Capitolo 6
Definizione della tensione superficiale e del piano di
divisione sul calcolo
6.1. Considerazioni preliminari
Nel capitolo 4 si è parlato riguardo l’importanza di inserire la tensione superficiale nella simulazione. Come già detto, essa è il risultato delle forze di attrazione fra le molecole all’interno di un fluido; nel caso particolare in esame, agisce sull’interfaccia fra i due fluidi e mantiene l’equilibrio appunto nella loro zona di separazione, contrastando la tendenza di una fase a diffondersi nell’altra
Il valore assunto per la tensione superficiale fra aria e acqua è: σ = 0.0726 N/mm2.
Inoltre, la diffusione di una fase nell’altra nella simulazione numerica è influenzata dalla presenza o meno di celle tetraedriche a cavallo di quella che è la superficie di separazione dei due fluidi.
Nel presente capitolo si riportano i risultati di un’indagine di sensitività del calcolo alla tensione superficiale e al piano di galleggiamento come superficie di separazione tra i volumi occupati dall’aria e dall’acqua. Questi due fattori sono stati ritenuti i principali influenti nell’analisi di problemi relativi alla fluidodinamica navale.
6.2. Casi preliminari
L’effetto dei due fattori, di cui al paragrafo precedente, è stato studiato su due modelli più semplici e più piccoli rispetto al kayak. Il primo modello è costituito da un parallelepipedo
aventi dimensioni 0.4x0.1x0.1 (XxYxZ in metri), il secondo sempre da un parallelepipedo con dimensioni 0.2x0.1x0.1 ma avente al centro una sfera con diametro di 0.02 metri.
Figura 6.1 – Modello aria-acqua Figura 6.2 - Modello sfera
Per entrambi i modelli sono stati considerati i casi con e senza piano di galleggiamento, e diversi valori di infittimento della mesh. Le condizioni al contorno sono le stesse viste per la griglia del kayak ed è stato impostato il k-ω come modello di turbolenza.
6.3. Modello aria-acqua
Nel modello aria-acqua i due fluidi scorrono senza incontrare ostacoli ad una velocità pari a 4 m/s. Nei calcoli eseguiti si è considerato la presenza del piano di galleggiamento, della tensione superficiale e dell’infittimento della mesh. Il confronto fra gli andamenti delle fasi all’interno del dominio fluido è il principale parametro osservato. Si osserva che nel modello non è presente il kayak per cui, anziché piano di galleggiamento, è più corretto parlare di interfaccia.
Figura 6.3 - Modello con interfaccia
Figura 6.4 - Modello senza interfaccia
In Figura 6.5 e 6.6 sono rappresentati i due livelli di infittimento, relativi al modello con interfaccia.
Figura 6.5 - Infittimento 1
Figura 6.6 - Infittimento 2
Le caratteristiche principali delle 4 griglie (due infittimenti per i due modelli con e senza interfaccia) sono riportate nella tabella di seguito riportata:
Griglia aria-acqua Numero nodi Numero celle
tetraedriche minima cella su interfaccia Infittimento 1 interfaccia 40279 212762 0.003 metri Infittimento 2 interfaccia 249660 1356041 0.002 metri Infittimento 1 no interfaccia 28374 141662 0.003 metri Infittimento 2 no interfaccia 249150 1160555 0.002 metri
Tabella 6.1 – Caratteristiche dei quattro modelli analizzati.
Osservando la Tabella 6.1 si può notare come, a parità di “mesh size” sugli spigoli del parallelepipedo, la griglia con interfaccia presenta un numero di celle superiori rispetto a quella senza tale piano. La differenza fra i due modelli è relativa alla mesh nella zona dell’ interfaccia: infatti la presenza del piano contribuisce a mantenere piccole le dimensioni delle celle che si trovano al centro del parallelepipedo.
In Tabella 6.2 è riportata l’indicazione di tutti i casi analizzati (in totale 8). Per semplicità nella rappresentazione dei grafici che seguiranno, i vari casi sono stati indicati con una sigla: il numero rappresenta il tipo di mesh, la lettera “i” indica la presenza dell’interfaccia e la “t” che la tensione superficiale è implementata nel calcolo.
Tensione superficiale Interfaccia No interfaccia
NO TC-1i TC-1
Mesh 1 SI TC-1it TC-1t
NO TC-2i TC-2
Mesh 2 SI TC-2it TC-2t
L’obbiettivo principale di questa prima attività è di osservare la diffusione di una fase nell’altra. Infatti, nella zona in cui i due fluidi sono a contatto, si ha un certo miscelamento fra i due fluidi, che nella realtà è ristretto ad un volume con altezza dell’ordine del millimetro. Se la zona di miscelamento è piuttosto estesa l’errore sulla stima della resistenza d’onda può essere elevato.
I grafici utilizzati e riportati nelle figure seguenti hanno in ascissa il valore della fase e in ordinata l’altezza in metri dell’elemento i-esimo rispetto alla zona di interfaccia fra i due fluidi. I grafici sono stati tracciati su rette parallele all’asse y del modello e giacenti sul piano centrale z=0. Per semplicità sono state considerate 5 posizioni lungo l’asse x: in ingresso, in uscita, al centro del modello, e due nelle zone intermedie. Le rette utilizzate per gli andamenti della fase e il modello sono rappresentate nella seguente Figura 6.7.
Figura 6.7 – Rette utilizzate per l’andamento delle curve fase-altezza
Nelle seguenti Figure 6.8, 6.9, 6.10 e 6.11 sono riportati gli andamenti delle fasi per quanto riguarda la griglia 1.
ingresso
uscita
X=-0.1 X=+0.1 X=0
-0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 Fasi A lte zz a (m ) -0.1 0 0.1 ingresso uscita
Figura 6.8 – Fasi Aria-Acqua, infittimento 1, interfaccia, no tensione superficiale (TC-1i)
-0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 Fasi A lte zz a (m ) -0.1 0 0.1 ingresso uscita
-0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 Fasi Al te zza ( m ) -0.1 0 0.1 ingresso uscita
Figura 6.10 – Fasi Aria-Acqua, infittimento 1, no interfaccia, no tensione superficiale (TC-1)
-0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 Fasi Al te zza (m ) -0.1 0 0.1 ingresso uscita
Nei grafici di Figura 6.8, 6.9, 6.10, 6.11 si riporta l’andamento delle fasi per quanto riguarda il modello con il primo infittimento e le celle in prossimità dell’interfaccia hanno dimensioni attorno ai 2-4 mm.
L’andamento della fase all’ingresso del canale dovrebbe essere un “gradino”: in questo caso la distribuzione è imposta ma in ogni caso si ha un effetto contenuto di miscelamento. La situazione più desiderata sarebbe quella di avere uno scalino più piatto possibile, senza gradualità nel passaggio da acqua ad aria. Questa distribuzione dovrebbe essere mantenuta anche lungo l’attraversamento del canale.
Si può notare che, al contrario, in tutti i casi l’ampiezza del miscelamento tende ad aumentare man mano che ci si sposta verso l’uscita. Nel caso del modello con interfaccia e senza la tensione superficiale (TC-1i, Figura 6.8) questa ampiezza è più contenuta dove il miscelamento sopra la linea di galleggiamento si estingue entro 3 cm. I risultati forniti dagli altri modelli sono peggiori. La diffusione in assenza del piano di interfaccia si estende sia all’aria che all’acqua. Nei casi senza interfaccia (TC-1 e TC-1t), il valore di estinzione passa a 5 cm nella zona aria e ad altrettanti nella zona acqua.
L’aggiunta della tensione superficiale non porta benefici: aumenta l’ampiezza del miscelamento sopra il pelo libero dell’acqua per le griglie con divisione tra i volumi (quindi TC-1i e TC-1it) mentre per i modelli senza interfaccia riduce la zona di miscelamento ma non in maniera sostanziale (da a )
Tali risultati mettono in luce che la soluzione trovata non è indipendente dalla griglia. La presenza di una separazione tra le celle in corrispondenza del piano di interfaccia aiuta a contenere l’errore numerico, che in questo caso si presenta come una falsa diffusione di una fase nell’altra. Volendo prevedere l’effetto della tensione superficiale, i requisiti della griglia sono molto più stringenti, con una dimensione massima molto minore di 1 mm.
E’ interessante adesso vedere cosa succede nel caso del modello con mesh più fitta nella zona di interfaccia. Nelle Figure 6.12, 6.13, 6.14 e 6.15 sono riportati i grafici relativi alle fasi relative alla mesh di secondo livello.
-0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 Fasi A lte zz a (m ) -0.1 0 0.1 ingresso uscita
Figura 6.12 - Fasi Aria-Acqua, infittimento 2, interfaccia, no tensione superficiale (TC-2i)
-0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 Fasi A ltezza (m ) -0.1 0 0.1 ingresso uscita
-0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 Fasi Alte zz a (m) -0.1 0 0.1 ingresso uscita
Figura 6.14 - Fasi Aria-Acqua, infittimento 2, no interfaccia, no tensione superficiale (TC-2)
-0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 Fasi Alte zz a (m) -0.1 0 0.1 ingresso uscita
I risultati ottenuti con il secondo livello di infittimento confermano le conclusioni formulate precedentemente. Si osserva che in tutti i quattro casi la situazione è nettamente migliorata, in particolare per il modello senza interfaccia e con tensione superficiale (TC-2t, Figura 6.15): la zona di miscelamento fra i due fluidi si estingue infatti a poco più di 2 cm dal pelo libero contro il precedente valore pari a 5 nel modello meno infittito.
Per meglio osservare l’influenza della mesh sul risultato della fase, è stato considerato un terzo livello di infittimento e sono stati analizzati i casi di maggiore interesse vicini al problema del kayak: griglia senza interfaccia con e senza tensione superficiale.
I dati caratteristici del terzo livello di infittimento (mesh 3) sono riportati nella seguente Tabella 6.3, analoga a quella già mostrata a inizio paragrafo:
Griglia aria-acqua Numero nodi Numero celle
tetraedriche Dimensione minima cella su interfaccia Infittimento 3 no interfaccia 344376 1587520 0.001 metri
Tabella 6.3 – Caratteristiche del terzo livello di infittimento.
Nelle successive Figura 6.16, 6.17, 6.18 e 6.19 sono riportati i grafici relativi ai due casi trattati: livello di infittimento 3 senza tensione superficiale e con tensione superficiale. Analogamente a prima i due modelli sono stati chiamati rispettivamente con le sigle “TC-3” e “TC-3t”.
-0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 Fasi A lt ezza ( m ) -0.1 0 0.1 ingresso uscita
Figura 6.16 - Fasi Aria-Acqua, infittimento 3, no interfaccia, no tensione superficiale (TC-3)
-0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 Fasi Alte zz a ( m ) -0.1 0 0.1 ingresso uscita
I due grafici confermano nuovamente le considerazioni fatte in precedenza: in assenza di un piano di interfaccia, le celle devono essere di dimensioni molto contenute nei pressi della zona a contatto fra i due fluidi, e l’inserimento della tensione superficiale nel calcolo contribuisce in modo positivo. La dimensione minima di 1 mm caratteristica di questo terzo livello d’infittimento è ancora non adeguata (la zona di diffusione minima è pari a 3.5 cm nell’aria e 2.5 cm nell’acqua).
Nei tre grafici successivi, riportati rispettivamente nelle Figure 6.18, 6.19 e 6.20, sono riportati i confronti fra i grafici TC-3 e TC-3i in varie posizioni all’interno della griglia.
-0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 Fasi A lte zz a (m ) Tens. sup. No tens. sup.
-0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 Fasi Alte zz a ( m ) Tens. sup. No tens. sup.
Figura 6.19 - Fasi Aria-Acqua, infittimento 3, no interfaccia, confronto al centro (x=0)
-0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 Fasi Alte zz a ( m ) Tens. sup. No tens. sup.
Figura 6.20 - Fasi Aria-Acqua, infittimento 3, no interfaccia, confronto per x=0.1
6.4. Caso della sfera
Nel modello in questione, è stata inserita una sfera al centro del dominio fluido, tagliata esattamente a metà dal piano di galleggiamento ( Figura 6.21).
Figura 6.21 – Modello sfera
I fluidi aria e acqua entrano all’interno del dominio con una velocità lungo z pari a 4 m/s. In questo caso i parametri di confronto sono, oltre alle fasi, gli andamenti relativi a pressioni e velocità calcolata nella direzione del moto. Il confronto è stato fatto fra lo stesso modello con (vedi figura precedente) o senza piano di galleggiamento, inoltre è stato creata un’ulteriore griglia più infittita per analizzare la sensibilità dei risultati nella zona della sfera, di maggior interesse.
La risoluzione dei problemi multifase è effettuata per fasi. E’ conveniente effettuare la simulazione partendo da un calcolo con sola aria per poi riempire la zona inferiore con acqua. Questa “procedura” migliora la convergenza del calcolo ad una soluzione stabile. In tutte le simulazioni seguenti si è tenuto conto della tensione superficiale poiché ci si aspettano
sarebbe stato opportuno, ma non è stato eseguito per mancanza di tempo.
6.4.1. Sequenza della simulazione
Come già accennato, per ragioni di stabilità, è conveniente effettuare prima un calcolo iniziale con un solo fluido, creando un campo di velocità iniziale, e poi effettuare il riempimento con l’altra fase. Un altro fattore che può influire sulla convergenza del modello è legato all’inserimento del modello di turbolenza.
Nell’esecuzione dei casi di prova, si è verificata l’indipendenza dei risultati dalla sequenza seguita:
- lam-turb-vof: calcolo laminare con solo aria, attivazione del modello di turbolenza k-ω e riempimento con acqua del volume inferiore;
- lam_vof_turb: calcolo laminare con solo aria, riempimento con acqua del volume inferiore e attivazione del modello di turbolenza k-ω.
In entrambi i casi, la progressione del calcolo stazionario è migliore senza i problemi di instabilità numerica riscontrati in simulazioni complete. Un altro tentativo è stato la simulazione in transitorio dell’ingresso di aria, dopo con entrambe le fasi ma non ha dato dei risultati favorevoli.
Le due sequenze sopra descritte sono state applicate con entrambe le mesh con o senza piano di galleggiamento sia a quello senza. Per ogni singola simulazione sono state confrontate le velocità massime lungo x nella cella situata sull’estremità della sfera nella zona inferiore, così come indicato nella successiva Figura 6.22.
Figura 6.22 – Punto sottostante alla sfera impiegato per il confronto delle velocità-
Griglia Sfera Numero nodi Numero celle
tetraedriche Dimensione minima cella su sfera Piano di galleggiamento 22864 123962 0.002 metri No piano di galleggiamento 19361 102891 0.002 metri
Tabella 6.4 – Caratteristiche dei due modelli con e senza piano di galleggiamento.
In Tabella 6.5 e 6.6 si riporta inoltre il valore massimo della velocità in direzione del flusso indisturbato, calcolata nel punto sottostante alla sfera così come indicato in Figura 6.22. Le due tabelle si riferiscono rispettivamente alle due sequenze lam-vof-turb e lam-turb-vof.
LAM-VOF-TURB Velocità lungo x
I STEP: moto laminare solo aria
II STEP: moto turbolento solo aria
III STEP: moto turbolento bifase Piano di galleggiamento 5.30 m/s 5.70 m/s 5.27 m/s No piano di galleggiamento 5.37 m/s 5.63 m/s 5.29 m/s
LAM-TURB-VOF Velocità lungo x
I STEP: moto laminare solo aria II STEP: moto laminare bifase III STEP: moto turbolento bifase Piano di galleggiamento 5.30 m/s 5.57 m/s 5.26 m/s No piano di galleggiamento 5.37 m/s 5.67 m/s 5.30 m/s
Tabella 6.6 – Velocità relative alla sequenza lam-turb-vof
Si osserva che il valore calcolato cambia con la sequenza di simulazione (III colonna) ma con differenze molto contenute (dell’ordine di 10-2 m/s). Al contrario, il calcolo è ancora dipendente dalla griglia, come si può comprendere sia dalla differente velocità massima calcolata, sia dalla differente dimensione della zona di miscelamento (vedi Figura…).
Si noti infine che l’impiego di una sequenza laminare-turbolento è necessaria nella risoluzione del problema. Infatti se si osservano i valori assunti dal numero di Reynolds nei due casi, per una velocità dei fluidi pari a 4 m/s, si ottengono rispettivamente:
5 10 8 . 0 ⋅ = ⋅ ⋅ = µ ρ L V
Rn nel caso di miscela aria-acqua
3 10 48 . 5 ⋅ = ⋅ ⋅ = µ ρ L V
Rn nel caso in cui la sfera sia investita da sola aria
La differenza fra i due valori è notevole; in particolare nel primo caso la cella si trova al limite della transizione fra laminare e turbolento, mentre nel secondo caso è chiaro che il moto è totalmente laminare e l’inserimento di un modello turbolento non risulta necessario.
Si può dire, dall’analisi condotta, che l’errore commesso nel raggiungere la soluzione finale utilizzando una sequenza di simulazioni oppure un’altra è accettabile, quindi nel calcolo del kayak sarà utilizzata indistintamente una qualunque delle due procedure.
6.4.2. Influenza del piano di galleggiamento
Le differenze nei risultati ottenuti con o senza il piano di galleggiamento nella griglia sono riportati nella tabella 6.4. Di seguito si confrontano anche gli andamenti delle pressioni e velocità in varie posizioni all’interno del modello.
Le due griglie, con e senza piano di galleggiamento sono riportate rispettivamente nelle Figure 6.23 e 6.24.
Figura 6.23 -Modello con piano di galleggiamento Figura 6.24 -Modello senza piano di galleggiamento
La presenza di un oggetto “tozzo” altera molto il campo di velocità ed il processo di miscelamento tra le fasi. L’analisi del modello sfera sarà condotta per quanto riguarda sia il campo di pressione che di velocità, sia l’andamento delle fasi.
6.4.2.1. Pressione
Per meglio comprendere i grafici riportati in seguito, in Figura 6.24 sono state riportate le rette lungo le quali sono stati tracciati gli andamenti di pressione e di velocità.
Figura 6.24 – Rette per gli andamenti di pressione e velocità
Le rette rappresentate in Figura 6.24 giacciono su due piani ortogonali ad ingresso e uscita situati ad altezze pari a y=±0.01. Tali rette sono state tracciate per i seguenti valori di x: -0.1, -0.01, 0, +0.01, +0.1. Gli andamenti della pressione nei modelli con e senza piano di galleggiamento sulle vatie rette sono riportati nelle Figure 6.25 – 6.29.
50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 posizione z (m) P ress io n e rel a ti va ( P a) gall no_gall 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 posizione z (m) P res si o n e re la ti va (P a) gall no_gall Figura 6.25 –
Andamento pressioni su retta x=-0.1
Figura 6.26 –
-3000 -2800 -2600 -2400 -2200 -2000 -1800 -1600 -1400 -1200 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 posizione z (m) P re ssi o n e re la ti va (P a) gall no_gall 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 posizione z (m) P ress io n e rel a ti va ( P a) gall no_gall Figura 6.27 –
Andamento pressioni su retta x=0
Figura 6.28 –
Andamento pressioni su retta x=0.05
20 30 40 50 60 70 80 90 100 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 posizione z (m) P res si o n e re la ti v a ( P a ) gall no_gall Figura 6.29 –
Andamento pressioni su retta x=0.1
In ordinata è indicata la pressione relativa, mentre in ascissa la distanza della cella i-esima rispetto al piano di mezzeria del modello. Osservando gli andamenti dei due modelli, possono sembrare a prima vista molto diversi: questo è chiaro dato che sono state considerate le pressioni relative. Per avere una stima percentuale dell’errore commesso utilizzando un modello rispetto all’altro occorre rapportare il valore alla pressione atmosferica di riferimento, pari a 101325 Pa. Nei cinque grafici sopra riportati, la differenza maggiore in valore assoluto fra le ordinate delle due curve si ricava dall’andamento delle pressioni sulla retta x=0:
% 31 . 1 0131 . 0 101325 1535 2866 % Errore = − = =
Nel peggiore dei casi si commette un errore di poco superiore all’1% nell’impiegare un modello oppure l’altro. E’ da notare inoltre che la zona in cui si ha questa differenza percentuale è quella adiacente alla superficie della sfera nella parte superiore, e che questa parte si trova in leggera depressione.
Nelle Figure 6.30 – 6.34 sono riportati gli andamenti della velocità lungo x, tracciati sulle stesse rette sopra la sfera e nelle stesse posizioni viste per i grafici relativi alla pressione.
-1 0 1 2 3 4 5 6 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 posizione z (m) ve lo ci tà (m /s ) no_gall gall -1 0 1 2 3 4 5 6 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 posizione z (m) v e lo c it à ( m /s) no_gall gall Figura 6.30 –
Andamento velocità su retta x=-0.1
Figura 6.31 –
Andamento velocità su retta x=-0.05
-1 0 1 2 3 4 5 6 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 posizione z (m) ve lo cit à ( m /s) no_gall gall -1 0 1 2 3 4 5 6 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 posizione z (m) ve lo cit à ( m /s) no_gall gall Figura 6.32 –
Andamento velocità su retta x=0
Figura 6.33
- Andamento velocità su retta x=0.05
-1 0 1 2 3 4 5 6 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 posizione z (m) ve lo cit à ( m /s) no_gall gall Figura 6.34 –
Osservando i grafici, si può notare ancora una volta, a parte gli errori commessi dal post-processing del codice nell’esportazione dei dati, la simmetria del problema. Le curve delle velocità lungo x nei due modelli non si discostano molto, e l’errore commesso nell’utilizzare un modello o l’altro si attesta anche in questo caso su valori compresi fra l’1 e il 2 %.
6.4.2.3. Fasi
Le rette rappresentate in Figura 6.35 sono state tracciate sui due piani di simmetria del modello: uno è il piano parallelo a ingresso e uscita (x=0) e l’altro perpendicolare (z=0).
Figura 6.35 – Rette per gli andamenti delle fasi.
Gli andamenti sono stati tracciati sulle rette indicate nella Figura 6.35 per le posizioni lungo x (z=0, sul piano di simmetria) e lungo z (x=0, al centro del modello). I grafici fase-altezza sono riportati nelle seguenti Figure 6.36 e 6.37 riferite rispettivamente alle rette giacenti sul piano z=0 e x=0.
-0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 Fasi A ltez za (m) x-0.01z0 x-0.1z0 x0z0 x0.01z0 x0.1z0
Figura 6.36 - Fasi Aria-Acqua, andamenti per varie posizioni x
-0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 Fasi Alt e zz a (m ) x0z-0.03 x0z-0.01 x0z0 x0z0.01 x0z0.03
Le parti di curva tratteggiate indicano l’intersezione della stessa con la sfera.
Osservando il primo grafico, si può osservare il fenomeno di formazione dell’onda: la fase acqua delle curve nelle posizioni successive di x raggiunge altezze sempre maggiori. Questo è dovuto al fatto che l’acqua nel suo avanzamento incontra la sfera e, dato il suo piccolo diametro, parte di essa supera l’ostacolo, andando ad occupare una parte del volume di aria (vettori di velocità in Figura 6.38 e fasi in Figura 6.39).
Figura 6.39 – Andamento delle fasi.
Le immagini mostrano questo fenomeno: una serie di filetti fluidi di acqua alla velocità di 4 m/s “scavalca” la sfera e perturba la zona circostante. E’ interessante osservare l’andamento delle fasi sul piano di mezzeria del modello, riportato in Figura 6.40.
In questo modo si può meglio visualizzare l’andamento delle fasi lungo x: davanti alla sfera la zona di miscelamento è ridotta ed è funzione della mesh nella zona di interfaccia tra i fluidi. Dal momento in cui l’acqua raggiunge la superficie della sfera, l’ampiezza della zona di miscelamento aumenta, e questa interazione fra aria e acqua rappresenta appunto il formarsi delle onde. In questo caso si parla di onde di piccola entità date le piccole dimensioni del modello, ma il caso in esame può rendere l’idea del fenomeno trattato.
Il secondo grafico (Figura 6.41) è riferito anch’esso all’andamento delle fasi tracciato sulle rette parallele al piano x=0 centrale. Anche in questo caso si noti come la curva avente altezza maggiore sia quella tracciata al centro del modello, mentre le altre diminuiscono progressivamente allontanandosi dalla mezzeria. E’ possibile meglio visualizzare l’andamento delle fasi sul piano x=0 passante per il centro. Nelle Figure 6.42 e 6.43 sono rappresentati tale piano di mezzeria e la sfera in vista rispettivamente anteriore e posteriore. Nella vista anteriore si possono vedere i filetti fluidi di acqua che risalgono la superficie della sfera.
Figura 6.41 -Vista anteriore Figura 6.42 - Vista posteriore
Un’altra informazione che si ricava dal grafico è legato alla simmetria del problema: le curve tracciate sulle rette z=0.01 e z=-0.01 (verde e viola) e su quelle per z=0.03 e z=-0.03 (celeste e blu) sono praticamente a due a due coincidenti, a meno di errori di post-processing.
Tutto quello detto finora vale anche nel modello senza piano di galleggiamento: è chiaro però che l’assenza di tale piano dà luogo ad una zona di miscelamento molto più ampia rispetto a quella vista adesso (Figura 6.43).
Figura 6.43 – Andamento delle fasi nel modello senza piano di galleggiamento.
Un’ampiezza del genere non ha molto senso: occorre ricordare nuovamente che il modello in esame è di piccole dimensioni e la mesh effettuata su questa griglia è uguale a quella con piano di galleggiamento. Accade in pratica che una considerevole porzione di elementi nella zona del galleggiamento assuma dimensioni incompatibili con quelle della sfera, che già di per sé ha un diametro piccolo (d=0.02 metri), e di conseguenza la soluzione raggiunta dal codice è quella in cui la sfera è totalmente immersa nella zona di miscelamento. Tracciando i due piani già utilizzati nell’analisi del modello con piano di galleggiamento, si può osservare l’estensione di suddetta zona di interfaccia, pari a circa 3 cm (Figura 6.44).
Figura 6.44 – Estensione dell’ampiezza di miscelamento tra le due fasi.
Analogamente a quanto già visto nel modello con piano di galleggiamento, sono riportati gli andamenti relativi alle fasi nel modello. Rispetto al caso precedente le curve si discostano maggiormente dall’andamento “a gradino” desiderato: ciò conferma il fatto che una buona parte delle celle si trova nella zona di miscelamento e assume un valore di fase compreso fra 0 e 1 prossimo a 0.5 (colore verde in Figura 6.44).
In Figura 6.45 e 6.46 sono riportati i grafici altezza-fase tracciati rispettivamente sui piani z=0 e x=0.
-0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 Fasi A lte zz a (m ) x-0.01z0 x-0.1z0 x0z0 x0.01z0 x0.1z0
Figura 6.45 - Fasi Aria-Acqua, andamenti per varie posizioni x
-0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 Fasi A lte zz a (m ) x0z-0.03 x0z-0.01 x0z0 x0z0.01 x0z0.03
Figura 6.46 -Fasi Aria-Acqua, andamenti per varie posizioni z
Da entrambi i grafici si può stimare, se si considera per zona di miscelamento tutti quegli elementi aventi valori della fase compresi fra 0.25 e 0.75, un’ampiezza di questa attorno a 3 cm. Il valore ottenuto è circa 1 volta e mezzo il diametro della sfera.
6.4.3. Resistenza all’avanzamento
In questo paragrafo si propone un’analisi di sensibilità del coefficiente di Drag e di conseguenza della resistenza all’avanzamento agente sulla sfera al variare della dimensione delle celle
I calcoli sono stati eseguiti con il modello con piano di galleggiamento, effettuando tre successivi infittimenti.
Ciò ha richiesto la creazione di volumi più piccoli posizionati nella zona attorno alla sfera, in modo da avere un maggior controllo sulla crescita degli elementi. La Figura 6.47 mostra la griglia del modello di partenza, mentre la Figura 6.48 quella relativa al primo livello di infittimento.
Figura 6.47 - Modello di partenza Figura 6.48 - Modello relativo al primo infittimento
I dati caratteristici più importanti dei quattro modelli sono riportati in Tabella 6.7.
Griglia Sfera Numero nodi Numero celle tetraedriche Dimensione minima cella su sfera
Normale 22864 123962 0.002 m
Infittimento 1 41813 222104 0.001 m
Infittimento 2 53860 280727 0.0005 m
Infittimento 3 98298 543071 0.0005 m
Queste simulazioni sono state eseguite con un’unica fase (aria) principalmente per due motivi:
- tempi di calcolo inferiori (da 20’’ a 9’’ per ogni iterazione nel caso del modello con terzo livello di infittimento)
- tale situazione considerata è paragonabile al moto di una pallina da ping-pong per la quale sono disponibili dati in letteratura.
La forza totale è data dalla somma delle azioni viscose e di quelle normali (di pressione). In Tabella 6.8 si riporta il valore della resistenza totale e del coefficiente di drag.
Griglia Numero celle Forza resistente Coefficiente di Drag
Normale 123962 0.001093 N 0.355
Infittimento 1 222104 0.001109 N 0.360
Infittimento 2 280727 0.001439 N 0.467
Infittimento 3 543071 0.001364 N 0.443
Tabella 6.8 – Valori della forza resistente e del coefficiente di Drag.
Il valore ottenuto con i livelli di infittimento maggiore corrisponde a quello della pallina (Figura 6.49)13.
Figura 6.49 – Andamento del coefficiente di drag in funzione del numero di Reynolds.
La sfera, alla velocità di 4 m/s, ha un valore di Reynolds pari a : 5481 10 1.7894 02 . 0 4 226 . 1 Re -05 = ⋅ ⋅ ⋅ = = µ ρUD (6-1)
e dal grafico di Figura 6.49 si ricava un valore di CD approssimativamente compreso fra
0.4 e 0.45.
Osservando i quattro risultati ottenuti, si nota come i valori del drag, sia della forza che quindi del coefficiente, siano influenzati dalla discretizzazione del modello. Con riferimento alla curva i valori del coefficiente di drag ricavato dalle simulazioni effettuate con griglia normale e con primo livello di infittimento sono entrambi minori rispetto al dato sperimentale (di circa il 20%). Questo è dovuto al fatto che la sfera in questione è molto piccola (0.02 m di diametro) e le dimensioni degli elementi della mesh sono soltanto 1/10 e 1/20 rispettivamente: si ha in tal caso una discretizzazione dell’oggetto che potrebbe esser definita “grossolana”.
Passando al secondo infittimento si osserva un notevole miglioramento: la mappatura della sfera stavolta è più precisa, dato che la dimensione degli elementi è passata stavolta a 0.0005 m, circa 1/40 del diametro della sfera stessa. Gli ulteriori 58623 elementi posizionati nell’intorno dell’oggetto migliorano la discretizzazione e portano il valore del coefficiente di
leggermente superiore a quello sperimentale, ma si parla comunque di errori attorno all’1% o addirittura inferiori.
A questo punto, è stato costruito un ulteriore modello con la mesh più raffinata non solo sulla superficie della sfera, ma anche nei volumi confinanti mostrati nella precedente figura: questa operazione ha portato circa ad un raddoppiamento del numero di celle della griglia. L’idea è quella di analizzare la dipendenza del risultato finale non solo dalle dimensioni degli elementi sulla sfera ma anche di quelli vicini. Dai risultati ottenuti e riportati in tabella, il coefficiente di drag passa da 0.467 a 0.443, quindi subisce una diminuzione di circa il 5% che avvicina il valore a quello sperimentale.
L’ultima osservazione che può essere fatta in conclusione al paragrafo riguarda i tempi di calcolo. Confrontando i due modelli con infittimenti 2 e 3 rispettivamente, che danno i risultati più veritieri, si ricavano i seguenti tempi per raggiungere una convergenza:
- infittimento 2: circa 600 iterazioni, con tempo di calcolo per ogni iterazione intorno a 4”,50;
- infittimento 3: circa 450 iterazioni, con tempo di calcolo per ogni iterazione intorno a 9”; Quindi il primo modello richiede per avere un coefficiente di drag pressoché costante circa 2700 secondi, pari a 45 minuti di calcolo, mentre il secondo necessita circa il 50% di tempo in più (1 ora e 10 minuti). Le prove sono state eseguite con un processore Pentium 4 2.4 GHz HT con 512 Mb di memoria RAM. Occorre considerare che l’infittimento 3 ha un numero di elementi pari circa al doppio dell’altro modello.
6.4.4. Modello con piano di simmetria
Come già è stato illustrato nei capitoli precedenti, lo studio del kayak verrà effettuato solo su metà scafo dato che il problema è simmetrico e a causa degli elevati sforzi computazionali richiesti sia per l’elevato numero di celle che dal calcolo multifase.
In questo paragrafo si vuole stimare l’eventuale differenza fra la simulazione di un modello intero e quella di un modello tagliato a metà longitudinalmente da un piano di
simmetria. Per la simulazione è stato utilizzato il modello di sfera non infittito con piano di galleggiamento, già impiegato nei paragrafi precedenti, tagliato al centro da un piano Z=0 che è appunto il piano di simmetria (Figure 6.50 e 6.51).
Figura 6.50 - Modello intero Figura 6.51 - Modello tagliato
I modelli sono praticamente identici: l’unica differenza sta nella mesh vicino alla sfera dato che nel modello tagliato, il piano di simmetria attraversa la sfera e quindi la disposizione degli elementi attorno a questa risulta essere più “controllata” rispetto all’altra griglia. In Tabella 6.9 sono riportate le caratteristiche delle due griglie.
Griglia Numero nodi Numero celle tetraedriche Dimensione minima cella su sfera
Modello intero 22864 123962 0.002 metri
Metà modello 12115 58238 0.002 metri
Tabella 6.9 – Confronto fra le caratteristiche del modello intero e metà
In entrambe le griglie è stata effettuata una simulazione facendo entrare aria in moto laminare alla velocità di 4 m/s e sono stati osservati i risultati relativi alla forza resistente lungo x (drag) e di conseguenza il valore assunto dal coefficiente di drag. I risultati sono riportati in Tabella 6.10.
Modello intero 0.00031409 m2 0.001094 N 0.355
Modello tagliato 0.00015595 m2 0.000621 N 0.406
Tabella 6.10 – Valori relativi ai due modelli a confronto.
Come si può notare dalla tabella, i valori del coefficiente di drag si discostano di 0.05: il modello tagliato ha un valore di tale parametro più vicino a quello sperimentale. Lo stesso vale per la forza resistente, che risulta essere leggermente superiore, 0.001242 contro 0.001094. In tabella è stato riportato anche il valore dell’area frontale della sfera misurata dal codice e impiegata appunto per il calcolo del coefficiente di drag. L’area frontale di una sfera di diametro pari a 0.02 m è data da:
000314159 . 0 4 2 = ⋅ = D Afrontale π m2 (6-2)
Nel modello intero tale valore è pari a 0.00031409 m2 mentre in quello tagliato a 0.0003119 m2. La differenza è minima, e non influisce praticamente niente su coefficiente di drag. Infatti inserendo nel modello tagliato un riferimento per l’area frontale pari esattamente alla metà del valore reale sopra calcolato, si otterrebbe un coefficiente di drag pari a 0.403. Quindi la causa di questa differenza di errore va cercata esclusivamente nella differenza di mesh. Come già è stato detto, il piano di simmetria in qualche modo agisce da “controllo” sulla mesh in prossimità della sfera, cosa che invece non avviene nel modello intero dove l’unica superficie controllata è esclusivamente quella della sfera. Inoltre osservando i valori del drag e relativo coefficiente e comparandoli con l’altra tabella, si può osservare che il modello col piano di simmetria che seziona la superficie di interesse per l’analisi dei risultati (la sfera), a parità di numero di nodi (circa la metà del modello intero), ottimizza il calcolo e si hanno così dei risultati più vicini a quelli ottenuti con i modelli interi più infittiti.
6.5. Conclusioni
Dalle varie analisi di sensibilità condotte sui modelli, è possibile fare un resoconto dei risultati ottenuti nei seguenti punti:
- il fattore che più condiziona un problema multifase di moto esterno è la risoluzione della mesh. In generale un buon infittimento in prossimità della superficie di separazione dei due fluidi migliora l’interfaccia e quindi la ricostruzione del fenomeno ondoso, mentre una mesh raffinata nella zona della superficie da analizzare permette di avere dei valori più precisi riguardo le azioni normali e quelle viscose.
- è conveniente, per avere una convergenza del calcolo, effettuare una simulazione per gradi, partendo da un primo valore del campo di moto nel caso laminare monofase fino ad arrivare al turbolento bifase.
- la presenza sia del piano di galleggiamento che di quello di simmetria consente un miglior controllo degli elementi in prossimità dell’oggetto, altrimenti difficile dato che vengono utilizzati elementi esaedrici e la mesh non è mappata.
- il piano di simmetria permette un notevole risparmio in termini di risorse computazionali ed inoltre consente di ottenere una migliore stima della soluzione, dato che la mesh nella zona della simmetria è più accurata.
