Sul comportamento effettivo delle curve polari nei punti multipli.
l~Iemoria di EDOARDO VESEhTTINI (a ]k[ilano).
Santo. -Recentemente B. SEG]~ ha mostrato che la questione del comportamento effettivo delle p o l a r i @ di fatto assai meno semplice di come si era ritenuto p r i m a d'ora. N e l presente lavoro affronto la questione da L u i p o s t a precisando tale comportamento n e t case delle curve piane, sotto ipotesi a b b a s t a n z a late e eollegandolo all'ideale associate ad u n a d a t a singolarit~, i n base a considerazioni aritmetiche p o g g i a n t i s u l t a teoria delle f r a z i o n i continue.
I n d u e r e c e n t i l a v o r i B. SE@RE ([1l] - [12]) (~) h a m o s t r a t o c o n e s e m p i c h e l a proprieth~ s e c o n d o l a q u a l e le p r i m e p o l a r i di u n a c u r v a a l g e b r i e a p i a n a p a s s a n o p e r i p u n t i m - p l i di q u e s t a c o n m o l t e p l i e i t ~ m - - 1 a l m e n o , v a l e in g e n e r a l e s o l t a n t o p e r i p u n t i m u l t i p l i p r o p r i e p e r q u e l l i s i t u a t i n e l t o r e i n t e r n e i n f i n i t e s i m a l e d e l p r i m o o r d i n e , ed h a s e g n a l a t o l ' i n t e r e s s e d e l p r o b l e m a di d e t e r m i n a r e la e o m p o s i z i o n e d e l l e s i n g o l a r i t h e f f e t t i v e d e l l e p r i m e p o l a r i di u n a c u r v a a l g e b r i c a p i a n a , n o r a c h e s i a l a s i n g o l a r i t h di q u e - s t ' u l t i m a .
T a l e p r o b l e m a f u p o s t o gih d a F. ENRIQUES ([5], p a g . 613) e d a l u i s t e s s o r i s o l t o ([6], p a g . 41) c o n l ' e n u n e i a z i o n e d e l l a l e g g e d i a l t e r n a n z a (2), m a gli e s e m p i s e g n a l a t i d a B. S E i n E d a n n o l u o g o a m o l t e p l i c i t h d i v e r s e d a q u e l l e p r e v i s t e d a t a l e legge, cosiech~, a p r i o r i , q u e s t a n o n s e m b r a c o s t i t u i r e u n a s o l u z i o n e s o d d i s f a c e n t e del p r o b l e m a p r o p o s t o .
A l l a r i c e r c a di t a l e s o l u z i o n e @ d e d i c a t e il p r e s e n t e l a v o r o . I n esso, d a t a (l) I uumeri entre parentesi quadre si riferiscono alla bibliografia posta alla fine del presente lavoro.
(~} I risultati dell' ENRIQUES s o n o eompendiati dal seguente
TEOREMA. - S i abbia u n a curva C dotata di u n p u n t o ~-plo O, costituita da u n solo t a m e ; il comportamento effettivo di u u a polare generica ~ rispetto a l l a s i n g o l a r i t ~ O, vienc d e t e r m i n a t e dalle condizioni :
1) di possedere in ciascun punto v~-plo, infinitamente vicino a O, la mottepticit~.
virtuale v~ - - 1 ;
2) di avere eel ramo di C un eontatto v - 1 ]?unto;
3) di avere in 0 la mottep!ieith effettiva v - 1, e non una molteplicit~ superiore.
L e molteplicit~, effettive di ~ che si ottengono i n forza di codeste condizioni nei p u n t i successivi di C d" ordine vi~ sono espresse dalla legge di a l t e r n a n z a : la ~ p o s s i e d e l a molte.
p l i c i t ~ v~:+ i i n ciascuno dei p u n t i ,Jei+i-pti e la molteptieit~ vei - - 1 ~ei p u n t i v~-pli, eosti- tu~ndo i numeri v i una suceessione di humeri essenziMmente positivi e generalmente deere- scenti, con 1' avvertenza che dove si trovi un vt_t, con i dispari, multiple del successive '¢i ( ~ '~i-l) si ponga "~--t = hiv~ + v~+i con '~+i--~-~ v~ ([6], pag. 441).
220 E. V]~SENTI~I: Sul comportamento e].~cttivo dclle curve polar'i, ecc.
u n a e u r v a algebriea pinna C che presenti in un suo punto 0 u n a singolarit~
prefissata, si d e t e r m i n a n o anzitutto (nn. 1, 6} le retazioni generali t h e per- mettono di d e d u r r e la composizione della singolarit~ in 0 della prima polare, C'{P), di u n punto P (non a p p a r t e n e n t e a C) rispetto a C~ quando P sia qualsiasi nel piano e C sia qualsiasi nel sistema ~ delte c a r v e algebriche piano di ordine .~ {sufficientemente elevato} che presentano in O la singola- rith prefissata. Da tall relazioni risulta ehe la eomposizione della singolarit~
di C'(P) in 0 d i p e n d e in m a n i e r a essenziale dalla particotarith di C in Z.
Tuttavia, facendo appello ad a l c u n e proprieti~ delle frazioni continue regolari finite (n. 2), possono stabilirsi alcune limitazioni per gli ordini di grandezza delle molteplieiti~ di C'(P) nei punti multipli di C infinitamente vicini a O.
Dalle considerazioni del n. 1 si deduce (n. 3) inoltre la composizione della singolarith di C'(P) in 0 allorch~ P sia generico nel piano e C sia generica in ~,, dimostrando che in tall ipolesi vale la legge di alternanza. Tall condi.
zioni di genericith di C e di P vengono precisate, caratterizzando le curve C di ~. e d i punti P del piano per i quali vale la legge di alternanza e (n. 6) esaminando il caso in cui, ferme restando le ipotesi di genericit~t di C in Z, P sia qualsiasi nel piano. D e t e r m i n i a m o inoltre {n. 3) la composizione della singolarit~ di C'(P) in 0 alloreh~ P sia generico nel piano e C sin generica nel sistema delle curve di Z che non soddisfano alle condizioni caratteristiche sopra dette.
Tutti i risultati preeedenti vengono stabiliti sulla base di considerazioni di c a r a t t e r e diofanteo, e s a m i n a n d o il d i a g r a m m a di Newton di C. Abbiamo evitato di r i c o r r e r e ai procedimenti sintetici che fanno capo ai noti principi di scaricamento e di scorrimento, in quanto dal confronto della dimostrazione dell' E~RIQUES con i risultati da noi ottenuti a proposito della legge di alter- nanza e m e r g e (n. 7) la seguente questione, il cui esame ~ indispensabile p r e m e t t e r e ad u n a corretta applicazione dei priacipi sopra detti, e che ~ alla radiee delle eceezioni rilevate da B. SE@RE relativamente al comportamento effettivo delle prime p o l a r i : dato un sistema A di curve algebriche plane, la g e n e r i c a delle quali passi per 0 con u n a prefissata singolariti~, quali sono le eondizioni affinchb fra le curve di A c h e presentano in 0 e nei punti multi- pli i n f i n i t a m e n t e vicini moltepliciti~ virtuali assegnate, ne esista q u a l e u n a le cui molteplicith effettive siano quelle previste dai principi di scaricamento e di scorrimento ?
A tale questione eontiamo di dedieare un altro lavoro. Qui (n. 7) ei limitiamo a rilevare come le condizioni c a r a t t e r i s t i c h e per la validit~ della legge di alternan~,a giuochino nel problema proposto u n ruolo essen~,iale, il quale pub essere illustrato dal punto di vista algebrico, in quanto tali condi.
zioni caratteristiche individuano n e l l ' a n e l l o dei polinomi in due variabili a eoeffieienti complessi gli ideali irriducibili contenuti nell'ideale associato alla singolarit~ di C in 0.
E. VESENTINI: SU[ c o m p o r t a m e n t o e ffettivo delle curve polari, etc. 221 Da queste considerazioni risultano nuovi significati geometrici delle condizioni c a r a t t e r i s t i c h e per la validitk della legge di alternanza, condizioni t h e nel n. 3 avevamo ottenuto sotto forma aritmetica. P e r i l l u s t r a t e tall eondizioni da a n punto di vista pi~t prossimo a l l ' a r g o m e n t o del presente lavoro, valutando il numero, M, delle intersezioni riunite in 0 della p r i m a e della seconda polare di P rispetto a C, mostriamo (n. 9) c h e l a validit~t della legge di alternanza ed il massimo spezzamento possibile dei r a m i di C'(P) uscenti da O, sono caratterizzati dal fatto t h e M sia minimo, t h e sia cio~
minimo il n u m e r o delle diramazioni di C'(P) riunite in 0. P e r raggiungere tale conelusione p r e m e t t i a m o (n. 8} lo studio del easo in cui C passi p e r 0 con pifi rami, sebbene esso, come osserva I'EI~I~IQUES, quando P sia generico nel piano, non presenti nuove difficoltk essenziali rispetto a quello in cui il ramo di C uscente da 0 sia unieo.
1. Sia data nel piano u n a e u r v a algebrica Q di ordine N, avente equazione (1.1) f ( x , y) - - ~ a~kxiy k ---- O,
i]¢
passante per 1' origine 0 delle coordinate x, y, con u n unieo ramo super- lineare di ordine v ( ~ 2), classe ~ e genere g (a), rappresenta~o dallo sviluppo di PvIs]~vx
(1.2) y : a , x ~ + a2x ~ + . . . (a, ~= O).
Sostituendo questa espressione di y helle (1.1) si possono ordinare i ter- mini a ~ x ~ y k, con a ~ ={=0, in ordine di infinitesimo erescente rispetto all'infi- uitesimo x. Essi devono essere tall ehe
vi + (v + ~)k ~ v(v + ~),
ossia gli indici i e k devono essere coordinate di punti del d i a g r a m m a di Newton relativo a C (4) a p p a r t e n e n t i al semipiano a delimitato dalla r e t t a di equazione
(1.3) vi + (v -+- t~)k -- v(v -{- ~),
al quale non appartiene 1' origine (0, 0).
I gruppi di t e r m i n i di (1.1), in ordine di infinitesimo crescente rispetto a x, si ottengono in corrispondenza agli ask:4 = 0 i cui indici sono soluzioni non negative della equazione
(1.4) vi ÷ (v + ~)k - - v(v ÷ t~) ÷ j v ~ (v~ - - m. c. d. (l~, v); j - - O, 1, 2, ...), ossia in corrispondenza ai punti del d i a g r a m m a di ~Newton di (1.1) apparte.
nenti alia (I.3) ed alle parallele condotte a distanza via via crescente da essa.
(3) S a l v o a v v i s o in contrario, a d o t t i a m o la n o m e n c l a t u r a t h e t r o v a s i in [6].
(4) Cfr. [6], pag. 523, e, p e r m a g g i o r i dettagli, a d es. [2], loag. ~249.
222 E. VESENTINI: S*~.[ comportamento e.ffettivo delle curve polos% ecc.
Posto
p,=hv
+ v i ,O~v~ <~v,
V = h i v ~ -t- v ~ 0 < : v~ ~ v l .
• • • • • . . • * • . • . . , •
v~_ l --" h~v~, v~ ~ 1~
le soluzioni della (1.4) sono espresse dalle relazioni
i = v + ~ + (-- 1)~j~h q- 1, h i , ..., h:_~] + t[h +- 1, hi , ..., h~], (1.5)
k = (--1)a-'j[h~, h~,..., h a _ , ] - t[h,, h~,..., hal,
o r e t ~ un p a r a m e t r o intero arbitrario, ed i simboli entro parentesi quadre sono le parentesi di Eulero (51. C o r r i s p o n d e n t e m e n t e ad u n valore non nega.
tivo di j, le soluzioni n o n negative della (1.4) si ottengono dagli interi t ehe soddisfano alle d i s u g u a g l i a n z e
o r e ":ij) ~ la parte intera, E ( ( - 1)~-'J[h~' ""' h,_,]) di ( - 1)*-~J[h"'"' h,_,]
e x * ( j ) - - ( - 1):-'j[h + 1, k , , . . . , h:_.,]
[ h + l , h~,..., h~] - - v ~ , se [ h ÷ 1, h , , . . . , h~] divide ][h -t- 1, h~ h~_~], o p p u r e ~*{j} = E ( t - 1)~-'J[h + 1, h~,..., h~_,]) v~ + 1,
' " " < ; 7.., z o]
nel caso opposto. I n particolare risulta " : * ( 0 ) - - ~ v~, z ( O ) - - 0 e, per t = - - v~, - - v~ + 1, ..., O, dalle (1.5) si h a n n o i p u n t i ti, k) (a coordinate intere non negative) i quali, a p p a r t e n e n d o alia (1.3), sono di ordine di infinitesimo m i n i m o rispetto ad x. C o r r i s p o n d e n t e m e n t e a quelli fra essi che d a n n o luogo in (1.1) a coefficienti aik:~=:O, ossia, come d i r e m o s e m p r e nel seguito, t h e sono p u n t i del d i a g r a m m a di N e w t o n di (1.1), si ha l ' e q u a z i o n e
a~ka k = O,
ik
le cui radici distinte sono, p e r la s u p p o s t a unicith e inscindibilitfi del ramo (1.2) di (1.1), tutti e soil i n u m e r i ehe si ottengono moltiplicando a, per le
% radiei % - e s i m e d e l l ' u n i t ~ . P e r t a n t o risulta
Y
(1.6) ~ a~kak = ao~(a~ __ a ~o).%
~7c
L a p r i m a polare, C'(P), rispetto a C, di un p u n t o P, che i n tutto il seguito supporremo tacitamente non appartenente a C, di coordinate omogenee Xo,
(5) D e f i n i t e in m a n i e r a r i c o r r e n t e dallo r e l a z i o n i
[ b ~ ] = b t , Ibi, b.2]=bib2-~- I , Lbi,..., bp_~, b p _ l , b p ] = [ b I ... bp_~]bp-4-[bi, ..., bp_~] ( p ~ 3 ) ; cfr. ad es. [4]: pag. 49.
E. V E S ~ N ~ : Sul comportamen.to effettivo delle curve polari, eee. 223 Y0, ~e, har e q u a z i o n e
~f o ~f ~f - - 0.
Nei nn. 1 - 5 s t u d i e r e m o la c o m p o s i z i o n e delia singolarit/~ di C'(P) in 0 n e l l ' i p o t e s i che sia Yo :~: 0, ossia t h e P n o n a p p a r t e n g a alla tangente al r a m o (1.2) i n 0.
v v --I- ~t
P o s t o u = - - , v - , a n o r m a d e l l a (1.6), u n o dei lati d e l i a poligo-
Y~ Vcr
nale delle s e p a r a t r i c i del d i a g r a m m a di N e w t o n di (1.7) rela$ive ai r a m i di C'(P) u s c e n t i da O, b il s e g m e n t o di e s t r e m i (0, v - - 1), (i0 = v -+- ~ - - v, k 0 - - u - - 1).
A q u e s t o lato, p e r la (1.6), c o r r i s p o n d e n e l l a (1.7) u n sistema, P~, di n 4 (t _~ n~ ~ v~ - - 1) r a m i
(1.8) y --- a , x ~ q - ...
di ordini )~u tali che Y~8 )-~--~ v~ ~ 1.
Se v d i v i d e ~, se c i o ~ a ~ x ~ n o n ~ u n t e r m i n e c a r a t t e r i s t i e o d i (1.2),
r i s u l t a v~ = v , e la p o l i g o n a l e c e r c a t a si r i d u c e al solo lato di e s t r e m i (0, v - 1t, (v q - ~ - - 1 , 0); c o r r i s p o n d e n t e m e n t e i lati di (1.7) p a s s a n t i p e r 0 sono t u t t i e soli i r a m i di r~. P e r semplicit/~ s u p p o n i a m o che cib n o n a c c a d a ,
v+t~
s u p p o n i a m o cio~ the a , x ~ sia u n termine caratteristico di (1.2~. Q u e s t a ipo- tesi n o n r e s t r i n g e la validiti~ delle n o s t r e c o n s i d e r a z i o n i poich~, se non fosse v e r i f i c a t a , si p a s s e r e b b e ai t e r m i n i s u e c e s s i v i dello s v i l u p p o (1.2) fino el p r i m o t e r m i n e c~,ratteristico, nel modo che i n d i c h e r e m o nel n. 4.
Se in (1.7) f i g u r a non hullo il t e r m i n e in x~+~ -~, se cio~, al d i a g r a m m a di N e w t o n di (1.7) a p p a r t i e n e il p u n t o ( v - ! - ~ ~ 1, 0), i c o e f f i c i e n t i corrispon- d e n t i ai t e r m i n i di o r d i n a t a p o s i t i v a e o m p a i o n o s o l t a n t o in Y0 ~f fly e 1' e s t r e m o d e l i a p o l i g o n a l e sull' a s s e k --- 0 h a a s c i s s a i ~ v -+- l~ - - 1. Se i < v -t- I~ - - 1, il e o e f f i c i e n t e c o r r i s p o n d e n t e in (1.7) c o m p a r e a n c h ' e s s o s'oltanto in Y 0 ~ " ~f A1 p u n t o (v q - ~ - - 1 , 0) c o r r i s p o n d e i n v e c e in (1.7) il c o e f f i e i e n t e x,(v-I-~t)av+e0 q - y ~ a , + ~ _ ~ , il q u a l e r i s u l t a d i v e r s o da ~,ero se, e soltanto se, P non a p p a r t i e n e alia r e t t a
(1.9) (v q- t~)a~+~ooe q- a , + ~ _ ~ y --- O.
S u p p o n i a m o di a v e r e d e t e r m i n a t o i v e r t i c i (i,, k0b (i~ k~), ..., ti,_~, k,._i), (r ~ 1) con k, > kt :> ... ~ k , . ~ ~ 0, ai q u a l i c o r r i s p o n d a n o in (1.7) t e r m i n i f i g u r a n t i s o l a m e n t e in y , ~ , Of e r i e e r e h i a m o , q u a n d o esista, il v e r t i c e succes- sivo
(i,., k,.).
224 E. VESENTIN~[: S~t,1 compor~amc,nto e ffettlro delle curve polari, eec.
E s s e n d o L. l ' i n s i e m e dei p u n t i (i, k) a p p a r t e n e n t i al d i a g r a m m a di N e w t o n di (1.1) p e r i q u a l i k ~ k , . _ ~ , q u a n d o L- n o n sia v u o t o i n d i c h i a m o c o n (i', k') il p u n t o di o r d i n a t a m i n i m a f r a gli (i, k) di I,. p e r i q u a l i F e s p r e s s i o n e (i--i,_~)/~k,._~ ~ k - b 1) p r e n d e il m i n i m o f r a i v a l o r i a s s u n t i in I,.. Si h a a l l o r a c h e :
1.a) Se esiste i n 1~ qualche p u n t o (i, k) p e r il quale sia i - - i,._~ v -t- ~t - - 1 - - i,._~
~1.10) k,_~ - - k + 1 ~ k~_~ '
si ha k' :> 0, e r i s u l t a
i,. - - i', k,. - - k ' ~ 1.
Se invece non esiste i n I~ n e s s u n p u n t o che soddisfi alla (1.10) e se P non appartiene alla (1.9) si ha : i~ - - v -}- ~ - - 1, k , - - O.
R e s t a d a e s a m i n a r e il c a s o i n c u i l a (1.10) n o n sin s o d d i s f a t t a d a n e s s u n p u n t o di /,. e P a p p a r t e n g a a l l a (1. 91. R i s u l t a a l l o r a n e c e s s a r i a m e n t e
(1.11) a~+e_(~+m - - a~+e_h~ - - ... - - a~+e-~l - - 0.
I n tall i p o t e s i d a l l a 1.a) s e g u e t h e se si i m m a g i n a di f a r v a r i a r e P, s u p p o s t o i n i z i a l m e n t e n o n a p p a r t e n e n t e a l l a (1.9), ]a c o m p o s i z i o n e d e l l a singolariti~
di C'(P) in 0 r i m a n e i n v a r i a t a fino a t h e P n o n g i u n g e (n~ s u l l a r e t t a y - - 0 , n~) s u l l a (1.9). Ma a l l o r c h ~ P c a d e su q u e s t a r e t t a , la s i n g o l a r i t ~ si a l t e r a . Cib p r o v a che, se v a l g o n o le (1.1t), la (1.9) ~ e o v a r i a n t e p r o i e t t i v a a l l a (1.1) t~). Q u a n t o a l l a singolarit~t t h e n a s c e p e r C'{P) a l l o r c h ~ P g i a c e sulla (1.9), m o s t r e r e m o c o n e s e m p i c h e e s s a d i p e n d e i n m a n i e r a e s s e n z i a l e n o n s o l t a n t o d a g l i i n d i c i i e k dei c o c f f i c i e n t i a ~ = ~ 0 di (1.1), m a a n c h e dal f a t t o c h e s i a n o o no s o d d i s f a t t e c e r t e r e l a z i o n i f r a tall c o e f f i c i e n t i , le q u a l i r i f l e t t o n o t a n t o le p a r t i c o l a r i t ~ p r o i e t t i v e del r a m o (1.2) q u a n t o le p o s i z i o n i p a r t i c o l s r i di P s u l l a (1.9).
U n e s e m p i o in p r o p o s i t o ~ q u e l l o a n a l i z z a t o d a B. SEGRE i n [12] (pag. 29) (~).
U n a l t r o e s e m p i o ~ o f f e r t o d a l l a c u r v a C di o r d i n e N (:> v ÷ 1), di e q u a z i o n e
a x v + i
Y~ + ~ ÷ , o + y ~ ( x , y ) + ~ + ~ ( x , Y ) + ~ + s ( x , Y ) + . . . + ~ ( x , y ) = O ( a ~ + , o 4 0 ) . o r e le ~(x, y) sono f o r m e di g r a d o
j
in ~c, y, la q u a l e p a s s a p e r l ' o r i g i n e 0 d e l l e c o o r d i n a t e c o n u n r a m o s u p e r l i n e a r e o r d i n a r i o di o r d i n e v t a n g e n t e (6) Questo 6 gih stato altrimenti provato da E. Bo~t, IANI [1] per le cuspidi ordinarie.e da C. F. I$IANAI~A [8] per i rami ordinari di ordine qualunque {cf~-. anehe [9]).
(7) La curva ivi considerata ha equazione yt-~+ xtt3__---0. Per essa risultano verificate evidentemente le {1.11), ]a retta {1.9) coincidendo con Passe delle y. Essa ha in 0 la carat- teristica (0teO~ ~ ... 0~20~[0~o0~10~20~30~4]) e la prima polare di un punto generico nel piano ha la earatteris~iea (0t~O~ ~ "" OtiO~t)~s o ~ o t ~ t ~ t 2 ~ i ~ i 4 ~ ' ~ ' r ~ ~ ~ ~ ~t ~i 1~ La prima polare di un generieo punto dell'asse y b spezzata: nella retta J.-}-ay-~-O~ nell' asse x contato 11 volte~ e nella retta im- propria eontata 100 volte. Allorehb il punto coincide con il punto improprio delrasse y la prima polare si spezza nell'asse y centare 11 volte e nelta retia impropria eontafa 101 volte.
E. VESENTINI: Sl.tl comportamc~,to effettivo delle c~trve p oiari, ecc. 225 a t l ' a s s e delle x. E s s e n d o (0~0~[0~... 0¢]) la c a r a t t e r i s t i e a del ramo, l a p r i m a polare, C'(P), di u n p u n t o P g e n e r i e o n e t p i a n o p a s s a p e r 0 c o n u n t a m e s u p e r l i n e a r e o r d i n a r i o di o r d i n e v - 1 t a n g e n t e a l l ' a s s e delle w; m a se P a p p a r t i e n e a l l a (1.9), q u a n d o sia
(1.12) va~lXo + 2a~_t~yo =~= 0
la C'(P) p a s s a p e r 0 con u n r a m o s u p e r l i n e a r e o r d i n a r i o di o r d i n e v - 2 e, se (1.13) (v -{-- 2)a~+20x0 q- a~+t,Y0 -t- (N - - v - - l)a~+,,z0 =4= 0,
c o n u n r a m o l i n e a r e a v e n t e u n c o n t a t t o del p r i m o o r d i n e con l ' a s s e delle ac.
E s a m i n i a m o it e a s e in cui la (1.12) n o n sin soddisfatta. P o i c h ~ p e r ipotesi P a p p a r t i e n e a l l a It.9), eib a c e a d e se, e s o l t a n t o se, r i s u l t a 2(v -t- 1}a~+t0a~-~ - - - - v a ~ - - 0 ; se cio~ c o i n e i d o n o Ie d u e r e t t e
v(v -4- 1)a~+~0x ~
(1.14) 2 + va~,xy + a~_,~y ~ - - O,
che c o s t i t u i s c o n o la e o p p i a p o l a r e s e e o n d a d e l l a t a n g e n t e a C in 0 r i s p e t t o al g r u p p o di r e t t e che d a 0 p r o i e t t a n o le interse~,ioni d e l l a r e t t a i m p r o p r i a (ossia di u n a q u a l u n q u e r e t t a n o n p a s s a n t e p e r O) con la g e n e r i e a c u r v a di o r d i n e h r c h e a b b i a in e o m u n e con C 1' e l e m e n t o e u s p i d a l e E~(~+~+~ di o r i g i n e O, e eio~ e h e passi p e r 0 con u n t a m e il q u a l e a b b i a v(v q - 1 } - + - 3 i n t e r s e z i o n i r i u n i t e i n 0 con C.
I n tal case, se, e s s e n d o v e r i f i c a t a la (1.13), r i s u l t a
(1.15) (v - - 1)a~_,~x0 -+- 3a,~_~yo :4: O,
CqP) p a s s a p e r 0 con u n r a m o s u p e r l i n e a r e o r d i n a r i o di o r d i n e v - 3 e con u n r a m o e u s p i d a l e ordinario, e n t r a m b i t a n g e n t i a l l ' a s s e x.
I1 fatto che n o n si v e r i f i e h i la (1.12) e o s t i t u i s c e u n a p a r t i c o l a r i t h p r o i e t t i v a d e l F e l e m e n t o c u s p i d a l e E~(~4_,)÷~ (8), ed u n a u l t e r i o r e partieolarit~t p r o i e t t i v a c o s t i t u i s e e il n o n v e r i f i c a r s i d e l l a {1.15). L ' e s a m e di q u e s t o case si svolge in m a n i e r a a n a l o g a a l l a p r e c e d e n t e , e p e r t a n t o , anzieh~ o e c u p a r c i di esso, sup- p o n e n d o anzi p e r s e m p l i c i t h e h e sin v e r i f i e a t a la (1.12), v e n i a m o al ease i n cui n o n sin s o d d i s f a t t a la (1.13), al ease cio~ i n eui il p u n t o P c o i n c i d a con l ' i n t e r s e z i o n e d e l l a (1.9) e d e l l a r e t t a
(v -+- 2)a~+~o~ -I- a~+t,y -I- (N ~ v - - 1)a~+~, - - O.
I n tali ipotesi C'(P) p a s s a p e r 0 con u n r a m o s u p e r l i n e a r e o r d i n a r i o di o r d i n e v - - 2 e con u n r a m o l i n e a r e a v e n t e in 0 con la r e t t a y - - 0 u n c o n t a t t o a l m e n o del seeondo ordine. E q u e s t a c o s t i t u i s c e u n a partieolariti~ di P s u l l a tl.9).
(s) I n f a t t i in tal ease ]o d u e r e t t e (1.14) coineidono con la (1.9) e p e r e o n s e g u e n z a 1' e l e m e n t o Ev~v+l>q-~ n o n d e t o r m i n a che l'asse y del r i f e r i m e n t o p r o i e t t i v o t h e in g e n e r a l e i~
i n t r i n s e c a m e n t e deterrainato dallo E~q-~v-bi~ dl C ([9], pag. 283). Q u a n d o sin soddisfatta la (I.12), Ew, v+t>+~ d e t e r m i n a l ' a s s e y e, a m e n o d i u n a i r r a z i o n a l t h q u a d r a t i c a , la retta unit~.
A n ~ a | i di Mater~Gtioa "29
2'26 E. VESENTINI: Sul comportameJ~to effctti~'o dclle cllJ't'e ~)olari, eve.
S u p p o n i a m o di a v e r e d e t e r m i n a t e i vertiei (0, v - - 1), (i,., k,.) (r - - 0, 1, 2, ...t, della p o l i g o n a l e delle s e p a r a t r i e i di {1.71, i q u a l i d a n n o luogo a lati c o n s e c u t i v i di tale p o l i g o n a l e a v e n t i i c o e f f i c i e n t i a n g o l a r i ordinati in u n a s u c c e s s i o n e e r e s c e n t e .
E s s e n d o ~ e ~,. r i s p e t t i v a m e n t e i quozienti di k , . - i - k . e i , . - i,,_~ con il lore m a s s i m o c o m u n d i v i s o r e 8~, al late a v e n t e p e r e s t r e m i (ir_~, k,._~) e (i,., k,.) c o r r i s p o n d e in (1.7) u n s i s t e m a di m. (1 ~ m , . ~ 8,) r a m i u s c e n t i da O ed a v e n t i c o m e p r i m e c o p p i e c a r a t t e r i s t i c h e (9} ~ e % , ordini ),~r)~,.,
o $ r
e s s e n d o i ).~) ( s - - 1 , 2, ..., m,.) interi positivi tali che Es )'~)---8,..
'2. Sia E il s i s t e m a l i n e a r e delle c u r v e a l g e b r i c h e p i a n e di ordine h ~ p a s s a n t i p e r 0 con la singolarit'~ d a t a dai p r i m i t e r m i n i di (1.2) fine al g - e s i m o t e r m i n e e a r a t t e r i s t i c e . F i s s a t a in Z u n a C che soddisfi alle ipotesi e n u n c i a t e all'inizio del n. 1, che cio~ p a s s i p e r 0 con l ' u n i c o r a m o (1.2), e fissato u n p u n t o P non a p p a r t e n e n t e alla t a n g e n t e a (1.2) in O. le e o n s i d e r a z i o n i del n. 1 p e r m e t t o n o di d e t e r m i n a r e la c o m p o s i z i o n e della singolarit~ in 0 della p r i m a p o l a r e C'(P) di P, e quindi, q u a n d o siano c o m p t e t a t e nel m o d e ehe i l l u s t r e r e m o nel n. 4 p e r eib che r i g u a r d a i g r u p p i s u c c e s s i v i al p r i m o g r u p p o satellite sul r a m o tl.2), esse f o r n i s e o n o le molteplieit~t con cui f i g u r a n o in C'(P) i p u n t i della e a r a t t e r i s t i c a di (1.2} in O. Da tall e o n s i d e r a z i o n i r i s u l t a come, limita.
t a m e n t e al p r i m o g r u p p o di p u n t i liberi ed al r e l a t i v e g r u p p o satellite, q u e s t e molteplicit'~ d i p e n d a n o in m a n i e r a essenziale dagli indiei i e k di a l e u u i fra i e o e f f i c i e n t i a~k non nulli che f i g u r a n o in (1.l), e quindi, come la determi- nazione di esse d e b b a e s s e r e fatta, volta p e r volta, d i p e n d e n t e m e n t e dalla p a r t i e o l a r i t ~ di C in E. Se P n o n a p p a r t i e n e alla (1.9); o p p u r e se non sono s o d d i s f a t t e le i1.11), gli indici i e k di tali c o e f f i e i e n t i sono c o o r d i n a t e di p u n t i a p p a r t e n e u t i alla regione, A, c o s t i t u i t a dal triangolo a v e n t e p e r lati le rette {1.3), (2.1) (v - - v=)i -~- (v ÷ t~ - - v=)k - - (v -4- ~t)(v - - v=) + ~,
e k - - 1 , i n c l u s i i p u n t i degti u l t i m i d u e lati. In tall ipotesi, la porzione della p o l i g o n a l e delle s e p a r a t r i c i c o r r i s p o n d e n t i ai r a m i di C'(P) u s c e n t i da 0 e distinti da quelli di I'~, dh luogo, q u a n d o v e n g a s o t t o p o s t a ad u n a t r a s l a z i o n e di u n a unit~ nel verso p o s i t i v e d e l F a s s e k, ad u n a p o l i g o n a l e a p p a r t e n e n t e a A, c o n c a v a v e r s o tale direzione ed a v e n t e per e s t r e m i i p u n t i (v + ~ t - - v , u) ed u n p u n t o d e l l a r e t t a k - - 1. V i c e v e r s a , c o n s i d e r a t e 1 ~insieme~ S, di siffatte poligonali e f i s s a t a ad a r b i t r i o u n a di q u e s t e , esiste u n a C di Z, p a s s a n t e per 0 con u n u n i c o r a m o s u p e r l i n e a r e (1.2) e tale c h e l a C'(P) di u n g e n e r i c o p u n t o P del p i a n o p r e s e n t i u n a p o l i g o n a l e delle s e p a r a t r i c i , c o r r i s p o n d e n t i
(v) A_dottando u n a n o m e n c l a t u r a d i v e r s a da quella di ENnJQUES e C~ISINI~ diciamo s - e s i m e coppie c a r a t t e r i s t i c h e i due t e r m i n i p,~ e qs (primi fra lore) dei n u m e r i c a r a t t e r i s t i c i P.~/qs di /ffALeHEN [7].
]~. VESENTINI; S u l c o m p o r t a m c n t o effettivo delle curve polari, ecc. 227 ai rami di C'(P} useenti da O, costituita dal segmento di estremi (0, v - 1), ( v - t - ~ - - v , u - 1) e dalla poligonale o t t e n u t a traslando que]la prefissata di una uniti~ p a r a l l e l a m e n t e a l l ' a s s e k e nella direzione negativa di questo.
Nell' insieme S esiste u n a poligonale, L , tale che a l l ' i n t e r n o di quella delle due regioni, nelle quali essa divide A, al cut eontorno a p p a r t i e n e il lato (2.1) non esiste n e s s a n punto a coordinate intere. D e t e r m i n i a m o i vertici di L. A tale seopo, premettiamo le seguenti proposizioni sulle fray, toni continue finite regolari (~)
l i 11 1 t - t - 1 lb,, b,,...,
= [ b , , b , _ , , '
che c h i a m e r e m o b r e v e m e n t e frazioni continue ; in esse i h u m e r i b, ( O ~ r ~ n ) , che diremo t e r m i n i della frazione continua, sono interi, positivi per r ~ 1.
2.a) D a t e le d u e f r a z i o n i c o n t i n u e
11 1
B : b o + ~ + . . . + b - - ~,
1 ] + 1
"'" +
r i s u l t a B = C s e e s o l t a n t o se : m = n e b,. = c,. p e r r = O, 1, 2, ..., n ; o p p u r e r e : n - - l , b , : l , b, : c , . { r : 0 , 1, 2,..., n - - 2 ) e c ~ - t : b , - i + l . S u p p o - n i a m o i n v e c e che s i n b,. : c,. p e r r : O, 1, 2, ..., s (s ~ n ; s ~ m) e bs+~ =~= c~+~ . R i s u l t a B ~ C s e e s o l t a n t o se : p e r s p a r i ~ b~÷i ~ vs÷~ e, p e r s d i s p a r t ,
2.b) S i a n o d a t e le tre f r a z i o n i c o n t i n u e B , C e
D = d~ + + "'" + d~ "
S e B ~ C ~ D e se b,. = c,. = d,. p e r r = 0 , 1 .... , s c o n s ~ n, m , l, c~+i d e v e a p p a r t e n e r e a l l ' i n t e r v a l l o {bs+,, ds+l) e s t r e m i i n c l u s i .
Veniamo alla determinazione dei vertiei di L. I1 lato uscente da (v ÷ ~ - - v, u), d i u n a qualsiasi poligonale di S, h a per estremi questo punto ed u n punto (i, k) di A il quale soddisfa alle relazioni
(2.2) v -t- i~ ~ i . - - (v~ - - 1)v ~ v - - 1 v u - - k - - u - - 1 "
N e l l ' i n s i e m e di tali punti, quello, (/', k'), che, insieme a (v -t- ~ ~ v, u), r a c c h i u d e un lato di L, risulta u n i v o c a m e n t e determinato in quanto ~ il punto di ordinata m i n i m a fra quegli (i, k) di A per i quali (i - - (% - - 1)v)/(u - - k) assume il minimo dei valori soddisfacenti aile (2.2).
~to) Cfr. ad. es. [10], Cap. II.
228 E. VESENTINI: SU[ comportam.ento cffcttit:o delle curve I~olqri, ecc.
q2.a)
S i a :
v + I ~ h + l + t I 1 I 1
-
2),
~j
i - - ( v o - - 1 ) v 11 1 -',- 1
u - - k - - a° + 1 + [%~ -'- ""'+" l a,._, a,-~'
D a l l a proposizione 2.a), t e n e n d o conto che (i', k') deve a p p a r t e n e r e a A, si d e d u c e e h e r i s u l t a
i - - (v: - - 1iv = i' - - (v: - - 1)v
u - - k u - - k ' '
s e e s o l t a n t o se, q u a n d o ~ ~ dispart, si h a :
r : ~ , a , = h , ( s < ~ ) , a ~ = h , - - 1 , oppure, q u a n d o ~ ~ part, si h a :
r = ~ - - 1, a , = h, (s < ~t.
Se ~ ~ dispart, la r e t t a u s c e n t e d a (v + I~ - v, u) ed a v e n t e c o e f f i c i e n t e a n g o l a r e e g u a l e a l l ' i n v e r s o c a m b i a t o di segno del n u m e r o ora d e t e r m i n a t o , possiede u n o ed u n solo p u n t o a c o o r d i n a t e i n t e r e a p p a r t e n e n t e a A e d i s t i n t o d a (v + t ~ - v, u ) ; esso 6 il p u n t o (i', k') cercato, ed h a c o o r d i n a t e
(2.4) i' = v + g - - [h + 1, h , , ..., h~_,], k' = [h,, ..., h~_,].
Q u a n d o ~ b part, i p u n t i (a c o o r d i n a t e intere) di A a p p a r t e n e n t i a tale r e t t a e d i s t i n t i d a (v-I-I ~ - - v , u) h a n n o c o o r d i n a t e
i = v + t ~ - - [ h + l , h, , ... , h ~ - - j ] , k = [h, .... , h ~ - - j ] , ove j = 1, 2, .. , h~. P o n e n d o j - - h , si o t t i e n e il v e r t i c e di L (2.5) i' = v + g - - [h + 1, h , , ..., h e - d , k' = [h,, ..., h : - d .
I n d i c a n d o con ~ il m a s s i m o n u m e r o part m i n o r e di a, le c o o r d i n a t e (2.4) e (2.5) possono d e n o t a r s i con
(2.6) i' - - v q - ~ - - [h + 1, h , , ..., he] , k' - - [h,, ..., h~].
Se [ h , , . . . , h.~]> 1, il lato di L successivo a quello ora d e t e r m i n a t o h a per e s t r e m i (i', k') ed u n punto, (i", k"), a p p a r t e n e n t e a A, p e r il q u a l e
i ' ~ ( v + t * ) + v
(i" - - i ' l / ( k ' - - k") h a valore m a g g i o r e di k'. e pifi p r o s s i m o a
U - -
questo. E s s e n d o
i " - - i ' 1[ 1 I 1
k , _ _ k , , - - b . + 1 + - ~ + . . . + ] ~ _ , + g ,
d a l l a 2.a), t e n e n d o conto t h e (i", k/') deve a p p a r t e n e r e a A, si d e d u c e c h e : r ~ ~ - - 1, b~ - - h~ per s ~ ~ 1. I p u n t i di A (a c o o r d i n a t e intere) a p p a r t e n e n t i
E. VESENTINI: S ~ comportamcnto effettivo dclle curve polari, ecc. 229 a l i a r e t t a p a s s a n t e p e r (i', k') e di c o e f f i e i e n t e a n g o l a r e ( k " - - k ' ) / ( i " - - i ' ) h a n n o c o o r d i n a t e
i --- v + it - - [h ÷ 1, h , , . . . , h e - - j ] , k - - [hi, ..., h e - - j ] , con j - - 1 , 2, ..., h e . P e r j - - h p si o t t i e n e il v e r t i c e (i", k") di L :
i" = v -~- it - - [h + I, h , , . . . , h~_~], k" = [hi, ..., h~_~].
I t e r a n d o le c o n s i d e r a z i o n i svolte, si c o n c l u d e e h e :
2.c) L e coordinate dei vertici di L successivi a (v -b it - - v, u) ed o r d i n a t i p e r ascisse crescenti si ottengono dalle relazioni
{2.7) i - - v -I- it - - [h + I, h , , ..., he], k - - [h~, ..., he], ponendo ~ - - ~ , . p - - 2 , . . . , 2, 0 (per ~----0: h o - - h - 4 - 1 ; k - - l ) .
A1 s e g m e n t o a v e n t e p e r e s t r e m i i p u n t i f o r n i t i d a l l e (2.7) p e r ~ = ~0, - - ~ 0 - ~ - 2 , a p p a r t e n g o n o i p u n t i di coo1'dinate i n t e r e
(2.8) i = v + it - - [h + 1, h i , ..., h~0, h~0+a, ~], k = [ha, ..., h~o, h~0, a, "~], c o n ~ = 0, 1, ..., h+~+~.
&lla r e g i o n e d e t e r m i n a t a in A d a L e d a {2.1) a p p a r t i e n e forse q u a l e h e p o l i g o n a l e di S d i s t i n t a d a L ?
P o i c h ~ a n c h e il lato (2.i) ~ u n a p o l i g o n a l e di S, la r i s p o s t a a tale q u e s t i o n e a f f e r m a t i v a allora, e a l l o r a soltanto, che L n o n g i a c c i a su {2.1). Vale in p r o p o s i t o la s e g u e n t e p r o p o s i z i o u e :
2.d) L giace su (2.1} se, e soltanto se, r i s u l t a h - - 0 e ~ ~ 2.
Si v e r i f i c a i m m e d i a t a m e n t e , i n f a t t i , che se h - 0 e ~ ~ 2 vale 1' asserto ; i n v e r s a m e n t e , se L c o i n c i d e con il lato (2.1), b a n z i t u t t o h - - 0 in q u a n t o l' e s t r e m o di L sul lato k -- 1 di A coincide con il p u n t o (v + it - - 1, 1}. Poichb, inoltre, L si r i d u e e ad u n solo lato, si h a p = 0 e q u i n d i z -" 1 o p p u r e z - - 2.
I n tal caso, essendo
t2.9 ) v- 1 = ~ ÷ 1 + -+- ... + _--,
u ~ 1 h~
r i s u l t a : h = 0, ~--- 1, ed i n o l t r e : h~ - - h~ - - 1, se ~ - - 1, o p p u r e h-~ = h~, se ~ - - 2.
S u p p o n i a m o che la 2.d) n o n sia s o d d i s f a t t a , eosicchb a S a p p a r t e n g a q u a l c h e p o l i g o n a l e d i s t i n t a d a L . F r a q u e s t e ne esiste u n a , Lp, n o n a v e n t e n e s s u n v e r t i c e in (v -4- i t - - [h + i, h ~ , . . . , hr~], [hi, ..., h~]l, che i n s i e m e a L e d al lato k - - 1 d e t e r m i n a in A u n a r e g i o n e a l l ' i n t e r n o d e l l a q u a l e n o n esiste n e s s u n p u n t o a c o o r d i n a t e i n t e r e . A n o r m a d e l l a 2.a), si r i c o n o s e e t h e :
2.e) L a poligonale Le si ottiene da L, quando ~ sia p a r i , considerando i p u n t i di coordinate i - - v-t- it ~ [h + 1, h~, ..., he+~ + 1], k = [ha, ..., he+ a -+ 1], ( 2 . 1 0 ) i - - v + it - [ h + 1, h , , . . . , h e - - 1], k - - [ h ~ . . . , h~ - - 1],
230 E. VESENTINI: S~tl comportamento effcttivo delle curve polari, ecc.
e sostituendo alla porzione di L che li connette il segmento che li ha per estremi se he÷, ~ 2, oppure, se h:~+~ ~ 3, i due segmenti che h a n n o tall p u n t i come estremi ed h a n n o come vertice in comune il p u n t o di coordinate
(2.11) i = v + ~ - - 2[h + 1, h~, ... he], k - - 2 [h~, ..., h~].
Se z d dispart, L e s i ottiene da L considerando i p u n t i (v + ~ - - v, ut e {2.10), e sostituendo alla porzione di L che li connette il segmento che li ha per estremi, se 2 ~ he+, ~ 3, oppure, se he+~ > 3, i due segmenli che h a n n o tall p u n t i come estremi e come vertiee comune il p u n t o di coordinate (2.11).
L e c o n s i d e r a z i o n i p r e e e d e n t i si laseiano f a c i l m e n t e generalizzare, e per- m e t t o n o di d e t e r m i n a r e in S q a e l l a poligonale, L~o, che non h a n e s s u n v e r t i c e nel p u n t o (v + ~ t - [h + 1, h~, ..., h~0], [h~,..., h~o] ) (~o pari, 0 ~ ~o < ~) e che d e t e r m i n a , i n s i e m e a L, u n a r e g i o n e di A i n t e r n a m e n t e a l i a q u a l e n o n esiste n e s s u n p u n t o a c o o r d i n a t e intere. Vale al r i g u a r d o la s e g u e n t e p r o p o s i z i o n e : 2.f) Quando ~o > O, tale poligonale si otliene da L eonsiderando i p u n t i (v-~ ~ - [h + 1, h , , ..., heo~j], [h~, ..., he0+,]), (v + l ~ - [h + 1, h , , ..., h~o_,], [h~,..., h~0_,]) e sostituendo alla porzione di L che li connette : il segmento che li ha per estremi se h~o÷~ ~ 2 oppure, se h~o÷, ~ 3, i due segmenti the hanno per estremi tali p u n t i ed h a n n o come vertice comune it punto
~v + t~ ~ 2[h + 1, h , , ..., heo] , 2[h,, ..., he0] ). Se ~o -- 0 la p o l o o n a l e L o esiste in S se, e soltanto se, h > 0 e, in tal caso, essa si ottiene da L sostituendo al segmento di estremi (v + i~ - - [h + 1, h~ + 1], h, + 1), (v + ~ - - (h + 1), 1) quetlo di estremi (v + ~ t - - [ h + l , h ~ + i ] , h ~ + l ) , v + p - - h , 1), se h ~ 2 , oppure, se h~ ~_ 3, i due segmenli the h a n n o per estremi tali p u n t i e come verlice comune il p u n t o (v + ~ - - 2(h + 1), 2).
OSSERYAZm~E. - Se h---0, la poligonale L 0 o t t e n u t a da L nel modo i n d i c a t o n o n /~ c o n t e n u t a t o t a l m e n t e in A , m a gode a n c o r a e v i d e n t e m e n t e delia p r o p r i e t h che, i n t e r n a m e n t e alia r e g i o n e d e t e r m i n a t a d a l l a t e t r a k - = 1 e dalle d u e porzioni di L e di L 0 a v e n t i p e r e s t r e m i r i s p e t t i v a m e n t e i punti ( v + l ~ - - [ 1 , k , + l ] , h , - t - 1 ) , ( v + ~ t - - 1 , 1) e ( v + ~ - - [ 1 , h , + l ] , h , - t - 1 ) (v + ~t, 1[, n o n esiste a l c u n p u n t o a c o o r d i n a t e intere.
3. I n q u e s t o n u m e r o e net suecessivi a p p l i c h e r e m o i r i s u l t a t i del n. 2 alla d e t e r m i n a z i o n e delle molteplieit~ net p u n t i m u l t i p l i i n f i n i t a m e n t e vicini a O, sul r a m o (1.2), della p r i m a p o l a r e C'(P), rispetto a C, di un p u n t o P n o n a p p a r t e n e n t e alla t a n g e n t e a (1.2} in O.
E s s e n d o
(3.1) (0'~0~ • ..
O~O~+~[Oh+2...
~ ' ~1 0~+~10~+~1+1 O~+h~+~Oh+h~+h~+~ '~' ~ . . . ~ ~:~ . . . 0 ~ h+h~+...+h~]...), la c a r a t t e r i s t i e a di 0 (limitata p e r il m e m e n t o al p r i m o g r u p p o di p u n t i liberi ed al relativo g r u p p o satellite (n. 1)), dalla 2.a) si h a n n o anzitutto le s e g u e n t i proposizioni.E. V~SEN~x~: Sul comportamc~to e ffettivo delle curve polari, evc. 23][
NeU'ipotesi ehe P non ¢vppartenga alla tangente al ramo (1.2) i n O:
3.a) se u n t a m e , "(, di C'(P) uscente da O, p a s s a p e r u n p u n l o Oj di [3.1), con h q- h~ + ... -~- h2~_~ < j ~ h + h~ + ... h2t_~ + h~ (0 ~_ 2 1 ~ ¢;; h_~ ~ 0, h o - - h , Oo ~ 0), y p a s s a necessariamente anehe p e r i p u n t i 0i+~, O i+~ , ...,
O h q - h l-~.,.q-h~lq- l •
3.b) se 7 p a s s a p e r it p u n l o O~÷~,~+...+h~l_~ (I ~ 21 - - 1 ~ ~ ; h2t-~ :> 1), e se le molteplicit&~ di "; i n O~+h~+...+h~_~ e nel p u n t o , 0", successivo di Oh+~+...+h~Z_~ SU ";, sono eguali~ O' ~ u n p u n t o libero.
D a l l a 3.a) s e g u e in p a r t i c o l a r e che, n o n a p p a r t e n e n d o P a l l a t a n g e n t e a (1.2) in O, i p u u t i O, 0~, 0.~,..., 0~, 0 , ÷ ~ , c o s t i t u e n t i il p r i m o g r u p p o di p u n t i l i b e r i di (3.1), f i g u r a n o in C'(P) c o n m o l t e p l i c i t h p o s i t i v a , e g u a l e a v - 1 p e r i p u n t i O, 0~, 0.~,..., 0 , , e c o m p r e s a f r a v~ e v - - 1 p e r 0~_~ (~). L a molteplicit,~t di C'(P) in On+ ~ pub r a g g i u n g e r e l ' e s t r e m o s u p e r i o r e v - - 1 se h . > h (~-), o p p u r e se sono s o d d i s f a t t e le (1.11} e P a p p a r t i e n e a l l a (1.9). S e i n v e e e h - - h , q u a n d o P n o n a p p a r t e n g a a l l a (1.9), o p p u r e q u a n d o n o n s i a n o s o d d i s f a t t e le (1.11), la molteplicit/~ di Oa+~ r i s u l t a c o m p r e s a f r a v~ e v~ + h, e s t r e m i i n c l u s i .
I n d i c a n d o con P il s i s t e m a dei r a m i di C'(P) u s c e n t i d a O, ~ c h i a r o c h e so, e s o l t a n t o so, h ~ h, e s i s t e in Z q u a l c h e c u r v a C, p a s s a n t e p e r 0 c o n il r a m o (1.2), tale c h e n e l l a .C'{P) di u n p u n t o P g e n e r i c o nel p i a n o non e s i s t a n e s s u n r a m o di F - - F ~ p a s s a n t e p e r 0~+~. ~n g e n e r a l e , f i s s a t o in (3.1) u n p u n t o a p p a r t e n e n t e al p r i m o g r u p p o s a t e l l i t e , ei si p u b d o m a n d a r e q u a l i s i a n o le c o n d i ~ i o n i c a r a t t e r i s t i c h e a f f i n c h ~ e s i s t a in ~ q u a l c h e c u r v a , p a s s a n t e p e r 0 con u n solo r a m o (1.2), t a l e c h e n e l s i s t e m a F - - F ~ dei r a m i d e l l a C'(P~ di u n p u n t o P g e n e r i e o n e l p i a n o n o n n e e s i s t a a l c u n o il q u a l e passi p e r il p u n t o p r e f i s s a t o in (3.1} (~).
A tale q u e s t i o n e r i s p o n d e il s e g u e n t e t e o r e m a , c h e c o m p l e t a le c o n c l u - sioni di 3.a) e di 3.b), e c h e si d i m o s t r a in b a s e alle 2.a) e 2.b):
3.c) se hj ~ hi per j -~ O, 1, ..., 21 - - 1, con 0 ~ 2l - - 1 ~ o, la p r i m a
(ti) Questa proposiziene generalizza, limitatamente alte curve algebriche piane, quella stabilita da B. SEGRE a pag. 28 di [12].
(1.2) Cib accade ad es. per la curva yie -t- x it~ z 0 considerata da B. SEGRE ([1~], pag. 29) quando si costruisca la polare di un generico punto de] piano (cfr. (~)).
(i3} Questo problema, nel case dei rami (1.2) di genere uno, p e r t quali P~ i~ vuoto, equivale a chiedersi se esista qualche C d i ~ tale c h e l a C'(P) di un punto _P generico non passl per it punto prefissato in ~3.1). Esso presenta notevole interesse poich~, nella teoria delle singotarith secondo )I. ~OTIIER, il fatto che le prime polari passino per i punti rt-pli di C, con molteplicith effettive eguali a n - - 1 almeno, interessa soltanto in quanto permette di concludere che i punti multipli di C, infinitamente vicini a 0, sono in numero finite ([6]
pag. ~09; [13]. pat. 312-316); era, per giungere a questo risultato, basterebbe provare the le prime po]ari passano per i panti maltipti di C Con molteplicit~ effettive non nulle. Ma, come ha prorate B. SEGaE con esempi ([12], pag. 29), e come preciseremo in seguito da un punto di vista generale, l'ultima propriet~ non sussiste.
232 E. VESEN~INI: ~ t l comportamento e ffettlvo del7c curve #olari, ecc.
polare C'tP) di u n punto P generico nel piano rispetto a u n a C d i ~ passante per 0 con u n ramo (1.2), ~ tale che it sistema Y - F~ contiene necessariamente qualche ramo passante per O, 0~, 0~, .... O,.h,+...+h;~÷t. R i s u l t a h ~ l ~ h2t, e la condizione necessaria e sufficiente affineh~ esista i n E u n a C soddisfa.
eente alle ipotesi sopra dette, e tale che F - F, non contenga nessun ramo passante per Oh+hl+...+h~Z±~, ~ che sia h21 ~ h ~ z . Se h~t -- h~z, e quindi, necessariamente, h2~+l ~ h.2~+l, la condizione necessaria e sufficiente affinch~
esista u n a C f r a quelle sopra indicate tale che Y - F, non contenga nessun ramo passante per Oh+h~+...+h~l+, ~ (2 ~ m ~ h~l+i) ~ che sia : -h~z+~ ~ m ~ 1 quando 21 + 1 ~ z ; h~z+i ~ m - - 1 quando 21 + 1 -: ~.
Q u e s t a p r o p o s i z i o n e n o n vale perb n e l l a ipotesi ehe U soddisfi alle (1.11) e P a p p a r t e n g a a l l a (1.9).
D i r e m o che C s o d d i s f a alle condizioni T~, q u a n d o al suo d i a g r a m m a di N e w t o n a p p a r t e n g o n o i v e r t i c i d e l l a p o l i g o n a l e L ( c o n s i d e r a t a nel n. 2}, e s e l u s o al pifi F e s t r e m o di L sul lato k - - 1 di A, q u a n d o eio~ i n (i.1) f i g u r a n o non n u l l i i e o e f f i e i e n t i aik eogli i n d i e i e s p r e s s i d a l l e (2.7) p e r - - ~ , ~ ~ 2 ... 2. Si dirh che C s o d d i s f a alle condizioni T, se, oltre ad essere s o d d i s f a t t e le T,2, si h a a~÷l~_(h+i~l .-4= 0. O s s e r v i a m o che, se ~ ~ v, le c o n d i z i o n i T~ h a n n o c a r a t t e r e p r o i e t t i v o i n t r i n s e c o , m e n t r e l a p r e s e n z a o m e n o del c o e f f i c i e n t e a~+~_~ in (1.1) d i p e n d e d a l l a s c e l t a d e l l ' a s s e y nel s i s t e m a di r i [ e r i m e n t o .
Dalle a r g o m e n t a z i o n i svolte nel n. 2 r i g u a r d o a l l a p o l i g o n a l e L, conse- guono i s e g u e n t i teoremi.
3.d) Se C ~ generiea i n E, C soddisfa alle condizioni T.
3.e) Nell' ipotesi che P non appartenga alla tangente al ramo 11.2} in 0 e che: se ~ ~ v, C soddisfi alle condizioni T; se ~ ~ v, C soddisfi alle condi.
zioni T.~ e P non appartenga alla (1.9}, i vertici consecutivi, (i,., k,.) della poligonale delle separatrici di C'(P), suceessivi a (0, v - 1), (v + t ~ - v, u - 1)
(ossia corrispondenti ai r a m i di F - F~), hanno coordinate
~3.2) i,. - - v-l- ~ - - [h -+- 1, h , , ..., he], k,. - - [h~ .... , he] - - 1.
o v e r -- 1 + ~ - - e ~ = ~, ~ - - 2,..., 2, 0 (per ~ - - 0 : [h~, ..., h ~ ] - " 1}.
P o s t o p e r m a g g i o r c o m p a t t e z z a : ,~ - - v,, h_~ - - - - 1, h o - - h, O~ - - O, a b b i a m o visto nel n. 1 che al lato di e s t r e m i (0, v ~ 1) (v + l~ - - v, u - - 1) c o r r i s p o n d e in (1.7) il s i s t e m a I'~ degli n~ r a m i (l.8) p a s s a n t i c o n molteplicitfi complessi- v a m e n t e e g u a l i a
(3.3) '% -- ~ p e r c i a s c u n o dei p u n t i Oh+~i+...+%_i+t,..., O a + ~ + . . . + ~ (0<_p_<~). v~
C o r r i s p o n d e n t e m e n t e al lato di e s t r e m i (v -4-- ~t - - v, u - - 1), (v + ~ - - [h -t- 1, h i .... , he], [h~,..., h ~ ] - 1); si h a in C'(P}: se ~ ~ d i s p a r i , u n r a m o di g e n e r e
n. VESENTINI: Stll co~ttportamcnto c~fcttiro delle curve potari, ecc. 233 uno, a v e n t e c o p p i e c a r a t t e r i s t i c h e [h-~- 1, h t, ..., h : - - 1], [h~, ..., h a - - 1], e p a s s a n t e con m o l t e p l i c i t h e g u a l i a :
[h~÷l, h~+~,..., h:--t], p e r c i a s c u n o dei p u n t i Oh+ht_~...+h~o_~+l,... , 0t,+al+...+h~ (0~<:p(~), (3.4) 1, >> >> >> >> Oh~h~+...+h~_~+l, .... Oh+h~+...+h~--l,
0, p e r il p u n t o Oh+a~+...+h~ ;
se ~ ~ pari, u n s i s t e m a di mr (1 ~_ m~ ~ h ~ ) r a m i a v e n t i p r i m e c o p p i e carat- , . . . , h:_t], o r d m l ~ [hi .... , h:_l], o r e t e r i s t i c h e [h ~t-1, h , , ..., h~-l], [hi " " ),(~)
i ),(2 } (s = 1, 2, ..., m:) sono interi positivi tali che ~ ),~°) - - h~, e p a s s a n t i con
t
molteplicith, c o m p l e s s i v a m e n t e e g u a l i a :
h~[h~+l, hp+2,..., h~_l], p e r c i a s c u n o dei p u n t i Oh+l,l ~ .. _~hv_i+~,... , Oa+j,l+...+h ~ ( 0 ~ p < z - - 1 ) , (3.5) h~, >> >> >> >> Oh+h~+...+k~_2+ ~, ..., O~+hi+...+h~_ ~,
C o r r i s p o n d e n t e m e n t e al lato di e s t r e m i (v-t-~--[h-t--1, hi,..., he], [hi, ..., h ~ ] - - 1), (v + i~ - - [h -t-- 1, h~, ..., h~_~], [hi, ..., h~_~] - - 1) (~ ~ 2}, si h a in (t.7) u n s i s t e m a di m# ( l _ ~ m ~ h~) r a m i a v e n t i p r i m e c o p p i e c a r a t t e r i s t i c h e [h + 1, h i , . . . , h~-t], [hi, ..., h~_~], ordini )`~) [h,,..., h~_l], essendo i )`~) ( s - - 1 , 2, ..., m~) interi
m ~
positivi tali ehe Z ~ ) ` ~ ) - - h ~ , e p a s s a n t i con molteplicit'h c o m p l e s s i v a m e n t e
1
e g u a t i a :
h~[h~+l, h~+~,..., h~_~], p e r c i a s c u n o dei p u n t i Oh+~+...+~_~+~,..., Oh+a~+...÷a~ ( 0 _ _ ~ p ~ - - l ) , (3.6) h~, >) >> >> >> O~+~+...+~_~+l,..., Oh+~l+...+~_~,
O~ >) >> >> >> O h ÷ h ~ - . . - ~ h ~ _ l - ~ - 1 ~ . . . .
S o m m a n d o le m o l t e p l i c i t h ora indicate, si o t t e n g o n o le molteplicit/~ com- p l e s s i v e con le q u a l i i p u n t i di (3.1) ( a p p a r t e n e n t i al p r i m o g r n p p o di p u n t i liberi ed al r e l a t i v o g r u p p o satellite) c o m p a i o n o in (1.7). E s s e sono eguali a
v~ - - 1, nei p u n t i O h ~ h t - ~ . . . - ~ h ~ l _ i ÷ i , ... , O h + h -t-..+h~ l
V~/.t~ 1 ,~ )) ~ O h ~ hl-[-...÷h~l-~-ol ~ *.. ~ O h ÷ h l ÷ . . . ÷ h ~ l + t
con 0 ~ 21 ÷ 1 ~ ~, e sono e g u a l i a
v ~ - - 1, nei p u n t i Oa÷a~÷...÷~:_~+i, ... ~ O~+a~÷...+~ _~, O~+~+...+a:, s e a ~ p a r i ; o p p u r e , se ~ ~ dispari, a
v~, nei p u n t i Oh+a~÷...÷a~_~+l, ..., O~+a~÷...+~ _~ ,
% - - 1, nel p u n t o Oh+a~+,..+a.
An~ali di Matemati~a 30
234 E. VESENTINI: Sul comportan~ento effetti~'o dellc curve polari, ece.
Risulta cosi dimostrato il seguente t e o r e m a :
3.ft Se P e C soddisfano alle ipotesi enunciate, i n 3.e), vale la tegge di alte~ nanza, limitatamenle al p r i m o gruppo di p u n t i liberi ed al relativo gruppo satellite di (1.2}.
Inoltre, se P e C soddisfano alle ipotesi di 3.e), C'(P) passa per 0 con un numero, n, di rami tale che
(3.7)
n~ -I- ~ ~__ n _~ n~ -t- h : -i- h : _ 2 -t- ... -I- h ~ ,se ~ ~ pari, e
(3.8) n~ -I- - 2 ... ~ n _< n~ ÷ h : _ , ÷ h~_3 -t-- ... --I- h 2 -l- 1 -t- 1
se a ~ dispari. Su queste diseguaglianze torneremo nei nn. 4, 5, stabilendo delle limitazioni per n t. Ora mostriamo come esse possano interpretarsi, in m a n i e r a unitaria, sullo s c h e m a grafico di ENI~IQVES del ramo (1.2). Supposto di avere disegnato tale schema, fra i segmenti rettilinei a p p a r t e n e n t i al primo grappo satellite distinguiamo i segmenti p a r i ed i segmenti dispari, ehiamando dispari quelti che hello s c h e m a grafico, sapposto percorso a partire da O, hanno come primi estremi Oh+l, Oh+hl~h~+l, ..., e chiamando p a r i quelli che hanno come primi estremi Oh+h1+1, Oh+hl+h2+k~+~,...; inoltre considereremo il punto Oh+hl+...+h: come costituente, da solo, u n segmento di parit~ opposta a quella di ¢~. Diremo che Oh+j appartiene al segmento dispari che lo ha come primo estremo, e, in g e n e r a l e diremo che u n punto c o m n n e a due segmenti appartiene a quello che to ha come primo estremo nel verso di p e r e o r r e n z a fissato. Le diseguaglian~e p r e c e d e n t i possono allora interpre- tarsi nel modo s e g u e n t e :
3.g) II numero dei r a m i di C'(P) che passano per O, ~ compreso fra la somma di n~ e del numero dei segmenti p a r i appartenel~ti al primo gruppo satellite, e la somma di ni e del numero dei p u n t i di (3.1) appartenenti a tall segmenti.
Se il ramo (1.2) soddisfa alle condizioni e n u n c i a t e in 2.d) la C'(P} di u n puHto generico nel piano rispetto ad u n a qualsiasi C di ~ passante per 0 con l'unieo ramo (1.2), soddisfa alla legge di alternanza. Supponiamo ehe (1.2}
non soddisfi alle condi~ioni 2.d).
Le proposizioni 2.e) e 2.f} permettono allora di d e t e r m i n a r e la composi- zione della singolarit~ in 0 della prima polare C'(P) di un punto P (non a p p a r t e n e n t e all'asse delle x), rispetto alla generica curva del sistema ~oV ( ~ ~) delle C di E per ]e quali risulta a ~ k - - 0 con i ~ v - t - ~ - - [ h - t - 1 , h~,..., h~o], k - - [ h ~ , . . . , heo]2 essendo ~o un n u m e r o pari eompreso fra 0 e ~, estremi inclusi.
E. VESENTINI: S~tl comportameuto e ffcttiro dclle curve polari, ece. 235 A tale scope, diremo anzi~utto che una c u r v a C di Z soddisfa alle coudi- zioni U~o quando nella sua equazione (1.1) siano non nulli i coefficienti a/~
corrispondenti ai vertici di Leo (n. 2); inoltre indicheremo con L'#o. la poligo- nale ehe si ottiene operando su L~o u n a traslazione di u n a unit/~, parallela- m e n t e all'asse k, nel verso negative di questo. DMle 2.e),
2.f)
si ha allora che:3.h) L a curva generica di Y~eo soddisfa alle eondizioni U~o.
3.i) Se u n a C di V~ o soddisf~ alle condizioni U~o, e se P soddisfa alle ipotesi formulate in 3.e), la poligonale delle separatrici corrispondenti ai ~ ami di C'(P) uscenti da 0 ~ la L'~o, escluso il case in cui sia ~ o - - O e ~ < v.
Sommando alle molteplicith (3.3) le molteplieit/~ con le quali i rami di C'(P} passano per i punti di (3.1), si h a il seguente t e o r e m a :
3.j} Sia 0 ~ ~o < ~. Se C e P soddisfano alle ipotesi di 3.i) (escluso il c a s e : ~ o - 0, ~ < % le molteplicitdt di C'(Pt nei p u n t i di (3.1) appartenenti al primo gruppo di p u n t i liberi ed al relative gruppo satellite sono eguali a quelle previste dalla legge di alternanza : in ogni punto, se heo+l = 1; nei p u n t i distinti da Oh+h~+... ~heo+~ , ... , Oa~+...+~eo+~ , se h#o+t >~ 2. Quando h~o+t - - 2, le molteplicit(~ in quei punli sono eguali a V~o+t + 1 in O~+~,,~..+a~o+~, ed a v~o+t--1 in Oa+~+...+~eo+~. Quando heo+~ > 2, esse sono : V~o+~ + 1, in
Oh+a~+...+~o0+~"
3.k) L a 3.j) vale anche se ~o = ,~, pureM~ nel case in cui ~ sia dispari, si ponga i n essa h ~ - 1 al poslo di h~o+~.
Supponiamo era che sia ~ < v. It c o m p o r t a m e n t o di C'(P) in 0 neI ease che P non a p p a r t e n g a alla (1.9 b e che C soddisfi alla condizione Uo, b quel|o d e t e r m i n a t e dalla 3.e). Il teorema
2.f)
e l'Osservazione con la quale t e r m i n a il n. 2, permettono di stabilire iltenga alia (1.9). In tall ipotesi, e le condizioni T~, che sia a~÷~_[~, anehe
comportamento di C'(P) quando P appax- supponendo inoltre che siano 'soddisfatte h~÷~l h~+l =[:0 ed infine, se h~ ~__3, che sia
2
(n. 1), vale il t e o r e m a :
3.l} Le molteplieit~ di C'(P) nei p u n t i di (3.1) sono eguali a quelle pre- visle dalla legge di alternanza : in ogni punto, se h , - 1; nei p u n t i distinti da 0 , , 0,.,..., Ohm, se h, > 2. Se h , - - - 2 , le molteplicit& in quei punti sono eguali a ~ + 1 in 0~, ed a ~ 1 in 0.~; mentre, se h , ~ 3, tall molteplicit&
sono: ~t-i-1, in 0,, ~t, in 0 2 .... , Oh~--1, p . - - 1 , in Ohm.
Le proposizioni 3.h; i; j ; k; l) mostrano che esistono dei rami ~1.2} per i quali la validi~i~ della legge di alternanza non ~ condizione sufficiente perch~ C e P soddisfino alle ilootesi di 3.@ I1 seguente t e o r e m a p e r m e t t e di caratterizzare tall rami.
3.m) Se la molteplieit& di C'(P) i n 0 ~ eguale a v - 1, P non appartiene alla tangenle a C in O. Se per C'(P) vale la legge di allernanza (sia pure) limila.
236 E. VESENTINI: Sul compo~'tamcnto cffettiro delle curve polani, eve.
tamente al primo gruppo di p u n l i liberi ed al relativo gruppo satellite di (1.2), se
(3.9) h~+l ~ 1 ~ = ~, ~ - - 2, ..., 0},
e se inollre, quando ~ sia dispari,
(3.10) h~ > 2,
allora C soddisfa alle eondizioni T~ e, se la classe ~t di (1.2} ~ maggiore del.
l'ordine v, anche alle T ; se, inveee, la elasse ~ minore dell'ordine, P non apparliene alla (1.9).
Infatti, se il p u n t o P a p p a r t e n e s s e a l l a y = 0, poich6 v-+-~t > v, uno dei vertiei della p o l i g o n a l e delle s e p a r a t r i c i di (1.7) s a r e b b e il p u n t o (0, v), e p e r t a n t o 0 a v r e b b e p e r (1.7} molteplieith v anzichb v - - 1 . D u n q u e P n o n a p p a r t i e n e alla t a n g e n t e a (1.2} in 0 e, p e r c o n s e g u e n z a , dalla (1.6) si trae che uno dei lati d e l l a p o l i g o n a l e di (1.7) b il s e g m e n t o a v e n t e p e r e s t r e m i i p u n t i (0, v - 1), (v ÷ ~ t - - v , u - - 1 ) , il q u a l e d~t luogo agli n t r a m i di P~.
D a l l e (3.3) si h a che questi r a m i p a s s a n o con m o l t e p l i e i t h c o m p l e s s i v a m e n t e e g u a l e a v ~ - - 1 p e r c i a s c u n o dei p u n t i Oh+h,+...~ho_rl-~, ..., Oh+h~+...÷h~--l, Oh+~+...+h~. P o i c h ~ p e r ip0tesi v a l e la legge di alternanza, se ~ ~ p a r i non esiste in (1.7} a l c u n altro r a m o p a s s a n t e p e r q u e i p u n t i ; m e n t r e , se v dispari, esiste u n r a m o di g e n e r e uno p a s s a n t e p e r tall punti, con moltepli- cith. 1, ..., 1, 0. P e r l'ipotesi (3.10), il p u n t o s u c c e s s i v o a Oh+hi+...+h~--~ Su tale r a m o ~ libero, e p e r t a n t o q u e s t o ha c o p p i e c a r a t t e r i s t i e h e eguali a [h-+-1, h~,..., h ~ - - 1 ] , [h~, ..., h ~ - 1] Ad esso c o r r i s p o n d e , nella p o l i g o n a l e delle s e p a r a t r i c i r e l a t i v e a (1.7}, il lato di e s t r e m i (v -t- ~t - - v, u - - 1 } (v + ~ - - [h -t- 1, hi, ..., h~_~], [h,, ..., h~_~] - - 1), e q u i n d i nella 11.1) f i g u r a non hullo il e o e f f i c i e n t e a ~ di indici i ~ v -+- ~ - - [h + 1, h~,..., h~_~], k - - [h~ ..., h:_l].
C i a s c u n o dei p u n t i Oh+h,+...+h~_~+~,..., Oh+~+...+h:_~, h a per l ' i n s i e m e dei r a m i p r e e e d e n t i m o l t e p l i c i t ~ c o m p l e s s i v a m e n t e e g u a l i a : v ~ _ ~ - - h : se z pari, v ~ _ ~ - 1 s e a ~ dispari. D a n q u e , s e a ~ dispari, p e r tall p u n t i non p a s s a a l c u n altro r a m o di (1.7}, m e n t r e , se a ~ pari, si ha u n s i s t e m a di m : ( l ~ m ~ h~) r a m i p a s s a n t i p e r c i a s c u n o di tall p u n t i con m o l t e p l i c i t ~ com- p l e s s i v a m e n t e e g u a l i a h~. D a l l a ( 3 . 9 ) s e g u e che il s u c c e s s i v o di Oa+a~+...+~_~
su tall r a m i ~ libero. P e r c o n s e g u e n z a , essi h a n n o p r i m e e o p p i e e a r a t t e r i s t i c h e e g u a l i a [h-~-1, h~,..., h:_~], [h~, .... h~_~], e ordini k~} [h~,..., h:_~], e s s e n d o
... "~ )(Z )
i ).([~ (s = 1, 2, , too) interi positivi tall che ~ - - h~. Essi d a n n o luogo al lato della p o l i g o n a l e r e l a t i v a a (1.7) a v e n t e p e r e s t r e m i i p u n t i (v-~- ~ - - v, u - - 1) (v 4- ~ - - [h -+- 1, h~, ..., h~_~], [h~, ..., h~_~] - - 1). P e r t a n t o nella (1.1) ~ a ~ :4= 0, con i - - v -t- ~ - - [h + 1, h , , ..., h~_,], k - - [h,, ..., h~_e]. I1 r a g i o n a m e n t o pro- s e g u e p e r induzione. G i u n t i al v e r t i c e iv ~- 1~ - - [h -+- 1, h~, h:], [h~, h~] - - 1), e d e t e r m i n a t o il v e r t i c e s u e c e s s i v o (v ~- t~-- (h-t- 1), 1), il t e o r e m ~ r i s u l t a c o m p l e t a m e n t e d i m o s t r a t o non a p p e n a si t e n g a eonto della 1.a) e delle con- siderazioni svolte nel n. 1 a p r o p o s i t o d e l l a (1.9}.
E. VESENTINI: Sul compor~amento effetiiro delle curve pola~i, ece. 237 4. Supponiamo che il genere g del r a m o (1.2) sin ~ 1 (oppure che il
'~÷_~
t e r m ( h e a~c ~ non sia u n t e r m i n e caratteristico di (1.2)), e d e t e r m i u i a m o le molteplicit'~ di C'(P) nei success(v( gruppi di punt( liberi e nei relativi gruppi satelliti di (3.1). Consideriamo u n a quatsiasi C di Y~ passante per 0 con l ' u n i c o ramo (I.21, e ricordiamo che, q u a l u n q u e sia la particolarit~ di una tale C in ~, e quindi q u a l u n q u e sia la poligonale delle separatrici relative ai ram( di C'(P) uscenti da 0, uno de( lati di tale poligonale ha per estremi i punt( (0, v - - l ) ( v + l ~ - - v , u - - l ) e d~ luogo al sistema F~. ]~ chiaro t h e quell( di P4 sono gli u n i t ( r a m ( di C'(P) ehe possono avere p u n t ( i n comune con i p u n t ( di (3.1)
d e t e r m i n a r e quest( ultimi, nella d e t e r m i n a z i o n e di a~.
(4.1} x
la {1.1) si trasforma in u n a volte, e nella
{4.2)
o r e
(4.3}
success(v( al p r i m o gruppo satellite. Allo scopo di cerchiamo i coefficient( di (1.1) che intervengono Posto ([2], pag. 47):
curva spezzata nella retta ~ - - 0 contata u(v + t~)
f(~, ~) -- E Ash~J~ h - - 0,
jl,
[k\ ~_~
la somma essendo estesa alle coppie di inter( i ~ 0 , k ~ h, che soddisfano alia (1.4) e sono coordinate di punt( del d i a g r a m m a di Newton di (1.1).
La (4.2J passa per l ' o r i g i n e ~ ~ 0, ~ = 0, con un unico ramo, di ordine v~, rappresentato dallo sviluppo
= a ~ ~ + ....
P e r t a n t o considerazioni p e r f e t t a m e n t e analoghe a quelle del n. 1 portano a concludere che i pant( (j, h) del d i a g r a m m a di Newton di (4.2) appartengono al semipiano, a', delimitato dalla retta
(4.4) %j + t~'h = v d ,
al quale non appartiene l'origine, e che tutti i punt( (a coordinate intere non negative) giacenti su questa r e t t a appartengono al d i a g r a m m a di Iqewton di (4.2) dando luogo a coefficient( A i~ [:~ 0) tall che
ytGt ,~tffr yr¢
(4.5) Z Ajha h = Ao~(a - - a i ) ,
,i, h
ore v':, denota il massimo c o m u n divisore di I~' e v:; i rimanenti punt( del d i a g r a m m a di Newton di (4.2) h a n n o coordinate j, h che sono soluzioni non
