CAPITOLO 5

(1)

CAPITOLO 5

CARATTERIZZAZIONE ED ESTRAZIONE DELLE

FEATURES DEI FISCHI

5.1 INTRODUZIONE

Nel capitolo precedente si è focalizzata la nostra attenzione sull’estrazione e sulla classificazione dei fischi emessi dai Tursiopi che popolano il mare compreso fra le coste viareggine e quelle pisane.

Per l’estrazione del segnale si sono sviluppati programmi in ambiente Matlab basati sullo spettrogramma.

Allo stato dell’arte si conosce molto poco sulla funzione di queste vocalizzazioni nell’ambito sociale, e per di più, in letteratura, non esistono modelli capaci di “rappresentarle”. Risulta quindi necessario, prima di associare la forma del segnale emesso al comportamento dell’animale, trovare un modello per il fischio e quindi scoprire delle caratteristiche comuni ad ogni categoria. Questo studio pone le basi nella ricerca del “fischio firma” tipico di ogni esemplare di delfino.

La ricerca del modello si appoggia sulla teoria della stima, ed ogni volta che sarà necessario ne richiameremo i concetti fondamentali, omettendone però i passaggi matematici più pesanti.

Infine si valuterà la bontà dello stimatore sui dati mediante la valutazione dell’errore quadratico medio (MSE). Anche in questo caso tutti i programmi sono implementati in ambiente Matlab, che, assieme a quelli utilizzati nel Capitolo 4, saranno riportati nell’Appendice A.

(2)

5.2 RICERCA DEL MODELLO DEL SEGNALE

Nel capitolo 4 è stata fatta una classificazione dei fischi in base alla loro forma sullo spettrogramma, e proprio in base a tale forma verrà stabilito, nei paragrafi successivi, il modello di segnale da considerare. Per fischi di tipo “Sine” e per quelli appartenenti alla categoria denominata “Family”, conviene utilizzare un modello rappresentato da una sommatoria di cosinusoidi:

0 1 ( ) cos(2 ) K k k k x n A A

π

f n

ϑ

_k = = +

∑

+ (5.1)

dove: n=0,1,...,N-1 con N pari al numero di campioni del segnale x(n) [7]. A ₀

rappresenta il valor medio del segnale, le f sono costanti distinte e non nulle _k

comprese tra [-0.5,0.5] e gli A rappresentano le ampiezze reali. _k

Grazie alla formula di Eulero, la (5.1) si può scrivere come:

(2 ) (2 ) 0 0 1 1 (2 ) (2 ) 2 0 0 1 1 0 ( ) cos(2 ) 2 2 2 k k k k k k k k k K K j f n j f n k k k k k k K K K j f n j f n j f n k k k k k k K k A x n A A f n A e e A A A e e A e π ϑ π ϑ π ϑ π ϑ π

π

ϑ

α

+ − + = = + − + = = =− ≠ ⎡ ⎤ = + + = + _⎣ + _⎦= = + + = +

∑

(5.2) con: 2 k j k k A e ϑ

α

= per i quali vale:

α

₋_k =

α

_k*, ed in cui vale inoltre: f₋_k = − . f_k

Per quanto riguarda invece segnali tipo “Snake”, “Flight”, “Down-up-down” o “Up-down-up”, la ricerca del modello è stata più difficoltosa, e si è infine optato per approssimare il segnale tramite una funzione polinomiale di grado g [8]. Tuttavia, come si vedrà in seguito, tutti i fischi sono stati inizialmente stimati tramite entrambi i modelli, confrontando l’MSE fra le diverse stime, e proprio grazie a tali confronti si è giunti, per ogni categoria,

(3)

alla scelta della stima migliore. Inoltre, con la stima tramite modello “cosinusoidale”, si è cercato di verificare se esistano caratteristiche comuni che leghino fischi appartenenti allo stesso gruppo, o a gruppi diversi.

In tutti i modelli proposti si è deciso di trascurare la presenza di un processo di rumore additivo, in quanto non significativo al fine della determinazione e validazione del modello statistico.

5.3 ALGORITMO DI STIMA PER IL MODELLO

“COSINUSOIDALE”

Per il modello nella (5.2), il passo successivo è quello di determinare i parametri incogniti A , ₀ f e _k α_k. Per il numero di componenti con cui modellare i dati reali, si è pensato di scegliere K di volta in volta, a seconda del tipo di segnale da ricostruire.

Il metodo di stima, consiste nella minimizzazione dell’errore quadratico medio (MSE) tra i dati osservati e quelli stimati. Preventivamente si estrae a

x(n) la stima del valor medio costante, calcolata come media campionaria del segnale, quindi: l 1 0 0 1 ( ) N i A x n N − = =

∑

(5.3)

Si definiscono i nuovi dati come

l

0

( ) ( )

y n = x n −A (5.4)

(4)

2 0 ( , ,... , ) ( ) K k k k k k k k K k CF f₋

α

₋ f

α

f

α

=− ≠ = y −

∑

ω (5.5)

dove: è l’attuale vettore colonna degli osservati, e è il vettore colonna degli esponenziali complessi.

[

0 1... 1 T N y y y ₋ = y

]

⎤⎦ 2 2 ( 1) ( ) 1, j fk... j fk N T k f = ⎣⎡ e π e π − ω

Minimizzare la (5.5) significa ricercare l’argomento che minimizza:

m m

{

}

_{ _} 2 , , arg min k k K K f f α

α

= y Ωα − (5.6)

dove α=

[

α

₋_k...

α

_k

]

T è il vettore colonna delle ampiezze complesse, mentre

]

[

(f₋_k)... (f_k) T =

Ω ω ω rappresenta la matrice degli esponenziali complessi campionati. La (5.6) si riduce al calcolo: 1 ( H )− H = α Ω Ω Ω y (5.7)

dove la stima del vettore delle frequenze f =

[

f₋_k...f_k

]

T è ottenuto dalla minimizzazione della funzione:

2

( _k,..., _k) P

C f₋ f = _Ω⊥y (5.8)

dove indica la proiezione ortogonale lungo il sottospazio corrispondente al vettore nullo di . Per esempio:

P_Ω⊥

H

(5)

1

P_Ω⊥ = −I (Ω Ω ΩH )− H (5.9)

dove indica la matrice identica. I

Il problema della minimizzazione congiunta della (5.8), nella pratica molto difficoltosa da ottenere, può viceversa essere conseguita con l’utilizzo dell’algoritmo RELAX [5]-[7]. Si applica lo stimatore RELAX per un modello di segnale (5.2); l’algoritmo scompone il problema di un calcolo multidimensionale in una serie di minimizzazioni monodimensionali facendo uso di un metodo iterativo. Tralasciando i passaggi, si può dimostrare che minimizzare la (5.8) equivale a trovare le frequenze in cui il periodogramma di ha dei punti di massimo. Quindi, definito il periodogramma di

come: ( ) y n y n( ) 2 1 1 ( ) ( ) N j j n n S e y n e N ω − =

∑

ω (5.10)

il sistema RELAX mira a stimare singolarmente i picchi di (S ejω). La (5.10) rappresenta il modulo quadro della FFT che possiamo calcolare ad esempio su 8192 punti. Se stabiliamo ad esempio K=1, il modo di procedere è il seguente:

Step (1): assumiamo k=-1 ed otteniamo m mf₋₁,

α

₋₁ dalle (5.8) e (5.7).

Step (2): assumiamo k=1. Calcoliamo y₁ mediante:

l _{( )}l K k i i K i k i f

α

=− ≠ = −

∑

y y ω (5.11)

(6)

Step (2-bis): tramite la (5.11), ricalcoliamo y usando ₋₁ l lf₁,

α

₁ e rideterminiamo m mf₋₁,

α

₋₁ usando le (5.8) e (5.7). Si reiterano gli step(2) e

(2-bis) finché non si raggiunge una “convergenza pratica”. Questa convergenza si misura tramite una funzione costo così definita:

2 ( , ,... , ) ( ) K k k k k k k k K CF f₋

α

₋ f

α

f =− −

∑

y ω

α

(5.12)

e la si raggiunge quando la differenza della (5.12) fra l’iterazione j-ma e l’iterazione (j+1)-ma è ≤ =

ε

10−5. Se K >1, si procede nella maniera indicata finché non si raggiunge K.

Se nel modello ipotizzato (5.2) fosse presente anche un processo di rumore gaussiano bianco, la stima (5.6) ottenuta coinciderebbe con quella a massima verosimiglianza (ML).

( )

(7)

5.4 RISULTATO DELLE STIME PER FISCHI DI

TIPO

“SINE”

La bontà delle stime è stata valutata osservando l’MSE, definito come:

2

1

MSE

N x s−

(5.13)

dove il vettore indica l’osservato, il vettore s lo stimato ed N il numero di campioni contenuti in ognuno dei due vettori.

x

Prendiamo ora in esame il caso del fischio 26, di tipo “Sine”, il cui profilo estratto è rappresentato in figura 5.1.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 4 4,2 4,4 4,6 4,8 5 5,2 5,4

Estrazione del fischio 26 col filtro a mediana con n1=22, n2=35, n3=20

Componente 1 Componente 2 Componente 3 Frequency (kH z) Time (sec)

Figura 5.1 – Risultato dell’estrazione delle tre componenti del fischio 26, di tipo “Sine”.

Consideriamo come primo esempio la componente 1 (in blu), e ricostruiamola secondo la stima RELAX con un numero crescente di armoniche che va da 2 a 6. Riportiamo in figura 5.2 l’andamento dell’errore

(8)

quadratico medio (MSE) normalizzato rispetto alla potenza P del segnale estratto: 2 1 P N x (5.14) 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 1 2 3 4 5 6 7 M S E nor m ali zzat o K

Figura 5.2 – Andamento dell’errore quadratico medio normalizzato rispetto alla potenza del segnale (riportato a media nulla), fra i dati reali e la stima ottenuta con RELAX, della componente 1 del fischio 26. Si nota il chiaro andamento decrescente all’aumentare del numero di componenti utilizzate.

L’MSE tende ad assumere un valore pressoché costante dopo un numero di componenti pari a sei. Questo accade per la presenza di un “rumore di stima”, dovuto alla presenza di rumore nel profilo estratto, che impedisce il raggiungimento dell’annullamento dell’errore quadratico medio. Nella nostra trattazione non abbiamo mai superato il numero di 7 armoniche positive, sia perché l’MSE risulta soddisfacente, sia perché un modello a più righe risulterebbe troppo complicato.

(9)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 4 4,2 4,4 4,6 4,8 5 5,2 5,4

fischio26-->comp1:2 arm. N=8192,comp2:2 arm. N=8192,comp3:2 arm. N=8192

Componente 1 Componente 2 Componente 3 Stima RELAX 1 Stima RELAX 2 Stima RELAX 3 F re q uenc y ( k H z) Time (sec)

Figura 5.3 – Andamento delle tre componenti del fischio 26 e relativa stima RELAX di ognuna, con un numero di componenti a frequenza positiva pari a 2.

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 Errore RELAX comp. 1

Er ro re in k H z Time (sec) -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 Errore RELAX comp. 2

Er ro re in k H z Time (sec) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5

Errore RELAX comp. 3

Er ro re in k H z Time (sec)

Figura 5.4 – Andamento temporale dell’errore, per ognuna delle tre componenti del fischio 26, tra ogni osservato e la corrispondente stima, relativo alla figura 5.3.

(10)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4

Componente 1 Componente 2 Componente 3 Stima RELAX 1 Stima RELAX 2 Stima RELAX 3 F re que nc y (kH z) Time (sec)

Figura 5.5 - Andamento delle tre componenti del fischio 26 e relativa stima RELAX di ognuna, con un numero di componenti a frequenza positiva pari a 4.

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 Errore RELAX comp. 1

Er ro re i n kH z Time (sec) -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 Errore RELAX comp. 2

Er ro re i n kH z Time (sec) -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5

Figura 5.6 - Andamento temporale dell’errore, per ognuna delle tre componenti del fischio 26, tra ogni osservato e la corrispondente stima, relativo alla figura 5.5.

(11)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4

Componente 1 Componente 2 Componente 3 Stima RELAX 1 Stima RELAX 2 Stima RELAX 3 F re que nc y (kH z) Time (sec)

Figura 5.7 - Andamento delle tre componenti del fischio 26 e relativa stima RELAX di ognuna, con un numero di componenti a frequenza positiva pari a 5.

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 Errore RELAX comp. 1

Er ro re i n kH z Time (sec) -1 -0.5 0 0.5 1 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 Errore RELAX comp. 2

Er ror e i n k H z Time (sec) -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5

(12)

Dalla figura 5.3 alla figura 5.8 sono mostrati i risultati della stima secondo l’algoritmo RELAX per il fischio 26, e gli errori relativi alla ricostruzione di ognuna delle tre componenti del fischio, con un numero di armoniche pari a 2, 4 e 5. L’errore è stato calcolato come differenza tra l’osservato e lo stimato. Per ogni stima relativa ad ogni componente del fischio, sono stati estratti il vettore delle frequenze positive f e le relative ampiezze reali . Per la figura 5.3 si ottiene:

+

A+ f+₁=[1.3208 2.5888],

=[1.3208 2.4831], =[1.0566 2.1661], in cui ricorrono le frequenze di 1.32 Hz e di circa 2.5 Hz; per la figura 5.5 si ha:

2

f+ f+₃

1

f+ =[0.3698 1.3208 2.5888 3.9624], f+₂=[0.5283 1.3208 2.4831 4.3322], f+₃=[1.0566 2.2189 3.8567 4.1737], in cui, oltre alle precedenti, ricorrono anche delle frequenze di circa 4.2 Hz e 3.9 Hz. Infine, per la figura 5.7, si ha: f+₁=[0.3698 1.3208 2.5888 3.9624 5.1775], =[0.5283 1.3208 2.4831 4.4379 5.9172], =[1.0566 2.1661 3.8039 4.1209 4.8605]. Per quanto riguarda l’MSE, per le figure 5.3-5.6 si ottengono dei valori normalizzati per ogni componente pari a:

2

f+ f+₃

,2

1_r 0.0642

MSE = MSE2_r_,2 =0.0270 MSE3_r_,2 =0.0327

,4

1_r 0.0249

MSE = MSE2_r_,4 =0.0112 MSE3_r_,4 =0.0106

dove il primo indice sta per il numero della componente del fischio, mentre il numero al pedice indica quante armoniche si usino per la stima RELAX (pedice r).

Consideriamo ora una stima per il fischio 26 utilizzando delle funzioni polinomiali. Abbiamo cominciato col ricostruire le tre componenti tramite polinomi di grado 3, aumentando successivamente il grado dei polinomi fino a giungere ad un MSE paragonabile al caso di 5 armoniche utilizzate nella stima RELAX. In figura 5.9 è riportata la ricostruzione delle tre componenti del fischio con polinomi di decimo grado.

(13)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 4 4,2 4,4 4,6 4,8 5 5,2 5,4

fischio 26 ricostruito con polinomi-->g1=10, g2=10, g3=10

Componente 1 Componente 2 Componente 3 Stima polin. 1 Stima polin. 2 Stima polin. 3 F requenc y ( k H z) Time (sec)

Figura 5.9 - Andamento delle tre componenti del fischio 26 e relativa stima polinomiale di ognuna, con grado dei polinomi pari a 10.

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4

Errore polinomio comp. 1

Er ro re in k H z Time (sec) -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4

Er ror e i n k H z Time (sec) -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 4 4.2 4.4 4.6 4.8

Er ror e i n k H z Time (sec) 5

(14)

Per quanto riguarda le figure 5.7-5.8, si è valutato l’MSE normalizzato rispetto alla potenza del segnale, per tutte e tre le componenti del fischio:

0164 . 0 1_r_,₅ =

MSE MSE2_r_,₅ =0.0086 MSE3_r_,₅ =0.0040

Per le figure 5.9-5.10 invece, i valori trovati sono stati:

0438 . 0 1_p_,₁₀ =

MSE MSE2_p_,₁₀ =0.0171 MSE3_p_,₁₀ =0.0068

dove il pedice p sta per stima polinomiale. L’MSE risulta quindi nettamente minore nel caso della stima RELAX con 5 armoniche, pur restando dello stesso ordine di grandezza del caso di stima polinomiale di grado 10.

Consideriamo ora un altro esempio di tipo “Sine”, riguardante il fischio 5b. 5 10 15 20 25 30 4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6

fischio5b-->comp1:3 arm. N=2048,comp2:3 arm. N=1024

Componente 1 Componente 2 Stima RELAX 1 Stima RELAX 2 Frequency (kH z) Time (sec)

Figura 5.11 - Andamento delle due componenti del fischio 5b e relativa stima RELAX di ognuna, con un numero di componenti a frequenza positiva pari a 3.

(15)

-2 -1 0 1 2 3 4 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

Er ro re in k H z Time (sec) -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

E

rrore in kH

z

Time (sec)

Figura 5.12 - Andamento temporale dell’errore per entrambe le componenti del fischio 5b, tra ogni osservato e la corrispondente stima, relativo alla figura 5.11.

5 10 15 20 25 30 4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6

Componente 1 Componente 2 Stima RELAX 1 Stima RELAX 2 F reque ncy (kH z) Time (sec)

(16)

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

E rrore in kH z Time (sec) -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

Error

e in kH

z

Time (sec)

5 10 15 20 25 30 4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6

Componente 1 Componente 2 Stima RELAX 1 Stima RELAX 2 F reque ncy (kH z) Time (sec)

(17)

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

Er ro re in k H z Time (sec) -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

E rrore i n kH z Time (sec)

Dalla figura 5.11 alla figura 5.16 sono mostrati i risultati della stima secondo l’algoritmo RELAX e gli errori relativi alla ricostruzione di entrambe le componenti del fischio 5b, con un numero di armoniche pari a 3, 5 e 7.

Per la figura 5.11 si ha: f+₁=[1.9020 2.1133 4.6492], =[2.1133

4.6492 5.9172], in cui insistono i valori 2.1133 Hz e 4.6492; per la figura

5.13 si ha: =[1.6906 1.9020 2.3246 4.8605 6.1285], =[0 2.1133

4.6492 5.9172 8.4531], in cui si nota anche un valore di circa 6 Hz; infine

per la figura 5.15 si ha: =[1.6906 1.9020 2.3246 4.8605 6.1285 11.2004

12.2570], =[0 2.1133 4.6492 5.9172 8.4531 10.5664 16.9063]. Per

quanto riguarda l’MSE, otteniamo:

2 f+ 1 f+ f+₂ 1 f+ 2 f+ ,3 1_r 0.0302 MSE = MSE2_r_,3 =0.0414 ,5 1_r 0.0189 MSE = MSE2_r_,5 =0.0137 ,7 1_r 0.013 MSE = 0 MSE2_r_,7 =0.0069

(18)

0,005 0,0075 0,01 0,0125 0,015 0,0175 0,02 0,0225 0,025 4 5 6 7 8 Componente 1 Componente 2 M S E nor mal izzat o K

Figura 5.17 - Andamento dell’errore quadratico medio normalizzato rispetto alla potenza del segnale, fra i dati reali e la stima ottenuta con RELAX, di entrambe le componenti del fischio 5b, per 5, 6 e 7 armoniche.

Come si può vedere in figura 5.17, anche in questo caso a causa del “rumore di stima”, l’MSE tende ad assumere un valore pressoché costante dopo un certo numero di componenti cosinusoidali utilizzate per la stima. Il fatto che l’MSE della stima sulla componente 1 risulta più grande rispetto a quello sulla componente 2, è dovuto al fatto che si è normalizzato rispetto alla potenza del segnale; infatti la componente 2 presenta una P maggiore, in quanto occupa un range di frequenze più ampio rispetto alla componente 1. Passiamo ora alla ricostruzione del fischio 5b tramite funzioni polinomiali. In figura 5.18 è raffigurata la stima delle due componenti del fischio utilizzando polinomi di grado 7.

(19)

5 10 15 20 25 30 4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6

fischio5b ricostruito con polinomi-->g1=7, g2=7

Componente 1 Componente 2 Stima polinom. 1 Stima polinom. 2 F reque ncy (kH z) Time (sec)

Figura 5.18 - Andamento delle due componenti del fischio 5b e relative stime polinomiali, con grado dei polinomi pari a 7.

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

E rrore in kH z Time (sec) -3 -2 -1 0 1 2 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

Errore polinomio comp.2

E

rrore in kH

z

Time (sec)

Figura 5.19 - Andamento temporale dell’errore, per le due componenti del fischio 5b, relativo alla figura 5.18.

(20)

Pur avendo utilizzato un grado così elevato, l’errore quadratico medio normalizzato è pari a: 0169 . 0 1_p_,₇ = MSE MSE2_p_,₇ =0.0179

mentre nel caso di 5 armoniche con RELAX risulta:

0189 . 0 1_r_,₅ =

MSE MSE2_r_,₅ =0.0137.

Quindi con polinomi di grado 7 si riesce ad ottenere una stima migliore limitatamente alla componente 1, mentre la stima migliore per la componente 2 resta ancora quella di RELAX. Osservando invece i risultati trovati utilizzando 7 armoniche, entrambe le stime risultano migliori di quelle polinomiali di grado 7.

Come ultimo esempio per quanto riguarda i fischi di tipo “Sine”, in figura 5.20 si sono confrontate la stima RELAX con 4 armoniche a frequenza positiva e la stima con polinomio di grado 5, delle due componenti del fischio 5a.

In questo caso siamo giunti sino ad un massimo di 7 armoniche per la stima RELAX e grado 7 per la stima polinomiale, ottenendo miglioramenti soprattutto per quanto riguarda la ricostruzione polinomiale.

Nelle figure 5.21a-5.21b è riportato l’andamento temporale dell’errore, per entrambe le componenti del fischio 5a, nei due diversi tipi di stima. Risulta evidente quanto la componente 1 sia ricostruita in maniera decisamente migliore con la stima RELAX, come del resto si evince anche dalla figura 5.20.

(21)

5 10 15 20 25 30 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4 fischio5a-->comp1:4 arm. N=8192,comp2:4 arm. N=8192

Componente 1 Componente 2 Stima RELAX 1 Stima RELAX 2 Fr equency (kH z) Time (sec) 5 10 15 20 25 30 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4 fischio5a ricostruito con polinomi-->g1=5, g2=5

Componente 1 Componente 2 Stima polinom. 1 Stima polinom. 2 Fr equency (kH z) Time (sec)

Figura 5.20 – Ricostruzione delle due componenti del fischio 5a. A sinistra: stima RELAX con 4 armoniche a frequenza positiva; a destra: stima polinomiale di grado 5.

Confrontando l’MSE normalizzato rispetto alla potenza del relativo segnale, nei due casi si ha:

0088 . 0 1_r_,₄ = MSE MSE2_r_,₄ =0.0121 MSE1_p_,₅ =0.0224 MSE2_p_,₅ =0.0191

quindi se ne deduce che anche la componente 2 presenta un MSE migliore nel caso di stima RELAX. Per giungere a dei valori di MSE simili al caso RELAX, per la ricostruzione polinomiale bisogna spingerci sino al grado 7, per cui troviamo:

0074 . 0 1_p_,₇ =

(22)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4

Er ro re in kH z Time (sec) -3 -2 -1 0 1 2 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4

Er ro re i n k H z Time (sec)

Figura 5.21a - Andamento temporale dell’errore per entrambe le componenti del fischio 5a, tra ogni osservato e la relativa stima RELAX con 4 armoniche.

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4

Er ro re i n k H z Time (sec) -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4

Er ro re i n kH z Time (sec)

Figura 5.21b - Andamento temporale dell’errore per entrambe le componenti del fischio 5a, tra ogni osservato e la relativa stima polinomiale con grado 5.

La conclusione per i segnali di tipo “Sine”, è quindi che la ricostruzione tramite stima RELAX, dal punto di vista dell’MSE minimo, funziona meglio dell’approssimazione con funzioni polinomiali. Inoltre la stima RELAX offre la possibilità di estrarre gli f e gli _k A che, come abbiamo visto _k

precedentemente, possono essere utili per identificare dei valori ricorrenti per un certo tipo di segnale, così da poterlo riconoscere magari in futuro dall’esame proprio di questi elementi.

(23)

5.5 CONSIDERAZIONI SUI PARAMETRI STIMATI

PER I FISCHI “SINE”

Nella classificazione dei parametri stimati si sono notate delle componenti frequenziali ricorrenti, non solo tra componenti dello stesso fischio, ma anche tra fischi diversi. Associando ad ogni frequenza estratta la relativa ampiezza, si è riportato in figura 5.22 lo scatter-plot delle componenti estratte dai fischi di tipo “Sine”, ponendo K=2.

0 2 4 6 8 10 0 0,75 1,5 2,25 3 3,75 4,5 5,25 6 6,75 7,5 8,25 9 Scatter-plot Prima Componente Seconda componente A m piezz a ( k H z) Frequenza (Hz)

Figura 5.22 – Scatter-plot delle frequenze estratte tramite l’algoritmo RELAX, con 2 armoniche. Data la scarsità di segnali estratti, non sono individuabili delle componenti ricorrenti sul piano, soprattutto a causa della dispersione del termine di ampiezza.

Poiché da tale esempio non emergono particolari componenti ricorrenti, in figura 5.23 si è tentato un istogramma che comprendesse entrambe le componenti frequenziali. Si possono notare i picchi a circa 1.4 Hz, 2.3 Hz e 4.1 Hz, anche se i dati estratti non sono in numero sufficiente per offrire una statistica affidabile.

(24)

0 1 2 3 4 5 6 7 0.085 0.985 1.885 2.785 3.685 4.585 5.485 6.385 7.285 8.185 histsine 12.51.05 06/07/2004 Num e ro di fi sc hi Frequenza (Hz)

(25)

5.6 RISULTATI DELLE STIME PER FISCHI DI

TIPO

“SNAKE”

Anche per questo tipo di vocalizzazioni abbiamo tentato un confronto fra la stima RELAX ed una stima tramite funzioni polinomiali. Queste ultime, come già nel paragrafo riguardante le vocalizzazioni di tipo “Sine”, sono state ottenute utilizzando in Matlab i comandi polyfit e polyval. Il primo comando restituisce i coefficienti del polinomio che approssima meglio il segnale di ingresso nel senso dei minimi quadrati, accettando come ulteriore ingresso il grado del polinomio. Il secondo invece restituisce il valore del polinomio, calcolato con i coefficienti ricavati in precedenza. Anche per questo tipo di stima si è preventivamente sottratto al segnale il proprio valor medio.

In figura 5.24 viene rappresentato, per la componente 1 del fischio 3,

0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014 3 4 5 6 RELAX Funzione polinomiale M S E n o rm a li z z a to

Numero di componenti per RELAX (4,5), grado del polinomio (3,4,5,6)

Figura 5.24 – Andamento dell’MSE normalizzato della componente 1 del fischio 3, sia al variare del grado del polinomio (3,4,5,6) che al variare del numero di armoniche utilizzate nella stima RELAX (4,5).

(26)

sia l’andamento dell’MSE normalizzato al variare del grado del polinomio, sia quello trovato applicando l’algoritmo di stima di RELAX. In questo caso si ottengono risultati migliori con l’utilizzo di funzioni polinomiali, come del resto per tutta questa classe di fischi.

Consideriamo ora la stima tramite funzioni polinomiali dell’intero fischio 3, vale a dire di tutte le sue sei componenti. Dalla figura 5.25 alla figura 5.27 sono mostrati i risultati della stima con polinomi di grado 2, 4 e 6. Riportiamo inoltre l’MSE per ogni componente, in ognuno di questi casi.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4

fischio3 ricostruito con polinomi-->g1=2, g2=2, g3=2, g4=2, g5=2, g6=2

Componente 1 Componente 2 Componente 3 Componente 4 Componente 5 Componente 6 Stima polinom. 1 Stima polinom. 2 Stima polinom. 3 Stima polinom. 4 Stima polinom. 5 Stima polinom. 6 F req uency (kH z) Time (sec)

Figura 5.25 - Andamento delle sei componenti del fischio 3 e relative stime polinomiali, con grado dei polinomi pari a 2.

3754 . 0 6 9309 . 0 5 0150 . 0 4 0413 . 0 3 0179 . 0 2 0149 . 0 1 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , = = = = = = p p p p p p MSE MSE MSE MSE MSE MSE

(27)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4

Componente 1 Componente 2 Componente 3 Componente 4 Componente 5 Componente 6 Stima polinom. 1 Stima polinom. 2 Stima polinom. 3 Stima polinom. 4 Stima polinom. 5 Stima polinom. 6 F requenc y (k H z) Time (sec)

(28)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4

C om ponente 1 C om ponente 2 C om ponente 3 C om ponente 4 C om ponente 5 C om ponente 6 Stim a polinom . 1 Stim a polinom . 2 Stim a polinom . 3 Stim a polinom . 4 Stim a polinom . 5 Stim a polinom . 6 Fr eq ue ncy ( k H z) Time (sec)

In figura 5.28 è stata invece riportata la stima RELAX per il fischio 3, nella quale si è cercata la migliore ricostruzione possibile. Infatti non tutte le componenti del fischio sono state ricostruite con lo stesso numero di armoniche, anche a causa di un problema dovuto alla convergenza dell’algoritmo RELAX. In questo caso gli MSE trovati sono:

(29)

0266 . 0 6 1942 . 0 5 0079 . 0 4 0029 . 0 3 0037 . 0 2 0079 . 0 1 2 , 2 , 3 , 3 , 3 , 5 , = = = = = = r r r r r r MSE MSE MSE MSE MSE MSE 0 5 10 15 20 25 30 35 40 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4

fischio3-->comp1:5 arm. N=16384,comp2:3 arm. N=32768,comp3:3 arm. N=16384, comp4:3 arm. N=16384,comp5:2 arm. N=207,comp6:2 arm. N=5096

Componente 1 Componente 2 Componente 3 Componente 4 Componente 5 Componente 6 Stima polinom. 1 Stima polinom. 2 Stima polinom. 3 Stima polinom. 4 Stima polinom. 5 Stima polinom. 6 Freq uen cy ( k H z) Time (sec)

Figura 5.28 - Andamento delle sei componenti del fischio 3 e relative stime RELAX, con numero di armoniche per ogni componente pari a: n₁ =5, n₂ =3, , n₃ =3 n₄ =3, n₅ =2 e . n6 =2

In questo caso quindi, osservando i valori dell’MSE, la ricostruzione tramite stima RELAX è superata dalla ricostruzione polinomiale di grado 6, mentre quella di grado 4 è migliore per alcune componenti e peggiore per altre. La stima RELAX è quindi preferibile comunque, ai fini dell’estrazione delle f , utili, come abbiamo visto per i fischi “Sine”, per ricercare delle _k

(30)

corrispondenze tra fischi appartenenti alla stessa classe, o fra componenti appartenenti allo stesso fischio. Nel caso di figura 5.28, le frequenze estratte sono: f+₁=[0.4491 0.7396 2.3774 2.4831 2.5624], f+₂=[0.7661 3.2492 3.5530], f +₃=[1.3208 1.7435 4.8870], f+₄=[1.8755 2.2189 2.5624],

5

f + =[6.2725 10.4541], f +₆=[2.1232 3.4821]. Dai valori all’interno di f+₅ e dal relativo MSE, elevato rispetto agli altri, si deduce che la componente 5 non viene ricostruita con successo. Si noti per gli altri vettori la ricorrenza dei valori fra 2.1 Hz e 2.5624 Hz e fra 3.2 Hz e 3.5 Hz.

Consideriamo come secondo esempio il fischio 27, costituito da tre componenti. Nelle figure 5.29-5.31 sono riportate le stime polinomiali con grado 2, 3 e 4, con i relativi MSE.

5 10 15 20 25 30 35 4.6 4.7 4.8 4.9 5 5.1 5.2

Componente 1 Componente 2 Componente 3 Stima polinom. 1 Stima polinom. 2 Stima polinom. 3 F reque ncy (kH z) Time (sec)

Figura 5.29 - Andamento delle tre componenti del fischio 27 e relative stime polinomiali, con grado dei polinomi pari a 2.

,2

1_p 0.014

(31)

5 10 15 20 25 30 4.6 4.7 4.8 4.9 5 5.1 5.2

Componente 1 Componente 2 Componente 3 Stima polinom. 1 Stima polinom. 2 Stima polinom. 3 Fr eque ncy (kH z) Time (sec)

,3

1_p 0.0079

MSE = MSE2_p_,3 =0.0058 MSE3_p_,3 =0.0027

5 10 15 20 25 30 4.6 4.7 4.8 4.9 5 5.1 5.2

Componente 1 Componente 2 Componente 3 Stima polinom. 1 Stima polinom. 2 Stima polinom. 3 F reque ncy (kH z) Time (sec)

(32)

,4

1_p 0.0011

MSE = MSE2_p_,4 =0.0028 MSE3_p_,4 =0.002

In figura 5.32 la migliore stima RELAX che siamo riusciti ad ottenere. Questa volta i valori di MSE sono molto diversi, confermando che la stima RELAX è più adatta a segnali ciclici periodici. I valori di frequenze estratte, relative alla figura 5.32 sono le seguenti: f+₁=[0.8453 3.2228], f+₂=[1.1359 4.4379] e f +₃=[3.7965 7.5930 11.3895]. Non vi sono valori ricorrenti,forse proprio perché la stima RELAX non è ottimale per tale esempio.

Nella tabella di pagina 101-102 sono riportati i coefficienti polinomiali relativi alle stime dei fischi 3 e 27 delle figure 5.25-5.27 e 5.29-5.31.

5 10 15 20 25 30 4.6 4.7 4.8 4.9 5 5.1 5.2

Componente 1 Componente 2 Componente 3 Stima polinom. 1 Stima polinom. 2 Stima polinom. 3 Fr equency (kH z) Time (sec)

Figura 5.32 – Andamento delle tre componenti del fischio 27 con le relative stime RELAX. Il numero di armoniche per ogni componente è pari a: n₁ =2, n₂ =2 e n₃ =3.

,2

1_r 0.001

(33)

Tabella relativa alle stime polinomiali delle figure 5.25-5.27 e 5.29-5.31

Fischio 3, figura 5.25 grado 6 grado 5 grado 4 grado 3

Componente 1 Componente 2 Componente 3 Componente 4 Componente 5 Componente 6 Fischio 3, figura 5.26

Componente 1 1.0e+004 *0.0200 1.0e+004 *-0.2881 Componente 2 1.0e+004 *0.0324 1.0e+004 *-0.4664 Componente 3 1.0e+005 *-0.0109 1.0e+005 *0.1482 Componente 4 1.0e+005 *-0.0597 1.0e+005 *0.8130 Componente 5 1.0e+006 *0.0612 1.0e+006 *-0.8219 Componente 6 1.0e+005 *0.0253 1.0e+005 *-0.3320

Fischio 3, figura 5.27

Componente 1 1.0e+007 *-0.0004 1.0e+007 *0.0078 1.0e+007 *-0.0703 1.0e+007 *0.3362 Componente 2 1.0e+007 *-0.0004 1.0e+007 *0.0093 1.0e+007 *-0.0842 1.0e+007 *0.4048 Componente 3 1.0e+007 *0.0016 1.0e+007 *-0.0328 1.0e+007 *0.2791 1.0e+007 *-1.2630 Componente 4 1.0e+008 *0.0017 1.0e+008 *-0.0347 1.0e+008 *0.2964 1.0e+008 *-1.3507 Componente 5 1.0e+010 *-0.0005 1.0e+010 *0.0111 1.0e+010 *-0.0941 1.0e+010 *0.4266 Componente 6 1.0e+009 *-0.0018 1.0e+009 *0.0360 1.0e+009 *-0.3029 1.0e+009 *1.3599

Fischio 27, figura 5.29 Componente 1 Componente 2 Componente 3 Fischio 27, figura 5.30 Componente 1 1.0e+003 *-0.0649 Componente 2 1.0e+004 *-0.0316 Componente 3 1.0e+004 *0.0479 Fischio 27, figura 5.31

Componente 1 1.0e+005 *0.0044 1.0e+005 *-0.0871 Componente 2 1.0e+005 *0.0105 1.0e+005 *-0.2065 Componente 3 1.0e+006 *-0.0100 1.0e+006 *0.1894

(34)

Fischio 3, figura 5.25 grado 2 grado 1 grado 0 Componente 1 20.4505 -132.9877 213.2301 Componente 2 40.4706 -263.3837 423.6068 Componente 3 78.8585 -519.0852 849.8710 Componente 4 1.0e+003 *0.2261 1.0e+003 *-1.5132 1.0e+003 *2.5288 Componente 5 1.0e+003 *0.2949 1.0e+003 *-1.9869 1.0e+003 *3.3457 Componente 6 1.0e+003 *0.2737 1.0e+003 *-1.8331 1.0e+003 *3.0677

Componente 1 1.0e+004 *1.5541 1.0e+004 *-3.7237 1.0e+004 *3.3428 Componente 2 1.0e+004 *2.5171 1.0e+004 *-6.0351 1.0e+004 *5.4218 Componente 3 1.0e+005 *-0.7544 1.0e+005 *1.7028 1.0e+005 *-1.4383 Componente 4 1.0e+005 *-4.1493 1.0e+005 *9.4034 1.0e+005 *-7.9848 Componente 5 1.0e+006 *4.1384 1.0e+006 *-9.2612 1.0e+006 *7.7717 Componente 6 1.0e+005 *1.6328 1.0e+005 *-3.5715 1.0e+005 *2.9317

Componente 1 1.0e+007 *-0.9025 1.0e+007 *1.2907 1.0e+007 *-0.7682 Componente 2 1.0e+007*-1.0928 1.0e+007 *1.5706 1.0e+007 *-0.9392 Componente 3 1.0e+007 *3.2108 1.0e+007 *-4.3471 1.0e+007 *2.4489 Componente 4 1.0e+008 *3.4606 1.0e+008 *-4.7266 1.0e+008 *2.6887 Componente 5 1.0e+010 *-1.0871 1.0e+010 *1.4772 1.0e+010 *-0.8363 Componente 6 1.0e+009 *-3.4341 1.0e+009 *4.6246 1.0e+009 *-2.5946

Componente 1 2.7152 -8.8242 -22.1253

Componente 2 15.4462 -114.3698 190.7328 Componente 3 1.0e+003 *0.3125 1.0e+003 *-2.9170 1.0e+003 *6.8055

Componente 1 1.0e+003 *0.9572 1.0e+003 *-4.6876 1.0e+003 *7.6170 Componente 2 1.0e+004 *0.4624 1.0e+004 *-2.2499 1.0e+004 *3.6410 Componente 3 1.0e+004 *-0.6471 1.0e+004 *2.9093 1.0e+004 *-4.3543

Componente 1 1.0e+005 *0.6456 1.0e+005 *-2.1248 1.0e+005 *2.6204 Componente 2 1.0e+005 *1.5280 1.0e+005 *-5.0.15 1.0e+005 *6.1844 Componente 3 1.0e+006 *-1.3439 1.0e+006 *4.2366 1.0e+006 *-5.0069

(35)

5.7 CONSIDERAZIONI SUI PARAMETRI STIMATI

PER I FISCHI “SNAKE”

Anche in questo caso si riporta lo scatter-plot (figura 5.33) delle componenti estratte con l’algoritmo RELAX dai fischi di tipo “Snake” ponendo K=2. Questa volta le due diverse componenti identificano due zone abbastanza distinte sul piano Frequenza-Ampiezza, anche se i termini di ampiezza della prima componente sono più dispersi, rispetto alla seconda componente. In questo caso può quindi essere utile ricavare un istogramma per ognuna delle componenti (figure 5.34-5.35). Per la prima componente si

0 1 2 3 4 5 6 7 8 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5 10,5 11,5 12,5 Scatter-plot Prima componente Seconda componente A m piezz a ( k H z) Frequenza (Hz)

Figura 5.33 – Scatter plot delle frequenze estratte tramite l’algoritmo RELAX, con 2 armoniche.

(36)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0.3 0.9 1.5 2.1 2.7 3.3 3.9 4.5 5.1 5.7 6.3 histsnake1 Nu m e ro d i f is c h i Frequenza (Hz)

Figura 5.34 - Istogramma della prima componente frequenziale.

0 1 2 3 4 5 6 7 2,1 2,7 3,4 4 4,6 5,2 5,8 6,5 7,1 7,7 8,3 8,9 9,6 10 11 histsnake2 N u m ero di fi sc hi Frequenza (Hz)

(37)

nota una zona di picco attorno a 1 Hz, mentre per la seconda componente è più chiaro un picco a 3.4 Hz.

5.8 RISULTATI DELLA STIMA PER FISCHI DI

TIPO

“FLIGHT”

Per questa classe di segnali, trattandosi di “rampe” sullo spettrogramma, risulta scontato applicare il metodo di stima polinomiale, anche se, come per tutti gli altri dati, se ne è fatta anche una stima RELAX. Nelle figure 5.36-5.39 sono riportate le stime di grado 1 e 2 del fischio 10 ed i relativi errori nel tempo.

Per la figura 5.36, i coefficienti polinomiali sono: P = [8.8197 -9.3740]; per la figura 5.38, P = [9.2501 -10.8432 1.0209]. 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2

fischio 10 ricostruito con polinomi-->g1=1

Fischio 10 Stima polinomiale 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 Frequenc y ( k H z) Time (sec)

(38)

-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2

Errore stima polinomiale

Error

e i

n

kHz

Time (sec)

Figura 5.37 – Andamento temporale dell’errore per il fischio 10, fra l’osservato e la stima polinomiale di grado 1. 4.5 5 5.5 6 6.5 7 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2

fischio 10 ricostruito con polinomi-->g1=2

Fischio 10 Stima polinomiale 4.5 5 5.5 6 6.5 7 Frequenc y ( k H z) Time (sec)

(39)

-0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2

Errore stima polinomiale

Error

e i

n

kHz

Time (sec)

Figura 5.39 – Andamento temporale dell’errore per il fischio 10, fra l’osservato e la stima polinomiale di grado 2. 4.5 5 5.5 6 6.5 7 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2

fischio 10-->comp1:3 arm. N=8192

Fischio 10 Stima RELAX Fr equency (kH z) Time (sec)

(40)

-0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2

Errore stima RELAX

E

rrore in kH

z

Time (sec)

Figura 5.41– Andamento temporale dell’errore per il fischio 10, tra l’osservato e la relativa stima RELAX.

L’andamento degli errori assume una forma “triangolare” a causa dell’eccessiva quantizzazione che è stata introdotta in fase di estrazione del fischio. Questa quantizzazione è dovuta alla durata limitata del fischio, e si è presentata in seguito all’applicazione del filtro a mediana. Per le varie stime abbiamo ottenuto:

,1 0.0086

p

MSE = MSE_p_,2 =0.0035 MSE_r_,3 =0.0035

Inoltre, per la stima RELAX sono state estratte le seguenti frequenze:

f=[1.1095 1.5850 9.6154].

Il motivo per cui l’MSE più accurato risulta quello relativo al polinomio di grado 2, (oppure quello relativo alla stima RELAX) è da attribuirsi ad un’oscillazione causata più dall’errore di quantizzazione che dalla forma del segnale reale.

(41)

5.9 RISULTATI DELLA STIMA PER I FISCHI

APPARTENENTI ALLA “FAMILY”

Nel capitolo 4, compiendo la classificazione dei fischi, abbiamo isolato nella classe denominata “Family” tre segnali appartenenti ad un piccolo treno di fischi. Cerchiamo in questo paragrafo eventuali proprietà che tali fischi potrebbero avere in comune, se, come supponiamo, appartengono allo stesso esemplare di Tursiope. Iniziamo stimando con RELAX i tre segnali estratti dallo spettrogramma (Fischi 11, 12 e 13). Tenendo d’occhio sia la bontà della ricostruzione sul piano Frequenza-tempo che il valore dell’MSE risultante, per il modello del fischio 11 ci siamo fermati a 4 armoniche, come si può vedere dalla figura 5.42.

6 8 10 12 14 16 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2

Fischio 11 Stima RELAX Frequenc y ( k H z) Time (sec)

(42)

-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4

Errore RELAX fischio 11

Error

e i

n

kHz

Time (sec)

Figura 5.43 – Andamento dell’errore nel tempo, relativo alla figura 5.42.

6 8 10 12 14 16 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2

(43)

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2

E

rrore in kH

z

Time (sec)

Figura 5.45 - Andamento dell’errore nel tempo, relativo alla figura 5.44.

6 8 10 12 14 16 2 2.05 2.1 2.15 2.2 2.25 2.3 2.35 2.4

(44)

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 2 2.05 2.1 2.15 2.2 2.25 2.3 2.35 2.4

Figura 5.47 - Andamento dell’errore nel tempo, relativo alla figura 5.46.

Per il fischio 12 invece è stato ottenuto un MSE simile al precedente già con 3 armoniche, e la ricostruzione è riportata in figura 5.44.

Infine, per il fischio 13, sono state nuovamente utilizzate 4 armoniche, e la ricostruzione è visibile in figura 5.46.

Nei tre casi i risultati ottenuti sono i seguenti:

,4

11_r 0.0019

MSE = MSE12_r_,3 =0.0019 MSE13_r_,4 =0.0017

11 f =[0.7661 2.9850 5.0190 6.9738] A =[3.6359 0.4576 0.1448 0.1532] ₁₁ 12 f =[1.0038 2.9058 3.8832] A =[3.6797 0.4467 0.2442] ₁₂ 13 f =[1.0963 4.3586 9.6551 11.3325] A =[3.7442 0.4585 0.1407 0.1749] ₁₃

In questo caso la corrispondenza maggiore è riscontrabile nei vettori relativi alle ampiezze, con valori ricorrenti come 3.6, 0.45 e 0.14. Per le frequenze si

(45)

notano i valori 1 e 2.9 Hz. Ponendo invece K=2 per tutti e tre i segnali, si ottiene: 11 f =[0.7661 3.1171] A =[3.5780 0.4418] ₁₁ 12 f =[1.0038 3.3284] A =[3.5524 0.5118] ₁₂ 13 f =[1.0963 3.9888] A =[3.8239 0.4427] ₁₃

Nel caso in cui si attui invece una stima polinomiale, non sono sufficienti polinomi di grado 6 per raggiungere valori di MSE confrontabili con quelli trovati nel caso di stima RELAX. Concludendo, per questa classe si hanno notevoli corrispondenze soprattutto per quanto riguarda i vettori delle ampiezze della stima RELAX, ma disponendo di soli tre fischi, non siamo in grado di tentare un’analisi statistica dal punto di vista dello scatter-plot, come invece si è fatto in precedenza per segnali “Sine” e “Snake”.

5.10 ESEMPI DI STIMA PER FISCHI DI TIPO

“DOWN-UP-DOWN” E “UP-DOWN-UP”.

Anche per questo tipo di segnali, non essendo in alcun modo periodici sullo spettrogramma, i risultati migliori si ottengono con la stima polinomiale. Si è comunque effettuata anche la stima RELAX per poter estrarre i vettori contenenti le frequenze, le ampiezze e le fasi. Come esempio si è considerato il fischio 23, di tipo “Down-up-down” contenente tre componenti. I valori di MSE sono i seguenti:

,3

1_p 0.01

(46)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 9.44 9.46 9.48 9.5 9.52 9.54 9.56

Componente 1 Componente 2 Componente 3 Stima polin. 1 Stima polin. 2 Stima polin. 3 Fr equency (kH z) Time (sec)

Figura 5.48 – Andamento delle tre componenti del fischio 23 e relative stime con funzioni polinomiali di grado 3.

Come esempio di tipo “Up-down-up” riportiamo in figura 5.49 il fischio 1, costituito da due componenti. In questo caso i valori di MSE trovati sono: ,2 1_r 0.0237 MSE = MSE2_r_,3 =0.0221 ,3 1_p 0.0237 MSE = MSE2_p_,3 =0.0128

Le due modalità di stima in questo caso forniscono MSE simili, ma non vi sono particolari ricorrenze nè nei parametri estratti per la stima RELAX, nè per i coefficienti polinomiali.

(47)

8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0 2 2 5.3 5.3 5 5.4 5.4 5 5.5 5.5 5 5.6

relax--> com p1:2 arm . N =2 048,comp2:3 arm. N = 512

C o m p o ne n te 1 C o m p o ne n te 2 S tim a R E LA X. 1 S tim a R E LA X. 2 F req ue nc y (kH z) T im e (sec) 8 10 12 14 16 18 20 22 5 .3 5 .3 5 5 .4 5 .4 5 5 .5 5 .5 5 5 .6 polino m io-->g 1=5, g2=6 C o m p o ne n te 1 C o m p o ne n te 2 S tim a p olin om . 1 S tim a p olin om . 2 F re q u e ncy ( k H z) T im e (se c)

Figura 5.49 – Stima RELAX (a sinistra) con K1=2 e K2=3 e stima polinomiale di grado 3

delle due componenti del fischio 1.

- 0 . 5 0 0 . 5 5 . 3 5 5 . 4 5 . 4 5 5 . 5 5 . 5 5 E r r o r e R E L A X c o m p . 2 Er ro re in k H z T i m e ( s e c ) - 0 . 3 - 0 . 2 - 0 . 1 0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 5 . 3 5 5 . 4 5 . 4 5 5 . 5 5 . 5 5 E r r o r e p o lin o m io c o m p . 2 Er ro re i n k H z T i m e ( s e c ) - 0 . 4 - 0 . 3 - 0 . 2 - 0 . 1 0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 5 . 3 5 . 3 5 5 . 4 5 . 4 5 5 . 5 5 . 5 5 5 . 6 E r r o r e R E L A X c o m p . 1 Er ro re in k H z T i m e ( s e c ) - 0 . 4 - 0 . 3 - 0 . 2 - 0 . 1 0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 5 . 3 5 . 3 5 5 . 4 5 . 4 5 5 . 5 5 . 5 5 5 . 6 E r r o r e p o lin o m io c o m p . 1 Er ro re i n k H z T i m e ( s e c )

Figura 5.50 – Con riferimento alla figura 5.49: in alto a sinistra: errore tra la componente 2 e la relativa stima RELAX; in basso a sinistra: errore tra la componente 1 e la relativa stima RELAX; in alto a destra: errore tra la componente 2 e la relativa stima polinomiale; in basso a derstra: errore tra la componente 1 e la relativa stima polinomiale.

(48)

5.11 CONCLUSIONI

Le vocalizzazioni dei delfini sono molto complesse e questo è anche dovuto al fatto che gli odontoceti emettono segnali non-stazionari. Inoltre sembrano in grado di emettere simultaneamente segnali discreti e continui nel tempo (fischi e sonar clicks).

L’analisi, ma soprattutto la ricerca di una modellistica delle vocalizzazioni dei delfini è ancora nella fase iniziale. In letteratura sono noti vari metodi ma nessuno di questi consente al momento una classificazione sicura delle varie specie. La maggior parte degli studi finora svolti, è stata condotta su delfini in cattività e quindi in condizioni piuttosto favorevoli, dal punto di vista della qualità del segnale acquisito. In mare aperto, il comportamento del delfino è significativamente diverso e quindi lo studio risulta più complesso. L’incertezza sui metodi di analisi deriva principalmente dal fatto che non è ancora chiaro come i delfini ricevano e producano i segnali. Inoltre non esiste ancora una caratterizzazione esaustiva delle vocalizzazioni ed in particolare sappiamo poco o nulla riguardo ai burst pulses [6].

L’analisi tempo-frequenza condotta tramite lo spettrogramma è lo strumento principale per lo studio dei segnali emessi dai delfini. Quest’ultimo fornisce infatti le informazioni necessarie a distinguere whistles, burst pulses e sonar clicks. Questa tesi è stata dedicata allo studio dei fischi emessi dalla specie Tursiope troncatus e, insieme alla tesi dei colleghi S. Giorgetti e F. Pera, che mi hanno preceduto, conclude una prima analisi delle vocalizzazioni emesse da tale specie in una banda comprendente anche ultrasuoni fino a 100 kHz.

Per quanto riguarda i “whistles”, si sono poste le basi nella ricerca della firma acustica propria di ogni esemplare. Tutti i fischi sono compresi tra 4 e 40 kHz. Cercando una stima adatta per ogni classe di fischi, utilizzando il modello “cosinusoidale” con l’algoritmo RELAX, si sono trovate delle

(49)

componenti frequenziali ricorrenti (sullo spettrogramma) per i fischi “Sine” (1.4, 2.3 e 4.1 Hz), per i fischi “Snake” (1 e 3.4 Hz) e per i fischi appartenenti alla “Family” (1 e 2.9 Hz). L’osservazione del valore dell’MSE ha invece evidenziato gli ottimi risultati delle stime attuate.

C’è anche da aggiungere che, per fischi classificati come “Up-down-up”, “Down-up-down” o altri, resta il dubbio se si tratti di porzioni di fischi “Sine” o di vere e proprie classi a parte. Infatti, poiché il delfino si muove rispetto all’idrofono durante l’emissione di un fischio, è possibile, in alcuni casi, che sia stata registrata solo una porzione di questo.

Infine, altro dato rilevante, è l’assenza di fischi puramente discendenti, a conferma della tesi secondo la quale la modulazione più comune sembra quella ascendente.

Sarebbe interessante analizzare i segnali emessi da altre specie di delfino del Parco Nazionale dell’Arcipelago Toscano, per individuare eventuali diversità che consentano una prima classificazione della specie a partire dai relativi fischi. In particolare, alla Gorgona, stazionano solitamente Stenelle che potrebbero essere interessanti da studiare con tale finalità.

Con lo sviluppo dei programmi Wave.vi e Rec6.vi in ambiente

LabVIEW Virtual Instrument, siamo sulla buona strada per arrivare a

visualizzare in tempo reale ciò che viene registrato, in una banda di 100 kHz, sia su spettrogramma che nel riferimento ampiezza-tempo. Inoltre sarebbe molto utile unire questa possibilità con l’utilizzo di telecamere. Non si esclude infatti che in un prossimo futuro, potendo disporre di array di idrofoni e di una rete di telecamere subacquee, si possa tentare una identificazione dei singoli esemplari in corrispondenza dei fischi emessi. Infatti con un array di idrofoni sarebbe possibile non solo registrare un fischio, ma anche capire da quale direzione sia stato emesso, e tale informazione, coordinata ad un’adeguata registrazione video, potrebbe infine rivelare quale esemplare ha emesso un particolare fischio, e durante quale particolare comportamento.