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Reticolo reciproco. Diffrazione da reticolo.

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Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta

Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale della presente opera.

Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)

Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore

Reticolo reciproco.

Diffrazione da reticolo.

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Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta

Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale della presente opera.

Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)

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Reticolo reciproco

Sistema reticolare: periodico

––> ogni grandezza fisica sarà periodica con stesso periodo.

Ogni grandezza periodica può essere espressa in serie di Fourier:

Introduction to Quantum Mechanics 93

3.4. Reciprocal lattice

In previous sections, we have introduced a wavenumber k to describe energy states in a crystal. This wavenumber has the dimension of an inverse distance and is related to the crystal momentum via Planck’s constant. So far, the analysis was restricted to one dimension. Before moving to a three- dimensional description, we need to introduce the concept of reciprocal

lattice or momentum space.

The motivation for developing this concept is to provide a space in which the wavenumber can evolve, just as the position coordinates (x,y,z) evolve in real space. The utility of the reciprocal lattice goes even beyond, as it is constantly used when describing wave diffraction phenomena, e.g. x- ray or electron wave diffraction. In this section, we will briefly discuss how to construct this lattice from the real space lattice.

It is mathematically known that any periodic function can be expanded into a Fourier series or sum. In a crystal lattice, all physical quantities have the periodicity of the lattice, in all directions. Let us consider such a physical quantity and denote it as From now, we will use a three-dimensional formalism. This function can be expanded into a Fourier series:

where the vector is used to index the summation and the Fourier coefficients This vector has the dimension of an inverse distance and can take any continuous value and direction. Let us now express that the function is periodic by calculating its value after displacement by a

lattice vector

which becomes:

Eq. ( 3.39 ) has to be satisfied for any given function which is periodic

Dove è un vettore di somma tridimensionale, e ha dimensioni [l]-1. La medesima grandezza fisica deve essere invarante per una

traslazione di un vettore di reticolo

→K

→R

Introduction to Quantum Mechanics 93

3.4. Reciprocal lattice

In previous sections, we have introduced a wavenumber k to describe energy states in a crystal. This wavenumber has the dimension of an inverse distance and is related to the crystal momentum via Planck’s constant. So far, the analysis was restricted to one dimension. Before moving to a three- dimensional description, we need to introduce the concept of reciprocal lattice or momentum space.

The motivation for developing this concept is to provide a space in which the wavenumber can evolve, just as the position coordinates (x,y,z) evolve in real space. The utility of the reciprocal lattice goes even beyond, as it is constantly used when describing wave diffraction phenomena, e.g. x- ray or electron wave diffraction. In this section, we will briefly discuss how to construct this lattice from the real space lattice.

It is mathematically known that any periodic function can be expanded into a Fourier series or sum. In a crystal lattice, all physical quantities have the periodicity of the lattice, in all directions. Let us consider such a physical quantity and denote it as From now, we will use a three-dimensional formalism. This function can be expanded into a Fourier series:

where the vector is used to index the summation and the Fourier coefficients This vector has the dimension of an inverse distance and can take any continuous value and direction. Let us now express that the function is periodic by calculating its value after displacement by a

lattice vector

which becomes:

Eq. ( 3.39 ) has to be satisfied for any given function which is periodic with the periodicity of the lattice. This can be satisfied if and only if:

3.4. Reciprocal lattice

In previous sections, we have introduced a wavenumber k to describe energy states in a crystal. This wavenumber has the dimension of an inverse distance and is related to the crystal momentum via Planck’s constant. So far, the analysis was restricted to one dimension. Before moving to a three- dimensional description, we need to introduce the concept of reciprocal

lattice or momentum space.

The motivation for developing this concept is to provide a space in which the wavenumber can evolve, just as the position coordinates (x,y,z) evolve in real space. The utility of the reciprocal lattice goes even beyond, as it is constantly used when describing wave diffraction phenomena, e.g. x- ray or electron wave diffraction. In this section, we will briefly discuss how to construct this lattice from the real space lattice.

It is mathematically known that any periodic function can be expanded into a Fourier series or sum. In a crystal lattice, all physical quantities have the periodicity of the lattice, in all directions. Let us consider such a physical quantity and denote it as From now, we will use a three-dimensional formalism. This function can be expanded into a Fourier series:

where the vector is used to index the summation and the Fourier coefficients This vector has the dimension of an inverse distance and can take any continuous value and direction. Let us now express that the function is periodic by calculating its value after displacement by a

lattice vector

which becomes:

Eq. ( 3.39 ) has to be satisfied for any given function which is periodic with the periodicity of the lattice. This can be satisfied if and only if:

Introduction to Quantum Mechanics 93

3.4. Reciprocal lattice

In previous sections, we have introduced a wavenumber k to describe energy states in a crystal. This wavenumber has the dimension of an inverse distance and is related to the crystal momentum via Planck’s constant. So far, the analysis was restricted to one dimension. Before moving to a three- dimensional description, we need to introduce the concept of reciprocal lattice or momentum space.

The motivation for developing this concept is to provide a space in which the wavenumber can evolve, just as the position coordinates (x,y,z) evolve in real space. The utility of the reciprocal lattice goes even beyond, as it is constantly used when describing wave diffraction phenomena, e.g. x- ray or electron wave diffraction. In this section, we will briefly discuss how to construct this lattice from the real space lattice.

It is mathematically known that any periodic function can be expanded into a Fourier series or sum. In a crystal lattice, all physical quantities have the periodicity of the lattice, in all directions. Let us consider such a physical quantity and denote it as From now, we will use a three-dimensional formalism. This function can be expanded into a Fourier series:

where the vector is used to index the summation and the Fourier coefficients This vector has the dimension of an inverse distance and can take any continuous value and direction. Let us now express that the function is periodic by calculating its value after displacement by a

lattice vector

which becomes:

Eq. ( 3.39 ) has to be satisfied for any given function which is periodic with the periodicity of the lattice. This can be satisfied if and only if:

−→ eiK·R = 1 −→ −→

K · −→

R = 2πm con m = 0, ±1, ±2, ...

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Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale della presente opera.

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Reticolo reciproco

con m = 0, ±1, ±2, ...

→K · −→

R = 2πm

R = n1a + n2

b + n3c

→K · −→

R = n1−→

K · −→a + n2−→

K · −→

b + n3−→

K · −→c = 2πm

e questo richiede (se m è qualunque) che ciascuno dei tre termini nella somma sia un intero:

94 Fundamentals of Solid State Engineering

for any lattice vector ( 3.40 ) is the major relation which allows us to introduce the so-called reciprocal lattice in which evolve the vectors What follows next is a pure mathematical consequence of Eq. ( 3.40 ) which is equivalent to:

where is an integer. Using the expression for from Eq. ( 1.1 ) of Chapter 1, we obtain:

where and are arbitrary integers which come from the choice of the vector Because the sum of three terms is an integer if and only if each term itself is integer, Eq. ( 3.42 ) leads us to:

Here, is not related to Planck’s constant.

Let us now define three basis vectors in order to express in the same way as we did it for real lattice vectors in Eq. ( 1.1 ) of Chapter 1.

These basis vector define what we call the reciprocal lattice. Any reciprocal lattice vector can thus be represented as:

From Eq. ( 3.43 ) and Eq. ( 3.44 ) we have:

or:

Si definisca un reticolo, detto reticolo reciproco, attraverso una base composta da vettori A, B, C t.c.

94 Fundamentals of Solid State Engineering

for any lattice vector ( 3.40 ) is the major relation which allows us to introduce the so-called reciprocal lattice in which evolve the vectors What follows next is a pure mathematical consequence of Eq. ( 3.40 ) which is equivalent to:

where is an integer. Using the expression for from Eq. ( 1.1 ) of Chapter 1, we obtain:

where and are arbitrary integers which come from the choice of the vector Because the sum of three terms is an integer if and only if each term itself is integer, Eq. ( 3.42 ) leads us to:

Here, is not related to Planck’s constant.

Let us now define three basis vectors in order to express in the same way as we did it for real lattice vectors in Eq. ( 1.1 ) of Chapter 1.

These basis vector define what we call the reciprocal lattice. Any reciprocal lattice vector can thus be represented as:

From Eq. ( 3.43 ) and Eq. ( 3.44 ) we have:

or:

Allora:

94 Fundamentals of Solid State Engineering

for any lattice vector ( 3.40 ) is the major relation which allows us to introduce the so-called reciprocal lattice in which evolve the vectors What follows next is a pure mathematical consequence of Eq. ( 3.40 ) which is equivalent to:

where is an integer. Using the expression for from Eq. ( 1.1 ) of Chapter 1, we obtain:

where and are arbitrary integers which come from the choice of the vector Because the sum of three terms is an integer if and only if each term itself is integer, Eq. ( 3.42 ) leads us to:

Here, is not related to Planck’s constant.

Let us now define three basis vectors in order to express in the same way as we did it for real lattice vectors in Eq. ( 1.1 ) of Chapter 1.

These basis vector define what we call the reciprocal lattice. Any reciprocal lattice vector can thus be represented as:

From Eq. ( 3.43 ) and Eq. ( 3.44 ) we have:

or:

Introduction to Quantum Mechanics 95

Eq. ( 3.45 ) can be satisfied only when:

Eq. ( 3.46 ) defines the relation between the direct and reciprocal basis lattice vectors, and gives the means to construct

from

These relations are a natural consequence of vector algebra in three dimensions. The volumes that these basis vectors define in the real and reciprocal lattices satisfy the relation (see Problems):

The concept of reciprocal or momentum space is extremely important for the classification of electron states in a crystal. Indeed, there is no sense

Introduction to Quantum Mechanics 95

Eq. ( 3.45 ) can be satisfied only when:

Eq. ( 3.46 ) defines the relation between the direct and reciprocal basis lattice vectors, and gives the means to construct

from

These relations are a natural consequence of vector algebra in three dimensions. The volumes that these basis vectors define in the real and reciprocal lattices satisfy the relation (see Problems):

The concept of reciprocal or momentum space is extremely important for the classification of electron states in a crystal. Indeed, there is no sense in asking where an electron is the crystal because it is everywhere as it

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Reticolo reciproco

for any lattice vector ( 3.40 ) is the major relation which allows us to introduce the so-called reciprocal lattice in which evolve the vectors What follows next is a pure mathematical consequence of Eq. ( 3.40 ) which is equivalent to:

where is an integer. Using the expression for from Eq. ( 1.1 ) of Chapter 1, we obtain:

where and are arbitrary integers which come from the choice of the vector Because the sum of three terms is an integer if and only if each term itself is integer, Eq. ( 3.42 ) leads us to:

Here, is not related to Planck’s constant.

Let us now define three basis vectors in order to express in the same way as we did it for real lattice vectors in Eq. ( 1.1 ) of Chapter 1.

These basis vector define what we call the reciprocal lattice. Any reciprocal lattice vector can thus be represented as:

From Eq. ( 3.43 ) and Eq. ( 3.44 ) we have:

or:

Introduction to Quantum Mechanics 95

Eq. ( 3.45 ) can be satisfied only when:

Eq. ( 3.46 ) defines the relation between the direct and reciprocal basis lattice vectors, and gives the means to construct

from

These relations are a natural consequence of vector algebra in three dimensions. The volumes that these basis vectors define in the real and reciprocal lattices satisfy the relation (see Problems):

The concept of reciprocal or momentum space is extremely important

Si può allora costruire il reticolo reciproco (A B C) a partire dal reticolo diretto (a b c):

con hi = 0, ±1, ±2, ... e

Introduction to Quantum Mechanics 95

Eq. ( 3.45 ) can be satisfied only when:

Eq. ( 3.46 ) defines the relation between the direct and reciprocal basis lattice vectors, and gives the means to construct

from

These relations are a natural consequence of vector algebra in three dimensions. The volumes that these basis vectors define in the real and reciprocal lattices satisfy the relation (see Problems):

The concept of reciprocal or momentum space is extremely important for the classification of electron states in a crystal. Indeed, there is no sense in asking where an electron is the crystal because it is everywhere as it

Si dimostra che il volume della cella nello spazio reciproco vale:

Introduction to Quantum Mechanics 95

Eq. ( 3.45 ) can be satisfied only when:

Eq. ( 3.46 ) defines the relation between the direct and reciprocal basis lattice vectors, and gives the means to construct

from

These relations are a natural consequence of vector algebra in three dimensions. The volumes that these basis vectors define in the real and reciprocal lattices satisfy the relation (see Problems):

The concept of reciprocal or momentum space is extremely important for the classification of electron states in a crystal. Indeed, there is no sense in asking where an electron is the crystal because it is everywhere as it

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Reticolo reciproco

94 Fundamentals of Solid State Engineering

for any lattice vector ( 3.40 ) is the major relation which allows us to introduce the so-called reciprocal lattice in which evolve the vectors What follows next is a pure mathematical consequence of Eq. ( 3.40 ) which is equivalent to:

where is an integer. Using the expression for from Eq. ( 1.1 ) of Chapter 1, we obtain:

where and are arbitrary integers which come from the choice of the vector Because the sum of three terms is an integer if and only if each term itself is integer, Eq. ( 3.42 ) leads us to:

Here, is not related to Planck’s constant.

Let us now define three basis vectors in order to express in the same way as we did it for real lattice vectors in Eq. ( 1.1 ) of Chapter 1.

These basis vector define what we call the reciprocal lattice. Any reciprocal lattice vector can thus be represented as:

From Eq. ( 3.43 ) and Eq. ( 3.44 ) we have:

or:

Si vede immediatamente che, limitatamente ai reticoli (diretti) con celle parallepipede (ortorombico, tetragonale, cubico), il vettori di reticolo reciproco sono paralleli ai

rispettivi vettori di reticolo diretto: a // A, etc.

con hi = 0, ±1, ±2, ... e

Introduction to Quantum Mechanics 95

Eq. ( 3.45 ) can be satisfied only when:

Eq. ( 3.46 ) defines the relation between the direct and reciprocal basis lattice vectors, and gives the means to construct

from

These relations are a natural consequence of vector algebra in three dimensions. The volumes that these basis vectors define in the real and reciprocal lattices satisfy the relation (see Problems):

The concept of reciprocal or momentum space is extremely important for the classification of electron states in a crystal. Indeed, there is no sense in asking where an electron is the crystal because it is everywhere as it

Si ha direttamente la proprietà: −→a · −→

A = 2π

→b · −→

B = 2π

→c · −→

C = 2π

Si dimostra che, se d è la distanza interpiano del set di piani paralleli corrispondenti agli indici di , e è il versore ortogonale a detti piani, si ha:

ovvero più esplicitamente:

K !n K =

d !n

→Kh1,h2,h3 =

dh1,h2,h3 !n

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Zone di Brillouin

Definizione. Zona di Brillouin: cella primitiva di Wigner-Seitz nel reticolo reciproco

Esempio 1D:

reticolo cristallino reticolo reciproco

a

A 0

K = K = a

a

Prima zona di Brillouin.

Definizione. Prima zona di Brillouin: volume più piccolo racchiuso dai piani bisettori perpendicolari dei vettori di reticolo reciproco tracciati dall’origine.

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Diffrazione da reticolo

Distanze interatomiche: ~ 1Å

––> per lo studio serve una radiazione di λ confrontabile o minore ––> raggi X.

(a causa della forte interazione con la materia, elettroni accelerati con λ simile vengono utilizzati solo per l’analisi delle superfici) Supponiamo di investire un bersaglio (“target”) cristallino in cui il

reticolo di ioni sia rigido e perfettamente periodico con un fascio di raggi X, il quale non vari la sua λ (diffusione elastica).

Inoltre, sia il bersaglio piccolo rispetto alla distanza fra esso e la sorgente e fra esso e il rivelatore.

––> approssimazione di onda piana per la radiazione incidente e diffusa.

Esclusivamente per determinate lunghezze d’onda del fascio incidente e per determinate direzioni di incidenza, vengono rivelati picchi molto intensi nel fascio diffuso dal bersaglio.

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Formulazione di Bragg

Consideriamo la famiglia di piani di indici (hkl), la cui distanza reticolare è dhkl (per brevità d).

Supponiamo che ogni piano dia luogo a riflessione speculare.

La condizione di interferenza costruttiva si ha allora per:

2d sin θ = nλ

L’indice n è detto ordine della riflessione (hkl).

Ogni famiglia di piani origina più riflessioni (di ordini differenti).

Lo stesso cristallo, sezionato secondo piani reticolari differenti, da luogo a differenti riflessioni (indici (hkl)

diversi).

Nell’esempio:

ovvero: il fascio incide nella medesima direzione, ma il fascio diffratto presenta massimi in direzioni diverse (angoli diversi) e/o a lunghezze d’onda diverse

2d! sin θ! = nλ!

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Formulazione di Von Laue

Consideriamo:

un fascio X di vettore d’onda k incidente secondo la direzione n;

un numero grande di centri di diffusione (punti del reticolo) separati dai vettori di reticolo diretto R;

il fascio X diffuso con vettore d’onda k’ secondo la direzione n’; diffusione elastica: stessa λ.

Per due centri di diffusione (atomi del reticolo) separati dal vettore di traslazione d:

differenza di cammino ottico:

condizione di interferenza:

ovvero (moltiplico per 2π/λ):

Si avranno massimi intensi in condizione di interferenza costruttiva da parte di tutti gli N punti reticolari.

k = λ !n

k ! = λ !n!

k ! = λ !n!

k = λ !n

Figure da Ashcroft, Mermin, Solid State Physics, Harcourt College Publishers, 1976

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Figure da Ashcroft, Mermin, Solid State Physics, Harcourt College Publishers, 1976

Formulazione di Von Laue

Ognuno degli N centri è separato da ciascuno degli altri da un vettore R. La condizione di interferenza costruttiva simultanea è allora:

Si avranno massimi intensi in condizione di interferenza costruttiva da parte di tutti gli N punti reticolari.

k = λ !n

k ! = λ !n!

k ! = λ !n!

k = λ !n

Per due centri di diffusione

per ogni vettore di traslazione R, e m intero.

Ovvero: e quindi k’– k = K, vettore di reticolo reciproco.

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Figure da Ashcroft, Mermin, Solid State Physics, Harcourt College Publishers, 1976

Formulazione di Von Laue

Si avranno massimi intensi in condizione di interferenza costruttiva da parte di tutti gli N punti reticolari.

k = λ !n

k ! = λ !n!

k ! = λ !n!

k = λ !n

interferenza costruttiva per k’– k = K, vettore di reticolo reciproco.

Consideriamo il vettore di reticolo reciproco K’ = – K.

Allora la condizione di interfernza risulta k’– k = K’, e poiché k = k’ si ha (quadrando):

ovvero: la componente di k lungo il reticolo reciproco deve essere metà della lunghezza di un vettore di reticolo reciproco.

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Figure da Ashcroft, Mermin, Solid State Physics, Harcourt College Publishers, 1976

Formulazione di Von Laue

Si avranno massimi intensi in condizione di interferenza costruttiva da parte di tutti gli N punti reticolari.

k = λ !n

k ! = λ !n!

k ! = λ !n!

k = λ !n

ovvero: la componente di k lungo il reticolo reciproco deve essere metà della lunghezza di un vettore di reticolo reciproco.

ovvero: k applicato nell’origine deve terminare sul piano bisettore di K, vettore di reticolo reciproco (piani di Bragg).

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Formulazione di Von Laue

Si avranno massimi intensi in condizione di interferenza costruttiva da parte di tutti gli N punti reticolari.

ovvero: k applicato nell’origine deve terminare sul piano bisettore di K, vettore di reticolo

reciproco (piani di Bragg).

Poiché (vedi prima), se d è la distanza interpiano del set di piani paralleli corrispondenti agli indici di , e è il versore ortogonale a detti piani, si ha:

ovvero più esplicitamente:

K !n K =

d !n

→Kh1,h2,h3 =

dh1,h2,h3 !n

si dimostra che la diffrazione di Laue corrisponde alla diffrazione di Bragg dai piani

perpendicolari a K. L’ordine n della riflessione di Bragg è dato dalla lunghezza di K diviso la lunghezza del più corto vettore di reticolo reciproco paralleo a K.

Figure da Ashcroft, Mermin, Solid State Physics, Harcourt College Publishers, 1976

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Solidi

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Legami

Electronic Structure of Atoms 55

for a repulsive one. The resulting interaction is the sum of the two and has a minimum at an equilibrium distance which is reached when the attractive force balances the repulsive force. This equilibrium distance is called the equilibrium separation and is effectively the bond length. The energy required to separate the two atoms represents the cohesive energy or bond formation energy or simply bond energy (also shown in Fig. 2.7).

Similar arguments also apply to bonding between many more atoms, such as the billions of atoms found in a typical macroscopic solid. Even in the presence of many interacting atoms in a solid, we can still identify a general potential energy curve U(r) per atom similar to that one shown in Fig. 2.7. Although the actual details will change from material to material, the general concepts of bond energy per atom and equilibrium interatomic separation will still be valid. These characteristics determine many properties of solids such as for example the thermal expansion

– “elettroni di valenza” (shell non complete) – Energia di interazione per atomo:

Attrattiva a lungo raggio (i solidi si formano)

Repulsiva a corto raggio (la materia non collassa) – Distanza di equilibrio

– Energia di coesione o di legame

Figura da M. Razeghi, Fundamentals of Solid State Engineering, Kluwer, 2002

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Legami ionici

– elettrostatici

– tipicamente fra elementi metallici e non-metallici (“sali”)

Electronic Structure of Atoms 57

Example

Q: Calculate the total coulombic potential energy of a ion in a CsCl crystal by only considering the nearest neighbors of

A: The structure of the CsCl crystal is body-centered cubic.

One ion (at the center of the cube) therefore has 8 nearest neighbors (at the corners of the cube). Since

Electronic Structure of Atoms 57

Example

Q: Calculate the total coulombic potential energy of a ion in a CsCl crystal by only considering the nearest neighbors of

A: The structure of the CsCl crystal is body-centered cubic.

One ion (at the center of the cube) therefore has 8 nearest neighbors (at the corners of the cube). Since the lattice constant for CsCl is a=4.11 Å, the distance between a and one of its neighbors is

Energia con cui l’i-esimo ione è attirato dal cristallo:

Si dimostra (r0 è la distanza di equilibrio):

UAi = −α q2 4π#0r0

α: costante di Madelung, dipende dalla struttura cristallina.

α ~ 1.7 in numerosi cristalli.

UAi = !

i!=j

±q2 4π"0rij

Figure da M. Razeghi, Fundamentals of Solid State Engineering, Kluwer, 2002

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Legami covalenti

– tutti gli elettroni di valenza costituiscono il legame – effetto dovuto alla fdo

– legami molto forti

Electronic Structure of Atoms 59

of the covalent bond also make these materials non-ductile (or nonmalleable). Under a strong force, they exhibit brittle fractures.

massimi della densità elettronica

Electronic Structure of Atoms 59

of the covalent bond also make these materials non-ductile (or nonmalleable). Under a strong force, they exhibit brittle fractures.

Figure da M. Razeghi, Fundamentals of Solid State Engineering, Kluwer, 2002

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In many solids, the bonding between atoms is generally not just of a certain type but rather is a mixture of bond types.

We know that bonding in silicon is totally covalent, because the shared electrons in the bonds are equally attracted by the neighboring positive ion cores and are therefore equally shared. However, when there is a covalent type bond between two different atoms, the electrons become unequally shared because the two neighboring ion cores are different and hence have different electron-attracting abilities. The bond is no longer purely covalent but has some ionic character, because the shared electrons are more shifted toward one of the atoms. In this case a covalent bond has an ionic component and is generally called a polar bond. Many technologically important semiconductor materials, such as Ill-V compounds (e.g., GaAs, InSb, and so on), have polar covalent bonds. In GaAs, for example, the electrons in a covalent bond are closer to (i.e. more probably found near) the As ion core than the Ga ion core. This example is shown in Fig. 2.12.

In ceramic materials, the type of bonding may be covalent, ionic, or a mixture of the two. For example, silicon nitride magnesia (MgO), and alumina are all ceramics but they have different types of bonding: has covalent, MgO has ionic, and has a mixture of

Legami misti

– legami covalenti fra atomi differenti

– elettroni di valenza condivisi in maniera asimmetrica – parziale contributo ionico (legame polare)

massimi della densità elettronica

Figura da M. Razeghi, Fundamentals of Solid State Engineering, Kluwer, 2002

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Legami metallici

– atomi con pochi elettroni di valenza

– elettroni di valenza rimossi dagli atomi e condivisi dall’intero solido (“delocalizzati”) – “gas di elettroni”

– legame debole fra l’insieme degli ioni e la nuvola elettronica – legame isotropo: non è direzionale ––> close-packing

Electronic Structure of Atoms 61

ionic and covalent bondings. All three are brittle, have high melting temperatures, and are electrical insulators.

2.5.5. Metallic bonds

Atoms in a metal have only a few valence electrons, which can be readily removed from their shells and become collectively shared by all the ions they thus leave. The valence electrons therefore become delocalized and form an electron gas or electron cloud, permeating the space between the ions, as depicted in Fig. 2.13. The attraction between the negative charge of this electron gas and the metal ions forms the bonding in a metal. However, the presence of this electron cloud also adds a repulsive force to the bonding. Nevertheless, overall, Fig. 2.7 is still valid except that the cohesive energy is now lower in absolute value, i.e. it is easier in many cases to “pull apart” metal regions.

This metallic bond is non-directional (isotropic). Consequently, metal ions try to get as close as possible, which leads to close-packed crystal structures with high coordination numbers, compared to covalently bonded solids. “Free” valence electrons in the electron gas can respond readily to an applied electric field and drift along the force of the field, which is the reason for the high electrical conductivity of metals. Furthermore, if there is a temperature gradient along a metal bar, the free electrons can also contribute to the energy transfer from the hot to the cold regions. Metals therefore also have a good thermal conductivity too.

2.5.6. Secondary bonds

Since the atoms of inert elements (column VIII in the periodic table) have

Figure da M. Razeghi, Fundamentals of Solid State Engineering, Kluwer, 2002

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Electronic Structure of Atoms 63

In some solids, a van der Waals force may dominate in one direction, while an ionic and/or covalent bond dominates in another. Several solids may therefore have dominant cleavage planes perpendicular to the van der Waals force directions. Moreover, many solids that we say are mostly ionic or covalent may still have a very small percentage of van der Waals force present too.

There is a special class of van der Waals bond, called the hydrogen bond, in liquids and solids where the attraction between atoms or molecules appears through shared proton. Fig. 2.15 shows the hydrogen bond in the molecule. Such a molecule has a permanent dipole moment. Each proton in a molecule can form a bond with the oxygen in two other

+

Legami dipolari

– efficaci anche in gas inerti, in cui l’ effetto è dovuto al dipolo

istantaneo (è un legame molto debole: i gas inerti solidificano a temperature molto basse.

– legame idrogeno: dipolo

permanente nelle sostanze che lo esibiscono (acqua!)

Figure da M. Razeghi, Fundamentals of Solid State Engineering, Kluwer, 2002

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