Vettorie TransformazioniSpaziali Marco Tarini RappresentazioneTrasformazioni

Game Dev Verona 2014

Rappresentazione Trasformazioni

Marco Tarini

Vettori e

Transformazioni Spaziali

Mathematics for 3D Game Progr. and C.G. (3za ed) Eric Lengyel

Capitoli 2, 3, 4

Intro

Vettori

n-ple di scalari

Nei games, tipicamente, con n = 2,3,4 nei games usati per rappresentare:

Posizioni (punti)

Direzioni (vettori direzione) E anche:

delta fra posizioni (spostamenti) Quantità fisiche correlate

(velocità, momenti, momenti angolari) e: piani, sfere, rette, raggi...

Posizioni e direzioni

g

Classi utili

di trasformazioni

Lineari (trasformaz. affini)

Similitudini (trasformaz. conformali)

“Mantengono gli angoli”

Rotaz + Traslaz + Scaling uniforme

Isometrie (rototraslazione)

“Mantengono la magnitudine”

Rotaz + Traslaz

) ( )

( )

(

f

α + β = α + β

Come rappresento le rotazioni in 3D?

Cioè anche gli orientamenti

di un oggetto nello spazio

Reminder

Tutte e sole le isometrie (trasf. rigide)

= roto-traslazioni

= rotazioni (*) + traslazioni

Rotazioni (*) :

quante possibili?

come rappresentarle (internamente)?

(*) generiche = attorno ad assi passanti per l’origine

Rotazioni in R3:

quante possibili?

R0

R1

R2

R3

R4

R5

R6

R7

R8

R9

R10

R11

R12

R13

etc etc

Rotazioni in R3:

quante possibili?

R0

(e ovviamente includono l’identità)

Reppresentazioni possibili per rotazioni

Buone (o meno) per:

compattezza

quanto sono prolisse in memoria?

facilità di applicazione

quanto è oneroso applicare ad uno (o ventimila) punti / vettori?

interpolabilità

è possibile/facile trovare un’inerpolazione fra N rotazioni date?

quanto è “buono” il risultato

combinabilità

è facile trovare la risultante di N rotazioni date, eseguite in successione?

invertibilità

è facile trovare l’inversa?

Per paragone:

reppresentazione delle traslazioni

Banale:

vettore di displacement (tre float)!

perfetta secondo tutti i criteri (verificare!)

Reppresentazioni per rotazioni

Molte possibili,

con vantaggi e svantaggi diversi Tutte molto diffuse ed usate

Modi per passare da una rappr. all’altra?

Perché è utile interpolare rotazioni:

esempio: animazioni

tempo 100

tempo 200 tempo 150

R ₁

R ₂ R _i

?

Perché è utile cumulare rotazioni:

esempio: scenegraph

spazio mondo (globale) spazio oggetto ruota 1 spazio oggetto automobile

Perché è utile cumulare rotazioni:

esempio: scenegraph

R

R0

R1 R2

R3 R4 R5 R6

“

seguito da R0

”

Reppresentazioni principali delle rotazioni

Matrici 3x3

Modo 1: matrice 3x3

(sottomatrice 3x3 della matrice di rot 4x4)

come sappiamo, R ortonormale con det = 1

R ^{0 0}

0 0 0 0 1

Modo 1: matrice 3x3

Prolissa (9 numeri invece di 3)

Abb. facile da applicare (molt matrice-vettore)

come sappiamo, cumulabile con qualunque altra trasf. affine

Abb. facile da cumulare (molt matrice-matrice) Facilissima da invertire (trasposiz matrice) Problematica da interpolare:

R ₀

k + (1-k) R ₁ ⁼ M

perché?

Reppresentazioni principali delle rotazioni

Matrici 3x3

Angoli di Eulero

Modo 2: angoli di eulero

Qualunque rotazione (*) può essere espressa come:

rotazione lungo asse X (di α gradi), seguita da:

rotazione lungo asse Y (di β gradi), seguita da:

rotazione lungo asse Z (di γgradi):

Angoli α β γ :

“angoli di Eulero” di quella rotazione

(quindi: le “coordinate” di quella rotaz)

oridine (X-Y-Z) arbitrariamente scelto,

(ma 1 volta x tutte)

Modo 2: angoli di eulero

In linguaggio nautico / areonautico:

angoli di “rollio, beccheggio, imbardata”

rollio (roll )

beccheggio (pitch )

imbardata (yaw )

Modo 2: angoli di eulero

Implementaz.

fisica:

“mappamondo

a tre assi”

Modo 2: angoli di eulero

(3 floats)

Compattezza: perfect!

Da applicare: facilino

(se a molti punti, meglio passare a matrice)

Da interpolare: possibile…

intrerpolaz dei tre angoli (occhio ad interpolare angoli:

ricordarsi equivalenza angoli: α = α +360 (k) )

…ma risultati non sempre intuitivi) Da cumulare e invertire: problematico…

perché sommare e invertire gli angoli non funziona?

da: angoli di eulero a: matrice 3x3

Facile!

Il viceversa?

(solo a suon di conti e funz trigon. inverse)

( ) ^γ _y ( ) ( ) ^β _x ^α

z R R

R

M = ⋅ ⋅

Reppresentazioni principali delle rotazioni

Matrici 3x3

Angoli di Eulero Asse + angolo

Modo 3: asse e angolo

Qualunque rotazione (*) data può essere espressa come:

una (sola!) rotazione (di un angolo ) attorno ad un asse

Angolo: uno scalare

Asse: un vettore normale

(asse passante per l’origine)

opportunamente scelti

Modo 3: asse e angolo

Compattezza: molto buono Interpolazione: ottimo!

interpolare asse, intrerpolare angolo (nb: rinormalizzare asse!)

Applicare: male

modo migliore: passare a matrice 3x3 (o a quaternione)

Cumulare: male Invertire: facilissimo

(invertire angolo oppure asse)

Modo 3: asse e angolo:

variante

asse: v

angolo: α

rappresentarli internamente

come 1 solo vett: v’

v’ = α v

angolo α = |v’ | asse v =v’ / |v’ |

(nota: se angolo = 0, asse si perde… infatti non conta)

Più coinciso, ma per il resto equivalente

(comune es. in fisica)

Reppresentazioni principali delle rotazioni

Matrici 3x3

Angoli di Eulero Asse + angolo Quaternioni

Ripasso: numeri complessi

Conseguenze:

“Num complesso”: (a + b i ) interpretaz geom: punti 2D (a , b) Moltiplicaz fra complessi: …

interpretaz geom: … Dunque:

moltiplicare per ruotare in 2D numero complesso (attorno (a norma 1) all’origine) numeri complessi rappresentaz (a norma 1) rotazioni in 2D

Assunzione

“fantasiosa”:

c’è un t.c.

1

Passare ai quaternioni

Conseguenze:

“Quaternione”: (a i+bj+ck+d )

interpr. geom: punti 3D (a,b,c), quando d=0

Molitplicare due quat: … Invertire un quat: …

Coniungare due quat q e p (fare q p q^-1): …

interpretaz geom: ruoto p

Dunque:

coniugare con un ruotare in 3D quat (con norma 1) (asse pass. x ori) quaternioni rappresentaz

(a norma 1) rotazioni in 3D Assunzione

“fantasiosa”:

ci sono t.c.

cioè:

i²= j²= k²= -1 ij = k ji = -k jk = i kj = -j ki = j ij = -k

x i j k

i -1 -k -j

j k -1 -i

k j i -1

Modo 4: “quaternioni”

Compattezza: abbastanza bene Cumulare: facillimo ;)

Invertire: facillimo ;)

Interpolare: facillimo ;) e best results!

Applicazione diretta: facillimo ;)

(ma, per cumulare con altre trasformazioni, meglio passare a forma matriciale cmq)

Modo 4: “quaternioni”

(cenni)

analogo (in 4D) dei numeri complessi (in 2D) struttura simile ad asse + angolo:

q = (asse

, asse

, asse

, cos( angolo / 2) )

| q | = 1

teoria molto elegante e solida ecco un altro “vec4” molto utile!

storia:

roba di mezz’800!

cross e dot products emergono dalla loro teoria (!) nati proprio per lo scopo (rappresentare rotazioni)

Reppresentare rotazioni

Matrici 3x3

Angoli di Eulero Asse + angolo Quaternioni

+ Traslazione

(displ. vec)

Dual Quaternions

roto-traslazioni

Reminder:

Trasformazioni nel pipeline grafico

Oggetto

Spazio Mondo

Spazio Schermo Spazio

Vista

Trasforamzione di Modellazione

Trasforamzione di Vista

Trasforamzione di Proiezione e Viewport

Esempio:

Trasformazioni in unity

Lineari (trasformaz. affini)

Similitudini (trasformaz. conformali)

“Mantengono gli angoli”

Rotaz + Traslaz + Scaling uniforme

Isometrie (rototraslazione)

“Mantengono la magnitudine”

Rotaz + Traslaz

) ( )

( )

(

f

α + β = α + β

anisotropico anisotropico anisotropico anisotropico

class Transform