo blocchi in un file .ibl da passare in ingresso al software Pro/Engineer 2001 : a ciascuno di tali blocchi corrispondeva, in sostanza, una curva ottenibile intersecando la superficie del dente con un cono parallelo al back cone e con angolo di semiapertura pari all’angolo primitivo. Pro/Engineer `e servito per

inter-polare tali punti mediante curve B-splines, come riportato in figura 5.3, e per generare

le superfici interpolanti tali curve (che racchiudono il volume del dente), come si vede in

figura5.4. Tali superfici sono di fatto un blending mediante NURBS delle curve B-splines,

con la proprietà di avere continuità geometrica di tipo GC2_{; è assicurata quindi anche la}

continuit`a della curvatura.

I modelli cos`ı ottenuti del dente ruota e del dente pignone sono stati esportati in formato IGES (Initial Graphics Exchange Specification) per poter poi essere importati in ambiente Ansys; durante la fase di importazione, si `e selezionata l’opzione di creazione automatica del volume.

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Fig. 5.3: Curve B-splines ottenute con Pro/Engineer.

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Le fasi successive sono state quelle di creare due settori di corona e pignone composti ciascuno da 5 denti (essendo circa 3 il rapporto di ricoprimento), meshare il modello, vincolarlo e caricarlo. Tutte queste operazioni sono state ripetute per sette volte, dal momento che sette sono le posizioni relative di ruota e pignone da analizzare (e quindi sette sono i modelli ad elementi finiti sviluppati), come gi`a visto nell’ambito della TCA.

5.1.3 Meshatura

Per la meshatura del modello della trasmissione sono stati impiegati 4 tipi di elementi (consultare [18] per maggiori informazioni sulle caratteristiche degli elementi elencati):

1. SOLID92: elementi quadratici tetraedrici;

2. MESH200: elementi mesh (hanno soltanto scopi di ausilio alla meshatura, non danno

output);

3. CONTA174: elementi contact 3D che si “attaccano” ad elementi quadratici (con

nodi midside);

4. TARGE170: elementi target 3D.

Gli elementi MESH200 possono essere utilizzati per meshare superfici (in particolare, superfici curve) imponendo una dimensione lineare media degli elementi; gli elementi superficiali cos`ı creati costituiscono una faccia per gli elementi solidi sottostanti con i quali viene meshato il volume del corpo. Nel nostro modello, i MESH200 sono serviti per differenziare il grado d’infittimento della mesh tra le superfici del rim e le superfici dei denti, dove sono opportune rispettivamente una mesh grossolana e una mesh pi`u fine. Il livello di raffinamento della mesh `e stato scelto attivando il modulo SmartSize di Ansys, che sfrutta tecniche particolari per ottimizzare la forma e la dimensioni degli elementi in funzione della geometria di base (ad esempio riduce la dimensione media degli elementi in corrispondenza di zone ad elevata curvatura).

Gli elementi SOLID92, avendo funzioni di forma quadratiche, permettono di ottenere risultati più accurati (a parità di numero di elementi) e consentono una rappresentazione più fedele delle superfici dei denti. Sono stati scelti elementi tetraedrici perché i comandi di raffinamento localizzato di Ansys non consentono di operare su elementi solidi diversi da tetraedri. Inoltre, i SOLID92 sono stati preferiti alla forma tetraedrica dei SOLID95 perché richiedono meno risorse computazionali.

Al termine della meshatura dei volumi con i SOLID92, tutti gli elementi MESH200 sono stati rimossi.

Per cogliere adeguatamente lo stato di tensione in corrispondenza delle zone di contatto sono stati necessari infittimenti localizzati della mesh, con una dimensione media degli elementi pari a circa 1/100 del minimo raggio di curvatura locale (cfr. [19] e [20]). Per far questo ci si `e serviti del codice DIMNP, che ha fornito:

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1 11 13 14 JUL 17 2004 14:43:47 ELEMENTS

Fig. 5.5: Mesh del modello del pignone. 1 11 13 14 JUL 17 2004 14:42:10 ELEMENTS

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• sistemi di riferimento locali aventi per origine il punto candidato al contatto, asse x in direzione dell’asse minore dell’ellisse di contatto stimata, asse y in direzione dell’asse maggiore e asse z congruo con i precedenti a formare una terna destrorsa;

• estensione delle ellissi di contatto, valutate considerando cautelativamente che

sol-tanto una coppia di denti sia in ingranamento. L’individuazione delle zone candidate al contatto `e stata limitata a 3 denti ruota e a 3 denti pignone;

• raggi di curvatura locali in corrispondenza dei punti candidati al contatto.

Per ciascuna zona di contatto stimata, l’infittimento localizzato `e stato effettuato selezio-nando i nodi contenuti in un volume parallelepipoidale con baricentro coincidente con il punto candidato al contatto e lunghezza pari all’asse maggiore dell’ellisse calcolata, lar-ghezza pari all’asse minore e profondit`a pari al doppio dell’asse minore. I risultati grafici della meshatura del modello pignone e del modello corona in una posizione d’ingranamento

sono riportati rispettivamente in figura5.5 e 5.6.

Per modellare il contatto fra le superfici dei denti si sono modellati dei contact pairs (ciascuno costituito da una contact surface e da una target surface) su tutte le superfi-ci di fianchi e raccordi, sia drive sides che coast sides. In particolare – secondo quanto raccomandato nel capitolo 11, sezione 11.4 “Performing a surface-to-surface contact ana-lysis” di [18] –, si sono rivestiti i lati concavi con elementi TARGE170 e quelli convessi con elementi CONTA174. Relativamente ai CONTA174, mediante il comando KEYOPT si sono specificate le opzioni ritenute opportune per questo caso di analisi del contatto, ovvero:

• KEYOPT,n,10,1: aggiusta automaticamente la rigidezza di contatto ad ogni substep

(come rigidezze di contatto normale e tangenziale iniziali sono assunte quelle valutate dal programma);

• KEYOPT,n,5,3: assegnando al parametro CNOF il valore di 3, f`a s`ı che i

gap iniziali fra superfici contact e target vengano chiusi oppure riduce le micro-penetrazioni iniziali;

• KEYOPT,n,9,1: ignora l’effetto di qualunque penetrazione iniziale, in modo che fra

le superfici contact e target non ci siano sollecitazioni iniziali.

Un’immagine dei contact pairs descritti `e riportata in fig. 5.7; sul modello pignone (in

trasparenza) sono rappresentate in rosso le superfici target (elementi TARGE170) e in blu le contact (elementi CONTA174).

Gli stessi tipi di elementi sono stati adottati anche per unire fra loro i 5 denti adia-centi di corona e pignone, ottenuti inizialmente con un semplice array polare attorno ai rispettivi assi di rotazione.

Si `e modellato un tipo di contatto detto bonded contact (always), che vincola i nodi delle superfici contact e target a comportarsi allo stesso modo per il resto dell’analisi (natu-ralmente in termini di gradi di libert`a). Per questo tipo di contatto, Ansys 8.0 mette a

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1 11 13 14 JUL 17 2004 15:20:33 ELEMENTS TYPE NUM

Fig. 5.7: Contact pairs fra le superfici attive dei denti.

disposizione un approccio detto MPC (Multipoint Constraint), che, instaurando opportu-ne relazioni fra i nodi e gli elementi delle due superfici a contatto, riduce la dimensioopportu-ne del problema e consente notevoli risparmi di risorse. Per seguire questo procedimento, le opzioni principali da scegliere col comando KEYOPT in aggiunta a quelle viste in precedenza sono:

1) KEYOPT,n,12,5: stabilisce che il contatto modellato sia di tipo bonded always;

2) KEYOPT,n,2,2: sceglie l’approccio MPC.

5.1.4 Vincoli e carichi applicati

Al fine di valutare le potenzialità di Hypoid Face Milled, è necessario riprodurre un mo-dello che ricalchi quello della ANSol il più fedelmente possibile. Questo deve accadere naturalmente anche nella modellazione dei vincoli e dei carichi applicati.

Sulla base delle informazioni forniteci dall’autore principale del codice Hypoid Face Milled, il suo modello ad elementi finiti `e vincolato come segue:

a) ai nodi appartenenti alla superficie conica di base della corona (base del rim) vengono

annullati tutti i gradi di libertà. Si deve osservare che la LTCA è un tipo di analisi statica, non tiene conto degli effetti dinamici derivanti dalle velocità delle ruote (infatti da alcuni è denominata SLTCA, Static Loaded Tooth Contact Analysis);

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b) la coppia motrice viene ripartita fra tutti i nodi appartenenti alla base del rim del pignone, considerata rigida.

L’ulteriore vincolo `e costituito dal contatto fra le superfici contact e target dei due corpi. Per applicare la condizione b), si `e proceduto nel seguente modo:

1. si `e rivestita la base del rim pignone con elementi CONTA174 con le stesse opzioni

viste in fondo al paragrafo precedente (bonded always e approccio MPC);

2. si `e creata una superficie identica alla base del rim del pignone, perfettamente

sovrapposta ad essa, e la si `e meshata con elementi TARGE170 rigidi di forma triangolare;

3. per “pilotare” tale superficie rigida si `e usato un pilot node posto nel crossing point,

avente come unico grado di libert`a la rotazione attorno all’asse del pignone. Gli spo-stamenti di tutti i nodi della superficie target rigida sono determinati dalla rotazione del pilot node;

4. sul pilot node si `e applicata la coppia motrice, il cui valore `e di 916700 Nmm (valore

massimo di esercizio fornito da Avio).

Un’immagine del modello completo di ruota e pignone, con i vincoli sulla base della corona

e la coppia concentrata sul pilot node `e riportata in figura 5.8.

5.1.5 Soluzione

Il tipo di analisi che Ansys ha dovuto affrontare è di tipo statico e non lineare (a causa della presenza di contatto). Per consentire al software di adottare i suoi algoritmi per la gestione ottimale del modulo solutore, si è attivata l’opzione SOLCONTROL,ON. Ci si è poi limitati alla scelta del solver: si è optato per il solver PCG (Preconditioned Conjugate Gradient), molto valido per la soluzione di questo genere di problemi e meno oneroso dello Sparse Direct solver, usato di default dal programma. La compresenza del PCG e di elementi SOLID92 rappresenta una fortunata circostanza, perché permette l’uso del comando MSAVE,ON, che consente ulteriori risparmi in termini di memoria fisica richiesta al computer.

La coppia motrice `e stata applicata in un unico loadstep, suddiviso in un numero iniziale di 10 substep.

La soluzione ha richiesto approssimativamente 70 minuti di calcolo su un calcolatore con processore da 1700 MHz e 768 MB di RAM. Il tempo impiegato `e piuttosto contenuto, se si considera la non linearit`a del problema ed il fatto che sono presenti in totale circa 105000 elementi.

5.2 Confronto dei risultati

Il confronto fra i risultati dei due software `e stato condotto in termini di LTCA, quindi errore di trasmissione e bearing contact, ed in termini di analisi dello stato di tensione, in

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1 -916700 X Y Z JUL 17 2004 16:44:22 ELEMENTS U M

Fig. 5.8: Modello vincolato e caricato.

particolare pressione di contatto, tensione equivalente secondo Von Mises σV M e tensione

principale S1.

La convergenza spaziale dei risultati del modello Ansys nelle zone candidate al contatto `e stata verificata prendendo a riferimento il valore massimo delle pressioni di contatto e stimando l’errore di convergenza al progredire del raffinamento della mesh (cfr. [19]). Si `e arrestato l’infittimento localizzato in corrispondenza di valori dell’errore di convergenza intorno a 0.07.

A differenza di quanto accade nella TCA, nella LTCA entra in gioco la deformabilità dei corpi, che condiziona la funzione di trasmissione tanto più marcatamente quanto più è elevato il carico agente.

Per quanto riguarda i risultati ottenuti in Ansys, la rotazione del pilot node rappresenta

proprio la componente dell’errore di trasmissione ∆φ1(φ2) dovuta alla elasticit`a dei corpi;

a questa si `e dovuto sovrapporre la componente cinematica valutata con la TCA.

L’errore di trasmissione calcolato da Hypoid Face Milled, invece, contiene gi`a la somma dei due effetti.

Processando opportunamente i risultati (come gi`a visto nell’ambito della TCA) e pren-dendo ancora la prima posizione d’ingranamento come posizione di riferimento iniziale, si

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3.24 3.26 3.28 3.32 3.34 3.36 3.38 2rad 0.001275 0.00125 0.001225 0.0012 0.001175 0.00115 0.001125 0.0011 1rad

Fig. 5.9: Errori di trasmissione del codice DIMNP (in rosso) e di Hypoid Face Milled (in azzurro). 3.24 3.26 3.28 3.32 3.34 3.36 3.38 2 rad 0.0012 0.001 0.0008 0.0006 0.0004 0.0002 1rad

Fig. 5.10: Errori di trasmissione del codice DIMNP e di Hypoid Face Milled (ordinate a fondo scala).

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Z R Contact Pressure 0.000E+000 9.375E+001 1.875E+002 2.813E+002 3.750E+002 5.625E+002 7.500E+002 1.125E+003 1.500E+003

Fig. 5.11: Risultato del comando PATTERN per il pignone.

Z R Contact Pressure 0.000E+000 9.375E+001 1.875E+002 2.813E+002 3.750E+002 5.625E+002 7.500E+002 1.125E+003 1.500E+003

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A differenza dei risultati della TCA, qui l’errore commesso dai due programmi nella

stima dell’errore di trasmissione ha un valore massimo del 3% (cfr. fig. 5.10) e gli

an-damenti delle due funzioni sono molto simili. Questo accade evidentemente perché, data la rilevanza del carico applicato, l’effetto dovuto alla deformabilità dei corpi prevale su quello dovuto alla forma delle superfici (e infatti gli errori di trasmissione calcolati sono almeno di un ordine di grandezza superiori a quelli visti nella TCA) ed è meno influenzato dal quel micro-sfasamento angolare delle superfici dei due modelli indicato in precedenza. Per la stima del bearing contact, Hypoid Face Milled mette a disposizione il comando PATTERN, che compie una proiezione circolare su un piano passante per l’asse della ruota (o del pignone) di tutti i contact pattern presenti sui denti in presa negli istanti di tempo

considerati. Nelle figure 5.11 e 5.12 sono riportati i risultati del comando PATTERN

rispettivamente per il pignone e per la corona. In ambiente Ansys non `e possibile rico-struire lo stesso tipo d’immagine (o meglio, sarebbe possibile dopo svariate elaborazioni grafiche dei risultati), quindi per confrontare i bearing contact si sono dovute affiancare le immagini prodotte dai due codici a ciascuna delle posizioni d’ingranamento analizzate.

Sono stati riportati i risultati in termini di tensione principale S1; nelle immagini delle

figure 5.13 e 5.14, riferite rispettivamente a pignone e corona, sono evidenti le posizioni

delle zone di contatto sulle superfici dei denti.

Si può osservare che il codice Hypoid Face Milled ha rilevato correttamente le zone di contatto principali, ma non quelle in corrispondenza delle estremità delle superfici dei denti: pare quindi che il software non sia in grado di individuare edge-contact (contatti di spigolo) né corner-contact (contatti di punta).

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MN MX 11 13 14 -917.972-740.78 -563.588 -386.395 -209.203 -32.01 145.182 322.375 499.567 676.759 JUL 16 2004 23:41:12 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB =6 TIME=1 S1 (AVG) DMX =.061773 SMN =-917.972 SMX =676.759

(a) Posizione 1 (Ansys). (b) Posizione 1 (Hypoid Face Milled).

1 MN MX 11 13 14 -1781 -1493 -1206 -918.108 -630.633 -343.157 -55.682 231.794 519.27 806.745 JUL 17 2004 00:14:12 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB =6 TIME=1 S1 (AVG) DMX =.06146 SMN =-1781 SMX =806.745

(c) Posizione 2 (Ansys). (d) Posizione 2 (Hypoid Face Milled).

1 MN MX 11 13 14 -1268 -1024 -780.616 -537.009 -293.402 -49.795 193.812 437.419 681.026 924.633 JUL 17 2004 00:21:06 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB =6 TIME=1 S1 (AVG) DMX =.060233 SMN =-1268 SMX =924.633

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1 MN MX 11 13 14 -1099 -906.223 -713.704 -521.186 -328.667 -136.148 56.37 248.889 441.408 633.926 JUL 17 2004 00:29:10 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB =6 TIME=1 S1 (AVG) DMX =.059388 SMN =-1099 SMX =633.926

(g) Posizione 4 (Ansys). (h) Posizione 4 (Hypoid Face Milled).

1 MN MX 11 13 14 -629.82 -491.302 -352.783 -214.264 -75.745 62.773 201.292 339.811 478.329 616.848 JUL 17 2004 00:36:19 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB =6 TIME=1 S1 (AVG) DMX =.059848 SMN =-629.82 SMX =616.848

(i) Posizione 5 (Ansys). (j) Posizione 5 (Hypoid Face Milled).

1 MN MX 11 13 14 -760.547-614.095 -467.643 -321.191 -174.739 -28.287 118.164 264.616 411.068 557.52 JUL 17 2004 00:44:28 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB =6 TIME=1 S1 (AVG) DMX =.061882 SMN =-760.547 SMX =557.52

(18)

1 MN MX 11 13 14 -963.891-802.003-640.116-478.228-316.34 -154.4527.436 169.323 331.211 493.099 JUL 17 2004 00:05:24 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB =6 TIME=1 S1 (AVG) DMX =.062305 SMN =-963.891 SMX =493.099

(m) Posizione 7 (Ansys). (n) Posizione 7 (Hypoid Face Milled).

(19)

MN MX 11 13 14 -580.084-471.452 -362.819 -254.187 -145.554 -36.922 71.711 180.344 288.976 397.609 JUL 16 2004 23:54:20 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB =6 TIME=1 S1 (AVG) DMX =.028658 SMN =-580.084 SMX =397.609

(a) Posizione 1 (Ansys). (b) Posizione 1 (Hypoid Face Milled).

(c) Posizione 2 (Ansys). (d) Posizione 2 (Hypoid Face Milled).

(20)

(g) Posizione 4 (Ansys). (h) Posizione 4 (Hypoid Face Milled).

1 MN MX 11 13 14 -530.47-429.88-329.29-228.7-128.11-27.52 73.07 173.66 274.25 374.84 JUL 17 2004 00:39:27 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB =6 TIME=1 S1 (AVG) DMX =.025763 SMN =-530.47 SMX =374.84

(i) Posizione 5 (Ansys). (j) Posizione 5 (Hypoid Face Milled).

(21)

1 MN MX 11 13 14 -588.53 -481.641-374.753-267.865-160.976-54.088 52.8 159.689 266.577 373.466 JUL 17 2004 00:03:32 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB =6 TIME=1 S1 (AVG) DMX =.027356 SMN =-588.53 SMX =373.466

(m) Posizione 7 (Ansys). (n) Posizione 7 (Hypoid Face Milled).

(22)

Una prova di questo tipo di comportamento `e riportata in figura5.15, in cui sono messi

a confronto il contact pattern calcolato da Ansys sulle superfici contact (cfr. fig. 5.7) e

quello corrispondente calcolato da Hypoid Face Milled nella prima posizione d’ingrana-mento: le posizioni e le dimensioni delle due zone di contatto principali sono ben rilevate, ma sono completamente ignorati i due edge-contact ed il corner contact. A spiegazione dell’incapacit`a del codice di rilevare tali tipi di contatto si potrebbe addurre il fatto che la tecnica utilizzata per la contact analysis (basata sulla teoria di Boussinesq) non `e valida quando il contatto si estende ai confini delle superfici dei denti; potrebbe quindi essere possibile che Hypoid Face Milled escluda tali zone dall’analisi di contatto per non ottenere risultati di scarso significato fisico.

Per tutti questi motivi, anche i valori delle pressioni di contatto calcolati da Hypoid Face Milled sono superiori a quelli calcolati da Ansys (essendo inferiore il numero di coppie

di denti in presa), con errori fino al 35% (v. fig.5.15).

A proposito del calcolo dello stato di tensione, si deve segnalare che l’unica componente di tensione che Hypoid Face Milled valuta in corrispondenza delle zone di contatto `e la pressione di contatto. Pertanto, un confronto con le altre componenti di stress ha senso soltanto al di fuori di tali zone.

`

E particolarmente importante la valutazione delle tensioni in corrispondenza dei rac-cordi di piede. Si riportano i risultati in termini di tensione equivalente secondo Von Mises sul pignone relativamente alla posizione 3 (i risultati sono comunque rappresentativi del comportamento del codice in tutte le altre posizioni). Sono stati calcolati i valori massimi

di σV M nei 3 raccordi di piede (soggetti a trazione) dei 3 denti su cui sono localizzate le

zone di contatto principali. Come si vede dalla figura 5.16, il valore massimo rilevato da

Hypoid Face Milled si trova sul dente centrale invece che sul primo dente a sinistra, ed i valori ottenuti da Hypoid Face Milled sono superiore sul dente centrale e inferiori sugli altri due, coerentemente con la situazione di carico che ha stimata:

• 95.4 MPa contro i 305 MPa di Ansys;

• 298 MPa contro 261.5 MPa;

• 109.3 MPa contro 277.7 MPa.

Lo stesso tipo di tendenza e gli stessi livelli d’errore sono stati ottenuti in termini di tensione principale sul pignone.

I livelli d’errore si riducono invece passando all’analisi delle tensioni nei raccordi di fondo dente della corona, in cui le curvature sono meno elevate: questo fa supporre che il grado d’infittimento della mesh del modello di Hypoid Face Milled adottato per il pignone non sia sufficientemente raffinato; quindi, il template MEDIUM usato dal software non è il più adatto a compiere stime accurate dello stato di tensione. Può essere comunque utilizzato per indagare le tendenze delle componenti della sollecitazione. Anche sulla base di quanto ipotizzato da uno degli autori del codice (Sandeep Vijayakar), le dimensioni degli elementi del mesh template MEDIUM potrebbero essere un po’ eccessive per questo tipo di analisi e forse la stessa incapacità di cogliere quei tipi di contatto menzionati sopra è attribuibile alla grossolanità della mesh.

(23)

MN MX 11 13 14 0 120.384 240.767 361.151 481.534 601.918 722.301 842.685 963.069 1083 JUL 18 2004 12:53:39 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB =6 TIME=1 CONTPRES (AVG) RSYS=0 DMX =.061773 SMX =1083

(a) Contact pattern in Ansys. Pressione di contatto max.: 1083 MPa.

(b) Contact pattern in Hypoid Face Milled. Pressione di contatto max.: 1446 MPa. Fig. 5.15: Contact pattern alla posizione 1.

(24)

(a) σV M in Ansys. -2.000000 -1.000000 0.000000 1.000000 2.000000 0.000000 100.000000 200.000000 300.000000 t_Face Von Mises stress (svm) on PINION at FILLET1

svm=9.536421E+001, tth=20, time=4.622450E+000, s=6.857143E+000, t=-4.693877E-001, dpth=0.000000E+000 svm=2.068816E+002, tth=21, time=4.622450E+000, s=6.857143E+000, t=1.020409E-001, dpth=0.000000E+000 svm=1.093158E+002, tth=22, time=4.622450E+000, s=0.000000E+000, t=4.285716E-001, dpth=0.000000E+000

(b) σV M in Hypoid Face Milled.