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Academic year: 2021

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(1)

Metodi di Controllo Avanzati

Prof. Laura Giarré

Laura.Giarre@UNIMORE.IT

https://giarre.wordpress.com/ca/

(2)

CA 2018-2019 Prof. Laura Giarré

Metodi di controllo avanzati

• Compensazione in avanti del riferimento

• Prefiltraggio del segnale di riferimento

• Controllo in cascata

• Compensazione in avanti di un disturbo misurabile

(3)

CA 2018-2019 Prof. Laura Giarré

Compensazione in avanti del riferimento

• Uno schema consente di unire i vantaggi del controllo in avanti

(feedforward), ovvero prestazioni ottime in condizioni nominali, con quelli del controllo in retroazione (feedback), ovvero robustezza

rispetto alle incertezze è il seguente

-

+

Progettato invertendo la dinamica dell’impianto, al fine di

avere inseguimento perfetto (e(t)=0) in condizioni nominali

Progettato al fine di garantire le specifiche del sistema retroazionato in maniera robusta rispetto ad incertezze sulla dinamica del sistema e rispetto

a disturbi esterni non noti +

(4)

CA 2018-2019 Prof. Laura Giarré

Compensazione in avanti del riferimento

• La funzione di trasferimento tra set-point e uscita si

modifica nel seguente modo:

-

+

Vecchia funzione di sensitività complementare (retroazione) Se

Poiché G(s) è strettamente propria, la ideale risulterebbe impropria e quindi non

fisicamente realizzabile. Tuttavia è possibile ottenere una funzione che approssima solo in un preciso intervallo frequenziale

(5)

CA 2018-2019 Prof. Laura Giarré

Compensazione in avanti del riferimento

• Si considera il dominio della frequenza

• La relazione dovrà essere soddisfatta per quelle

pulsazioni dove lo spettro del segnale di riferimento è diverso da zero ( )

• Altre problematiche realizzative:

• Necessità di avere un modello affidabile di

G(s)

nel campo di pulsazioni in cui agisce il segnale di riferimento

• Moderazione della variabile di controllo

Trasformata di Fourier

aggiunta di poli in per fisica realizzabilità

(6)

CA 2018-2019 Prof. Laura Giarré

Compensazione in avanti del riferimento

• Moderazione della variabile di controllo

Funzione di sensitività del controllo: -

Nell’ipotesi che si ha che

Quindi se e ha grado relativo >0 si ha che la funzione di sensitività del controllo presenta un andamento passa alto

Introdurre poli fuori banda in e/o evitare di invertire poli di

fuori banda

(7)

CA 2018-2019 Prof. Laura Giarré

Compensazione in avanti del riferimento

• Impiego dell’azione in avanti

• Presenza di misure “rumorose” (o di ritardi) che limitano la massima

pulsazione di attraversamento del guadagno di anello

L(j

)

ad assumere

“bassi” valori

• Presenza di specifiche sull’uscita controllata che richiedono un tempo di assestamento molto più basso rispetto a quello ottenibile con il solo controllore in retroazione

Dinamica lenta del sistema in retroazione

10 -1 100 10 2 10 3

-60 -40

-20 0 20 40

60 Bode Plot

Incompatibilità delle specifiche

Specifica sul tempo di assestamento Pulsazione minima a cui

agisce il disturbo di misura “n”

(8)

CA 2018-2019 Prof. Laura Giarré

Compensazione in avanti del riferimento

• Soluzione nel caso di incompatibilità delle specifiche

• Progettare il regolatore in retroazione in modo da garantire robustezza asintotica e bassa sensitività ai disturbi

• Progettare l’azione in avanti al fine di migliorare il transitorio dell’uscita (in termini di velocità)

10 -1 100 10 2 10 3

-60 -40

-20 0 20 40

60 Bode Plot

Incompatibilità delle specifiche

Specifica sul tempo di assestamento Pulsazione minima a cui

agisce il disturbo di misura “n”

(9)

CA 2018-2019 Prof. Laura Giarré

-200 -150 -100 -50 0 50

Magnitude (dB)

100 101 102 103 104 105

-360 -270 -180 -90

Phase (deg)

Bode Diagram

Gm = 26.7 dB (at 350 rad/sec) , Pm = 59.7 deg (at 53 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

Compensazione in avanti del riferimento

• Esempio

Specifiche contrastanti

Specifiche:

1) e =0 (ingresso a gradino) 2) Ta ≤ 0.02 s, S% ≤ 20%

3) Attenuazione di almeno 20 dB di un disturbo “n” che agisce nello spettro n ≥ 50 Hz (=314 rad/s)

Polo nell’origine

Il regolatore è progettato assumendo

(10)

CA 2018-2019 Prof. Laura Giarré

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 -0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

tempo

y-200

-150 -100 -50 0 50

Magnitude (dB)

100 101 102 103 104 105

-360 -270 -180 -90 0

Phase (deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Compensazione in avanti del riferimento

• Senza compensazione in avanti

T

a

troppo alto

-

(11)

CA 2018-2019 Prof. Laura Giarré

-300 -200 -100 0 100

Magnitude (dB)

100 101 102 103 104 105 106

-360 -270 -180 -90 0

Phase (deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

• Si considera ora un’azione in avanti che approssimi invertendo il polo più lento (e quindi dominante) in

s

= - 100

-

Compensazione in avanti del riferimento

La funzione di trasferimento tra disturbo “n” e uscita rimane -F(s)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 -0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

tempo

y

(12)

CA 2018-2019 Prof. Laura Giarré

Compensazione in avanti del riferimento

Implementazione dell’azione in avanti (u

ff

(t)):

• Data una fdt

a fase minima (poli-zeri “stabili”), e con grado relativo  =n-m, si può scrivere

con strettamente propria

• L’azione in avanti con può essere riscritta nel domino temporale come

con

(13)

CA 2018-2019 Prof. Laura Giarré

Compensazione in avanti del riferimento

Affinchè l’azione di controllo in avanti u

ff

(t) risulti limitata occorre che il riferimento y

sp

(t) e tutte le sue derivate fino all’ordine  siano limitate (continuità fino all’ordine -1)

Particolarmente semplice risulta il caso in cui la fdt G(s) non presenti zeri

Combinazione lineare del riferimento e

delle sue derivate fino all’ordine  Riferimento filtrato dalla fdt G0(s)

Importanza di una scelta opportuna del segnale di set-point

(14)

CA 2018-2019 Prof. Laura Giarré

-150 -100 -50 0 50

Magnitude (dB)

100 101 102 103 104

-270 -225 -180 -135 -90

Phase (deg)

Bode Diagram

Gm = 20 dB (at 224 rad/sec) , Pm = 56.2 deg (at 52.8 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

Compensazione in avanti del riferimento

• Esempio

Specifiche contrastanti

Specifiche:

1) e =0 (ingresso a gradino) 2) Ta ≤ 0.02 s, S% ≤ 20%

3) Attenuazione di almeno 20 dB di un disturbo “n” che agisce nello spettro n ≥ 50 Hz (=314 rad/s)

Polo nell’origine

Il regolatore è progettato assumendo

(15)

CA  2018‐2019  Prof. Laura Giarré

Compensazione in avanti del riferimento

• Si considera una traiettoria polinomiale di grado 3 (continuità di posizione e velocità)

di durata

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

0 0.5 1

tempo ysp(posizione)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

-10 0 10 20 30

tempo ysp(velocità)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

-4000 -2000 0 2000 4000

tempo ysp(accelerazione)

(16)

CA  2018‐2019  Prof. Laura Giarré

-

Compensazione in avanti del riferimento

• Senza compensazione in avanti

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

tempo

y

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

tempo

u

(17)

CA  2018‐2019  Prof. Laura Giarré

• Calcolo dell’azione in avanti ottenuta

invertendo -

Compensazione in avanti del riferimento

Antitrasformando e interpretando l’operatore “s” come operatore di derivazione

(18)

CA  2018‐2019  Prof. Laura Giarré

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

tempo

y

• Sfruttando l’azione in avanti

-

Compensazione in avanti del riferimento

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

tempo

u

(19)

CA  2018‐2019  Prof. Laura Giarré

Prefiltraggio del segnale di riferimento

• Filtraggio del segnale di riferimento al fine di modificarne le

componenti frequenziali che sono iniettate nel sistema in retroazione

• Obiettivi:

a) Progettare

Rpf(s)

al fine di moderare la variabile di controllo senza alterare le prestazioni dinamiche (tempo di assestamento) del sistema chiuso in

retroazione

b) Progettare

Rpf(s)

al fine di ampliare la banda (“open loop”) del sistema controllato

c) Cancellare dinamiche parassite del sistema “closed loop”

-

+

(20)

CA  2018‐2019  Prof. Laura Giarré

Prefiltraggio del segnale di riferimento

• Caso a) Impiego del prefiltraggio per moderare la variabile di controllo

• Presenza di limiti di attuazione e di specifiche su T

a

“blande” che spingerebbero ad  assumere una pulsazione di attraversamento       bassa

• Presenza di disturbi sull’uscita “d” collocati a pulsazioni       con       che obbliga a imporre pulsazioni di attraversamento

10 -1 100 10 2 10 3

-60 -40

-20 0 20 40

60 Bode Plot

Incompatibilità delle specifiche

Massima pulsazione a cui agisce il disturbo “d”

Valore desiderato per cal fine di rispettare le specifiche dinamiche e moderare lo sforzo di controllo

(21)

CA  2018‐2019  Prof. Laura Giarré

Prefiltraggio del segnale di riferimento

• Caso a) Soluzione al problema

1) Progettare 

R(s) 

in modo da attenuare il disturbo di tipo “

d

” nel campo di  frequenze in cui agisce 

(imponendo necessariamente delle dinamiche “veloci” al sistema  in retroazione rispetto ai tempi di assestamento richiesti e alla necessità di moderare lo sforzo di  controllo)

2) “Smussare” il segnale di riferimento in modo da non “eccitare” il sistema  in retroazione con componenti spettrali superiori a

-

+

Legame complessivo tra ysp(t) e y(t) Rpf(s) progettato

sulla base del vincolo sul tempo di assestamento

(filtrando tutte le componenti  >c*)

R(s) progettato sulla base del vincolo di attenuazione del disturbo (imponendo una pulsazione di attraversamento

c>H>c*)

(22)

CA  2018‐2019  Prof. Laura Giarré

Prefiltraggio del segnale di riferimento

• Dalla funzione di sensitività 

complementare complessiva si evince che  il  prefiltraggio del riferimento modifica  (peggiora) il comportamento dinamico del  sistema in retroazione

• D’altronde, considerando un filtraggio di  tipo passa basso, la funzione di sensitività  del controllo complessiva       

risulta attenuata in maniera considerevole  alle alte frequenze

Il filtro Rfp(s) dovrebbe:

• avere guadagno statico unitario (Rfp(0) =1) al fine di non alterare il valore a regime di y(t)

• essere un filtro passa basso con pulsazione di rottura intorno a c*

(23)

CA  2018‐2019  Prof. Laura Giarré

• Esempi di filtri

• Filtro del primo ordine:

• Filtro del secondo  ordine reale:

• Filtri “complessi”: es. filtri di Butterworth

Prefiltraggio del segnale di riferimento

-150 -100 -50 0

Magnitude (dB)

10-1 100 101 102 103

-360 -270 -180 -90 0

Phase (deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

2 3 4

2 3 4 Ordine

(24)

CA  2018‐2019  Prof. Laura Giarré

Prefiltraggio del segnale di riferimento

• Caso a) Esempio

Specifiche contrastanti

Specifiche:

1) e=0 (ingresso a gradino) 2) Ta ≤ 1 s, S% ≤ 20%

3) Attenuazione di almeno 10 dB di un disturbo “d” che agisce nello spettro d ≤ 3 rad/s

Polo nell’origine

Il regolatore è progettato assumendo

-150 -100 -50 0 50

Magnitude (dB)

10-1 100 101 102 103 104

-270 -225 -180 -135 -90

Phase (deg)

Bode Diagram

Gm = 18.7 dB (at 40.8 rad/sec) , Pm = 55 deg (at 10.5 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

(25)

CA  2018‐2019  Prof. Laura Giarré

Prefiltraggio del segnale di riferimento

• Senza pre‐filtro

10-2 10-1 100 101 102 103 104

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

Magnitude (dB)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

0 5 10 15

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

tempo

y

0 5 10 15

-1 0 1 2 3 4 5 6

tempo

u

(26)

CA  2018‐2019  Prof. Laura Giarré

10-2 10-1 100 101 102 103 104

-100 -80 -60 -40 -20 0 20

Magnitude (dB)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec) -10 5 10 15

0 1 2 3 4 5 6

tempo

u

0 5 10 15

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

tempo

y

Prefiltraggio del segnale di riferimento

• Si considera ora un pre‐

filtro del primo ordine 

con pulsazione di taglio 

(27)

CA  2018‐2019  Prof. Laura Giarré

Prefiltraggio del segnale di riferimento

• Caso b) Impiego del prefiltraggio per ampliare la banda del  sistema controllato

• Presenza di specifiche “severe” sull’attenuazione di disturbi di tipo “n” 

e/o presenza di ritardi nel sistema controllato che limitano la massima  pulsazione di attraversamento (e quindi la velocità di risposta del sistema)  ad essere 

• Presenza di specifiche sul tempo di assestamento che richiederebbero  una pulsazione di attraversamento      superiore a quella imposta dai  vincoli sopra (      )

10 -1 100 10 2 10 3

-60 -40

-20 0 20 40

60 Bode Plot

Incompatibilità delle specifiche

Specifica sul tempo di assestamento Pulsazione minima a cui

agisce il disturbo di misura “n”

(28)

CA  2018‐2019  Prof. Laura Giarré

Prefiltraggio del segnale di riferimento

• Caso b) Soluzione al problema

1) Progettare 

R(s)

in modo da attenuare il disturbo di tipo “

n

” nel campo di frequenze in  cui agisce 

(imponendo necessariamente delle dinamiche “lente” al sistema in retroazione rispetto ai tempi di  assestamento richiesti e alla necessità di moderare lo sforzo di controllo)

2) Progettare il pre‐filtro come passa alto al fine di ampliare la banda tra il riferimento  y

sp

(t) e l’uscita y(t)

-

+

Legame complessivo tra ysp(t) e y(t) Rpf(s) progettato

sulla base del vincolo sul tempo di assestamento (amplificando tutte

le componenti nel range L< <c*)

R(s) progettato sulla base del vincolo di attenuazione del disturbo (imponendo una pulsazione di attraversamento

L<c<c*)

(29)

CA  2018‐2019  Prof. Laura Giarré

Prefiltraggio del segnale di riferimento

• Caso b) Esempio

Specifiche contrastanti

Specifiche:

1) e=0 (ingresso a gradino) 2) Ta ≤ 1 s, S% ≤ 20%

3) Attenuazione di almeno 20 dB di un disturbo “n” che agisce nello spettro n ≥ 5 rad/s

Polo nell’origine

Il regolatore è progettato assumendo

-200 -150 -100 -50 0 50

Magnitude (dB)

10-2 10-1 100 101 102 103

-270 -225 -180 -135 -90

Phase (deg)

Bode Diagram

Gm = 30.9 dB (at 4.47 rad/sec) , Pm = 60.6 deg (at 0.53 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

(30)

CA  2018‐2019  Prof. Laura Giarré

-200 -150 -100 -50 0 50

Magnitude (dB)

10-2 10-1 100 101 102 103

-270 -180 -90 0

Phase (deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Prefiltraggio del segnale di riferimento

• Senza pre‐filtro

Poli dominanti

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

tempo

y

(31)

CA  2018‐2019  Prof. Laura Giarré

-200 -150 -100 -50 0 50

Magnitude (dB)

10-2 10-1 100 101 102 103

-270 -180 -90 0 90 180

Phase (deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

tempo

y

Prefiltraggio del segnale di riferimento

• Si considera ora un pre‐filtro (passa alto) del secondo ordine, che 

cancella (quasi perfettamente) i poli dominanti di F(s) e aggiunge altri  due poli complessi coniugati con       (vedi specifica 2))

• La funzione di trasferimento tra disturbo “n” e uscita rimane ‐F(s) 

(32)

CA  2018‐2019  Prof. Laura Giarré

Prefiltraggio del segnale di riferimento

• Caso c) Impiego del prefiltraggio per cancellare dinamiche  parassite del sistema “closed loop”

• Presenza di dinamiche parassite nel sistema in retroazione, es. coppie poli‐

zeri quasi in cancellazione entro la banda del sistema 

con

-20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6

8 0.91 0.83 0.72 0.58 0.4 0.2

0.96

0.99

0.2 0.4 0.58 0.72 0.83

0.91 0.96 0.99

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

Pole-Zero Map

Real Axis

Imaginary Axis

Dinamiche parassite

Dinamiche dominanti

Dinamiche fuori banda

(33)

CA  2018‐2019  Prof. Laura Giarré

Prefiltraggio del segnale di riferimento

• Caso c) Soluzione al problema

• Progettare R

pf

(s) in modo da cancellare le dinamiche parassite del  sistema in retroazione F(s)

-

+

(34)

CA  2018‐2019  Prof. Laura Giarré

Prefiltraggio del segnale di riferimento

• Caso c) Esempio

Dinamica parassita:

Cancellazione imperfetta polo/zero

Attenzione a non alterare il guadagno statico di F(s): Rpf(0)=1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

tempo

risposta al gradino

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

tempo

risposta al gradino

Risposta al gradino di Risposta al gradino di

(35)

CA  2018‐2019  Prof. Laura Giarré

Controllo in cascata

• Sistema controllato caratterizzato da due dinamiche in cascata, con la  variabile intermedia misurabile

• Sistema a monte stabilizzabile imponendo dinamiche molto più veloci  rispetto a quelle che caratterizzano la massima banda imponibile al  sistema a valle

10 -1 100 10 2 10 3

-60 -40

-20 0 20 40

60 Bode Plot

Minima pulsazione di attraversamento compatibile con G1(s) (dinamiche proprie di G1(s) “veloci”, presenza di disturbi di tipo “d” in alta frequenza)

Massima pulsazione di attraversamento compatibile con G2(s) (dinamiche proprie di G2(s)

“lente”, presenza di ritardi e disturbi di misura “n” )

(36)

CA  2018‐2019  Prof. Laura Giarré

Controllo in cascata

• In queste condizioni il progetto può essere scomposto in due fasi:

• Fase 1: progetto dell’anello interno

Il regolatore R1(s) è progettato sulla base della dinamica di G1(s) e del disturbo “d” disinteressandosi della dinamica a valle e dei vincoli su questa

10 -1 100 10 2 10 3

-60 -40

-20 0 20 40

60 Bode Plot

Imposizione di dinamiche “veloci”

Il regolatore R1(s) sarà progettato in modo che la L1(s)=R1(s)G1(s) attraversi a c >c*(G1) e inoltre sia |L1(j)|>>1 per <H(d) -

(37)

CA  2018‐2019  Prof. Laura Giarré

Controllo in cascata

• Fase 1: progetto dell’anello interno

10-1 100 102 103

-60 -40

-20 0 20 40

60 Bode Plot

Disturbi “d” praticamente assenti e v praticamente coincidente con v* nel campo di pulsazioni

Progettare il regolatore in modo che per

per -

(38)

CA  2018‐2019  Prof. Laura Giarré

Controllo in cascata

• Fase 2: progetto dell’anello esterno

• Il regolatore       è progettato sulla base della dinamica di      e del  disturbo “n” senza considerare la dinamica dall’anello interno (che viene  approssimata con un corto circuito, ovvero         ) imponendo pulsazioni di  attraversamento compatibili con la dinamica di      e con la presenza di un  eventuale disturbo di tipo “n” (      )      

10-1 100 102 103

-60 -40

-20 0 20 40

60 Bode Plot

Dinamiche imposte “lente”

- -

(39)

CA  2018‐2019  Prof. Laura Giarré

Controllo in cascata

• Osservazioni:

• Il progetto del regolatore in cascata si basa su un disaccoppiamento frequenziale dei  due anelli di retroazione progettati che induce una doppia scala dei tempi nelle 

dinamiche controllate: l’anello interno risulta essere molto più veloce di quello  esterno (le cui dinamiche risultano poi essere quelle dell’uscita del sistema  complessivo)

• In molti casi di interesse ingegneristico il controllo in cascata è l’unica soluzione al  fine di soddisfare le specifiche (in apparenza contrastanti) sull’attenuazione dei  disturbi in alta (“n”) e in bassa (“d”) frequenza

• Questo approccio al controllo riduce un problema di controllo “complicato” 

(controllo di due dinamiche) in due sottoproblemi “semplici” (controllo delle due 

dinamiche considerate singolarmente)

(40)

CA  2018‐2019  Prof. Laura Giarré

Specifiche:

1) Ingresso di set point: e =0 (ingresso a gradino),

2) Attenuazione di almeno 20 dB di un disturbo “n” che agisce nello spettro n ≥ 10 rad/s

3) Attenuazione di almeno 20 dB di un disturbo “d” che agisce nello spettro

d ≤ 0.5 rad/s. e=0 per ingresso di disturbo a gradino

Controllo in cascata

• Esempio

Specifiche contrastanti

(41)

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Controllo in cascata

• Progettazione dell’anello interno

• Regolatore PI:

-40 -20 0 20 40

Magnitude (dB)

10-1 100 101 102

-105 -100 -95 -90

Phase (deg)

Bode Diagram Gm = Inf , Pm = 80 deg (at 5 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

Polo nell’origine per il disturbo costante

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

-0.5 0 0.5 1 1.5

-

(42)

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Controllo in cascata

• progettazione dell’anello esterno

• Regolatore PI:       

-80 -60 -40 -20 0 20 40

Magnitude (dB)

10-2 10-1 100 101 102

-180 -135 -90 -45 0

Phase (deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

tempo

y

Considerando il loop interno come un corto circuito

- -

(43)

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• progettazione dell’anello esterno

• Regolatore PI:       

Controllo in cascata

-80 -60 -40 -20 0 20 40

Magnitude (dB)

10-2 10-1 100 101 102

-180 -135 -90 -45 0

Phase (deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

tempo

y

Si considerano entrambi i loop di controllo

- -

(44)

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Compensazione in avanti di un disturbo misurabile

• Sistema descritto da

e caratterizzato quindi da un disturbo d sull’uscita misurabile (o  stimabile in qualche modo)

• Sfruttando il fatto che d è conosciuto è possibile compensare in  anello aperto il disturbo sull’uscita agendo su u

+ +

(45)

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Compensazione in avanti di un disturbo misurabile

• Considerazioni analoghe a quelle relativa alla compensazione in  avanti del riferimento:

• R(s) progettato al fine di garantire le specifiche del sistema retroazionato in  maniera robusta

• M(s) per migliorare le performance in termini di riduzione del disturbo 

-

+ + + +

(46)

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Compensazione in avanti di un disturbo misurabile

-

+ + + +

Vecchia funzione di sensitività (solo retroazione)

Se

(47)

CA  2018‐2019  Prof. Laura Giarré

• Problemi di realizzabilità di

• zeri a parte reale positiva e ritardi in G(s)

• grado relativo  

• Si può approssimare la fdt nell’intervallo di pulsazioni a cui agisce il  disturbo d in modo tale che 

• Per disturbi d costanti, si può ricorrere a un compensatore statico Compensazione in avanti di un disturbo misurabile

per

(48)

CA  2018‐2019  Prof. Laura Giarré

• Esempio

• Senza il compensatore M(s)

Compensazione in avanti di un disturbo misurabile

-

+ +

0 5 10 15 20 25 30

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

tempo

uscita

10-2 10-1 100 101 102

-25 -20 -15 -10 -5 0 5

Magnitude (dB)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Funzione di sensitività Risposta al gradino

misurabile

(49)

CA  2018‐2019  Prof. Laura Giarré

Compensazione in avanti di un disturbo misurabile

• Nel caso ideale

Con il compensatore M(s) 

-20 0 20 40 60 80 100

Magnitude (dB)

10-2 10-1 100 101 102 103

0 45 90 135 180 225 270

Phase (deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

M ideale M reale

Poiché M(s) non è fisicamente realizzabile la si approssima

considerando solo il polo G(s) più lento

0 5 10 15 20 25 30

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

tempo

uscita

10-2 10-1 100 101 102

-80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10

Magnitude (dB)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

0.3 rad/s

Funzione di sensitività Risposta al gradino

(50)

CA  2018‐2019  Prof. Laura Giarré

Compensazione in avanti di un disturbo misurabile

• Nel caso ideale

• Con il compensatore M(s) 

-20 0 20 40 60 80 100

Magnitude (dB)

10-2 10-1 100 101 102 103

0 45 90 135 180 225 270

Phase (deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

M ideale M reale

Poiché M(s) non è fisicamente realizzabile la si approssima

considerando solo il polo G(s) più lento

0 5 10 15 20 25 30

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

tempo

uscita

10-2 10-1 100 101 102

-80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10

Magnitude (dB)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

0.3 rad/s

Funzione di sensitività Risposta al gradino

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