Capitolo 4 Prima Ottimizzazione

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Prima Ottimizzazione

In questo capitolo si espone la prima parte del lavoro sperimentale condotto nel corso dello stage; essa si compone di una serie di test, svolti allo scopo di determinare la migliore combinazione di funzione costo e vincoli per l’ot-timizzazione, e di un calcolo di ottimizzazione vero e proprio, svolto presso il Centro di Calcolo di Piaggio Aero. I dati iniziali e i principali risultati ottenuti sono riportati caso per caso, in ordine cronologico di realizzazione.

4.1 I test

Nel capitolo precedente sono stati esposti alcuni elementi utili per compren-dere i meccanismi di funzionamento dell’ottimizzatore e guidare nella scelta della funzione obiettivo e dei vincoli. Nell’esercizio della pratica, un buon livello di conoscenza di un programma si acquisisce spesso in seguito ad un processo di “trial and error”, ovvero di apprendimento per tentativi. Il caso presente non fa eccezione; infatti la prima parte del lavoro di sperimentazione `e consistita nella realizzazione di una serie di test, cio`e di ottimizzazioni parziali, inevitabilmente incomplete, allo scopo di determinare la migliore combinazione di parametri per l’ottimizzazione finale. Da tali prove si in-tende ricavare informazioni di tipo qualitativo, ad esempio sulla convergenza della funzione obiettivo, o sulle forme assunte dalle configurazioni che sono risultate vincenti, piuttosto che dati quantitativi definitivi.

4.1.1 Dati preliminari

Il primo dato che caratterizza ciascuno dei test svolti, dei quali sono riportati nel seguito solo i più significativi, è il tempo di calcolo: per avere la possibilità di relizzarne un numero congruo in un tempo ragionevole, le ottimizzazioni

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Figura 4.1: Bounding box (in blu) e bumper box (in rosso).

sono state interrotte dopo un tempo di calcolo di tre giorni su un Intelr Pentium IV 2.6 GHz, 512 MB RAM. Orientativamente, in questo tempo l’ottimizzatore analizza un numero di generazioni nell’ordine delle 250; questo valore ha comunque mostrato significative variazioni da caso a caso.

La mesh `e la stessa descritta in sezione 3.4: circa 110000 nodi e 500000 elementi tetraedrici, dominio semicilindrico di lunghezza pari a 35 · m.a.c. con calotta a settore sferico di raggio 18 · m.a.c. centrata sul vertice anteriore della fusoliera (figura 3.3 e seguenti). Il bounding box e il bumper box (vedi sezione 2.3) sono mostrati in figura 4.1.

Il bounding box `e adiacente all’ala, ne segue la forma in pianta e

l’orienta-mento nello spazio; la sua estensione in y va dal punto pi`u esterno del canard

(senza contare l’arrotondamento all’estremit`a) fino al punto di giunzione con il raccordo. Come noto (vedi sezione 2.4.1), la parametrizzazione prevede che l’estensione in y dei boxes sia data in termini di valore massimo e minimo;

ciò comporta che alcuni nodi giacenti sulla parte più interna e più a monte

(rispetto alla direzione del flusso) della superficie dell’ala risultino esterni al dominio di deformazione, e perci`o che la geometria di questa ridotta porzione

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Figura 4.2: Punti di controllo (6-4-1)

di ala resti estranea all’ottimizzazione. Ci`o rappresenta un limite ritenuto accettabile.

Il bumper box è costruito in modo tale da garantire un margine sufficiente per non avere una eccessiva distorsione degli elementi, e da non contenere nessun nodo appartenente alla superficie della fusoliera: cos`ı l’ottimizzazione non influisce assolutamente sulla forma di quest’ultima, rispettando il vin-colo geometrico preimposto, mentre il raccordo assolve la funzione che gli è propria, cioè di garantire la continuità tra i canard e la fusoliera.

I 70 punti di controllo, rappresentati in figura 4.2, dividono i lati del bounding box in 6 sezioni in direzione della corda, 4 sezioni in apertura e 1 in direzione dello spessore; i gradi di libertà ad essi associati corrispondono con lo spostamento in direzione z di tutti i punti di controllo, eccetto quelli adiacenti ai bordi di attacco e d’uscita dell’ala (figura 4.3). In questo mo-do vengono imposti i due vincoli geometrici di mantenimento della forma in pianta dell’ala e della geometria dei bordi di attacco e d’uscita; in pratica, all’ottimizzatore è consentito di agire modificando la forma e lo spessore dei profili alari, fatto salvo il mantenimento del volume interno del cassone alare. Lo spostamento consentito per ciascun punto di controllo non è

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sostanzial-Figura 4.3: Gradi di libert`a associati ai punti di controllo (la × indica che lo spostamento del relativo punto di controllo non `e consentito)

mente limitato (il valore massimo `e pari a 10 m), mentre quello imposto in fase di inizializzazione del simplesso vale 0.1 m.

La condizione del flusso esaminata `e una sola: M∞ = 0.75, angolo di

incidenza del flusso asintotico (rispetto all’asse x) α = 1◦

; questa è una condizione realisticamente poco appropriata per il P180 (la cui velocità mas-sima è inferiore a M = 0.7), ma come si è detto, i test devono fornire in-formazioni qualitative e non quantitative. In fase di ottimizzazione vera e propria, maggiore attenzione sarà posta nella scelta delle condizioni da simulare.

4.1.2 Test n.1

Funzione costo

Come primo tentativo, `e stata utilizzata una funzione costo molto simile a quella gi`a testata con successo in Pinelli et al. [1]:

J = (CD/CD0)

(CL/CL0)

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penal(CL) = max(0, −(CL− CL0))

penal(Vol ) = max(0, −(Vol − Vol0))

penal(CLiY) = max(0, (CLiY − CLiY 0))

Gli obiettivi di Pinelli et al. [1] erano sostanzialmente identici a quelli che si intendono perseguire qui, e lo stesso vale per i vincoli, ma il caso analizzato in [1] si differenziava da questo in almeno due aspetti: in primo

luogo, le condizioni del flusso erano a pi`u alto numero di Mach; inoltre, il

modello consisteva in una semplice semiala, senza fusoliera — anche se il tipo di deformazione consentita all’ala (variazione della forma e spessore dei profili alari, forma in pianta dell’ala mantenuta) era lo stesso del caso presente. Storia di convergenza

In figura 4.4 `e riportata la storia di convergenza della funzione costo, ovvero l’insieme dei valori assunti da J per ciascun individuo in ciascun passo di iterazione (nel seguito indicato con generazione) dell’algoritmo di ottimiz-zazione1

; la configurazione vincente si ha alla generazione 209, con un valore

della funzione costo pari a Jwin' 0.66. Questo valore `e estremamente basso,

e indica un aumento di efficienza pari al 51%; purtroppo, questo dato non `e realisticamente significativo, come si vedr`a nel seguito.

Variazione dei coefficienti aerodinamici

In figura 4.5 sono riportati gli andamenti di CL e CD nel corso

dell’ottimiz-zazione, ovvero l’insieme dei valori assunti dai due coefficienti per le diverse configurazioni vincenti che via via risultano dal programma; nella figura 4.5, questi valori sono rappresentati graficamente mediante i puntini blu, mentre la linea rossa tratteggiata `e il polinomio di terzo grado che meglio approssima l’insieme dei dati, ottenuto con il metodo dei minimi quadrati.

Questo tipo di schema si `e rivelato estremamente utile per la compren-sione delle direzioni preferenziali che guidano l’ottimizzatore verso la ricerca delle soluzioni vincenti. L’andamento della sola funzione costo, infatti, non

`e un dato sufficientemente completo, tanto pi`u che lo scopo del test consiste

appunto nel verificare che la funzione scelta sia adatta a rappresentare gli

obiettivi, espressi in termini di variazione di CL e CD.

1_{In figura 4.4 come in tutte le figure analoghe che compariranno nel seguito, il valore}

massimo di J riportato nel grafico `e pari a 1.2. Questo perch´e valori molto alti di J non sono significativi (la gran parte delle volte sono dovuti a un vincolo non rispettato); la scelta di non rappresentarli graficamente permette di utilizzare la stessa scalatura degli assi in questo tipo di grafici, e quindi di renderli confrontabili tra loro a vista d’occhio.

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0 50 100 150 200 250 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 generations Y

(7)

0 50 100 150 200 250 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 generations C L 0 50 100 150 200 250 0.008 0.009 0.01 0.011 0.012 0.013 0.014 generations C D

(8)

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 0 0.2 0.4 0.6 0.8 (a) (b) (c) (d) Y C L ORIGINAL OPTIMIZED 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Y C L * c (a) (b) (c) (d) ORIGINAL OPTIMIZED

Figura 4.6: Test 1 — Distribuzione di portanza in apertura

In questo caso, il risultato `e certamente non positivo: infatti l’aumento

di efficienza `e accompagnato da una crescita spropositata sia di CD che di

CL, i cui valori aumentano rispettivamente del 49% e addirittura del 124%;

ci`o, ovviamente, non rientra affatto nell’ottica verso cui si `e orientati. Configurazione originale e ottimizzata: confronto

In figura 4.6 sono riportati i coefficienti di portanza bidimensionali C` e

C`· c calcolati su diverse sezioni del canard con piani perpendicolari all’asse

y; l’aumento di C` `e notevole lungo tutta l’apertura, ma `e maggiore nelle

sezioni pi`u interne. Infatti, il massimo della curva della distribuzione di

portanza in apertura si sposta dalla sezione (c) verso la (b), tendendo anche

a “ellitticizzare” la distribuzione di C` · c (quella originale appare piuttosto

sbilanciata verso l’estremit`a); aumenta cos`ı l’efficienza del canard dal punto di vista della resistenza indotta.

(9)

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

Cp at y =0.7142, dchord =0, thick0=0.13169, thick1=0.16928

x (m) − Cp ORIG OPTIM (a) −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

x (m)

− Cp

ORIG OPTIM

(b)

(10)

0 0.5 1 1.5 2 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x (m) − Cp ORIG OPTIM (c) 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

x (m)

− Cp

ORIG OPTIM

(d)

(11)

Figura 4.8: Test 1 — Cp sul dorso dell’ala

vincente con i relativi Cp, presi su quattro sezioni significative (segnalate

anche in figura 4.6 e contraddistinte dalle lettere a, b, c, d), dalla radice verso l’estremit`a. Si nota un forte aumento della curvatura con un flesso

della linea media per i due profili pi`u interni, un profilo “supercritico” con

dorso piatto nella sezione (c), e in estremit`a un profilo a curvatura negativa con due punti di flesso della linea media. Un forte aumento dell’angolo di bordo d’uscita `e visibile in tutti e quattro i casi; esso produce forti suzioni sul retro di tutti i profili esaminati.

Questo appare evidente all’esame della figura 4.8: c’`e una suzione molto forte immediatamente a monte del bordo d’uscita, che si estende lungo

tut-ta l’apertura; c’`e poi anche un secondo picco di aspirazione situato pi`u o

meno nel centro dell’ala, e una ricompressione nella parte mediana dei

pro-fili di estremit`a; nell’insieme, la distribuzione del Cp sulla superficie

dor-sale appare piuttosto incoerente, e certamente incompatibile con il corretto funzionamento del dispositivo.

4.1.3 Test n.2

Funzione costo

Si `e visto come il test n.1 sia risultato insoddisfacente: nella ricerca di una soluzione che presenta elevata efficienza aerodinamica, le configurazioni

(12)

0.024 0.026 0.028 0.03 0.032 0.034 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 C_L penal (C L )

Figura 4.9: Test 1 e 2 — Funzioni di penalizzazione a confronto 4.5). Per ovviare a questo effetto indesiderato, si `e deciso di cambiare la

funzione di penalizzazione del CL come riportato nel seguito:

J = (CD/CD0)

(CL/CL0)

+ penal(CL) + penal (Vol ) + penal(CLiY)

penal (CL) = 10 4

· max[0, (|CL− CL0| − 0.05 · CL0)] 2

In questo modo la funzione costo permette una variazione —

indistinta-mente positiva o negativa — di CL entro un intervallo del ±5% intorno al

valore originale, ma penalizza le configurazioni caratterizzate da variazioni del CL oltre questa soglia. In figura 4.9 la penal (CL) `e rappresentata

grafica-mente (linea rossa) in funzione di CL, sovrapposta alla penal (CL) utilizzata

nel test n.1 (linea blu); come si vede, la penalizzazione `e relativamente molto elevata.

`

E importante evidenziare anche il fatto che la penalizzazione sia applica-ta in maniera graduale, con una legge quadratica; in un altro test, era sapplica-taapplica-ta provata una funzione “a gradino”, ed era successo che, anche in un discre-to numero di iterazioni, il programma non era riuscidiscre-to a generare nessuna

configurazione che rispettasse pienamente il vincolo sul CL. Una legge del

tipo di quella presente costituisce invece un vincolo “elastico”, che consente all’ottimizzatore di cercare inizialmente le soluzioni vincenti anche tra quelle che violano le condizioni imposte; proseguendo con le iterazioni, la funzione

costo andr`a automaticamente a convergenza portando a zero la penal(CL).

L’entit`a della penalizzazione deve dunque non essere troppo elevata, per non rendere eccessivamente difficoltosa la ricerca delle configurazioni vincenti, ma nemmeno troppo bassa, per dare una adeguata convessit`a alla funzione costo.

(13)

0 50 100 150 200 250 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 generations Y

Figura 4.10: Test 2 — Storia di convergenza di J Storia di convergenza

In figura 4.10 `e riportata la storia di convergenza della funzione costo; la con-figurazione vincente si ha alla generazione 234, con un valore della funzione

costo pari a Jwin ' 0.940, che equivale ad un aumento di efficienza pari al

7.3%.

dell’ottimiz-zazione; il risultato coincide con l’indirizzo che ci si era proposto: mano a mano che l’ottimizzatore procede e seleziona le configurazioni migliori, il

CL si stabilizza intorno a un valore di poco superiore alla soglia consentita,

mentre il CD tende progressivamente a diminuire. La soluzione vincente `e

caratterizzata da un aumento del CLpari a circa l’8%, a fronte di una crescita

(14)

0 50 100 150 200 250 0.029 0.0295 0.03 0.0305 0.031 0.0315 0.032 0.0325 generations CL 0 50 100 150 200 250 8.45 8.5 8.55 8.6 8.65 8.7x 10 −3 generations C D

(15)

Figura 4.12: Test 2 — Distribuzione di portanza in apertura Configurazione originale e ottimizzata: confronto

In figura 4.12 `e riportato l’andamento dei coefficienti di portanza

bidimen-sionali C` e C` · c in apertura; aumenta il C` dei profili pi`u interni, mentre

diminuisce all’estremit`a, e tende a ellitticizzarsi la distribuzione di C`· c, cosa che migliora l’efficienza del canard dal punto di vista della resistenza indot-ta. Gli aumenti sono comunque contenuti, quindi i profili alari si trovano a lavorare a regimi di flusso abbastanza simili a quelli di partenza.

Analizzando la figura 4.13, si evidenzia un fatto: i profili dorsali del Cp

per la configurazione ottimizzata non differiscono sostanzialmente da quel-li originaquel-li, se non per un quel-lieve aumento dell’aspirazione che si manifesta

nelle sezioni pi`u interne (figura 4.14), mentre avviene un cambiamento

sig-nificativo nell’andamento del Cp sul ventre, con la comparsa di una forma

oscillatoria (aspirazione – compressione – riaspirazione – ricompressione) pi-uttosto marcata (figura 4.15). Il risultato `e quindi estremamente positivo per quanto riguarda la pressione sul dorso del canard, mentre non `e accettabile un andamento della pressione sul ventre come quello emerso.

(16)

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 −1

−0.5 0 0.5

x (m) − Cp ORIG OPTIM (a) −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6

x (m)

− Cp

ORIG OPTIM

(b)

(17)

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6

x (m) − Cp ORIG OPTIM (c) −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 −1 −0.5 0 0.5

x (m)

− Cp

ORIG OPTIM

(d)

(18)

(19)

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 X Y Original Optimized

Figura 4.16: Test 2 — Profili originali e ottimizzati

Per quanto riguarda la deformazione dei profili, che certamente `e molto

pi`u contenuta che nel caso precedente, si possono evidenziare una serie di

elementi (figura 4.16):

• lo spessore dei profili aumenta alla radice e diminuisce verso l’estremit`a; • l’angolo di bordo d’uscita aumenta nei profili di radice e diminuisce in

quelli pi`u esterni;

• si ha la comparsa al tip di profili la cui linea media presenta un flesso. Nel complesso i risultati, per quanto migliorati rispetto al test precedente, non possono essere ancora considerati soddisfacenti, in particolare a causa

(20)

Figura 4.17: Test 3 — Gradi di libert`a associati ai punti di controllo

della distibuzione ventrale del Cp e per la comparsa di profili a doppia

curvatura.

4.1.4 Test n.3

Punti di controllo

Nel caso precedente, alcuni inconvenienti avevano inficiato la bontà della soluzione vincente: in particolare, la comparsa di profili a doppia curvatura all’estremità del canard ; questo fatto è stato spiegato in prima analisi come un tentativo da parte dell’ottimizzatore di aumentare l’angolo di incidenza di tali profili (in quanto la parte centrale della linea media risulta ruotata in senso orario rispetto all’originale), impedito dal fatto che lo spostamento dei punti di controllo estremi non è consentito (figura 4.3).

Per verificare se questa spiegazione è corretta, si è deciso di “liberare” anche i punti di controllo prima bloccati, ma imponendo uno spostamento iniziale 100 volte più piccolo (10−3

m) rispetto a quello applicato agli altri (figura 4.17). Il motivo di questa scelta `e il seguente: si era visto che, im-ponendo uno spostamento piccolo in fase di inizializzazione, i risultati erano

pi`u o meno gli stessi di quelli ottenuti dando valori pi`u alti, ma l’evoluzione

avveniva in maniera pi`u lenta, ovvero valori paragonabili dei coefficienti

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0 50 100 150 200 250 300 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 generations Y

Figura 4.18: Test 3 — Storia di convergenza di J

Imporre quindi spostamenti iniziali differenziati come in questo caso serve a “spingere” l’ottimizzatore verso la ricerca di soluzioni simili a quelle gi`a viste, dandogli comunque la possibilit`a di agire sullo svergolamento se questo si riv-elasse particolarmente conveniente; in altre parole, lo spostamento dei bordi

di attacco e d’uscita non viene pi`u impedito, ma inibito.

La funzione costo utilizzata `e la stessa del test n.2. Storia di convergenza

In figura 4.18 `e riportata la storia di convergenza della funzione costo; la con-figurazione vincente si ha alla generazione 285, con un valore della funzione

costo pari a Jwin ' 0.937, che equivale ad un aumento di efficienza pari al

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0 50 100 150 200 250 300 0.029 0.03 0.031 0.032 0.033 generations C L 0 50 100 150 200 250 300 8.45 8.5 8.55 8.6 8.65 8.7 8.75x 10 −3 generations C D

Figura 4.19: Test 3 — Andamento di CL e CD

dell’ottimiz-zazione; di nuovo, il CL si stabilizza intorno a un valore di poco superiore

alla soglia consentita, mentre il CD, dopo l’iniziale crescita, tende a diminuire

rapidamente. A confronto con il caso precedente i risultati sono migliori, con

un aumento del CL pari a circa l’8% a fronte di una crescita del CD dello

0.4%.

Configurazione originale e ottimizzata: confronto

Per quanto riguarda l’andamento dei coefficienti di portanza bidimensionali

C` e C`· c in apertura, non ci sono significative variazioni rispetto al caso

precedente. Osservando la figura 4.21, si nota innanzitutto un maggiore

cambiamento dei profili dorsali del Cp rispetto al caso precedente: il picco

delle aspirazioni si abbassa — tranne che nella sezione (a) — ma la risultante delle pressioni aumenta perch`e cresce il carico aerodinamico sul retro, anche

(23)

(24)

per la maggiore pressione sperimentata sul ventre; l’andamento del Cp sul ventre del canard `e abbastanza corretto.

La distribuzione del Cp sulla superficie dorsale appare pi`u “smussata”,

con un abbassamento del picco di aspirazione e una ricompressione pi`u

grad-uale (figura 4.22); il carico aerodinamico agente sul canard si sposta verso l’interno; tutti questi risultati sono da considerarsi positivi.

Per quanto riguarda la deformazione dei profili (figura 4.23), il primo fatto da notare `e che i bordi di attacco e d’uscita non si sono deformati : infatti, gli spostamenti dei relativi punti di controllo sono dell’ordine dei 10−5

m, cio`e due ordini di grandezza inferiori a quelli iniziali. In compenso, la configurazione ottimizzata non presenta nessuno degli elementi negativi che si riscontravano nei casi precedenti, come la comparsa di profili a doppia

curvatura. Quindi l’attivazione dei gradi di libert`a in pi`u ha mostrato non

solo che l’ottimizzatore considera non conveniente la variazione dello sver-golamento dei profili, ma anche che questa attivazione sembra produrre un effetto stabilizzante dal punto di vista geometrico sulla soluzione.

Si riconoscono poi alcuni tratti distintivi molto simili a quelli vesti nel test n.2:

• lo spessore dei profili non varia di molto, ma si assiste ad un innalza-mento del dorso alla radice e ad un abbassainnalza-mento sia del dorso che del ventre all’estremit`a;

• l’angolo di bordo d’uscita aumenta nei profili di radice e diminuisce in quelli pi`u esterni;

4.1.5 Test n.4

Funzione costo

Dopo i risultati positivi ricavati dal test n.3, si `e voluto indagare sul peso che considerazioni di valore numerico-computazionale hanno nella scelta della funzione costo. L’analisi dell’errore svolta alla sezione 3.6 ha evidenziato come una “buona” funzione costo da questo punto di vista debba essere caratterizzata da:

1. basso errore random; 2. alta escursione.

Tra le diverse f (CL, CD) considerate, `e stata quindi scelta quella che

(25)

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6

x (m) − Cp ORIG OPTIM (a) −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6

x (m)

− Cp

ORIG OPTIM

(b)

(26)

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6

x (m) − Cp ORIG OPTIM (c) −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 −1 −0.5 0 0.5

x (m)

− Cp

ORIG OPTIM

(d)

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J = (CD/CD0)

(CL/CL0)2

+ penal(CL) + penal (Vol ) + penal(CLiY)

penal (CL) = 10 4

· max[0, (|CL− CL0| − 0.05 · CL0)] 2

Si osserva che, stando alla valutazione riportata in sezione 3.6, questa funzione costo produce un errore numerico maggiore delle precedenti. Le stesse impostazioni del test n.3 sono state utilizzate per quanto riguarda la scelta dei gradi di libert`a.

Storia di convergenza

In figura 4.24 `e riportata la storia di convergenza: la configurazione vin-cente si ha alla generazione 225, con un valore della funzione costo pari a

Jwin ' 0.861; questo valore, apparentemente molto basso, non `e

diretta-mente paragonabile ai precedenti a causa della diversa forma di f (CL, CD).

Difatti, l’aumento di efficienza `e limitato all’8.5%, valore paragonabile a quelli riscontrati in precedenza.

(28)

(29)

0 50 100 150 200 250 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 generations Y

(30)

0 50 100 150 200 250 8.45 8.5 8.55 8.6 8.65 8.7 8.75 8.8x 10 −3 generations C D 0 50 100 150 200 250 0.029 0.03 0.031 0.032 0.033 0.034 0.035 generations C L

Figura 4.25: Test 4 — Andamento di CL e CD

In figura 4.25 sono riportati gli andamenti di CLe CD; a fronte di un aumento

del CL pari al 10.5%, pi`u alto dei precedenti — probabilmente evitabile se

si fosse aumentata adeguatamente l’entit`a della penal(CL) — la crescita del

CD si attesta all’1.9%.

In figura 4.26 `e riportato l’andamento dei coefficienti di portanza bidimen-sionali C`e C`· c in apertura; in figura 4.27 sono invece riportati i profili

orig-inali e ottimizzati, e i relativi Cp. Le uniche differenze sostanziali, rispetto

alle omologhe figure relative al caso precedente, sembrano essere l’aumento del picco di aspirazione e il miglioramento dell’andamento della pressione sul

ventre dei profili. La figura 4.28 mostra che la “campana” del Cp si allarga,

(31)

(32)

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6

x (m) − Cp ORIG OPTIM (a) −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6

x (m)

− Cp

ORIG OPTIM

(b)

(33)

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

x (m) − Cp ORIG OPTIM (c) −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6

x (m)

− Cp

ORIG OPTIM

(d)

(34)

In conclusione, i risultati di questo test non sono particolarmente incorag-gianti. Il guadagno che si sperava di ottenere in termini di maggiore velocità di convergenza e di qualità della soluzione vincente non avviene, anzi l’al-goritmo si dimostra lento e mostra particolare difficoltà a convergere, come dimostra il numero molto basso di configurazioni vincenti (7 su 249).

4.1.6 Test n.5

Funzione costo

Rispetto al test n.4, si `e tentata qui una strada diversa per la ricerca di una

funzione costo con buone proriet`a numeriche; la f (CL, CD) scelta `e quella

che minimizza l’errore random:

J = 2 − (CL/CL0)

(CD/CD0)

+ penal (CL) + penal(Vol ) + penal (CLiY) penal (CL) = 10

4

· max[(|CL− CL0| − 0.05 · CL0), 0] 2

Questa funzione presenta anche un’escursione lievemente maggiore di quella del test n.3. La scelta dei gradi di libert`a `e la stessa dei test n.3 e 4.

(35)

0 50 100 150 200 250 300 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 generations Y

Figura 4.29: Test 5 — Storia di convergenza di J Storia di convergenza

In figura 4.29 `e riportata la storia di convergenza: la configurazione vin-cente si ha alla generazione 290, con un valore della funzione costo pari a

Jwin ' 0.927, che equivale ad un aumento di efficienza pari all’8.4%. Il

nu-mero di configurazioni vincenti è relativamente elevato (13 su 295), segno che l’algoritmo di ottimizzazione converge con più facilità rispetto agli altri casi. Variazione dei coefficienti aerodinamici

In figura 4.30 sono riportati gli andamenti di CLe CD; a fronte di una crescita

del CLpari all’8.5%, l’aumento del CD `e solo dello 0.13%. Questo risultato `e

il migliore finora verificatosi: si ottiene un aumento di portanza praticamente senza “pagarlo” in termini di resistenza.

(36)

0 50 100 150 200 250 300 0.029 0.03 0.031 0.032 0.033 generations C L 0 50 100 150 200 250 300 8.45 8.5 8.55 8.6 8.65 8.7 8.75x 10 −3 generations C D

(37)

Figura 4.31: Test 5 — Distribuzione di portanza in apertura Configurazione originale e ottimizzata: confronto

In figura 4.31 è riportato l’andamento dei coefficienti di portanza bidimen-sionali Cè C`· c in apertura; il grafico è del tutto simile agli altri dello stesso tipo. In figura 4.32 sono invece riportati i profili originali e ottimizzati, e i

relativi Cp; si notano l’abbassamento dei picchi di aspirazione, il buon

an-damento della pressione sul ventre, e l’aumento del carico aerodinamico sul

retro sui profili. La figura 4.33 mostra che la “campana” del Cp si allarga e

si sposta verso l’interno; anche i gradienti di pressione sono meno elevati. Per quanto riguarda la deformazione dei profili (figura 4.34) risulta che: • lo spessore dei profili aumenta alla radice e diminuisce all’estremit`a,

ma le variazioni sono minime;

• il dorso dei profili si innalza alla radice e si abbassa ed appiattisce verso l’estremit`a;

(38)

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 −1

−0.5 0 0.5

x (m) − Cp ORIG OPTIM (a) −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6

x (m)

− Cp

ORIG OPTIM

(b)

(39)

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6

x (m) − Cp ORIG OPTIM (c) −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 −1 −0.5 0 0.5

x (m)

− Cp

ORIG OPTIM

(d)

(40)

• l’angolo di bordo d’uscita aumenta nei profili interni e diminuisce in quelli pi`u esterni;

• i bordi di attacco e d’uscita rimangono fissi.

Questi ultimi risultati sono i migliori visti finora sotto tutti gli aspetti, e per questa ragione le impostazioni di questo caso sono state utilizzate per l’ottimizzazione, di cui si scriver`a nella sezione successiva.

4.2 Ottimizzazione n.1

Dopo avere svolto i test preliminari di cui alla sezione precedente, si `e pro-ceduto a realizzare un calcolo di ottimizzazione completo; si sono analizzate due condizioni plausibili di volo in crociera, e il numero di generazioni `e stato fissto a 1000. Le impostazioni sono state riprese in gran parte da quelle del test n.5, e sono elencate nel seguito.

• Mesh tetraedrica, 500000 elementi circa (vedi sezione 3.4)

• Condizione 1: M = 0.7, α = 0◦

• Condizione 2: M = 0.6, α = 1◦

• Funzione costo J = (J1+ J2)/2, con:

Ji = 2 −

(CLi/CL0) (CDi/CD0)

(41)

(42)

penal (CL) = 104· max[(|CLi− CL0| − 0.05 · CL0), 0]2

penal (CLiY) = max(0, (CLiY, i− CLiY 0))

• Algoritmo del simplesso (Nelder e Mead [3]), 1000 generazioni • Bounding box e bumper box come in figura 4.1

• Punti di controllo 6-4-1 (figura 4.2)

• Gradi di libert`a e spostamenti iniziali come in test n.3 e seguenti (figura 4.17)

Storia di convergenza

In figura 4.35 `e riportata la storia di convergenza: la configurazione vincente

si ha alla generazione 994, con un valore della funzione costo pari a Jwin '

0.859; questo valore equivale ad un aumento di efficienza del 26.8% nella prima condizione e del 12.27% nella seconda. Le 1000 generazioni sono state calcolate in un tempo macchina di 20 giorni, su un Intelr Xion 2.8 GHz, 1.5 GB RAM.

In figura 4.36 sono riportati gli andamenti di CL e CD per entrambe le

con-dizioni; i dati sono rappresentati sullo stesso grafico: i valori pi`u alti di CL e

CD si riferiscono evidentemente al caso numero 2, in cui l’angolo di incidenza

`e maggiore. Come si vede, in entrambi i casi si ha una crescita del CLinsieme

a un calo del CD; per quanto questo dato sembri in linea con gli obiettivi,

si vedr`a subito che, anche limitatamente a quanto concerne la variazione dei coefficienti aerodinamici, questo risultato non `e da considerarsi positivo.

A M = 0.7, α = 0◦

il CLaumenta del 25.5% e il CDdiminuisce dell’1.07%,

mentre a M = 0.6, α = 1◦

le stesse variazioni valgono rispettivamente il

+11.9% e il −0.31%. La crescita del CL eccede nettamente, in entrambe

le condizioni e fin dalla prima configurazione vincente (generazione 172), il limite dato dal vincolo, diversamente che nel test n.5; la differenza tra questi due casi risiede nel fatto che l’ottimizzazione viene svolta a valori di incidenza e di velocit`a minori rispetto a quelli dei test, quindi si hanno due effetti:

1. perdita di efficacia della penal (CL) a causa del valore minore assunto

dal CL (nella prima condizione);

2. riduzione della resistenza d’onda a causa del minor valore di M∞

(43)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 generations Y

(44)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 generations C L 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9x 10 −3 generations C D

(45)

Il primo riduce la penalizzazione e perci`o permette una maggiore

vari-azione del CL (oltre il limite del 5%); il secondo consente di avere profili

con forti aspirazioni e brusche ricompressioni, aumentando il margine oltre il quale essi risentono delle conseguenze negative della comprimibilit`a: in

en-trambe le condizioni, infatti, M∞ `e inferiore al Mach critico. In ogni caso,

per quanto i risultati siano distanti dagli obiettivi proposti, essi indicano che il potenziale margine di guadagno in termini di efficienza `e molto grande e, in particolare, riguarda la riduzione di resistenza indotta.

In figura 4.37 e 4.38 sono riportati gli andamenti dei coefficienti di portanza

bidimensionali C`e C`·c in apertura per le due condizioni di flusso esaminate;

i grafici sono molto simili tra di loro, eccetto ovviamente che per i diversi

val-ori assunti da C` alle diverse incidenze. Nelle figure `e tra l’altro riportata

(curva verde) l’ellisse la cui area sottesa equivale a quella della distribuzione

di C` · c ottimizzata: si vede che, in entrambi i casi, le due curve sono

ap-prossimativamente coincidenti, ad indicare che la distribuzione di portanza ottimizzata tende a minimizzare la resistenza indotta.

Si nota tra l’altro che la differenza di C` tra i profili ottimizzati e originali delle diverse sezioni assume praticamente lo stesso valore nelle due condizioni; dati i valori di riferimento differenti, si spiega perch`e la variazione relativa

di CL (o di efficienza) sia cos`ı diversa nei due casi. Si scopre quindi che

la deformazione dei profili produce un sistema portante che che va ad ag-giungersi alla distribuzione di portanza basica del canard, ma che non varia la distribuzione di portanza aggiuntiva (altrimenti la variazione relativa di

CL sarebbe stata simile nei due casi).

In figura 4.39 e 4.40 sono invece riportati i profili originali e ottimizzati, e i

relativi Cp calcolati nelle due condizioni. Per quanto riguarda

l’andamen-to del Cp sul dorso del canard, le differenze tra la configurazione originale

e quella ottimizzata sono molto profonde e assumono un carattere strana-mente incoerente: la sezione (a) conosce un forte innalzamento del picco di aspirazione e il suo spostamento sul retro; la (b) vede crescere l’aspirazione e aumentare il gradiente di pressione a valle del picco; la (c) evidenzia un abbassamento del picco e un aumento del carico aerodinamico sul retro, oltre

a mostrare un bordo d’attacco aguzzo che produce suzione per α = 1◦

; infine la sezione (d), fortemente assottigliata, produce una brusca aspirazione sul bordo d’attacco.

Sul ventre dei profili, invece, compare lungo buona parte dell’apertura

una forte oscillazione del Cp, simile a quella sperimentata nel test n.2, il cui

(46)

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 0 0.1 0.2 0.3 0.4 (a) (b) (c) (d) Y C L ORIGINAL OPTIMIZED 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Y C L * c (a) (b) (c) (d) ORIGINAL OPTIMIZED M = 0.7 α = 0° M = 0.7 α = 0°

Figura 4.37: Ottimizzazione 1 — Distribuzione di portanza in apertura (1a

(47)

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 0 0.1 0.2 0.3 0.4 (a) (b) (c) (d) Y C L ORIGINAL OPTIMIZED 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Y C L * c (a) (b) (c) (d) ORIGINAL OPTIMIZED M = 0.6 α = 1° M = 0.6 α = 1°

Figura 4.38: Ottimizzazione 1 — Distribuzione di portanza in apertura (2a

(48)

0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6

x (m) − Cp ORIG OPTIM M = 0.7 α = 0° (a) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6

x (m) − Cp ORIG OPTIM M = 0.7 α = 0° (b)

(49)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6

x (m) − Cp ORIG OPTIM M = 0.7 α = 0° (c) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4

x (m) − Cp ORIG OPTIM M = 0.7 α = 0° (d)

Figura 4.39: Ottimizzazione 1 — Profili originali e ottimizzati con relativo Cp (1a cond.)

(50)

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6

x (m) − Cp ORIG OPTIM M = 0.6 α = 1° (a) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6

x (m) − Cp ORIG OPTIM M = 0.6 α = 1° (b)

(51)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6

x (m) − Cp ORIG OPTIM M = 0.6 α = 1° (c) −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 −1 −0.5 0 0.5

x (m) − Cp ORIG OPTIM M = 0.6 α = 1° (d)

Figura 4.40: Ottimizzazione 1 — Profili originali e ottimizzati con relativo Cp (2a cond.)

(52)

`e un’onda d’urto). Una visione d’insieme si pu`o avere osservando le figure

4.41 e 4.42, dove sono riportati i Cp su entrambi i lati del canard ; appaiono

evidenti lo spostamento verso l’interno delle depressioni sul dorso, e la brusca ricompressione in atto sul ventre.

Per quanto riguarda la deformazione dei profili (figura 4.43):

• lo spessore dei profili aumenta alla radice e diminuisce all’estremit`a, con variazioni piuttosto nette;

• il dorso dei profili si innalza alla radice e si abbassa ed appiattisce verso l’estremit`a;

• la curvatura aumenta alla radice e diminuisce al tip;

• l’angolo di bordo d’uscita aumenta nei profili interni e diminuisce in quelli pi`u esterni;

• i bordi di attacco e d’uscita rimangono fissi.

Si ritrovano quindi le principali caratteristiche già emerse dai test, ma le variazioni geometriche sono in questo caso ingigantite ed esasperate, e rendono la configurazione ottimizzata inaccettabile sotto molteplici punti di vista. Una soluzione come quella emersa, infatti, non è compatibile con il mantenimento di buone proprietà dello strato limite (i forti sbalzi di pressione diminuirebbero l’energia dello strato limite, promuovendo la separazione del flusso) e certamente non potrebbe fornire buone prestazioni in alta incidenza.

4.3 Considerazioni conclusive

Alla fine di questo capitolo, dopo avere analizzato diversi risultati, `e possibile trarre un primo breve bilancio dell’esperienza accumulata:

• La configurazione originale `e caratterizzata da una distribuzione di por-tanza non ottimale dal punto di vista della minimizzazione della re-sistenza indotta. L’ottimizzatore genera sempre soluzioni che spostano verso l’interno il centro di pressione del canard, tendendo ad

“ellitticiz-zare” la portanza, aumentando cio`e il C` dei profili di radice e

diminu-endo quello dei profili di estremit`a. Una maggiore efficienza si ottiene

pi`u facilmente aumentando il CLpiuttosto che diminuendo il CD,

quin-di prevedere un’adeguata funzione quin-di penalizzazione `e fondamentale per

(53)

(54)

(55)

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 X Y orig optim

(56)

• L’ottimizzatore, con i gradi di libert`a che gli sono concessi, crea profili

con maggiore C` agendo su tre punti:

1. aumento dello spessore; 2. aumento della curvatura;

3. aumento dell’angolo di bordo d’uscita.

• L’ottimizzatore crea profili con minore C` attraverso:

1. diminuzione dello spessore; 2. diminuzione della curvatura.

Spesso si verifica che i profili con C`diminuito abbiano una linea media

che presenta un flesso.

• Date le caratteristiche del codice CFD utilizzato, e dato che le con-dizioni di volo analizzate sono in regime subcritico, dove la componente di resistenza dovuta alla comprimibilit`a `e molto bassa, le configurazioni caratterizzate da sbalzi di pressione anche molto forti (soprattutto sul ventre del canard ) non sono sufficientemente penalizzate, anzi spesso risultano vincenti. Questo problema sarebbe probabilmente ridotto se il flusso avvenisse in un regime transonico.

I risultati della prima ottimizzazione non sono, come si è detto, positivi; la configurazione vincente è caratterizzata da una deformazione troppo pesante del canard che non fornisce buone proprietà aerodinamiche. Si possono dare almeno due spiegazioni di questo fatto; a seconda dell’interpretazione ritenuta più pertinente, le strategie di intervento sono differenti.

La prima spiegazione è che il risultato sia scadente perché i controlli sulla soluzione sono insufficienti; il rimedio, in questo caso, consisterebbe nell’im-porre una serie di vincoli aerodinamici (valutazione della resistenza d’attrito, simulazione condizioni di alta incidenza e stallo dei profili) che garantiscano un maggiore controllo delle proprietà aerodinamiche della configurazione vin-cente. Resta inteso che implementare questo tipo di vincoli appesantirebbe inevitabilmente il processo di ottimizzazione, aumentando i già lunghi tempi di calcolo.

La seconda spiegazione `e che i margini di miglioramento della configu-razione originale, dal punto di vista della resistenza indotta, siano troppo ampi per il tipo di ottimizzazione realizzata. In altre parole, che sia fonte di errore cercare di ottenere un forte aumento di efficienza andando a modificare

(57)

agire attraverso gli strumenti pi`u “tradizionali” della progettazione aerod-inamica, come lo svergolamento dei profili, la rastremazione e l’angolo di freccia del canard.

L’interpretazione che si `e scelta, anche in collaborazione con il partner aziendale, `e stata la seconda, e il lavoro di tesi ha seguito la strategia con-seguente. Nel capitolo seguente sono riportati i risultati dei test e delle ottimizzazioni realizzati secondo questa filosofia.