A - Test d’ingresso alla Prova Scritta di Controlli Automatici A – Università di Parma 1) Dato un sistema dinamico Σ con funzione di trasferimento
2 2 2 3
( 1) 9
( ) ( 1) 16
T s s s
+ +
= − +
scrivere i modi di Σ :
{
modi di Σ =} {
}
2) Scrivere l’approssimante di Padé del primo ordine del ritardo finito e−4s : G s1( )=
3) Dato un sistema dinamico Σ con funzione di trasferimento 3 2 23 1
( ) 1
s s
T s s s s
+ +
= + + + stabilire:
Σ è asintoticamente stabile: vero falso Σ è semplicemente stabile vero falso Σ è instabile: vero falso Σ è a fase minima: vero falso
Σ è stabile ingresso-limitato uscita limitata: vero falso 4) Ad un sistema con funzione di trasferimento 5 2
(s+1) ed in quiete nell’intervallo (−∞,0) viene applicato l’ingresso u t( ) 3sin( )= t t≥0. Determinare la corrispondente uscita y t( ) per t→ ∞ : ( )y t =
5) Determinare il coefficiente di smorzamento e la pulsazione naturale dei poli dominanti del sistema con funzione di trasferimento 2 10
3 9
s + s+ : δ = ωn =
6) Il diagramma polare associato alla funzione di trasferimento 2 3
( ) ( 1)
L s s s s
= +
+ presenta un asintoto verticale parallelo all’asse immaginario. Determinare l’ascissa reale σa di tale asintoto: σa =
7) Determinare il segnale ( )f t nota la sua trasformata di Laplace 1 3 ( ) ( 2) F s = s
+ : ( )f t =
8) Determinare la risposta al gradino unitario del sistema con funzione di trasferimento 32 ( )
T s = s : g ts( )=
9) Un sistema dinamico Σ sia descritto dall’eq. diff. Dy+2y u= dove u è l’ingresso e y l’uscita.
Determinare la risposta all’impulso di Σ : ( )g t =
10) Dato il luogo delle radici di equazione caratteristica 1 1 5 1
1 0 con positivo
( 4)
K K
+ s =
+ determinare il
centro della stella degli asintoti: σa = ; stabilire inoltre se le radici dell’eq. caratteristica sono tutte a parte reale negativa ∀ ∈K1 (0,+∞ : vero falso non è possibile stabilirlo )
1) Dato un sistema dinamico Σ con funzione di trasferimento 3
2
( 7) 16
( ) ( 2) 25
T s s s
+ +
= − +
scrivere i modi di Σ :
{
modi di Σ =} {
}
2) Scrivere l’approssimante di Padé del primo ordine del ritardo finito e−6s : G s1( )=
3) Dato un sistema dinamico Σ con funzione di trasferimento 33 2 2 3
( ) 1
s s
T s s s s
= + +
+ − − stabilire:
Σ è asintoticamente stabile: vero falso Σ è semplicemente stabile vero falso Σ è instabile: vero falso Σ è a fase minima: vero falso
Σ è stabile ingresso-limitato uscita limitata: vero falso
4) Ad un sistema con funzione di trasferimento 3 2
(s+1) ed in quiete nell’intervallo (−∞,0) viene applicato l’ingresso ( ) 3sin( )u t = t t≥0. Determinare la corrispondente uscita ( )y t per t→ ∞ : ( )y t =
5) Il diagramma polare associato alla funzione di trasferimento 22
( ) ( 1)
L s s s s
= +
+ presenta un asintoto verticale parallelo all’asse immaginario. Determinare l’ascissa reale σa di tale asintoto: σa =
6) Determinare il segnale ( )f t nota la sua trasformata di Laplace 1 4 ( ) ( 3) F s = s
+ : ( )f t =
7) Determinare la risposta al gradino unitario del sistema con funzione di trasferimento 52 ( )
T s = s : g ts( )=
8) Un sistema dinamico Σ sia descritto dall’eq. diff. 2Dy y u+ = dove u è l’ingresso e y l’uscita.
Determinare la risposta all’impulso di Σ : ( )g t =
9) Determinare il coefficiente di smorzamento e la pulsazione naturale dei poli dominanti del sistema con funzione di trasferimento 2 21
2 16
s + s+ : δ = ωn =
10) Dato il luogo delle radici di equazione caratteristica 1 1 4 1
1 0 con positivo
( 3)
K K
+ s =
+ determinare il
centro della stella degli asintoti: σa = ; stabilire inoltre se le radici dell’eq. caratteristica sono tutte a parte reale negativa ∀ ∈K1 (0,+∞ : vero falso non è possibile stabilirlo )
Università di Parma – Facoltà di Ingegneria Prova Scritta di Controlli Automatici A
PARTE A
A1) Sia dato un sistema in retroazione unitaria con guadagno di anello L(s). Si presenti e discuta l’analisi a regime della risposta ai segnali tipici del riferimento.
A2) Sia dato un sistema retto dall’equazione differenziale 7D y3 +4Dy y+ =3Du u+
Siano note le condizioni iniziali D y2 (0 )− , Dy(0 ), (0 )− y − , (0 )u − ed il segnale d’ingresso ( ) 0u t = per t≥0. Determinare la trasformata di Laplace dell’uscita ( )Y s .
PARTE B B1) Si consideri il seguente sistema di controllo
dove 1 2
( ) ( 1) P s = s
− . Si progetti un controllore ( )C s proprio di ordine 2 affinché:
a) l’errore a regime in risposta ad un gradino di comando del set-point sia nullo.
b) La costante di velocità del sistema retroazionato K sia pari a 10 : v Kv=10 . c) I poli dominanti del sistema retroazionato siano −1 e 2− .
B2) Sia assegnato il seguente sistema retroazionato
c
r C(s)
) 4 1 )(
1 (
e 2 s s
s
+ +
−
- +
dove C(s)= K >0è un controllore proporzionale.
1) Si determini utilizzando il criterio di Nyquist il campo di stabilità (esatto) in K che assicuri la stabilità asintotica del sistema retroazionato;
2) Si approssimi il ritardo finito e−2s con un approssimante di Padè del primo ordine e si determini il campo di stabilità (approssimato) in K mediante il criterio di Routh. Discutere e confrontare i risultati ottenuti ai punti 1 e 2.
C(s) P(s)
r + y
-
Università di Parma – Facoltà di Ingegneria Prova Scritta di Controlli Automatici A
PARTE C Parte C1
Considerare il seguente sistema elettrico
1) Determinare l’equazione differenziale che descrive l’andamento della tensione ai capi dei due condensatori.
2) Determinare l’equazione differenziale che mette in relazione la tensione di ingresso u con quella di uscita y.
3) Determinare la funzione di trasferimento ( )P s tra la tensione di ingresso U(s) e quella di uscita Y(s).
4) Posto R= Ω , 1k C=1µF, determinare il diagramma di bode di ( )P s .
Parte C2
Si tracci il luogo delle radici della seguente equazione caratteristica:
( )
31 1
2 K s
s + +
+
per K∈ −∞ +∞ , quindi sia il ramo per K positivo che quello per K negativo, determinandone in particolare gli ( , ) asintoti e le eventuali radici doppie.
