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Avvertenza: Le domande e a volte le risposte, sono tratte dal corpo del messaggio delle mails in cui non si ha a dispo- sizione un editor matematico e quindi presentano una simbologia non corretta, ma comprensibile per questo scopo.
[…] Ho un dubbio riguardante l'argomento delle funzioni (iniettività e surgettività).
In pratica, riesco a capire quando una funzione è surgettiva;non capisco,però, come giustificare la surgetti- vità di questa funzione:
Sia f : Q^2 -> Q la funzione definita da f ((x, y)) = x + y se x >= 0
2x se x < 0
Noto che per x<0 sono compresi sia i pari che i dispari,le frazioni e i numeri interi;stessa cosa per x>=0.
Mi domando:come faccio (nell'esame di domani) a giustificarlo nella maniera corretta??(per farle capire me- glio,come faccio a dire che se esiste ad esempio una coppia di numeri con immagine 6 ne esiste un'altra con immagine uguale a un altro numero intero qualsiasi?)
Non so se sono stata chiara...
La funzione è : f: QxQ→Q definita così f((x,y)) =
⎩⎨
⎧
<
≥ +
0 x se 2x
0 x se y x
Il dominio è suddiviso in due :
le coppie (x,y) con la prima componente x ≥0 e le coppie (x,y) con la prima componente x <0.
In genere in questo tipo di esercizi in cui la funzione è definita ′a pezzi′ occorre sdoppiare la prova della surgettività. Allora sdoppiamo l’insieme di arrivo in elementi ≥0 ed elementi <0 ( questo è un modo, si potrebbe farlo in modi diversi ! )
Se a∈Q ed è a≥0 ⇒ esiste (a,0)∈QxQ t.c. f((a,0)) = a+0=a ( ho usato la definizione di f nel primo caso, cioè quello in cui la prima componente è ≥0 )
Se a∈Q ed è a<0 ⇒ esiste ( 2
a,0)∈QxQ t.c. f((
2
a,0)) = 2 2
a= a ( ho potuto usato la definizione di f
nel secondo caso, cioè quello in cui la prima componente è <0 , perché è
2
a<0 , essendo a<0 ).
Così qualunque sia l’elemento a nell’insieme di arrivo, trovo sempre un elemento del dominio che
″va a finire, mediante f ″ in a .
Le suggerisco, anche in casi più semplici di questo, di verificare prima (su un suo foglio a parte) qualche caso particolare, per rendersi conto se davvero la funzione è surgettiva. Questo aiuta sempre a stabilire la non surgettività e anche nel caso che la funzione sia surgettiva, suggerisce un metodo valido per tutti gli elementi e fare così poi la prova della surgettività.
1.DOMANDA SULLE FUNZIONI : COME GIUSTIFICARE LA SURGETTIVITÀ DI QUESTA FUNZIONE …
Si è spiegata benissimo! Lei ha capito esattamente dove sta il problema. L’esercizio non è dei più elementari, una soluzione è ad esempio questa, cerco di commentargliela.
RRIISSPPOOSSTTAA
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[…] riguardo al primo esercizio appartenente alla prova scritta del 11-01-2007, alla domanda trovare, se esistono, tre coppie distinte aventi immagine (1,2), per la funzione f: ZxZ→ZxZ definita da
f(z,w)=(z+w, 2z+2w) io ho svolto così:
dato che ho definita f(z,w)=(z+w,2z+2w) e ho la coppia (1,2) ciò vuol dire che z+w=1 e 2z+2w=2 quindi devo trovare valori che sostituiti a z e w mi diano 1 in z+w e 2 in 2z+2w. Io ho trovato le seguenti coppie (1,0)(0,1)(-5,6).
Va bene !
[…] L'altra domanda è dire se la funzione è surgettiva: come faccio a provare se una funzione è surgettiva?
2.DOMANDA SULLE FUNZIONI :DUBBIO SULLA PRIMA DOMANDA DELLA PROVA SCRITTA DELL’11.01.07
La funzione data è f: ZxZ →ZxZ definita da f(z,w)=(z+w,2z+2w).
La funzione è surgettiva se Im(f) coincide con l’insieme ZxZ di arrivo, ossia se l’insieme dei trasformati del dominio mediante f coincide con tutto il codominio ZxZ.
f trasforma l’elemento (z,w) del dominio ZxZ nell’elemento (z+w,2z+2w) del codominio ZxZ
Gli elementi (z+w,2z+2w) al variare di z, w in Z danno tutto ZxZ ?
Allora ad esempio l’elemento (1,3) del codominio non può essere raggiunto mediante f essendo il 3 dispari ! Quindi f NON è surgettiva.
Un altro modo poteva essere quello di notare che gli elementi (z+w,2z+2w) hanno la seconda componente doppia della prima , e quindi non possono ′ricoprire′ tutto il codominio, ad esempio l’elemento (1,3) non viene raggiunto poiché 3 non è doppio di 1.
questo numero è pari RRIISSPPOOSSTTAA
RRIISSPPOOSSTTAA
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[..] Il primo esercizio era questo:
Sia f: R x R ---> R definita da f(z,w) = z³ + w² a) Dire se f è iniettiva
b) Dire se f è surgettiva
- Per la risposta a) la funzione non è iniettiva perchè ad esempio f(1,0) = f(0,1) = 1.
- Per la b) ho pensato a questa cosa:
per ogni x appartenente ad R vale questa uguaglianza: f(3 x , 0) = (3 x )³ + 0 = x ed essendo il dominio e il codominio della funzione radice cubica definiti su R, la funzione è surgettiva.
Volevo chiederle se è corretta la mia idea e se questo tipo di risposta è valida come risposta nella prova d'esame.
[…]volevo sapere si mi può spiegare brevemente come fare il sistema per vedere se una funzione è iniettiva e/o surgettiva.
E' iniettiva se: f(x)=f(y) => x=y.
Per esempio la funzione f : N x N in Z data da f((x,y)) = 2x-y.
La soluzione dice che non è iniettiva perchè: f((1,2)) = 0 = f((2,4)).
Ma (1,2) e (2,4) come sono stati trovati?
3.DOMANDA SULLE FUNZIONI :IL PRIMO ESERCIZIO DELLA PROVA SCRITTA DEL 14.06.07
Risposta validissima !
4.DOMANDA SULLE FUNZIONI : COME SI FA A VEDERE SE UNA FUNZIONE E’INIETTIVA/SURGETTIVA ?
Se prendo a caso due coppie distinte in NxN ad esempio (0,1), (1,1), risulta f((0,1))= 2(0)-1 = -1 e f((1,1))= 2(1)-1 =1 . Così ho trovato due elementi distinti nel dominio che hanno immagine distinta nel codominio.
Ma sarà così tutte le volte che considero due coppie distinte nel dominio ?
E qua basta saper trovare le 2 coppie 'buone' , ad esempio (1,2), (2,4) coppie diverse, che hanno la stessa immagine =0.
Oppure ( 1,3) , (2,5) ( molto meno spontaneo ! ) , ma va bene perchè f(( 1,3))=2(1)-3=-1 e f(( 2,5))=2(2)-5 = 4-5=-1 .
Dunque per i casi in cui le funzioni NON sono surgettive/iniettive basta trovare un caso, un esempio numerico.
Per i casi invece in cui la funzione è iniettiva/surgettiva bisogna dimostrarlo per tutti gli elementi e per questo può riguardare l'esercizio 1 della mia seconda esercitazione (31.10.2006) , all’URL
http://www.dima.unige.it/~baratter/2006.10.31_o.pdf , dove trova:
- la prova dell'iniettività che equivale in quel caso a studiare un sistema di due equazioni e - la prova della surgettività che equivale a risolvere un'equazione.
La definizione di f , detta a parole, è: alla coppia di numeri naturali (x,y) faccio corrispondere il numero intero 2x-y , ossia il doppio della prima componente meno la seconda componente.
RRIISSPPOOSSTTAA RRIISSPPOOSSTTAA
