Il modello delle isole di Robert E. Lucas

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Il ”modello delle isole” di Robert E. Lucas

Francesco Giavazzi

versione rivista, 15 ottobre 2009

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1 Il modello microeconomico

1.1 allocazione infra-temporale del tempo di lavoro

Definiamo c il consumo e l le ore lavoarate. Le preferenze sono definite su consumo e tempo libero (1 − l). Normalizziamo a 1 le ore totali disponibili in ciascun peirodo.

u = u (c, 1 − l) = log (c¹) + b log (1 − l¹) Il problema del lavoratore-consumatore `e max u sotto il vincolo

c = wl ove w `e il salario orario reale. La CPO `e

− b

1 − l^∗ + 1 l^∗ = 0

le ore di lavoro ottimali, l^∗, sono indipendenti dal salario. Il motivo è che con preferenze logaritmiche effetto di sostituzione ed effetto di reddito si elidono.

1.2 allocazione inter-temporale del tempo di lavoro

Vi sono due periodi, 1 e 2. Il tasso di preferenza intertemporale è δ: più elevato è δ, meno peso l’individuo assegn al futuro. Le preferenze sono

u = log (c₁) + b log (1 − l1) + e^−δ[log (c₂) + b log (1 − l2)]

Definendo r il tasso di interesse reale, il vincolo di bilancio `e

c1+ c2

1 + r = w1l1+ w2l2

1 + r e le CPO possono essere scritte sinteticamente

1 − l1^∗

1 − l2^∗

= w2

w1

1 e^−δ(1 + r)

l’offerta relativa di lavoro (cioè la scelta se lavorare più ore oggi o domani) dipende dal salario relativo, dal tasso di interesse e da δ. Un aumento nel tasso di interesse aumenta l₁^∗/l^∗₂ perchè lavorare nel periodo 1 consente di risparmiare e investire ad un rendimento pù elevato. Un aumento w₁/w₂ aumenta l^∗₁/l^∗₂ .

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1.3 la curva di oﬀerta

Il modello di allocazione intertemporale del lavoro giustifica questa funzione di oﬀerta.

Vi sono Z mercati separati (z = 1....Z). L’oﬀerta in ciascun mercato `e

y_t(z) = yⁿ_t + γ [p_t(z) − E(Ptp It(z))]

L’espressione è in logaritmi; y_tⁿè il il livello di produzione di pieno impiego, che per semplicità normalizziamo a 0. I lavoratori visitano un solo mercato alla volta e devono decidere se lavorare qul periodo in quel mercato, oppure attendere il periodo successivo ed esplorare le condizioni in un iverso mercato. In ciascun periodo osservano il prezzo nel mercato che visitano, p_t(z), e stimano il livello generale dei prezzi P_t=

Z

z

p_t(z) dz usando l’informazione, It(z) , di cui dispongono It(z) contiene pt(z),e P_t−iper i º 1.

Il motivo per cui i lavoratori sono interessati a P_t `e che il loro paniere di consumo contiene (simmetricamente) beni prodotti in tutti i mercati.

1.4 il problema di estrazione del segnale

Si tratta di costruire una stima eﬃciente di P_t usando l’informazione contenuta in It(z) .

Vi sono due variabili stocastiche:

• pt(z) = P_t+ z_t, il prezzo in ciascun mercato, che fluttua intorno al livello generale dei prezzi,

• Pt che fluttua nel tempo in funzione di altre variabili macroeconomiche (come vedremo, la moneta m_t)

Ipotizziamo che le due variabili stocastiche abbiano una distribuzione di probabilit`a congiunta descritta da una Normale bivariata

f (P_t, p_t(z)) = 1 2πστ exp

∙1 2

µ 1 σ²

³

P_t− Pt

´2

+ 1

τ²(p_t(z) − Pt)²

¶¸

I momenti di questa distribuzione congiunta sono:

• E [pt(z)] = P_t : le fluttuazioni del prezzo in ciascun mercato intorno al livello generale di prezzi hanno media nulla e

• V ar [pt(z)] = τ²

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• V ar [P^t] = σ².

Assumiamo anche che non vi sia correlazione fra fluttuazioni microeconomiche (attraverso i mercati) e macroeconomiche (cioe’ di Pt nel tempo):

• Cov [p^t(z) , Pt] = 0.

Notate che l’ipotesi di covarianza nulla significa che P_t e p_t(z) sono (stocastica- mente) indipendenti. Infatti la distribuzione di probabilità congiunta si può esprimere come il prodotto di due funzioni di densità normali univariate, cioè f (P_t, p_t(z)) = f (P_t) f (p_t(z)). Questo non è vero in generale, cioè se Cov [p_t(z) , P_t] 6= 0.

Data la distribuzione congiunta f (Pt, pt(z)), si pu`o ora (applicando il teorema di Bayes ¹) calcolare la funzione di densit`a condizionale f (P_tp pt(z)) = ^{f (P}_{f (p}^t^,p^t^(z))

t(z)) , ove f (pt(z)) `e la distribuzione marginale di pt(z) e cio`e R_+∞

−∞ f (Pt, pt(z)) dz =

√1

2πτ exp³

−_2σ¹^” [p_t(z) − Pt]²´

f (Ptp p^t(z)) = 1

√2πσ exp µ

− 1 2σ²

h³

Pt− P^t

´i +σ

τ (pt(z) − P^t)

¶2

Qualche passaggio di algebra consente di mostrare che il termine all’esponente pu`o essere semplificato, ottenendo

σ²+ τ² σ²τ²

∙

P_t²+ τ² σ²+ τ²Pt

2+ σ²

σ²+ τ²pt(z)²− 2P^t

µ τ²

σ²+ τ²Pt+ σ²

σ²+ τ²pt(z)

¶¸

ovvero

σ²+ τ² σ²τ²

∙ P_t−

µ τ²

σ²+ τ²P_t+ σ²

σ²+ τ²p_t(z)

¶¸2

e quindi

f (Ptp p^t(z)) = 1

2πτ²σ² exp

"

−1 2

σ²+ τ² σ²τ²

∙ Pt−

µ σ²

σ²+ τ²pt(z) + τ² σ²+ τ²Pt

¶¸2#

il che significa

E [P_tp pt(z)] = σ²

σ²+ τ²p_t(z) + τ²

σ²+ τ²P_t= (1 − ϑ) pt(z) + ϑP_t

V ar [P_tp pt(z)] = σ²τ²

σ²+ τ² = ϑσ² con ϑ =¡

1 + σ²/τ²¢₋₁

. Si osserva che:

1f (A p B) = ^{f (A,B)}f (B)

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• τ² −→ 0, E (Ptp p^t(z)) −→ p^t(z) e V ar (Ptp p^t(z)) −→ 0

• τ² −→ ∞, E (Ptp p^t(z)) −→ P^t poich´e ϑ −→ 1

2 Il modello macroeconomico

• Oﬀerta aggregata:

Nel paragrafo precedente abbiamo mostrato che la soluzione del problema di estrazione del segnale consente di scrivere l’oﬀerta dell’impresa z

yt(z) = γ [pt(z) − E(P^tp I^t(z))]

nella forma

yt(z) = γh

pt(z) − (1 − ϑ) p^t(z) + ϑPt

i

Aggregando su tutte le imprese si pu`o calcolare il livello di produzione aggregato nell’economia

yt=R

zyt(z) dz = γϑ

∙

Pt−P⁻t

¸

ove P_t = E [P_tp I(t − 1)] . Questa `e una Curva di Phillips (ricordate che yt(z) misura le deviazioni della produzione dal livello di pieno impiego) in cui solo errori nelle aspettaive influenzano le deviazioni della produzione aggregata dal livello di pieno impiego.

• Domanda aggregata:

Ipotizziamo che la domanda aggregata sia semplicemente (come la domanda aggregata nel libro di Blanchard), in logaritmi

y_t= m_t− Pt

• L’equilibrio nel mercato dei beni, cio`e domanda aggregata uguale oﬀerta aggregata richiedono che il livello dei generale prezzi nell’economia sia

P_t= 1 1 + γϑ

h

m_t+ γϑP_ti

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Ora ricorda che P = E [P_tp I(t − 1)] e calcola, assumedo ”aspettative razionali”², E [Ptp I(t − 1)]

E [P_tp I(t − 1)] = 1

1 + γϑ[m_t+ γϑE [P_tp I(t − 1)]]

= E [mtp I(t − 1)]

Sostituendo questa espresisone per le aspettative nella curva di oﬀerta otteniamo yt= π (mt− E [m^tp I(t − 1)])

ove π = _1+γϑ^γϑ .

• la componente della politica monetaria che `e anticipata (mt= E [m_tp I(t − 1)]) non ha alcun eﬀetto reale

• la componente non anticipata ha eﬀetti reali che dipendono da π

• σ²= V ar [P_tp I (t − 1)] = (1 + γϑ)⁻²V ar (m_t)

— per V ar (m_t) −→ ∞, π −→ 0 per ogni τ²

— per τ²−→ 0 π, −→ 0 per ogni valore della V ar (mt)

In conclusione vi sono due fonti di incertezza nell’economia descritta da Lucas:

• incertezza strutturale, rappresentata da τ². Questa `e una caratteristica dell’economia, indipendente dalla politica monetaria adottata,

• incertezza derivante dalla volatilit`a della politica monetaria, rappresentata da V ar (mt) .

Un conclusione di questo modello è che le stime degli effetti reali della politica monetaria non sono attendibili perchè dipendono dalla volatilità della politica monetaria nel particolare campione usato per la stima. Se cambia la volatilità della politica monetaria–ad esempio se la banca centrale volesse divenire più attiva–l’effetto reale di ogni innovazione monetaria diminuirebbe. Questa è quella che viene chiama la Critica di Lucas ai modelli econometrici.

2Per farlo ricorda che per calcolare in modo ”razionale” il valore atteso di Pt la cosa da fare `e utilizzare la condizione che determiner`a il prezzo di equilibrio nel periodo t.

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3 Aspettative razionali vs Aspettative adattive

Studiamo ora come cambierebbe il risultato se, anzich`e l’ipotesi di aspettative razionali, avessimo usato l’ipotesi di aspettative adattive, cio`e:

P_t^e= P_t−1^e + β£

P_t−1− P_t−1^e ¤

con 0 < β < 1

ove P_t^e= E [P_t|It]

La soluzione per P_têè (usando l’operatore ritardo Lx(t) = x(t − 1)) [1 − (1 − β)L] Ptê = βP_t−1 =⇒ P_tê= _{1−(1−β)L}^β P_t−1

= βP^∞

0i(1 − β)ⁱP_t−1−i Ora introduciamo questa ipotesi sulle aspettaive nella funzione di oﬀerta:

y_t= π(P_t− Pt^e)

y_t= π(P_t−_{1−(1−β)L}^βL P_t)

yt= (1 − β) yt−1+ π(Pt− Pt−1)

Osservato che in questo caso, cio`e con aspettaive adattive, controllando (P_t− Pt−1)

`

e possibile controllare esattamente y_t, cio`e mantenere il livello di produzione sempre al livello di pieno impiego.