Il metodo di Jacobi converge per −1 &lt

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Esercitazione 10 di Calcolo Scientico e Metodi Numerici 5 Dicembre 2019

1. (Esercizio 3, compito del 15/02/2018) Si consideri il seguente sistema







x₁+ ax₂ = 3 ax₁+ 2x₂+ x₃ = 7 x₂+ x₃ = 4

,

dove a è un parametro reale. Stabilire per quali valori del parametro la matrice dei coecienti del sistema è non singolare, per quali è denita positiva e per quali il metodo di Jacobi applicato al sistema converge. Posto a = ¹₂, si calcoli la prima iterata del metodo di Gauss-Seidel, a partire da un vettore x⁽⁰⁾ non nullo. Senza fare calcoli e motivando opportunamente la risposta si dica se nel caso a = ¹₂ il metodo di Gauss-Seidel converge.

Soluzione. A è non singolare per a 6= ±1 ed è denita positiva per −1 < a < 1. Il metodo di Jacobi converge per −1 < a < 1. Ponendo a = ¹₂ la prima iterata del metodo di Gauss-Seidel scegliendo x⁽⁰⁾ = [1, 0, 0]^T è x⁽¹⁾ = [3, 11/4, 5/4]^T. Per tale valore di a il metodo converge essendo la matrice simmetrica e denita positiva (CS per la convergenza di Gauss-Seidel).

2. (Esercizio 4, compito del 08/02/2019) La seguente equazione nonlineare

3x²− e^x = 0

ammette due radici positive, la prima contenuta nell'intervallo [1/2, 1], la seconda nell'intervallo [3, 4]. Si calcolino le prime due iterazioni del metodo di bisezione per approssimare la prima radice. Si applichi, inoltre, il metodo di Newton per approssimare la radice contenuta nel secondo intervallo calcolando solo la prima ite- razione, prima con punto iniziale x⁽⁰⁾ = 3 e poi con punto iniziale x⁽⁰⁾ = 4. Alla luce dei risultati ottenuti, quale approssimazione iniziale x⁽⁰⁾ è migliore? Motivare opportunamente la risposta.

Soluzione. Le iterate richieste per il metodo di bisezione sono c0 = 3/4, c1 = 7/8 e c₂ = 15/16 = 0.9375. La prima iterata del metodo di Newton, scegliendo come punto iniziale x⁽⁰⁾ = 3, è x⁽¹⁾ = 6.3154. Scegliendo, invece, come punto iniziale il secondo estremo dell'intervallo si ottiene x⁽¹⁾ = 3.7844 . Quindi, ssando x⁽⁰⁾ = 3 si osserva che otteniamo una iterata che non appartiene all'intervallo dato.

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3. Scrivere, sia nella forma di Lagrange che utilizzando la rappresentazione canonica, il polinomio interpolante la funzione

f (x) = 1 x + 1,

nei punti di ascissa x0 = 0, x1 = ¹₂, x2 = 1. Si calcoli l'errore di relativo che si commette nell'approssimare la funzione con tale polinomio nel punto x = ³₄.

Soluzione. Il polinomio interpolante è dato da p₂(x) = 1

3x²−5 6x + 1, l'errore relativo richiesto è circa pari a 0.0156.