Curve di livello

(1)

Curve di livello

Lezioni del 19-20 novembre 2018

Matematica generale. Corso A

(2)

Curve di livello descritte dal grafico di funzioni ad una variabile

Definizione: Sia f : R² → R, A ⊂ R². La curva di livello k `e il sottoinsieme del dominio A dove il valore di f `e uguale a k

Sk = {(x , y ) ∈ A : f (x , y ) = k}

(3)

Curve di livello Piano Paraboloide

Funzioni le cui curve di livello sono iperboli Funzioni le cui curve di livello sono parabole

Esempio di curva di livello che gi`a conosciamo. Una carta topografica

(4)

Esempio di curva di livello che gi`a conosciamo. Una carta topografica

Figura:Fonte: https://storiadellascienza.wordpress.com/2013/07/12/le- montagne-sulla-carta-topografica/

(5)

Un esempio dalla Letteratura.... ”L’Inferno di Dante”

L’inferno di Dante

Rappresentazione tramite

curve di livello

(6)

Data la funzione f (x , y ) = 7x + 5y , disegnare le sue curve di livello.

Disegnamo le curve di livello S_k = {(x , y ) ∈ R² : 7x + 5y = k}

La curva di livello 0 `e una retta di coefficiente angolare −7/5 e passante per (0, 0)

Poniamo k = 1

7x + 5y = 1 da cui y = ¹₅ −⁷₅x , x ∈ R

La curva di livello 1 `e una retta di coefficiente angolare −7/5 e passante per (0,¹₅)

Poniamo k = −1

7x + 5y = −1 da cui y = −¹₅− ⁷₅x , x ∈ R

La curva di livello −1 `e una retta di coefficiente angolare −7/5 e passante per (0, −¹₅)

(7)

Poniamo k = 0

7x + 5y = 0 da cui y = −⁷₅x , x ∈ R

Poniamo k = 1

7x + 5y = 1 da cui y = ¹₅ −⁷₅x , x ∈ R

Poniamo k = −1

7x + 5y = −1 da cui y = −¹₅− ⁷₅x , x ∈ R

(8)

Poniamo k = 0

7x + 5y = 0 da cui y = −⁷₅x , x ∈ R

Poniamo k = 1

7x + 5y = 1 da cui y = ¹₅ −⁷₅x , x ∈ R

(9)

Poniamo k = 0

7x + 5y = 0 da cui y = −⁷₅x , x ∈ R

Poniamo k = 1

7x + 5y = 1 da cui y = ¹₅ −⁷₅x , x ∈ R

Poniamo k = −1

7x + 5y = −1 da cui y = −¹₅− ⁷₅x , x ∈ R

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In generale la curva di livello k `e una retta di coefficiente angolare

−7/5 e passante per il punto (0, k/5).

crescere dell’intercetta sull’asse y, ci spostiamo su curve di livello cui corrisponde un valore di f via via pi`u grande.

(11)

Le curve di livello della funzione f (x , y ) = 7x + 5y sono rette di coefficiente angolare −7/5 e passanti per il punto (0, k/5). Al crescere dell’intercetta sull’asse y, ci spostiamo su curve di livello cui corrisponde un valore di f via via pi`u grande.

(12)

Le curve di livello della funzione f (x , y ) = 7x + 5y sono rette di coefficiente angolare −7/5 e passanti per il punto (0, k/5). Al crescere dell’intercetta sull’asse y, ci spostiamo su curve di livello cui corrisponde un valore di f via via pi`u grande.

(13)

Nota Bene: Una circonferenza di centro (α, β) e raggio r `e data da

q

(x − α)²+ (y − β)² = r (x − α)²+ (y − β)² = r² x²+ y²− 2αx − 2βy + α²+ β² = r²

Esercizio: scrivere l’equazione della circonferenza di raggio 6 e centro (2,-5).

(x − 2)²+ (y + 5)² = 36 x²− 4x + 4 + y²+ 10y + 25 = 36 x²− 4x + y²+ 10y = 7 r =

q

(2)²+ (−5)²+ 7 = 6

(14)

Se troviamo

x²+ y²+ ax + by = c

allora l’insieme dei punti (x , y ) che soddisfa l’equazione precedente

`e una circonferenza

di centro: C = (α, β) con α = −^a₂, β = −^b₂ e raggio: r =

q

−^a₂2

+ −^b₂2

+ c

Esempio: l’insieme dei punti che soddisfano l’equazione x²+ y²+ 14x − 6y = −42 `e una circonferenza di centro C = −¹⁴₂, −⁻⁶₂ = (−7, 3) e raggio

r =p7²+ (−3)²− 42 =√

16 = 4.

(15)

Disegnare le curve di livello della funzione f (x , y ) = x²+ y²+ 15 , S_k = {(x , y ) ∈ R²: x²+ y²+ 15 = k}

Svolgimento. Le curve di livello sono circonferenze di centro:

C = (0, 0) e raggio r =√ k − 15

Grafico di f (x , y ) = x²+ y²+ 15

x y

3 0

1

-2

-3 2 1 3

-1 -1 -3

2

0 -2

Curve di livello di f (x , y ) = x²+ y²+ 15

(16)

Disegnare le curve di livello della funzione f (x , y ) = x²+ y²+ 15 , S_k = {(x , y ) ∈ R²: x²+ y²+ 15 = k}

Svolgimento. Le curve di livello sono circonferenze di centro:

C = (0, 0) e raggio r =√ k − 15

Grafico di f (x , y ) = x²+ y²+ 15

x y

3 0

1

-2

-3 2 1 3

-1 -1 -3

2

0 -2

Curve di livello di f (x , y ) = x²+ y²+ 15

(17)

Di conseguenza f assume valori di k ≥ 15, ovvero la funzione assume valori maggiori od uguali a 15. Inoltre all’aumentare del raggio, ci spostiamo su curve di livello con k maggiore, ovvero via via che il raggio r aumenta, i punti che appartengono alle

circonferenza di raggio r restituiscono un valore di f sempre pi`u grande.

(18)

Disegnare le curve di livello della funzione f (x , y ) = x²− 8x + y²+ 6y

r = k + 16 + 9 = k + 25.

Di conseguenza f assume valori di k ≥ −25, ovvero la funzione assume valori maggiori od uguali a −25.

Inoltre all’aumentare del raggio, ci spostiamo su curve di livello con k maggiore, ovvero via via che il raggio r aumenta, ai punti che appartengono alle circonferenza di raggio r corrisponde un valore di f sempre pi`u grande.

(La rappresentazione grafica delle curve di livello di f `e lasciata allo studente )

(19)

f (x , y ) = x²− 8x + y²+ 6y = k,Le curve di livello sono circonferenze di centro: C = (4, −3) e raggio

r =√

k + 16 + 9 =√ k + 25.

(20)

r =√

k + 16 + 9 =√ k + 25.

appartengono alle circonferenza di raggio r corrisponde un valore di f sempre pi`u grande.

(21)

r =√

k + 16 + 9 =√ k + 25.

(22)

r =√

k + 16 + 9 =√ k + 25.

(23)

Disegnare le curve di livello della funzione c) f (x , y ) = −x²+ 9x − y²+ 12y ;

f (x , y ) = −x²+ 9x − y²+ 12y ; La curva di livello k `e data da S_k = {(x , y ) ∈ R²: −x²+ 9x − y²+ 12y = k} da cui

S_k = {(x , y ) ∈ R²: x²− 9x + y²− 12y = −k}. Le curve di livello della funzione sono circonferenze di centro ⁹₂, 6 e raggio

q81

4 + 36 − k. Di conseguenza f assume valori di k ≤ ²²⁵₄ , ovvero la funzione assume valori minori od uguali a ²²⁵₄ . All’aumentare del raggio, ci spostiamo su curve di livello con k minore, ovvero via via che il raggio r aumenta, ai punti che appartengono alle circonferenza di raggio r corrisponde un valore di f sempre pi`u piccolo.

(24)

Disegnare le curve di livello della funzione c) f (x , y ) = −x²+ 9x − y²+ 12y ;

f (x , y ) = −x²+ 9x − y²+ 12y ; La curva di livello k `e data da S_k = {(x , y ) ∈ R²: −x²+ 9x − y²+ 12y = k} da cui

S_k = {(x , y ) ∈ R²: x²− 9x + y²− 12y = −k}. Le curve di livello della funzione sono circonferenze di centro ⁹₂, 6 e raggio

q81

4 + 36 − k. Di conseguenza f assume valori di k ≤ ²²⁵₄ , ovvero la funzione assume valori minori od uguali a ²²⁵₄ . All’aumentare del raggio, ci spostiamo su curve di livello con k minore, ovvero via via che il raggio r aumenta, ai punti che appartengono alle circonferenza di raggio r corrisponde un valore di f sempre pi`u piccolo.

(25)

Grafico di

f (x , y ) = −x²+ 9x − y²+ 12y

Curve di livello di f (x , y ) = −x²+ 9x − y²+ 12y

(26)

Esercizio. Rappresentare le curve di livello della funzione f (x , y ) = xy .

Svolgimento. Analogamente a quanto visto per i casi precedenti, il grafico di f `e rappresentato dalla figura a sinistra. Al fine di rappresentare le curve di livello dobbiamo consideriamo i casi k = 0, k > 0 e k < 0.

Per k > 0, rami di iperboli equilatere che occupano il primo ed il terzo quadrante (colorate di blu).

Per k < 0, rami di iperboli equilatere che occupano il secondo ed il quarto quadrante (colorate di rosso).

(27)

Per k = 0 la curva di livello `e rappresentata dalla coppia degli assi cartesiani (colorati di giallo nella figura a destra).

(28)

(29)

(30)

Grafico di f (x , y ) = xy

Curve di livello di Curve di livello di f (x , y ) = xy

(31)

Esercizio. Rappresentare le curve di livello della funzione f (x , y ) = log x + log y .

Svolgimento. Il grafico di f `e rappresentato dalla figura a sinistra.

Osserviamo preliminarmente che poich´e il campo di esistenza di f

`e rappresentato da E_f = {(x , y ) ∈ R² : x > 0, y > 0} le curve di livello di f si trovano nell’ortante strettamente positivo di R². La generica curva di livello k `e data da:

Sk = {(x , y ) ∈ Ef : log x + log y = k}.

In base alle propriet`a dei logaritmi si ha :

log x + log y = k, se e solo se log(xy ) = k, x > 0, y > 0, se e solo se xy = e^k, x > 0, y > 0.

(32)

Esercizio. Rappresentare le curve di livello della funzione f (x , y ) = log x + log y .

Svolgimento. Il grafico di f `e rappresentato dalla figura a sinistra.

Osserviamo preliminarmente che poich´e il campo di esistenza di f

`e rappresentato da E_f = {(x , y ) ∈ R² : x > 0, y > 0} le curve di livello di f si trovano nell’ortante strettamente positivo di R². La generica curva di livello k `e data da:

Sk = {(x , y ) ∈ Ef : log x + log y = k}. In base alle propriet`a dei logaritmi si ha :

log x + log y = k, se e solo se log(xy ) = k, x > 0, y > 0, se e solo se xy = e^k, x > 0, y > 0.

(33)

Sfruttando lo studio dell’esercizio precedente, deduciamo che le curve di livello sono quindi iperboli.

Poniamo ad esempio k = 4. La curva di livello k = 4 `e

rappresentata dalla curva xy = e⁴ e quindi la curva di livello k = 4

`e il grafico della funzione y = ^e_x⁴ (in figura colore rosso).

Analogamente la curva di livello k = 5 `e rappresentata dal grafico della funzione y = ^e_x⁵ (in figura colore arancione).

(34)

(35)

Analogamente la curva di livello k = 5 `e rappresentata dal grafico della funzione y = ^e_x⁵ (in figura colore arancione).

(36)

In figura sono riportate le curve di livello k = 6 (colore giallo), k = 6, 5 (colore verde), k = 7 (colore blu), k = 7, 5 (colore viola).

All’aumentare di k le curve di livello si spostato verso destra.

f (x , y ) = log x + log y

Curve di livello di Curve di livello di f (x , y ) = log x + log y

(37)

Esercizio Disegnare le curve di livello della funzione f(x , y ) = −x²+ 6x − y + 20.

La curva di livello k `e data da

S_k = {(x , y ) ∈ R²: −x²+ 6x − y + 20 = k}. Al fine di studiare l’andamento delle curve di livello esplicitiamo y in funzione di x , y = −x²+ 6x − k + 20.

Ricordiamo che il grafico della funzione g (x ) = ax²+ bx + c `e rappresentato da una parabola di vertice

V =

−_2a^b, a −_2a^b2

+ b −_2a^b + c

=

−_2a^b,^4ac−b_4a ²

; se a > 0 g (x ) `e convessa, mentre se a < 0 g (x ) `e concava.

(38)

V = −_2a^b, a −_2a^b2

+ b −_2a^b + c = −_2a^b,^4ac−b_4a ² ; se a > 0 g (x ) `e convessa, mentre se a < 0 g (x ) `e concava.

(39)

Ricordiamo che il grafico della funzione g (x ) = ax²+ bx + c `e rappresentato da una parabola di vertice

V =

−_2a^b, a −_2a^b2

+ b −_2a^b + c

=

−_2a^b,^4ac−b_4a ²

; se a > 0 g (x ) `e convessa, mentre se a < 0 g (x ) `e concava.

(40)

Nel nostro caso da −x²+ 6x − y + 20 = k segue y = −x²+ 6x − k + 20.

Per ogni k, poiché il coefficiente del termine x² è minore di zero, y = −x²+ 6x + (20 − k) è una funzione concava e la curva di livello k è rappresentata da una parabola di vertice

V =

−₋₂⁶ ,−4(20−k)−36

−4

= (3, 29 − k)

ascissa, ma minore ordinata.

(41)

V =

−₋₂⁶ ,−4(20−k)−36

−4

= (3, 29 − k)

Se k aumenta l’ordinata del vertice della parabola diminuisce. Di conseguenza all’aumentare di k otteniamo parabole con uguale ascissa, ma minore ordinata.

(42)

V =

−₋₂⁶ ,−4(20−k)−36

−4

= (3, 29 − k)

Se k aumenta l’ordinata del vertice della parabola diminuisce. Di conseguenza all’aumentare di k otteniamo parabole con uguale ascissa, ma minore ordinata.

(43)

Grafico di

f (x , y ) = −x²+ 6x − y + 20

Curve di livello di f (x , y ) = −x²+ 6x − y + 20

(44)

Esercizio. Disegnare le curve di livello della funzione f (x , y ) = y −¹₃x³+ 2x²

Si osserva preliminarmente che le curve di livello della funzione non sono né rette, né circonferenze, né parabole. Al fine di studiare l’andamento delle curve di livello esplicitiamo y = k +¹₃x³− 2x².

Poniamo k = 0. Studiamo la funzione ad una variabile

g (x ) = ¹₃x³− 2x², dato che la curve di livello k = 0 `e descritta dal grafico di g (x ).

(45)

S_k = {(x , y ) ∈ R²: y − ¹₃x³+ 2x² = k}.

(46)

S_k = {(x , y ) ∈ R²: y − ¹₃x³+ 2x² = k}.

(47)

Campo di esistenza E_g = {x ∈ R}.

Segno: g0(0) = 0, g (x ) = ¹₃x³− 2x² = x² ¹₃x − 2.

g0(x ) = 0 per x = 0, x = 6.

Comportamento al limite del campo di esistenza:

x →−∞lim

1

3x³− 2x²= −∞, lim

x →+∞

1

3x³− 2x² = +∞.

Studio crescenza e decrescenza: g₀⁰(x ) = x²− 4x = x (x − 4).

Per x < 0 e x > 4, g₀⁰(x ) > 0 (g0(x ) `e crescente). Per 0 < x < 4 g₀⁰(x ) < 0, (g₀(x ) `e decrescente). x = 0 p.to di max.rel,, x = 4 p.to di min. rel.

Curva di livello 0

(48)

Campo di esistenza E_g = {x ∈ R}.

Segno: g0(0) = 0, g (x ) = ¹₃x³− 2x² = x² ¹₃x − 2.

g0(x ) = 0 per x = 0, x = 6.

Comportamento al limite del campo di esistenza:

x →−∞lim

1

3x³− 2x²= −∞, lim

x →+∞

1

3x³− 2x² = +∞.

Studio crescenza e decrescenza: g₀⁰(x ) = x²− 4x = x (x − 4).

Per x < 0 e x > 4, g₀⁰(x ) > 0 (g0(x ) `e crescente). Per 0 < x < 4 g₀⁰(x ) < 0, (g₀(x ) `e decrescente). x = 0 p.to di max.rel,, x = 4 p.to di min. rel.

Curva di livello 0

(49)

Per k 6= 0, y = k +¹₃x³− 2x² e quindi dobbiamo studiare g_k(x ) = ¹₃x³− 2x²+ k; g_k(0) = k, lim

x →−∞g_k(x ) = −∞,

x →+∞lim g_k(x ) = +∞, g_k⁰(x ) = x²− 4x = g₀⁰(x ). Da ci`o segue che la generica curva di livello k, si ottiene dalla curva di livello k = 0 considerando punti aventi la stessa ascissa ed ordinata aumentata (se k > 0) o diminuita (se k < 0).

(50)

Grafico di

f (x , y ) = y − ¹₃x³+ 2x²

Curve di livello di f (x , y ) = y − ¹₃x³+ 2x²