Analisi statica

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Analisi

statica

Capitolo 2

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2.1 Introduzione

Gli aspetti relativi alla resistenza a rottura e a deterioramento superficiale delle dentature condizionano fortemente la progettazione degli ingranaggi.

Questi aspetti sono trattati con:

1. _{Modello di Lewis per la flessione del dente}

2. _{Modello di Hertz per il deterioramento superficiale}

3. _{L’applicazione di metodi numerici attraverso l’utilizzo di software} Di seguito si esporranno i metodi di analisi, citandone i pro e i contro e il capitolo verrà concluso con la discussione dei risultati ottenibili che serviranno per lo sviluppo dei metodi dinamici.

2.2 Modello di Lewis

L’approccio tradizionale per effettuare l’analisi della resistenza flessionale dei denti si basa sul modello di Lewis [1], successivamente perfezionato e seguito dalle norme ISO ed AGMA. Il singolo dente viene ipotizzato come una mensola caricata con una forza risultate applicata all’estremità:

23 Figura 2.1 – Approssimazione del dente come una mensola caricata all’estremità

La tensione della trave è massima nella sezione d’incastro (che corrisponde alla base del dente) dove si ha anche una concentrazione di tensione dovuta al raccordo. Lewis notò che il dente è, in ciascun punto, più resistente di una parabola ad uniforme resistenza inscritta nel dente stesso, ad eccezione della sezione d’incastro dove il dente e la parabola sono tangenti; di conseguenza in tale punto la resistenza risulta essere uguale.

Per la determinazione della sezione d’incastro (zona di più frequente innesco di rotture) la normativa AGMA fa riferimento alla parabola

Fr

Ft

F

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tangente al dente trattata da Lewis, mentre la norma ISO si riferisce ad una tangente alla base del dente di inclinazione uguale a 30 gradi:

La tensione massima è a base dente ed è data dalla formula di Lewis:

 _{ . . }  Dove

Ft è la componente del carico perpendicolare all’asse del dente

m è il modulo della ruota dentata
b è la larghezza del dente

Y è il fattore di Lewis Fn Sezione d’incastro Fn Sezione d’incastro ISO AGMA 30°

Figura 2.2 – Schema adottato dalla

norma ISO per la determinazione della sezione d’incastro e la posizione del carico sul dente

Figura 2.3 – Schema adottato dalla

norma AGMA per la determinazione della sezione d’incastro e la posizione del carico sul dente

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Lewis fece delle ipotesi semplificative alla base delle quali deriva la formula:

 l’intero carico è applicato alla sommità del dente e questa è la condizione più gravosa. Per le ruote con precisione normale l’ipotesi può essere corretta ma per le ruote ad alta precisione il carico non è concentrato su un solo dente, perché il grado di ricoprimento è maggiore di uno. In questo caso il dente sopporta solo una parte di tutto il carico alla sommità ed il carico massimo in un punto in cui il braccio, che fornisce il momento flettente massimo, è più piccolo.

 il carico è distribuito uniformemente su tutta la larghezza del dente. Questa non è un’ipotesi cautelativa e può essere causa di rottura nei denti troppo larghi in presenza di disallineamento o eccessiva deformazione degli alberi.

 nel caso di ripartizione, la posizione dei punti in cui il carico è applicato ad una sola coppia di denti è determinata dalla cinematica ideale di dentature rigide e perfette. Anche questa ipotesi non è cautelativa, in quanto il braccio del momento può essere, in realtà, maggiore (ad esempio a causa della variazione di interasse in esercizio).

 la concentrazione delle tensioni nei raccordi del dente è trascurabile. L’effetto d’intaglio era ignoto all’epoca di Lewis, mentre oggi si riconosce la sua importanza.

Le norme, come si può osservare dai disegni riportati, considerano il carico applicato in modo diverso. La norma ISO tiene conto del carico nel punto superiore di contatto singolo, mentre la norma AGMA nel

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punto di contatto di testa. In entrambi i casi il punto di applicazione del carico sull’asse del dente è quello riscontrabile con l’intersezione del prolungamento di essi.

Oggi la progettazione moderna delle ruote richiede una maggiore attenzione anche nel riguardo di quei parametri precedentemente trascurati, soprattutto per gli ingranaggi ad alte prestazioni dove la formula ha subito delle modifiche, come vedremo nel capitolo successivo.

2.3 Modello di Hertz

Dimensionata la ruota si deve anche effettuare un’analisi di resistenza superficiale dei denti [1]. Carichi eccessivi possono essere causa di:

• Abrasione

• Vaiolatura (pitting) • Rigatura superficiale

Sono tre cause di tipi fondamentali di deterioramento superficiale che si verificano nelle ruote dentate.

L’abrasione superficiale è causata dalla presenza di particelle estranee quindi, con la dovuta attenzione nella progettazione e nel montaggio, le ruote dentate non dovrebbero essere danneggiate da questa.

La rigatura superficiale si verifica ad alta velocità quando non si ha un’ adeguata lubrificazione.

La vaiolatura è una manifestazione della fatica superficiale.

Per studiare la resistenza superficiale dei denti, viene utilizzata la tensione di Hertz. Per adattare le equazioni di Hertz alle ruote a denti

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dritti, se il contatto avviene nel punto di tangenza delle primitive, Earle Buckingham propose di considerare una coppia di denti a contatto come due cilindri con raggi uguali ai raggi di curvatura delle evolventi che risultano _  _sin  2⁄ per il pignone e _  _sin  2⁄ per la ruota [10]:

Figura 2.4 – Andamento del carico sul profilo del dente e calcolo della locale

pressione di contatto

In questo caso la tensione superficiale hertziana si ricava dalla formula[1]:
  2 ⁄ sin  2 ⁄ sin  ! cos  $1 & '₎ (   1 & ' ( ) * . . 

Dove E è il modulo di Young, ' è il modulo di Poisson e

φ

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Come per il modello di Lewis l’adozione di questo modello per i progetti odierni, soprattutto per ingranaggi ad alte prestazioni, ha bisogno di modifiche per integrare condizioni al tempo trascurate. Questo verrà trattato nel capitolo successivo insieme alla modifica della formula di Lewis.

2.4 Analisi statica attraverso l’utilizzo di software

Con l’introduzione del calcolatore fu possibile avviare

l’automatizzazione del calcolo e la memorizzazione delle necessarie basi di dati [10]. Attualmente è possibile implementare su PC codici di calcolo molto più sofisticati e potenti finalizzati all’analisi degli ingranaggi.

Sono nati codici di calcolo che si limitano all’uso di una specifica normativa, oppure che cercano di fondere insieme più di una normativa, operando sostanzialmente secondo l’approccio tradizionale. Tali codici rendono più agevole la creazione della geometria con dei semplici comandi e, l’utilizzo di questo tipo di analisi, grazie all’elevata potenza di calcolo attualmente disponibile, è utile per accelerare l’analisi statica tradizionale.

Per poter affrontare analisi che tengano conto delle possibili deformazioni con migliori approssimazioni di quelle previste nelle normative si possono utilizzare dei metodi numerici implementati al calcolatore tramite:

• Software agli elementi finiti • Software ibridi dedicati

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2.4.1 Software agli elementi finiti

Un’analisi statica molto dettagliata sia dei denti che del corpo ruota può essere fatta tramite dei software agli elementi finiti, come ad esempio ANSYS oppure NASTRAN, che risolvono numericamente il problema del contatto senza considerare gli effetti dell’attrito, della lubrificazione, della rugosità e della temperatura.

I risultati possono essere molto accurati ma, per ottenere un’adeguata precisione, si deve infittire molto la mesh in corrispondenza delle zone di contatto con un conseguente aumento dei tempi di calcolo [10]:

Figura 2.5 – Esempio di una griglia di calcolo per lo studio dell’ingranamento in

ANSYS

Figura 1.6 – Esempio di visualizzazione dei risultati in ANSYS (pressioni di contatto

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Inoltre si deve anche disegnare l’ingranaggio con tutte le eventuali modifiche micro geometriche.

2.4.2 Software ibridi dedicati

Per ridurre i tempi di calcolo e di modellazione degli elementi sono nati programmi che integrano le metodologie di analisi FEM con soluzioni semi-analitiche locali per il contatto. La soluzione richiede tempi di calcolo modesti.

Questi software permettono di ridurre significativamente i tempi di prototipazione con la possibilità di modellare complesse soluzioni contenenti le varie modifiche di profilo e di bombatura, e analizzare condizioni d’ingranamento che riproducono anche errori di dentatura, la cedevolezza dell’albero, i disallineamenti e l’attrito.

Sono nati codici di calcolo dedicati allo studio degli ingranaggi, uno dei quali è Calyx che permette lo studio statico dell’ingranamento [6, 10]. Con questo codice possono essere analizzati:

• Ingranaggi cilindrici a denti dritti ed elicoidali, interni ed esterni, ad assi paralleli o sghembi

• Ingranaggi ipoidi

• Ingranaggi conici con denti dritti oppure a spirale • Ingranaggi a vite, ruota elicoidale

• Rotismi epicicloidali

Il programma HELICAL 3D si compone dei codici “CAPP/Calyx”, dedicato alla modellazione dei contatti, e “Multyx” dedicato

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prevalentemente ad interfacciarsi con l’utente; è in grado di eseguire un’analisi tridimensionale dell’ingranamento.

Il codice consente di modellare le ruote dentate in modo molto semplice; utilizzando interfacce grafiche “user friendly”, in ambiente Windows, con l’intuitiva interfaccia “Guide”, è possibile disegnare una ruota dentata indicando i parametri geometrici nominali che la contraddistinguono ed è inoltre possibile modellare con facilità le modifiche di profilo del dente e di bombatura.

Una volta definita la geometria della dentatura, è previsto l’inserimento dei dati per l’intera trasmissione e, quindi, il valore della coppia, il numero di giri, possibile disallineamento ed eventuali difetti di montaggio, cedevolezza dei cuscinetti, valore del coefficiente d’attrito delle superfici a contatto.

32 Figura 2.7 – Esempi di mesh con diversa raffinatezza, relative ad un dente,

predefinite in HELICAL 3D

Figura 2.8 – Esempio di mesh degli elementi di contatto per una ruota a denti

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Con questa semplificazione non è quindi richiesto che l’utente generi la mesh manualmente.

Il codice, essendo dedicato agli ingranaggi, consente di ottenere, in modo semplice e senza la necessità di ulteriori elaborazioni, tutti i risultati del calcolo che abbiano un interesse progettuale, quali forze sui denti, pressioni di contatto, errore di trasmissione ecc.

Si ottengono anche output grafici per una più immediata comprensione degli effetti del fenomeno in esame:

Figura 2.9 – Esempio della visualizzazione dei risultati con HELICAL 3D

2.5 Risultati delle analisi statiche

Con l’analisi statica dell’ingranamento si possono determinare molti dati utili in sede di progettazione. Tratteremo soltanto i dati utili per quanto riguarda il prosieguo con l’analisi dinamica che sono carico sul dente e l’errore di trasmissione.

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2.5.1 Carico statico sul dente (STF)

Durante l’ingranamento, le coppie di denti in presa si scambiano il carico. Ogni dente quindi passa gradualmente da una condizione a carico nullo ad una con forza massima per poi ridiscendere a zero quando non è più in presa.

Può accadere che, in certi istanti d’ingranamento, una sola coppia di denti sia in presa, con la conseguenza che il singolo dente sia caricato, in condizioni statiche, da una forza uguale alla coppia trasmessa fratto il raggio base che, in tali condizioni, è il valore massimo della sollecitazione a cui il dente può essere soggetto. È chiamata forza statica d’ingranamento (SMF):

+,  _.

-/ . . 0 Si riporta quanto trattato nella figura seguente:

Andamento qualitativo del carico statico sui denti (STF)

 Dente 1

 Dente 2

 Dente 3

- - Inviluppo

Figura 2.9 – Andamento qualitativo del carico statico sui denti (Static tooth force) Carico

sul dente

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Per il progetto è d’interesse il dente più sollecitato e quindi si considera la curva inviluppoche è quella tratteggiata nel grafico, la quale identifica la condizione più critica alla quale può essere soggetto il dente.

Esistono casi in cui non si ha mai una sola coppia di denti in presa, come per ruote elicoidali o con grado di ricoprimento elevato, e l’andamento dell’ingranamento risulta più regolare:

Figura 2.10 – Andamento qualitativo del carico statico sui denti (Static tooth force)

Le normative descrivono in modo molto semplice l’andamento del carico sul dente: per denti in assenza di modifiche, appena entrano in presa, la forza statica sul dente vale un terzo della SMF, successivamente sale con continuità fino a due terzi della SMF, dove si ha un gradino sino alla SMF (STF=SMF) :

36 Figura 2.11 – Andamento della STF previsto dalle normative in assenza di modifiche

del profilo

Per denti con spoglia ottimale è considerata una crescita di carico continua da zero alla SMF:

Figura 2.12 – Andamento della STF previsto dalle normative con spoglia ottimale

Per valutare il tratto d’ingranamento, in cui si ha una sola coppia di denti in presa, la normativa fa riferimento alla geometria indeformata. Tale

STF/SMF

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assunzione è inaccettabile per ingranaggi ad alte prestazioni per i quali, come già detto, si hanno deformazioni non trascurabili per effettuare un corretto dimensionamento e stabilire le opportune modifiche da effettuare.

Una valutazione molto più accurata può essere condotta con il software HELICAL 3D che calcola, tenendo conto delle deformazioni, le curve dell’andamento del carico, come visto precedentemente.

2.5.2 Errore di trasmissione (TE)

L’errore di trasmissione è definito come la differenza tra le posizioni angolari relative delle ruote ingrananti nel caso reale e nel caso ideale. Il caso reale è quello che tiene conto della geometria con le modifiche di profilo e delle deformazioni, mentre il caso ideale assume la geometria nominale e i corpi rigidi.

In genere tale grandezza viene espressa in termini di lunghezza, moltiplicando la differenza delle posizioni angolari (in radianti) per il raggio del cerchio dibase (come viene fatto nel presente lavoro).

La formulazione matematica del TE, in unità di lunghezza è la seguente:

-)  ._/12₁ ._/(2₍ . . 3

In cui

θ

considerata.

Si definiscono i seguenti errori di trasmissione:

 Errore di trasmissione statico a carico nullo, e(t) (o più brevemente errore di trasmissione a carico nullo)

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 Errore di trasmissione statico, STE(t)  Errore di trasmissione dinamico, DTE(t)

L’errore di trasmissione a carico nullo è legato unicamente ad aspetti geometrici e non agli effetti di deformazione. Tali aspetti, che generano un e(t), sono quelli che determinano uno scostamento dalla geometria nominale, cioè le modifiche di profilo e gli errori geometrici di costruzione o di montaggio visti nel primo capitolo. Nella successiva modellazione numerica della dinamica verranno trascurati gli effetti degli errori di costruzione e di montaggio, considerando le ruote realizzate con opportune modifiche di profilo e un’opportuna bombatura ottimizzata in modo da non avere problemi anche in presenza di disallineamenti tollerabili.

La modifica di testa, mostrata già nel capitolo precedente, comporta uno scostamento dei punti del profilo del dente rispetto la curva ad evolvente pura, ad esempio per una comune modifica di profilo lineare in funzione del roll-angle si ha [6]:

39 Figura 2.13 – Errore di trasmissione a carico nullo; (a) modifica di testa lineare in

funzione del roll angle; (b) effetto complessivo sull’errore di trasmissione a carico nullo

Ad ogni valore di roll-angle è associabile un istante d’ingranamento. Applicando le modifiche di testa alle due ruote ingrananti si può vedere l’effetto complessivo sull’errore di trasmissione a carico nullo. L’andamento di e(t), che si ripete per ogni ingranamento a meno di errori di costruzione è il seguente:

Figura 2.14 – Andamento dell’errore di trasmissione a carico nullo

e

e

e

e tttt

Unloaded

Unloaded

Unloaded

Unloaded TE

TE

TE

TE

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Si può osservare che negli istanti in cui si ha contatto tra gli evolventi non modificati si ha e(t) pari a zero.

L’errore di trasmissione statico è dovuto agli stessi aspetti geometrici ai quali è legato l’e(t) ed in più è dovuto anche agli effetti delle deformazioni.

Sotto l’azione della forza statica, durante l’ingranamento, le ruote sono soggette a deformazioni che portano ad avere l’errore di trasmissione in valori negativi (minor rotazione rispetto al caso rigido). Al crescere del carico applicato si ha un aumento della frazione d’ingranamento con contatto contemporaneo di più coppie di denti:

Figura 2.15 – Mappa di Harris; andamento semplificato dello STE all’aumentare

del carico applicato

Il grafico prende il nome di Mappa di Harris [16] e si basa sulla forte ipotesi che la rigidezza dell’ingranamento dipenda solo dal numero di denti in presa.

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La curva 1 rappresenta la condizione a carico nullo e(t), mentre la 5 lo STE da ottenere con carico di progetto. Quest’ultima evidenzia una idealizzazione dovuta all’ipotesi citata; infatti, ancorché sia desiderabile, nella pratica è impossibile avere TE costante; comunque è importante, e nei capitoli successivi sarà chiarito il perché, fare in modo di ottenere uno STE variabile entro un campo il più limitato possibile.

La valutazione numerica dello STE, necessaria per la progettazione degli ingranaggi ad alte prestazioni, deve essere effettuata, inevitabilmente, tramite degli strumenti software o sperimentalmente, a causa della complessità delle deformazioni che si hanno in ogni istante dell’ingranamento.

Si riporta un esempio della valutazione dello STE con Calyx al variare della coppia:

Figura 2.16 – Esempio dello STE al variare della coppia valutato tramite HELICAL

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Si può osservare che c’è una certa somiglianza con la mappa di Harris vista nell’analisi statica.

Attraverso lo studio statico, si ottengono i risultati descritti nel capitolo precedente in diversi istanti dell’ingranamento per i quali cambiano le condizioni di carico in tempi relativamente brevi ed è questo che abbiamo utilizzato come strumento per generare i dati d’input per il nostro modello.

L’errore di trasmissione dinamico è l’equivalente dello STE ma è valutato considerando le condizioni dinamiche d’ingranamento e verrà trattato successivamente.