Teoria dei Sistemi e Controllo Ottimo e Adattativo (C. I.) Teoria dei Sistemi (Mod. A)

Teoria dei Sistemi e Controllo Ottimo e Adattativo (C. I.) Teoria dei Sistemi (Mod. A)

Docente: Giacomo Baggio

Lez. 23: Esercizi in preparazione all’esame

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Meccatronica A.A. 2019-2020

osservabilit`a e ricostruibilit`a

stimatori dello stato

sintesi del regolatore concetto di sistema

classificazione e rappresentazione

di stato

richiami di algebra lineare soluzioni e

analisi modale

raggiungibilit`a e controllabilit`a retroazione

dallo stato

equilibri e linearizzazione stabilit`a

In questa lezione: esercizi misti!

Û Esercizio 1: forma di Jordan e analisi modale

Û Esercizio 2: stabilit`a di sistemi non lineari

Û Esercizio 3: raggiungibilit`a/controllabilit`a

Û Esercizio 4: retroazione dallo stato

In questa lezione: esercizi misti!

Û Esercizio 1: forma di Jordan e analisi modale

Û Esercizio 2: stabilit`a di sistemi non lineari

Û Esercizio 3: raggiungibilit`a/controllabilit`a

Û Esercizio 4: retroazione dallo stato

Esercizio 1

x(t + 1) = Fx(t), F =

S WU

2 0 0

1 ³₂ ≠¹₂ 2 ≠1 1

T XV

y(t) = Hx(t), H = ^Ë– 1 1^È, – œ R

1. Forma di Jordan e modi del sistema?

2. Insieme di stati iniziali che generano evoluzioni di stato non divergenti?

3. Valori di – tali che y(t) converga a zero per ogni stato iniziale x(0)?

Giacomo Baggio IMC-TdS-1920: Lez. 23 December 17, 2019 5 / 20

Esercizio 1: soluzione

1. FJ =

S WU

2 0 0 0 2 0 0 0 ¹₂

T

XV. Modi: 2^≠t, 2^t.

2. X0 = span

S WU

01 2

T XV.

3. – = 0.

Giacomo Baggio IMC-TdS-1920: Lez. 23 December 17, 2019 6 / 20

In questa lezione: esercizi misti!

Û Esercizio 1: forma di Jordan e analisi modale

Û Esercizio 2: stabilit`a di sistemi non lineari

Û Esercizio 3: raggiungibilit`a/controllabilit`a

Û Esercizio 4: retroazione dallo stato

Esercizio 2

˙x1(t) = ≠x1³(t) ≠ x2³(t)

˙x2(t) = x1(t) + x2(t) + u(t)

1. Per u(t) = 0, ’t, carattere di stabilit`a di ¯x =

C0 0

D

?

2. Per u(t) = Kx(t), matrice K tale che ¯x =

C0 0

D

sia asintoticamente stabile?

(Utilizzare la funzione V (x1,x2) = x₁²+ x₂⁴, se necessario)

Giacomo Baggio IMC-TdS-1920: Lez. 23 December 17, 2019 8 / 20

Esercizio 2: soluzione

1. ¯x instabile.

2. K =^Ë≠¹₂ k2

È, k2 <≠1.

Giacomo Baggio IMC-TdS-1920: Lez. 23 December 17, 2019 9 / 20

In questa lezione: esercizi misti!

Û Esercizio 1: forma di Jordan e analisi modale

Û Esercizio 2: stabilit`a di sistemi non lineari

Û Esercizio 3: raggiungibilit`a/controllabilit`a

Û Esercizio 4: retroazione dallo stato

Esercizio 3

x(t + 1) = Fx(t) + Gu(t), F =

S WU

1 0 0 1 0 1 0 0 2

T XV, G =

S WU

11 0

T XV

1. Raggiungibilit`a, controllabilit`a, stabilizzabilit`a del sistema?

2. Ingresso u(t) che porta il sistema da x(0) =

S WU

11 1

T

XV a x(2) =

S WU

46 4

T XV?

Giacomo Baggio IMC-TdS-1920: Lez. 23 December 17, 2019 11 / 20

Esercizio 3: soluzione

1. Sistema non raggiungibile, non controllabile e non stabilizzabile.

2. u(0) = u(1) = ³₂.

Giacomo Baggio IMC-TdS-1920: Lez. 23 December 17, 2019 12 / 20

In questa lezione: esercizi misti!

Û Esercizio 1: forma di Jordan e analisi modale

Û Esercizio 2: stabilit`a di sistemi non lineari

Û Esercizio 3: raggiungibilit`a/controllabilit`a

Û Esercizio 4: retroazione dallo stato

Esercizio 4

x(t + 1) = Fx(t) + Gu(t), F =

S WU

0 1 0 0 0 0 0 0 1

T XV, G =

S WU

0 02 0 0 1

T XV

1. Stabilizzabilit`a del sistema da un singolo ingresso?

2. Matrice K tale che il polinomio minimo di F + GK sia F+GK(⁄) = ⁄³?

Giacomo Baggio IMC-TdS-1920: Lez. 23 December 17, 2019 14 / 20

Esercizio 4: soluzione

1. Sistema stabilizzabile solo dal secondo ingresso.

2. Ad esempio, K =

C0 0 0 1 0 ≠1

D

.

Giacomo Baggio IMC-TdS-1920: Lez. 23 December 17, 2019 15 / 20

Teoria dei Sistemi e Controllo Ottimo e Adattativo (C. I.) Teoria dei Sistemi (Mod. A)

Docente: Giacomo Baggio

Lez. 23: Esercizi in preparazione all’esame

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Meccatronica A.A. 2019-2020

B baggio@dei.unipd.it m baggiogi.github.io

Esercizio 1 [riadattato da Es. 3 tema d’esame 4 Luglio 2018] ^extra x(t + 1) = Fx(t), F =

S WU

2 0 0

1 ³2 ≠¹2 2 ≠1 1 T XV y(t) = Hx(t), H =^Ë– 1 1^È, – œ R

1. Forma di Jordan e modi del sistema?

2. Insieme di stati iniziali che generano evoluzioni di stato non divergenti?

3. Valori di – tali che y(t) converga a zero per ogni stato iniziale x(0)?

Giacomo Baggio IMC-TdS-1920: Lez. 23 December 17, 2019 5 / 19

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Esercizio 2 [riadattato da Es. 1 tema d’esame 20 Gennaio 2017] ^extra

˙x1(t) = ≠x³1(t) ≠ x³2(t)

˙x2(t) = x1(t) + x2(t) + u(t)

1. Per u(t) = 0, ’t, carattere di stabilit`a di ¯x = C0

0 D

? 2. Per u(t) = Kx(t), matrice K tale che ¯x =^C0

0 D

sia asintoticamente stabile?

(Utilizzare la funzione V (x1,x2) = x1²+ x2⁴, se necessario)

Giacomo Baggio IMC-TdS-1920: Lez. 23 December 17, 2019 8 / 19

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Esercizio 3 [riadattato da Es. 2 tema d’esame 4 Settembre 2018] ^extra x(t + 1) = Fx(t) + Gu(t), F =

S WU

1 0 0 1 0 1 0 0 2 T XV, G =

S WU 11 0 T XV

1. Raggiungibilit`a, controllabilit`a, stabilizzabilit`a del sistema?

2. Ingresso u(t) che porta il sistema da x(0) = S WU 11 1 T XVa x(2) =

S WU 46 4 T XV?

Giacomo Baggio IMC-TdS-1920: Lez. 23 December 17, 2019 11 / 19

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Esercizio 4 [riadattato da Es. 2 tema d’esame 12 Settembre 2017] ^extra x(t + 1) = Fx(t) + Gu(t), F =

S WU

0 1 0 0 0 0 0 0 1 T XV, G =

S WU 0 02 0 0 1 T XV

1. Stabilizzabilit`a del sistema da un singolo ingresso?

2. Matrice K tale che il polinomio minimo di F + GK sia F+GK(⁄) = ⁄³?

Giacomo Baggio IMC-TdS-1920: Lez. 23 December 17, 2019 14 / 19

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