Esercitazione 11 di Calcolo Scienti co e Metodi Numerici 8 Gennaio 2020
1. Si consideri il seguente sistema
βx1+ x2+ √12x3 = 8 x1+ βx2+ 12x3 = 4 x2+ βx3 = 2
,
dove β è un parametro reale. Stabilire per quali valori del parametro il sistema ammette una sola soluzione e per quali la matrice dei coe cienti risulta de nita positiva. Studiare la convergenza del metodo di Jacobi e, posto β = −2, si calcolino le prime due iterate del metodo di GaussSeidel, a partire da x(0) = [0, 1, 0]T. Senza fare calcoli e motivando opportunamente la risposta, si dica se nel caso β = −3 il metodo di Gauss-Seidel converge.
Soluzione. Il sistema ammette una sola soluzione per β ∈ R\{−√ 2,
√2
2 }e la matrice dei coe cienti risulta de nita positiva per β ∈ (√22, ∞).
Il metodo di Jacobi converge per |β| >√ 2. x(1) = [−72, −154, −238]T, x(2) = [−188−23
√2
32 ,−316−23(
√ 2+2)
64 ,−444−23(
√ 2+2) 128 ]T.
Se β = −3 il metodo di Gauss-Seidel converge in quanto la matrice dei coe cienti risulta strettamente diagonalmente dominante.
2. Determinare l'intervallo [k, k + 1], con k intero, che contiene la radice positiva dell'e- quazione
f (x) = x2−
√ 5 −1
2
x −
√5 2 = 0.
Calcolare le prime due iterate del metodo di bisezione, a partire dall'intervallo trovato, e le prime due iterate del metodo di Newton, a partire dall'estremo destro dell'in- tervallo determinato. Si calcolino gli errori relativi che si commettono utilizzando il metodo di bisezione e di Newton, rispettivamente.
Soluzione. Le radici sono −12 e√
5 ' 2.2361, quindi l'intervallo che contiene la radice positiva è [2, 3].
c3 = ˜x = 178 ' 2.13, x2 ' 2.24. errbis ' 0.05, errNewton ' 0.002
3. Si calcoli la fattorizzazione P A = LU della matrice
A =
1
2 −72 −34 −94
2 2 5 3
−12 −32 −94 12
1 2
3 2
11 4
3 2
e utilizzarla per risolvere i sistemi Ax = b e Az = c, dove b = [−6, 12, −154,254]T e c = [−234 , 5, −1, 3]T. In ne, si determini la terza colonna dell'inversa di A e il suo determinante.
Soluzione. P =
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0
L =
1 0 0 0
1
4 1 0 0
1
4 −14 1 0
−14 14 −12 1
, U =
2 2 5 3
0 −4 −2 −3
0 0 1 0
0 0 0 2
.
x = [1, 1, 1, 1]T, z = [0, 1, 0, 1]T, A−1e3 = [−83, −38, 0,12]T, det (A) = −16.
4. Si consideri la matrice
B =
0
√3 α −α1 0 1α
√ 3 α
1 0 0
dipendente dal paramentro reale α. Si determinino i valori del parametro α che rendono B ortogonale. Assegnato al parametro uno dei valori trovati, si calcoli l'indice di condizionamento delle due matrici in norma 1, 2 e ∞. In ne, si risolva nel modo più conveniente il sistema lineare Bx = b, con b = [1, 2, 1]T.
Soluzione. B risulta ortogonale per α = ±2. Assegnato il valore α = 2, si ha x = BTb = [1,
√3
2 + 1,√
3 − 12]T. k1(B) = k∞(B) =
√
3+1 2
2
, k2(B) = 1.
5. Costruire, utilizzando la rappresentazione di Lagrange, il polinomio che interpola la seguente tabella di dati
xi −1 0 1 2 3 yi 15 5 3 9 47
Calcolare inoltre il valore assunto dal polinomio nel punto di ascissa x = −2.
Soluzione. p4(x) = x4− 2x3 + 3x2− 4x + 5. p4(−2) = 57.
