Metodi di Controllo Avanzati
Prof. Laura Giarré
Laura.Giarre@UNIMORE.IT
https://giarre.wordpress.com/ca/
CA 2018-2019 Prof. Laura Giarré
Metodi di controllo avanzati
• Compensazione in avanti del riferimento
• Prefiltraggio del segnale di riferimento
• Controllo in cascata
• Compensazione in avanti di un disturbo misurabile
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Compensazione in avanti del riferimento
• Uno schema consente di unire i vantaggi del controllo in avanti
(feedforward), ovvero prestazioni ottime in condizioni nominali, con quelli del controllo in retroazione (feedback), ovvero robustezza
rispetto alle incertezze è il seguente
-
+
Progettato invertendo la dinamica dell’impianto, al fine di
avere inseguimento perfetto (e(t)=0) in condizioni nominali
Progettato al fine di garantire le specifiche del sistema retroazionato in maniera robusta rispetto ad incertezze sulla dinamica del sistema e rispetto
a disturbi esterni non noti +
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Compensazione in avanti del riferimento
• La funzione di trasferimento tra set-point e uscita si
modifica nel seguente modo:
-
+
Vecchia funzione di sensitività complementare (retroazione) Se
Poiché G(s) è strettamente propria, la ideale risulterebbe impropria e quindi non
fisicamente realizzabile. Tuttavia è possibile ottenere una funzione che approssima solo in un preciso intervallo frequenziale
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Compensazione in avanti del riferimento
• Si considera il dominio della frequenza
• La relazione dovrà essere soddisfatta per quelle
pulsazioni dove lo spettro del segnale di riferimento è diverso da zero ( )
• Altre problematiche realizzative:
• Necessità di avere un modello affidabile di
G(s)nel campo di pulsazioni in cui agisce il segnale di riferimento
• Moderazione della variabile di controllo
Trasformata di Fourier
aggiunta di poli in per fisica realizzabilità
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Compensazione in avanti del riferimento
• Moderazione della variabile di controllo
Funzione di sensitività del controllo: -
Nell’ipotesi che si ha che
Quindi se e ha grado relativo >0 si ha che la funzione di sensitività del controllo presenta un andamento passa alto
Introdurre poli fuori banda in e/o evitare di invertire poli di
fuori banda
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Compensazione in avanti del riferimento
• Impiego dell’azione in avanti
• Presenza di misure “rumorose” (o di ritardi) che limitano la massima
pulsazione di attraversamento del guadagno di anello
L(j
)ad assumere
“bassi” valori
• Presenza di specifiche sull’uscita controllata che richiedono un tempo di assestamento molto più basso rispetto a quello ottenibile con il solo controllore in retroazione
Dinamica lenta del sistema in retroazione
10 -1 100 10 2 10 3
-60 -40
-20 0 20 40
60 Bode Plot
Incompatibilità delle specifiche
Specifica sul tempo di assestamento Pulsazione minima a cui
agisce il disturbo di misura “n”
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Compensazione in avanti del riferimento
• Soluzione nel caso di incompatibilità delle specifiche
• Progettare il regolatore in retroazione in modo da garantire robustezza asintotica e bassa sensitività ai disturbi
• Progettare l’azione in avanti al fine di migliorare il transitorio dell’uscita (in termini di velocità)
10 -1 100 10 2 10 3
-60 -40
-20 0 20 40
60 Bode Plot
Incompatibilità delle specifiche
Specifica sul tempo di assestamento Pulsazione minima a cui
agisce il disturbo di misura “n”
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-200 -150 -100 -50 0 50
Magnitude (dB)
100 101 102 103 104 105
-360 -270 -180 -90
Phase (deg)
Bode Diagram
Gm = 26.7 dB (at 350 rad/sec) , Pm = 59.7 deg (at 53 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
Compensazione in avanti del riferimento
• Esempio
Specifiche contrastanti
Specifiche:
1) e∞ =0 (ingresso a gradino) 2) Ta ≤ 0.02 s, S% ≤ 20%
3) Attenuazione di almeno 20 dB di un disturbo “n” che agisce nello spettro n ≥ 50 Hz (=314 rad/s)
Polo nell’origine
Il regolatore è progettato assumendo
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0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 -0.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
tempo
y-200
-150 -100 -50 0 50
Magnitude (dB)
100 101 102 103 104 105
-360 -270 -180 -90 0
Phase (deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Compensazione in avanti del riferimento
• Senza compensazione in avanti
• T
atroppo alto
-
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-300 -200 -100 0 100
Magnitude (dB)
100 101 102 103 104 105 106
-360 -270 -180 -90 0
Phase (deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
• Si considera ora un’azione in avanti che approssimi invertendo il polo più lento (e quindi dominante) in
s= - 100
•
-
Compensazione in avanti del riferimento
La funzione di trasferimento tra disturbo “n” e uscita rimane -F(s)
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 -0.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
tempo
y
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Compensazione in avanti del riferimento
• Implementazione dell’azione in avanti (u
ff(t)):
• Data una fdt
a fase minima (poli-zeri “stabili”), e con grado relativo =n-m, si può scrivere
con strettamente propria
• L’azione in avanti con può essere riscritta nel domino temporale come
con
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Compensazione in avanti del riferimento
• Affinchè l’azione di controllo in avanti u
ff(t) risulti limitata occorre che il riferimento y
sp(t) e tutte le sue derivate fino all’ordine siano limitate (continuità fino all’ordine -1)
• Particolarmente semplice risulta il caso in cui la fdt G(s) non presenti zeri
Combinazione lineare del riferimento e
delle sue derivate fino all’ordine Riferimento filtrato dalla fdt G0(s)
Importanza di una scelta opportuna del segnale di set-point
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-150 -100 -50 0 50
Magnitude (dB)
100 101 102 103 104
-270 -225 -180 -135 -90
Phase (deg)
Bode Diagram
Gm = 20 dB (at 224 rad/sec) , Pm = 56.2 deg (at 52.8 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
Compensazione in avanti del riferimento
• Esempio
Specifiche contrastanti
Specifiche:
1) e∞ =0 (ingresso a gradino) 2) Ta ≤ 0.02 s, S% ≤ 20%
3) Attenuazione di almeno 20 dB di un disturbo “n” che agisce nello spettro n ≥ 50 Hz (=314 rad/s)
Polo nell’origine
Il regolatore è progettato assumendo
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Compensazione in avanti del riferimento
• Si considera una traiettoria polinomiale di grado 3 (continuità di posizione e velocità)
di durata
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
0 0.5 1
tempo ysp(posizione)
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
-10 0 10 20 30
tempo ysp(velocità)
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
-4000 -2000 0 2000 4000
tempo ysp(accelerazione)
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-
Compensazione in avanti del riferimento
• Senza compensazione in avanti
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
tempo
y
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
tempo
u
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• Calcolo dell’azione in avanti ottenuta
invertendo -
Compensazione in avanti del riferimento
Antitrasformando e interpretando l’operatore “s” come operatore di derivazione
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0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
tempo
y
• Sfruttando l’azione in avanti
-
Compensazione in avanti del riferimento
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
tempo
u
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Prefiltraggio del segnale di riferimento
• Filtraggio del segnale di riferimento al fine di modificarne le
componenti frequenziali che sono iniettate nel sistema in retroazione
• Obiettivi:
a) Progettare
Rpf(s)al fine di moderare la variabile di controllo senza alterare le prestazioni dinamiche (tempo di assestamento) del sistema chiuso in
retroazione
b) Progettare
Rpf(s)al fine di ampliare la banda (“open loop”) del sistema controllato
c) Cancellare dinamiche parassite del sistema “closed loop”
-
+
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Prefiltraggio del segnale di riferimento
• Caso a) Impiego del prefiltraggio per moderare la variabile di controllo
• Presenza di limiti di attuazione e di specifiche su T
a“blande” che spingerebbero ad assumere una pulsazione di attraversamento bassa
• Presenza di disturbi sull’uscita “d” collocati a pulsazioni con che obbliga a imporre pulsazioni di attraversamento
10 -1 100 10 2 10 3
-60 -40
-20 0 20 40
60 Bode Plot
Incompatibilità delle specifiche
Massima pulsazione a cui agisce il disturbo “d”
Valore desiderato per cal fine di rispettare le specifiche dinamiche e moderare lo sforzo di controllo
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Prefiltraggio del segnale di riferimento
• Caso a) Soluzione al problema
1) Progettare
R(s)in modo da attenuare il disturbo di tipo “
d” nel campo di frequenze in cui agisce
(imponendo necessariamente delle dinamiche “veloci” al sistema in retroazione rispetto ai tempi di assestamento richiesti e alla necessità di moderare lo sforzo di controllo)2) “Smussare” il segnale di riferimento in modo da non “eccitare” il sistema in retroazione con componenti spettrali superiori a
-
+
Legame complessivo tra ysp(t) e y(t) Rpf(s) progettato
sulla base del vincolo sul tempo di assestamento
(filtrando tutte le componenti >c*)
R(s) progettato sulla base del vincolo di attenuazione del disturbo (imponendo una pulsazione di attraversamento
c>H>c*)
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Prefiltraggio del segnale di riferimento
• Dalla funzione di sensitività
complementare complessiva si evince che il prefiltraggio del riferimento modifica (peggiora) il comportamento dinamico del sistema in retroazione
• D’altronde, considerando un filtraggio di tipo passa basso, la funzione di sensitività del controllo complessiva
risulta attenuata in maniera considerevole alle alte frequenze
Il filtro Rfp(s) dovrebbe:• avere guadagno statico unitario (Rfp(0) =1) al fine di non alterare il valore a regime di y(t)
• essere un filtro passa basso con pulsazione di rottura intorno a c*
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• Esempi di filtri
• Filtro del primo ordine:
• Filtro del secondo ordine reale:
• Filtri “complessi”: es. filtri di Butterworth
Prefiltraggio del segnale di riferimento
-150 -100 -50 0
Magnitude (dB)
10-1 100 101 102 103
-360 -270 -180 -90 0
Phase (deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
2 3 4
2 3 4 Ordine
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Prefiltraggio del segnale di riferimento
• Caso a) Esempio
Specifiche contrastanti
Specifiche:
1) e∞=0 (ingresso a gradino) 2) Ta ≤ 1 s, S% ≤ 20%
3) Attenuazione di almeno 10 dB di un disturbo “d” che agisce nello spettro d ≤ 3 rad/s
Polo nell’origine
Il regolatore è progettato assumendo
-150 -100 -50 0 50
Magnitude (dB)
10-1 100 101 102 103 104
-270 -225 -180 -135 -90
Phase (deg)
Bode Diagram
Gm = 18.7 dB (at 40.8 rad/sec) , Pm = 55 deg (at 10.5 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
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Prefiltraggio del segnale di riferimento
• Senza pre‐filtro
•
10-2 10-1 100 101 102 103 104
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
Magnitude (dB)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
0 5 10 15
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
tempo
y
0 5 10 15
-1 0 1 2 3 4 5 6
tempo
u
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10-2 10-1 100 101 102 103 104
-100 -80 -60 -40 -20 0 20
Magnitude (dB)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec) -10 5 10 15
0 1 2 3 4 5 6
tempo
u
0 5 10 15
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
tempo
y
Prefiltraggio del segnale di riferimento
• Si considera ora un pre‐
filtro del primo ordine
con pulsazione di taglio
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Prefiltraggio del segnale di riferimento
• Caso b) Impiego del prefiltraggio per ampliare la banda del sistema controllato
• Presenza di specifiche “severe” sull’attenuazione di disturbi di tipo “n”
e/o presenza di ritardi nel sistema controllato che limitano la massima pulsazione di attraversamento (e quindi la velocità di risposta del sistema) ad essere
• Presenza di specifiche sul tempo di assestamento che richiederebbero una pulsazione di attraversamento superiore a quella imposta dai vincoli sopra ( )
10 -1 100 10 2 10 3
-60 -40
-20 0 20 40
60 Bode Plot
Incompatibilità delle specifiche
Specifica sul tempo di assestamento Pulsazione minima a cui
agisce il disturbo di misura “n”
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Prefiltraggio del segnale di riferimento
• Caso b) Soluzione al problema
1) Progettare
R(s)in modo da attenuare il disturbo di tipo “
n” nel campo di frequenze in cui agisce
(imponendo necessariamente delle dinamiche “lente” al sistema in retroazione rispetto ai tempi di assestamento richiesti e alla necessità di moderare lo sforzo di controllo)2) Progettare il pre‐filtro come passa alto al fine di ampliare la banda tra il riferimento y
sp(t) e l’uscita y(t)
-
+
Legame complessivo tra ysp(t) e y(t) Rpf(s) progettato
sulla base del vincolo sul tempo di assestamento (amplificando tutte
le componenti nel range L< <c*)
R(s) progettato sulla base del vincolo di attenuazione del disturbo (imponendo una pulsazione di attraversamento
L<c<c*)
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Prefiltraggio del segnale di riferimento
• Caso b) Esempio
Specifiche contrastanti
Specifiche:
1) e∞=0 (ingresso a gradino) 2) Ta ≤ 1 s, S% ≤ 20%
3) Attenuazione di almeno 20 dB di un disturbo “n” che agisce nello spettro n ≥ 5 rad/s
Polo nell’origine
Il regolatore è progettato assumendo
-200 -150 -100 -50 0 50
Magnitude (dB)
10-2 10-1 100 101 102 103
-270 -225 -180 -135 -90
Phase (deg)
Bode Diagram
Gm = 30.9 dB (at 4.47 rad/sec) , Pm = 60.6 deg (at 0.53 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
CA 2018‐2019 Prof. Laura Giarré
-200 -150 -100 -50 0 50
Magnitude (dB)
10-2 10-1 100 101 102 103
-270 -180 -90 0
Phase (deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Prefiltraggio del segnale di riferimento
• Senza pre‐filtro
•
Poli dominanti
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
tempo
y
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-200 -150 -100 -50 0 50
Magnitude (dB)
10-2 10-1 100 101 102 103
-270 -180 -90 0 90 180
Phase (deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
tempo
y
Prefiltraggio del segnale di riferimento
• Si considera ora un pre‐filtro (passa alto) del secondo ordine, che
cancella (quasi perfettamente) i poli dominanti di F(s) e aggiunge altri due poli complessi coniugati con (vedi specifica 2))
• La funzione di trasferimento tra disturbo “n” e uscita rimane ‐F(s)
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Prefiltraggio del segnale di riferimento
• Caso c) Impiego del prefiltraggio per cancellare dinamiche parassite del sistema “closed loop”
• Presenza di dinamiche parassite nel sistema in retroazione, es. coppie poli‐
zeri quasi in cancellazione entro la banda del sistema
con
-20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6
8 0.91 0.83 0.72 0.58 0.4 0.2
0.96
0.99
0.2 0.4 0.58 0.72 0.83
0.91 0.96 0.99
2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20
Pole-Zero Map
Real Axis
Imaginary Axis
Dinamiche parassite
Dinamiche dominanti
Dinamiche fuori banda
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Prefiltraggio del segnale di riferimento
• Caso c) Soluzione al problema
• Progettare R
pf(s) in modo da cancellare le dinamiche parassite del sistema in retroazione F(s)
-
+
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Prefiltraggio del segnale di riferimento
• Caso c) Esempio
Dinamica parassita:
Cancellazione imperfetta polo/zero
Attenzione a non alterare il guadagno statico di F(s): Rpf(0)=1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
tempo
risposta al gradino
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
tempo
risposta al gradino
Risposta al gradino di Risposta al gradino di
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Controllo in cascata
• Sistema controllato caratterizzato da due dinamiche in cascata, con la variabile intermedia misurabile
• Sistema a monte stabilizzabile imponendo dinamiche molto più veloci rispetto a quelle che caratterizzano la massima banda imponibile al sistema a valle
10 -1 100 10 2 10 3
-60 -40
-20 0 20 40
60 Bode Plot
Minima pulsazione di attraversamento compatibile con G1(s) (dinamiche proprie di G1(s) “veloci”, presenza di disturbi di tipo “d” in alta frequenza)
Massima pulsazione di attraversamento compatibile con G2(s) (dinamiche proprie di G2(s)
“lente”, presenza di ritardi e disturbi di misura “n” )
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Controllo in cascata
• In queste condizioni il progetto può essere scomposto in due fasi:
• Fase 1: progetto dell’anello interno
Il regolatore R1(s) è progettato sulla base della dinamica di G1(s) e del disturbo “d” disinteressandosi della dinamica a valle e dei vincoli su questa
10 -1 100 10 2 10 3
-60 -40
-20 0 20 40
60 Bode Plot
Imposizione di dinamiche “veloci”
Il regolatore R1(s) sarà progettato in modo che la L1(s)=R1(s)G1(s) attraversi a c >c*(G1) e inoltre sia |L1(j)|>>1 per <H(d) -
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Controllo in cascata
• Fase 1: progetto dell’anello interno
10-1 100 102 103
-60 -40
-20 0 20 40
60 Bode Plot
Disturbi “d” praticamente assenti e v praticamente coincidente con v* nel campo di pulsazioni
Progettare il regolatore in modo che per
per -
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Controllo in cascata
• Fase 2: progetto dell’anello esterno
• Il regolatore è progettato sulla base della dinamica di e del disturbo “n” senza considerare la dinamica dall’anello interno (che viene approssimata con un corto circuito, ovvero ) imponendo pulsazioni di attraversamento compatibili con la dinamica di e con la presenza di un eventuale disturbo di tipo “n” ( )
10-1 100 102 103
-60 -40
-20 0 20 40
60 Bode Plot
Dinamiche imposte “lente”
- -
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Controllo in cascata
• Osservazioni:
• Il progetto del regolatore in cascata si basa su un disaccoppiamento frequenziale dei due anelli di retroazione progettati che induce una doppia scala dei tempi nelle
dinamiche controllate: l’anello interno risulta essere molto più veloce di quello esterno (le cui dinamiche risultano poi essere quelle dell’uscita del sistema complessivo)
• In molti casi di interesse ingegneristico il controllo in cascata è l’unica soluzione al fine di soddisfare le specifiche (in apparenza contrastanti) sull’attenuazione dei disturbi in alta (“n”) e in bassa (“d”) frequenza
• Questo approccio al controllo riduce un problema di controllo “complicato”
(controllo di due dinamiche) in due sottoproblemi “semplici” (controllo delle due
dinamiche considerate singolarmente)
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Specifiche:
1) Ingresso di set point: e∞ =0 (ingresso a gradino),
2) Attenuazione di almeno 20 dB di un disturbo “n” che agisce nello spettro n ≥ 10 rad/s
3) Attenuazione di almeno 20 dB di un disturbo “d” che agisce nello spettro
d ≤ 0.5 rad/s. e∞=0 per ingresso di disturbo a gradino
Controllo in cascata
• Esempio
Specifiche contrastanti
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Controllo in cascata
• Progettazione dell’anello interno
• Regolatore PI:
-40 -20 0 20 40
Magnitude (dB)
10-1 100 101 102
-105 -100 -95 -90
Phase (deg)
Bode Diagram Gm = Inf , Pm = 80 deg (at 5 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
Polo nell’origine per il disturbo costante
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
-0.5 0 0.5 1 1.5
-
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Controllo in cascata
• progettazione dell’anello esterno
• Regolatore PI:
-80 -60 -40 -20 0 20 40
Magnitude (dB)
10-2 10-1 100 101 102
-180 -135 -90 -45 0
Phase (deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
tempo
y
Considerando il loop interno come un corto circuito
- -
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• progettazione dell’anello esterno
• Regolatore PI:
Controllo in cascata
-80 -60 -40 -20 0 20 40
Magnitude (dB)
10-2 10-1 100 101 102
-180 -135 -90 -45 0
Phase (deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
tempo
y
Si considerano entrambi i loop di controllo
- -
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Compensazione in avanti di un disturbo misurabile
• Sistema descritto da
e caratterizzato quindi da un disturbo d sull’uscita misurabile (o stimabile in qualche modo)
• Sfruttando il fatto che d è conosciuto è possibile compensare in anello aperto il disturbo sull’uscita agendo su u
+ +
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Compensazione in avanti di un disturbo misurabile
• Considerazioni analoghe a quelle relativa alla compensazione in avanti del riferimento:
• R(s) progettato al fine di garantire le specifiche del sistema retroazionato in maniera robusta
• M(s) per migliorare le performance in termini di riduzione del disturbo
-
+ + + +
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Compensazione in avanti di un disturbo misurabile
-
+ + + +
Vecchia funzione di sensitività (solo retroazione)
Se
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• Problemi di realizzabilità di
• zeri a parte reale positiva e ritardi in G(s)
• grado relativo
• Si può approssimare la fdt nell’intervallo di pulsazioni a cui agisce il disturbo d in modo tale che
• Per disturbi d costanti, si può ricorrere a un compensatore statico Compensazione in avanti di un disturbo misurabile
per
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• Esempio
• Senza il compensatore M(s)
Compensazione in avanti di un disturbo misurabile
-
+ +
0 5 10 15 20 25 30
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
tempo
uscita
10-2 10-1 100 101 102
-25 -20 -15 -10 -5 0 5
Magnitude (dB)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Funzione di sensitività Risposta al gradino
misurabile
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Compensazione in avanti di un disturbo misurabile
• Nel caso ideale
Con il compensatore M(s)
-20 0 20 40 60 80 100
Magnitude (dB)
10-2 10-1 100 101 102 103
0 45 90 135 180 225 270
Phase (deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
M ideale M reale
Poiché M(s) non è fisicamente realizzabile la si approssima
considerando solo il polo G(s) più lento
0 5 10 15 20 25 30
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
tempo
uscita
10-2 10-1 100 101 102
-80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10
Magnitude (dB)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
0.3 rad/s
Funzione di sensitività Risposta al gradino
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Compensazione in avanti di un disturbo misurabile
• Nel caso ideale
• Con il compensatore M(s)
-20 0 20 40 60 80 100
Magnitude (dB)
10-2 10-1 100 101 102 103
0 45 90 135 180 225 270
Phase (deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
M ideale M reale
Poiché M(s) non è fisicamente realizzabile la si approssima
considerando solo il polo G(s) più lento
0 5 10 15 20 25 30
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
tempo
uscita
10-2 10-1 100 101 102
-80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10
Magnitude (dB)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
0.3 rad/s
Funzione di sensitività Risposta al gradino