4 I fondamenti della fluidizzazione

4 I fondamenti della fluidizzazione

4.1 Regimi di fluidizzazione

Esistono diversi stati di fluidizzazione a seconda della velocità superficiale del gas ug

che attraversa un letto di particelle solide con un determinato grado di vuoto ε. Tramite l’equazione di Ergun:

(

)(

)

(

)

2

(

3

)

2 3 2 2 1 75 . 1 1 150 1 mf mf mf g mf mf mf mf g s d u d u g ε ε ρ ε ε µ ε ρ ρ − − = − + − [4.1]

è possibile calcolare la velocità di minima fluidizzazione umf che rappresenta la

velocità alla quale la spinta esercitata dal gas sul solido bilancia completamente il peso del letto diminuito della spinta di Archimede; tale velocità consente di individuare una zona di transizione tra letto fisso e fluidizzato.

Quando la velocità del gas è minore della velocità di minima fluidizzazione si è in presenza di un letto fisso, aumentando la velocità del gas si passa alla condizione di letto bollente fino ad arrivare a turbolento. Il letto rimane in regime turbolento fino al raggiungimento di una velocità alla quale si ha un notevole aumento delle particelle trascinate, fino a svuotare l’intero letto. Tale velocità è la velocità di trasporto utr.

Quando la velocità del gas supera quella di trasporto possiamo avere un letto circolante che consente di mantenere un processo continuo rialimentando le particelle dal fondo, aumentando ulteriormente la velocità del gas le particelle non influenzano più le perdite di carico e siamo in un letto a trasporto pneumatico

In figura 4.1 sono riportate le perdite di carico in funzione della velocità superficiale del gas. Si può notare che facendo crescere gradualmente ug le perdite di carico

aumentano fino a che la velocità del gas non euguaglia umf. Successivamente le

perdite di carico restano costanti fino a utr a causa dell’espansione del letto per poi

diminuire.

Un altro fattore importante è la velocità di slip usl, parametro caratteristico dei sistemi

in cui la velocità superficiale del gas è tale da comportare il trasporto del solido, che si calcola come:

ε

ε

− − = − = 1 s g s g sl u u V V u [4.2]

Fig.4.1 Regimi fluidodinamica di sistemi solido-gas in flusso verticale verso l’alto. Perdite di carico

attraverso un letto di particelle in funzione della velocità superficiale del gas.

In figura 4.2 sono mostrati i regimi di fluidizzazione precedentemente descritti a differenti velocità e geometrie.

4.1.1 Classificazione di Geldart

Le proprietà di fluidizzazione dei solidi sono riassunte nella classificazione di Geldart (1973), che suddivide i solidi in quattro gruppi (A, B, C e D) a seconda della loro diversa tendenza alla fluidizzazione in funzione del loro diametro d e della differenza di densità (ρs-ρg).

Il diagramma costruito da Geldart per mostrare i suoi criteri di classificazione è riportato in figura 4.3.

Fig.4.3 Classificazione di Geldart dei solidi nella fluidizzazione con gas a

pressione atmosferica.

Il gruppo A comprende i materiali aventi densità inferiore a 1400 kg/m3 e diametro ridotto, generalmente 30-150 µm. Le particelle facenti parte di questo gruppo consentono una considerevole espansione del letto dopo il raggiungimento della velocità di minima fluidizzazione; non si ha formazione di bolle fino al raggiungimento di una velocità caratteristica detta velocità minima di formazione delle bolle umb,

maggiore della velocità di minima fluidizzazione; si formano bolle di diametro massimo pari a 10 cm.

Il gruppo B comprende i materiali aventi densità compresa tra 1400 e 4000 kg/m3 e diametro appartenente a un intervallo compreso tra 40 µm e 500 µm.

I letti fluidi costituiti da particelle appartenenti a questo gruppo fluidizzano alla velocità di minima fluidizzazione umf; si formano bolle di piccole dimensioni che

crescono con il procedere nel letto.

Il gruppo C comprende i materiali per cui la fluidizzazione risulta notevolmente difficoltosa a causa delle loro piccole dimensioni e tendenza alla coesione. Il diametro di queste particelle è inferiore ai 25 µm.

Il gruppo D comprende i materiali di diametro maggiore di 600 µm e densità maggiore di 4000 kg/m3_{, pertanto presentano anch’esse difficoltà di fluidizzazione.}

4.1.2 Letti fluidi bollenti

I letti fluidi turbolenti sono sistemi gas solido in cui si ha formazione di bolle all’interno del letto quando la velocità del gas supera la velocità minima di fluidizzazione, il letto appare uniformemente permeato dal gas ed il solido in dolce movimento. Nella condizione di minima fluidizzazione il peso del solido nel recipiente, corretto dalla spinta idrostatica, è bilanciato dalla perdita di carico ∆P subita dalla corrente dell’aria:

(

s g

)(

mf

)

Hmf g

P= ρ −ρ −ε

∆ 1 [4.3] con ρs densità delle particelle solide, ρg densità del gas, εmf grado di vuoto del letto

(che assume valori che vanno da 0,4 a 0,5) e Hmf l’altezza dello stesso.

Aumentando la velocità del gas il letto si espande e raggiunge un altezza H funzione del grado di vuoto ε tramite l’equazione:

(

−ε

)

(

−ε = 1 _mf 1 mf H H

₎

[4.4] Secondo la teoria di Davidson e Harrison (1963), già a velocità poco superiori a quella di minima fluidizzazione, un letto bollente si considera suddiviso in due fasi: una fase densa e una fase a bolle. La fase densa è costituita da un grado di vuoto pari a quello di minima fluidizzazione, la fase a bolle è costituita da bolle di gas con contenuti di solido trascinato molto bassi.

Ci sarà una velocità di fluidizzazione per cui avviene la comparsa delle bolle umb

(velocità di minimum bubbling) che dipende dai valori del rapporto ρs/ρg e della

Una caratteristica fondamentale nei letti fluidi solido-gas è la “permeabilità” delle pareti delle bolle, le quali consentono il trasferimento all’interfaccia sia di gas che di solido che consente il ricambio del gas contenuto nelle bolle con quello nella fase densa. Un coefficiente di scambio Kbe determina la portata di scambio netto

bolle-fase densa, ci sono varie correlazioni empiriche per la determinazione di questo coefficienti ad esmpio quella di Sit e Grace (1981)

5 . 1 5 . 0 12 2 ₋ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = b b mf g b mf be d u D d u k

π

ε

[4.5] con db diametro delle bolle, ub velocità di risalita delle bolle e Dg diffusività della

specie gassosa che si trasferisce.

La velocità di risalita delle bolle dipende dal diametro delle bolle, secondo la formula di Davidson e Harrison (1963):

(

g mf

)

b

b u u gd

u = − +0.71 [4.6] Anche a basse velocità del gas un letto a granulometria assortita può avere una notevole perdita di materiale verso la zona superiore del letto detta “sezione di disimpegno” o freeboard. Le bolle scoppiando alla superficie del letto lanciano spruzzi di particelle nel freeboard.

Il trasferimento di particelle dal letto fluido alla sezione di disimpegno per effetto del gas fluidizzante è detto entrainment.

Se le particelle hanno una velocità terminate ut minore della velocità di fluidizzazione

sono dette fini e vengono trascinate dal gas; i fenomeni che consentono la separazione delle particelle trascinate dalla corrente di gas e alla loro ricaduta verso il basso sono noti come disengagement.

Il processo che complessivamente porta alla separazione preferenziale dei fini ed al loro allontanamento definitivo dal letto è detto “elutriazione”. La minima distanza rispetto al pelo libero del letto per la quale risultano trascinate nella corrente gassosa solo le particelle con ut < ug è denominata TDH o transport disengaging height.

I fenomeni di entrainment e disengagement non sono ancora ben compresi, in letteratura esistono numerose correlazione per l’entrainment ed il TDH.

4.1.3 Letti fluidi turbolenti

I letti fluidi turbolenti sono caratterizzati da una diminuzione delle fluttuazioni della densità del letto e della pressione rispetto ai letti bollenti; si individua una velocità del gas uc per la quale le fluttuazioni della pressione raggiungono un massimo ed una

velocità uk a partire dalla quale le fluttuazioni diminuiscono, cominciano ad assumere

un valore costante come si può vedere in figura 4.4.

Fig.4.4 Velocità di transizione a fluidizzazione turbolenta

Il grado di eterogeneità della distribuzione del solido nel letto segue l’andamento delle fluttuazioni di pressione risultando quindi massimo per uc fino quasi annullarsi

dopo uk nel regime turbolento. Qui il solido non costituisce più una fase continua, ma

è disperso in “grappoli” e in lunghe strisce di particelle. Secondo Kehoe e Davidson (1971) uk=3ut,min dove ut,min è la velocità di caduta libera delle più piccole particelle

solide presenti nel letto.

4.1.4 Letti fluidi circolanti

I letti fluidi circolanti, come si può vedere dalla figura 4.5, sono sistemi suddivisibili in quattro blocchi principali: il riser, la sezione di separazione gas-solido (ciclone), lo standpipe e la valvola di ricircolazione attraverso la quale si regola la portata di solido reimmessa nel sistema.

Il solido può viaggiare verso l’alto o verso il basso, in equi o in controcorrente con il gas, a seconda della sezione dell’impianto che sta attraversando. Il condotto verticale in cui il solido è trasportato dal gas verso l’alto è chiamato riser, mentre il condotto in cui il solido è trasportato verso il basso prende il nome di standpipe che ha il compito di reimmettere il solido in colonna. La portata di solido è tipicamente controllata da un dispositivo che collega il fondo dello standpipe con il riser, questo muove le particelle dal fondo della colonna di ricircolo al fondo del riser, senza consentire che il gas alimentato nel riser devii verso la colonna di ricircolo. Se ciò avvenisse si avrebbe una perdita di solido per trascinamento verso la base del ciclone che, a sua volta, determinerebbe un’ulteriore aumento della portata gassosa che devia verso lo standpipe.

La colonna di ricircolo deve essere perfettamente verticale perché altrimenti sarebbe difficile la fluidizzazione a causa del cammino preferenziale delle bolle lungo la parete superiore, che determinerebbe una diminuzione dell’efficienza di aerazione e quindi rischi di impaccamento.

Fig.4.5 Schema tipico di un letto fluido circolante

1)colonna veloce; 2)dispositivo di separazionesolido-gas; 3)colonna di ricircolo; 4)dispositivo di regolazione del flusso solido.

Infatti un requisito fondamentale di questi sistemi è che la colonna rimanga comunque fluidizzata in quanto la mancanza di aerazione porterebbe immediatamente alla formazione di un letto impaccato che porterebbe al blocco completo del sistema a causa delle temperature e delle caratteristiche dei solidi circolanti; un’eccessiva aerazione del letto di solido della colonna di ricircolo porterebbe invece un trascinamento verso la base del ciclone senza comportare vantaggi concreti. Occorre per questi motivi operare con un a velocità del gas opportuna, che risulta essere leggermente sopra la velocità di minima fluidizzazione. L’aumento della pressione che si ottiene nello standpipe determina la perdita di carico disponibile per il resto del loop.

L’aumento della pressione che si ottiene nello standpipe determina la perdita di carico disponibile per il resto del loop.

Alla velocità di minima fluidizzazione la velocità media del solido è nulla per cui usl,mf=umf/εmf, se nel riser usl < umf/εmf le particelle sono nello stato di letto fisso; se usl

≥ umf/εmf le particelle sono fluidizzate.

Diversi autori (Lapidus e Elgin, 1957; Kwauk,1963; Matsen, 1973) nel corso delle loro sperimentazioni hanno osservato che, a parità di velocità di slip, il comportamento di un sistema solido-gas in flusso verticale (verso l’alto o verso il basso) è simile a quello di un letto fluido, ovvero quando usl > umf/εmf le particelle in movimento sono

fluidizzate con lo stesso grado di vuoto di un letto fluido stazionario avente la medesima velocità di slip.

Questo è alla base di un criterio di classificazione dei comportamenti fluidodinamica dei sistemi solido-gas in un condotto verticale (Teo e Leug,1984): regimi di flusso di solido fluidizzato, in cui le particelle sono in sospensione per il quale risulta: usl ≥

umf/εmf e ε ≥ εmf; regimi di flusso di solido non fluidizzato, in cui le particelle si

muovono in blocco, con scarso moto relativo, per il quale risulta: usl < umf/εmf e ε <

εmf.

Al primo appartengono generalmente tutti i flussi con solido in moto verso l’alto; del secondo fanno parte, ad esempio, flussi noti con i nomi di slip-stick flow, “flusso a letto fisso”, “flusso a letto mobile” ed altri.

4.2 Regimi di trasporto

Come detto in precedenza il letto rimane in regime turbolento fino a che la velocità del gas non raggiunge la velocità di trasporto utr, quando la velocità del gas è

inferiore alla utr ci sono i regimi captivi, quando invece è superiore ci sono i regimi di

trasporto.

I regimi di trasporto sono caratterizzati dalla concentrazione del solido, dalla figura 4.6 si evince come le perdite di carico siano fortemente influenzate dal flusso di solido Gs alimentato alla base della colonna.

In figura è riportato il gradiente di pressione in funzione della velocità superficiale del gas, utilizzando come parametro la portata di solido.

La linea AB nel grafico si riferisce a portata di solido nulla nel condotto; le altre curve sono a portata di solido crescente. Nel punto C della curva GS1, la concentrazione

volumetrica è bassa quindi la corrente è diluita e le particelle, che appaiono uniformemente disperse, fluiscono verso l’alto con traiettorie praticamente rettilinee (flusso in fase diluita). In questa fase la velocità di slip risulta essere approssimata pari alla velocità ut di caduta libera (o di trascinamento) delle particelle singole. Il

gradiente di pressione è costituito dalla componente dovuta all’attrito del gas alle pareti,mentre la componente gravitazionale si può trascurare.

Fig.4.6 Gradiente di pressione nel riser in funzione della velocità superficiale del gas,

Con l’aumento della portata di solido le perdite di carico dovute all’attrito del gas perdono rilevanza rispetto a quelle gravitazionali.

Nel tratto CD le perdite di carico diminuiscono col diminuire della velocità del gas fino ad un valore minimo, dopo tale valore si registra un notevole aumento del gradiente di pressione questo è dovuto all’influenza delle perdite di carico gravitazionali.

Nel tratto DE si ha un flusso in fase densa, il gradiente cresce velocemente, la frazione volumetrica di solido è sostanzialmente cresciuta e le particelle non sono più uniformemente disperse.

Un flusso in fase densa a seconda del sistema gas-solido condotto,può essere flusso slugging o flusso non slugging. Nel primo caso si ha la formazione di grosse bolle che spingono il solido verso l’alto. Il flusso è particolarmente irregolare, caratterizzato da grosse fluttuazione di pressione che rendono difficile la gestione dell’impianto. Il flusso in fase densa non-slugging è caratterizzato dalla formazione di agglomerati di particelle che si rompono e si riformano rapidamente. Si ha un flusso di tipo core-annulus.

Tale tipo di flusso, è quello più ricorrente nell’esercizio di sistemi a letto fluido circolante.

4.2.1 Fenomeni di Choking

Il passaggio tra flusso in fase diluita e flusso in fase densa può avvenire in diversi modi: in maniera diffusa o in maniera particolarmente brusca. Se nella fase densa si istaura un flusso di tipo slugging si parla di fenomeno di collasso: choking in cui la transizione avviene molto bruscamente.

Tale fenomeno è caratterizzato da grandi fluttuazioni di pressione che rendono difficile la gestione dell’impianto.

Le condizioni operative per cui si è in sistemi chocking sono condotti stretti con particelle di grosso diametro, e per particolari accoppiamenti velocità del gas-flusso di solido; in fase di progettazione occorre quindi prestare particolare attenzione a tale fenomeno date le conseguenze gravissime del suo verificarsi.

Nonostante il fenomeno non sia bencompreso, la necessità di doverlo prevedere ha fatto proliferare una serie di reazioni empiriche (Yousfi e Gau, 1974; Yang, 1975; Punwani et al., 1976; Matsen, 1982; Yang, 1983).

4.3 Modello Kunii - Levenspiel per un CFB

Di seguito è mostrato un modello di flusso e di contatto per rappresentare un CFB studiato da Kunii et al. (2000). Il diametro equivalente della particella è definito come il diametro di una sfera dello stesso volume della particella.

3 1 6 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = π V d_sph [4.7]

e la sfericità della particella è definita come:

volume allostesso s particella sfera ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = sup sup ϕ [4.8] di conseguenza: sph s p d d =ϕ [4.9] Per caratterizzare le particelle e la velocità superficiale del gas attraverso il letto dobbiamo capire in che regime (racket bed, CFB, BFB) e in che subregime (fluidizzazione turbolenta, veloce, o trasporto pneumatico) ci troviamo.

Fatto questo si possono calcolare dimensioni delle particelle e velocità del gas:

(

)

13 2 * ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = µ ρ ρ ρ g d d_{p p} g s g [4.10]

(

)

3 1 2 * ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⋅ = g s g g g u u ρ ρ µ ρ [4.11] Il solido andrà in sospensione se le perdite di carico superano il peso del solido. Questo accade quando la velocità del gas supera quella di minima fluidizzazione. Tale velocità, data da Ergun, si può esprimere così:

( )

* 2 * * 2 * 3 ( ) 75 . 1 ) 1 ( 150 _{mf p p} mf mf mf mf d d u u + = − ε ε ε [4.12] Una particella viene trascinata fuori dal letto quando la velocità del gas ug supera la

velocità terminale della particella ut.

Haider e Levenspiel hanno proposto formule per calcolare ut.

Per le particelle sferiche:

( ) ( )

1 2 1 * 2 * * 18 0.591 − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + = p p t d d u [4.13]

Per particelle irregolari:

( )

( )

1 2 1 * 2 * * 18 2.335 1.744 − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ₋ + = p s p t d d u φ [4.14]

4.3.1 Letti attraversati da un flusso di solidi, ug> ut

I solidi molto fini, hanno una velocità terminale molto bassa, dell’ordine dei mm/s. Essendo le velocità del gas dell’ordine dei m/s, questi solidi vengono continuamente tracinati via dal letto e rimpiazzati da altri solidi. Al variare della ug e della ut posso

avere diversi tipi di reattori a solido sospeso. Approssimativamente la distribuzione dei solidi nel letto si può schematizzare come in figura 4.7.

Fig.4.7 Distribuzione verticale dei solidi in differenti regimi.

Come osservato, all’aumentare della velocità del gas, il “bubbling” diviene così violento che le bolle tendono ad agglomerarsi e a formare un nucleo al centro della regione densa, allo stesso tempo, la nuvola di particelle solide tende ad addensarsi sulle pareti del letto. In queste condizioni si crea una fluidizzazione veloce.

Aumentando ancora la velocità, lo strato alle pareti si assottiglia, e il letto entra nel regime di trasporto pneumatico.

In figura 4.8 si può vedere più chiaramente come il profilo longitudinale tipico di un CFB sia a forma di sigmoide.

Fig.4.8 Tipico profilo a forma di sigmoide del grado di vuoto nel riser di un CFB.

Si può notare la presenza di una zona densa, al fondo del riser, e una zona di trasporto diluita, nella parte superiore. Le due zone a differente densità sono collegate da una zona di transizione o “zona di flesso”. L’estensione relativa delle due zone dipende, fissata la geometria del riser e le caratteristiche della sospensione solido-gas, dai valori di velocità del gas e di portata di solido circolante. Fissata infatti una velocità del gas, la zona densa al fondo del riser sarà assente in presenza di portate di solido relativamente basse; aumentando il flusso di solido circolante si raggiungerà un valore critico (generalmente nominato “portata di saturazione” ed indicato con GS,sat) al di là del quale il gas non è più in grado di trasportare tutto il

solido e si ha la formazione di una regione a più alta concentrazione di particelle al fondo del riser. L’estensione di questa zona densa crescerà gradualmente

all’aumentare del GS per quella fissata velocità del gas. I profili radiali di

concentrazione di solido suggeriscono una struttura di flusso di tipo core-annulus: esiste cioè una parte centrale a concentrazione relativamente bassa (attraversato da particelle singole e, molto più spesso, da grappoli o scie di particelle) ed una zona densa alle pareti del riser dove il solido fluisce verso il basso.

4.3.2 Modello di contatto

Nel CFB, il solido si ripartisce in una regione densa in basso con frazione solida fd,

ed una diluita in alto, con frazione solida fl, che decresce con l’altezza, come in figura

4.9.

Nella regione densa, la concentrazione di solidi trovata può essere, nei vari regimi: bubbling bed fd=0.4 ~ 0.6

turbulent bed fd=0.2 ~ 0.4

fast fluidized bed fd=0.06 ~ 0.2

pneumatic transport fd=0.01 ~ 0.06

Fig.4.9 Modelli di contatto di un sistema gas solido

In un CFB possiamo individuare nella regione superiore più diluita tre fasi

1. Agglomerati di materiale denso che sale, di densità media ρ2 e velocità di

risalita u2;

2. Agglomerati di materiale denso di densità media ρ3 e solido che scende lungo

le pareti a velocità u3;

Questo modello include inoltre:

• Interazioni tra la miscela densa e diluita (con coefficiente di interscambio K1);

• Cambio di direzione dall’alto al basso (con coefficiente di interscambio K2).

In figura 4.10 è schematizzato il modello.

Le equazioni differenziali che rappresentano il modello sono le seguenti:

3 3 2 2 1 1 3 2 1 G G u ρ u ρ u ρ G Gs = s + s + s = + − [4.15]

(

2 ₃

)

1 1 1 1 ρ ρ ρ ρ _{= = +} K dz d u dt d l [4.16]

(

1 2 2 2 2

)

ρ ρ K K dz d u l + = − [4.17] 3 1 2 2 3 3 ρ ρ ρ K K dz d u l − = − [4.18]

Fig.4.10 Modello di trasporto dei solido

Risolvendo queste equazioni, Kunii e Levenspiel hanno dimostrato quanto segue: • In una colonna infinitamente alta la frazione di solido diminuisce

esponenzialmente dal valore fd al valore limite f*, tale valore rappresenta la

capacità di trasporto del gas (transport carryng capacity), questo significa che gli agglomerati di miscela densa si dissolvono nel flusso di gas;

• In una colonna più corta esiste una frazione di solido fex più alta del limite f*.

4.3.3 Bilanci materiali

Immaginiamo un CFB come in figura 4.11 avente una regione superione diluita, con frazione solida fl che decresce con l’altezza, e più in basso una regione densa avente

una frazione complessiva di solido costante fd, ma dove si possono a sua volta,

individuare due regioni, una diluita al centro con frazione solida fcore, e una più densa

alle pareti con frazione solida fwall.

Fig.4.11 Andamento della concentrazione dei solidi con l’altezza

Dagli studi sperimentali riportati in letteratura i parametri migliori stimati per i vari solidi utilizzati sono:

Dove a è la costante di decadimento per la frazione solida nella regione diluita.

f* è indipendente da ug ed è minore di 0.02 per solidi A secondo la classificazione di

Geldart e minore di 0.01 per solidi B.

fd decresce con ug e aumenta con dp, per la regione densa:

* f fcore ≈ [4.19]

(

−ε

)(

−δ

)

= 1 wall 1 wall f [4.20]

La frazione di solidi in uscita è molto inferiore a 1, quindi si può scrivere:

(

g t

)

s s ex u u G f − ≅ ρ [4.21]

(

d

)

(

l

)

ex f f f aH f = * + − * exp− [4.22] e si ricava l’altezza della regione diluita, e in funzione di essa quella della regione densa l t d H H H = − [4.23] 4.3.4 Prestazioni di un CFB

Consideriamo una reazione catalitica del primo ordine A→ R -r’’’A=k’’’CA o -r’A=k’CA

Con K’’’ e K’ costanti di reazione del primo ordine, rispettivamente su unità di volume e di massa di catalizzatore solido.

In figura 4.12 sono proposti alcuni modelli di reattore per i vari regimi di contatto:

Per un letto alla minima fluidizzazione è stato assunto un Plug Flow: A plug plug A g f k C dz dC u = η ' '' − [4.24] Integrando, per un plug flow, ηplug=1, si ottiene:

t g t g plug plug Ad Ao A u W k u H k f C C ''' ' ln = = [4.25] Per un BFB e le sue tre zone rappresentate in figura 4.12, è stato assunto un moto ascendente delle bolle, ma non un flusso attraverso i cloud e l’emulsione, ma solo interscambi Kbc e Kce, coefficienti di scambio del gas da una zona all’altra, nello

specifico tra la zona di bolle e cloud e tra la zona di cloud ed emulsione. L’integrale dell’espressione di conversione diventa:

g BFB e ce BFB c bc BFB b Aex A u H k f K k f K k f C C ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + = ' '' 1 1 1 '' ' 1 1 1 '' ' ln 0 δ δ [4.26]

Per un letto denso di altezza HBFB e contenente la stessa quantità di solido ma con

distribuzione uniforme, e con un flusso a pistone del gas, abbiamo:

(

)

BFB g BFB e c b Aex Ao u H k f f f C C ''' _η ln = + + [4.27] e l’efficienza è: e c b e ce BFB c bc BFB b BFB f f f f K k f K k f + + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + = 1 '' ' 1 1 '' ' 1 δ δ η [4.28]

Per la fast fluidization sono state usate relazioni differenti nella regione diluita e in quella densa.

fb ⇒ fcore, fc+fe ⇒ fwall

Kce⇒∞ Kbc⇒Kcw

Quindi, l’espressione di performance di un BFB, per un FF, diventa:

g FF d wall cw FF d core Ad Ao u H k f K k f C C , , ' '' 1 1 1 '' ' ln ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + = δ [4.29]

Le varie costanti che appaiono in questa espressione non sono ancora conosciute; tuttavia, a oggi, le migliori stime fatte sono:

01 . 0 * ≅ ≅ f f_core 9 . 0 6 . 0 ,FF = − d δ 1 20 5− − = s Kcw 6 . 0 5 . 0 − ≅ ≅ mf wall ε ε

Per la regione diluita del FF reactor di altezza Hl, e frazione solida decrescente con

altezza, possiamo scrivere:

A l l A g f k C dz dC u = η ' '' − [4.30] L’efficienza per un FF, TB, e BFB non sono ancora ben conosciute, tuttavia alcuni studi hanno mostrato che l’efficienza nella regione diluita, può essere rappresentata dall’equazione esponenziale:

(

d

) (

l

)

l =1− 1−η exp−bz

η [4.31] con b=6.62 m-1 _{ricavata sperimentalmente.}

Con opportune sostituzioni, e nel caso eccezionale in cui ηd=1 (solido diluito, alta

velocità del gas e trasporto pneumatico),l’espressione diventa:

(

)

₍

aHl g d g l Aex Ad e a u f f k u H f k C C ₋ − − + = ' '' ' '' 1 ln * *

)

[4.32] E infine la conversione: 0 0 A Ad Ad Aex A Aex C C C C C C = [4.33]

0 1 A Aex Aoverall C C X = − [4.34] Per un trasporto pneumatico tutte le particelle sono assolutamente disperse nel gas, questo rende il contatto ideale, quindi, il gas, con un flusso a pistone, sale lungo il reattore con un efficienza di contatto:

ηd=ηl= 1 [4.35]

E l’espressione per un flusso a pistone è data da:

(

)

g l l d d Aex Ao u k H f H f C C ' '' ln = + [4.36]

L’affidabilità delle predizioni fatte dipende ragionevolmente dal modello e dal valore dei parametri scelti.