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Corso di Teoria dei Gruppi - a.a. 2009-2010 Esercizi 2 1. Descrivere i sottogruppi di Sylow di S

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Corso di Teoria dei Gruppi - a.a. 2009-2010 Esercizi 2

1. Descrivere i sottogruppi di Sylow di S

3

, S

4

e A

5

.

2. Quanti possono essere gli 11-Sylow e i 3-Sylow in un gruppo di ordine 3 · 11

3

?

3. Mostrare che ogni gruppo di ordine 5 · 7 · 11 ha un unico 11-Sylow e un unico 7-Sylow. Quanti possono essere i 5-Sylow?

4. Mostrare che ogni gruppo G di ordine 25 · 49 ha un sottogruppo normale di ordine 25 e uno di ordine 49. Dedurne che G ` e abeliano.

5. Sia G un gruppo di ordine p

2

q, dove p e q sono primi. Mostrare che G ha un sottogruppo normale non banale.

6. Sia G un gruppo di ordine 231. Mostrare che l’11-Sylow ` e contenuto nel centro di G.

7. (a) Sia G un gruppo di ordine 30. Mostrare che G ha sottogruppi normali di ordini 3, 5, 15.

(b) Classificare, a meno di isomorfismo, tutti i gruppi di ordine 30.

8. Sia G un gruppo finito, e sia H un suo sottogruppo di Sylow. Mostrare che N (N (H)) = N (H).

Riferimenti

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