6. RISCALDAMENTO MEDIANTE RESISTENZA AD AVVOLGIMENTI

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UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI PISA 91

6. RISCALDAMENTO MEDIANTE RESISTENZA

AD AVVOLGIMENTI

Nel presente capitolo si effettuata l’analisi del riscaldatore ad avvolgimenti, con particolare attenzione alle grandezze geometriche che influenzano la potenza assorbita, la corrente imposta e la temperatura massima raggiungibile. Nelle sezioni iniziali è riportata l’analisi dei parametri che caratterizzano un avvolgimento, in particolar modo sul fattore di vista, fattore di avvolgimento e passo di avvolgimento. Nella sezione 6.3 sono messe a confronto varie configurazioni di riscaldatori, evidenziando le diverse prestazioni in base alla geometria e verificando i dati ottenuti analiticamente mediante simulazione numerica.

6.1 EFFETTO

DEL

PASSO

SULLA

LUNGHEZZA

DELL’AVVOLGIMENTO

Nell’analisi precedente si è studiato l’effetto delle dimensioni del filamento dritto sulle potenze assorbite e sulle temperature massime raggiungibili. Si consideri ora una resistenza costituita da un filamento avvolto attorno al pezzo da riscaldare e studiare l’influenza dei vari parametri geometrici sulle prestazioni del riscaldatore. Di seguito riportiamo i parametri principali caratterizzanti il riscaldatore ad avvolgimenti:

Figura 6.1 - Sezione del catodo cavo da riscaldare con i parametri principali caratterizzanti l'avvolgimento

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UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI PISA 92 m = raggio interno dell’avvolgimento;

d = diametro dell’avvolgimento; h = passo;

l = lunghezza dell’emettitore.

Figura 6.2 - Parametri geometrici caratteristici degli avvolgimenti

Le grandezze geometriche dell’avvolgimento sono legate dalla relazione:

0 = 2 + + · (6.1)

= (6.2)

= (6.3)

ℎ = + (6.4)

Dove rappresenta la lunghezza assiale dell’avvolgimento.

Il numero di avvolgimenti N è esprimibile come: = ℎ⁄ .

Di seguito è riportato l’andamento della lunghezza dell’avvolgimento totale, 0 al variare della distanza denominata per diversi valori del diametro = 0,25 0,30 0,40! .

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Figura 6.3 - Lunghezza dell'avvolgimento al variare del parametro S per tre diversi diametri del filamento

Come intuibile, maggiore è il parametro s, e quindi il passo h, minore è la lunghezza dell’avvolgimento a parità di lunghezza assiale .

6.2 INFLUENZA

DELLE

CARATTERISTICHE

GEOMETRICHE

SULLE

PRESTAZIONI

DEL

RISCALDATORE

L’avvolgimento influenza le espressioni ricavate per il filamento dritto in due modi. Come primo effetto, la dispersione termica legata all’irraggiamento è ostacolata dalla presenza degli altri avvolgimenti. Una frazione di queste radiazioni verrà assorbita, aumentando la temperatura del filamento. Più è stretto l’avvolgimento, maggiore sarà la porzione di potenza irraggiata riassorbita dal filamento stesso, con l’effetto di un incremento di temperatura. Secondo effetto, gli avvolgimenti cambiano l’espressione della resistenza del filamento dritto in modo sostanziale.

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6.2.1 FATTORE DI VISTA

Per quanto riguarda il primo effetto, esistono in letteratura differenti studi sulla determinazione analitica del fattore di vista degli avvolgimenti. Brett [16], Vukcevich [17], Aladyshev [18] hanno determinato il valor del fattore di vista relativo ad un avvolgimento ottenendo differenti equazioni. I risultati ottenuti da Vukcevich sono utilizzati frequentemente in quanto i valori ottenibile dalle equazioni calcolate analiticamente sono molto prossimi a quelli ottenibili sperimentalmente.

Nella sua analisi Vukevich, introduce il parametro chiamato coefficiente di irraggiamento dell’avvolgimento ", che rappresenta un fattore di correzione che tiene conto degli avvolgimenti definito come:

" = #$%&'% $&à ' ' ) $ *$+%$ ' ' ' ,% -$_{$%&'% $&à ' ' ) $ *$+%$ ' ' ' ,% -$} '%&+ _{'%&+ )$&&+ .}+ &+

, ,/

Dove i pedici , , 0, riferiti rispettivamente al diametro, lunghezza e temperatura del filamento, stanno a significare che il filo dritto e l’avvolgimento hanno le stesse dimensioni e che irraggiano alla stessa temperatura. La potenza irradiata da un avvolgimento diventa quindi:

1233 = 455 6 " (08− 0:8)

dove 0_: rappresenta la temperatura ambiente.

Vukevich ricava " nel caso di avvolgimento a nastro con le ipotesi di spessore del nastro trascurabile. La procedura utilizzata è brevemente descritta di seguito.

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Figura 6.4 - Parametri geometrici caratterizzanti l’avvolgimento a nastro

Tutte le radiazioni emesse dalla superficie esterna del nastro non vengono ostacolate da altre superfici, pertanto il coefficiente di irraggiamento vale:

"<=> = 1 (6.5)

dove “ext” si riferisce ad esterna.

Le radiazioni emesse dalla superficie interna senza nessuna riflessione sono:

"@A> = BC= DE_DBF_E (6.6)

dove “int” si riferisce ad interno.

Le radiazioni emesse dalla superficie interna riflesse per una o più volte sulle altre superfici sono:

"G = H_FB GIJK G_LL_(FBH(FBH_IJKIJK₎) (6.7) dove “r” si riferisce a riflessa ed )_M definita come:

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UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI PISA 96 Il coefficiente di irraggiamento dell’intero nastro è dato dalla somma di ciascun coefficiente sopra descritto moltiplicato per la frazione di superficie totale appropriata " =NOPK N "<=> + NIJK N ("@A>− "G) = NOPK N + NIJK N Q DEBF DEBGLR (6.9)

dove S, S_<=> , S_@A> , rappresentano rispettivamente la superficie totale, esterna ed interna del nastro.

Sotto le ipotesi di spessore del nastro trascurabile è possibile scrivere:

S = S<=>+ S@A> (6.10)

S<=> = S@A> (6.11)

e sostituendo nell’equazione precedente si ottiene:

" =F(1 + DEBF

DEBGL) (6.12)

Dall’equazione sopra riportata, valida per avvolgimenti a nastro, si ottengono valori di " che sono sistematicamente inferiori del 2 fino al 5% rispetto alle misurazioni sperimentali su filamenti in tungsteno. Per tanto Vukcevichpropone una costantedi correzione del parametro" di 1,035:

" =F,:TU(1 + DEBF

DEBGL) (6.13)

D.C. Agrawal [19] modifica l’equazione di Vukcevich inserendo la dipendenza di " dal parametro V , ed estendendola così al caso di avvolgimento a filamento.

L’ipotesi di trascurare lo spessore del nastro ad avvolgimenti proposta da Vukcevich, viene sostituita con la relazione geometrica tra i rapporti delle differenti

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UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI PISA 97 superfici dell’avvolgimento che tengono conto del fatto che l’avvolgimento ha la stessa dimensione in ogni direzione perpendicolare al suo asse:

NOPK N = F₊ F (DWXF) (6.14) NIJK N = F− (DFWXF) (6.15)

L’equazione del coefficiente di irraggiamento per avvolgimenti a filamento diventa quindi: " =FQ1 + _(DF WXF)+ (1 − F (DWXF)) DEBF DEBGLR (6.16)

E’ riportato nella figura sottostante l’andamento del coefficiente di irraggiamento al variare del passo per un valore di emissività costante e pari a 0.26 e diversi diametri.

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6.2.2 COEFFICIENTE DI RESISTENZA DELL’AVVOLGIMENTO

Per quanto riguarda il secondo effetto è possibile utilizzare la relazione di D.D. Van Horn [20] ed esprimere il coefficiente di resistenza dell’avvolgimento come:

Y455. = [ Y\@ 2 (6.17)

con

[ =F_{]1 + ^1 −} _(DWXF)`

a `_(D_W_XF)`_XD_E`_b`c (6.18)

L’equazione è applicabile a filamenti a singolo avvolgimento . Il valore tipico di [è di circa 0,99 e causa approssimativamente l’ 1% di variazione della resistenza. La variazione della resistenza influenza la temperatura dell’avvolgimento che aumenta rispetta al caso di filamento dritto.

Aggiungendo i due coefficienti " e [ all’equazione del bilancio di potenza ricavata nel caso di filamento dritto, nelle condizioni di caratteristiche del materiale variabili con la temperatura, si ricava il bilancio di potenza valido per avvolgimenti a filamento: [ Y\@ 2d = " 1 + (6.19) [ e: 1 + f(0 − 0:)! 455: 1 + g(0 − 0:)! 4 h d = = " 6 i 455: 1 + g(0 − 0:)! (08− 0:8) (6.20) con: 6 = 6:#₀0 :. jk 6: = 0.01450; lm = −:,FT_F::: 0 + 1,7650

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6.2.3 CONFRONTO TRA RISCALDATORE A FILAMENTO E AD AVVOLGIMENTI

Riportiamo di seguito il confronto in termini di temperatura e potenza, eseguito tra un filamento dritto ed un avvolgimento in tungsteno aventi lo stesso diametro, = 0,25 , e lunghezza, _{\@ 2} = _455. = 0,60 . Per quanto riguarda l’avvolgimento è stato utilizzato un parametro = 0,0038 metri e tre diversi passi, ℎ = 0,30 0,40 0,60 ! .

Figura 6.6 - Potenza assorbita dal riscaldatore al variare della corrente imposta per un filamento dritto ed avvolgimenti a diverso passo

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Figura 6.7 - Temperatura del riscaldatore al variare della corrente imposta per un filamento dritto ed avvolgimenti a diverso passo

L’effetto del riassorbimento di una porzione di potenza emessa dalle superfici interne degli avvolgimenti è ben visibile dalle Figure 6.6 e 6.7 . È evidente anche come l’aumentare del passo, a parità di diametro e lunghezza dell’avvolgimento, comporti un avvicinamento alla condizione limite di filamento dritto. Risulta quindi necessario studiare l’influenza che la variazione del passo ha sulle varie grandezze fisiche.

6.3 EFFETTO

DELLE

GRANDEZZE

GEOMETRICHE

SULLE PRESTAZIONI DEL RISCALDATORE

Di seguito saranno analizzate le diverse configurazioni di riscaldatori ad avvolgimenti, con l’obiettivo di identificare la giusta geometria in grado di soddisfare i requisiti imposti di temperatura, corrente e potenza. Inizialmente

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UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI PISA 101 verranno analizzate i parametri geometrici dell’avvolgimento e la loro influenza sulle prestazioni in termini di temperatura massima, corrente imposta e potenza assorbita. Saranno poi paragonate le diverse configurazioni e verrà effettuata una simulazione come verifica dei risultati ottenuti analiticamente.

6.3.1 INFLUENZA DEL PASSO SULLE PRESTAZIONI DEL RISCALDATORE

Si consideri un riscaldatore in tungsteno con = 0,0038 metri, con corrente imposta d pari a 5A; sono riportati di seguito gli andamenti di potenza assorbita e temperatura del riscaldatore, al variare del parametro , e quindi del passo h per tre diversi diametri del filamento.

Figura 6.8 - Potenza assorbita dal riscaldatore al variare di S per tre diversi diametri del filamento

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Figura 6.9 - Temperatura del riscaldatore variare di S per tre diversi diametri del filamento

Dalla Figura 6.8 è chiaro come l’aumento della distanza che si ha tra avvolgimento ed avvolgimento, , e quindi del passo h, porti ad una diminuzione della potenza assorbita dovuta, sia dalla diminuzione della lunghezza totale dell’avvolgimento, sia dalla diminuzione del parametro" . Per quanto riguarda l’influenza della variazione del passo sulla temperatura del riscaldatore, Figura 6.9, è possibile notare che, dopo un determinato valore di , la temperatura rimane pressoché costante per un fissato diametro. La Figura 6.9, inoltre, mette ancora in evidenzia quanto sia il diametro del filamento a determinare la temperatura massima ottenibile per una prefissata corrente imposta.

6.3.2 CONFRONTO TRA DIVERSE CONFIGURAZIONI DI RISCALDATORI AD AVVOLGIMENTI

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UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI PISA 103 diametro d=0,25 mm diametro d=0,30 mm diametro d=0,40 mm s = 0,20 mm Configurazione A1 h=0,40 mm lavv.=0,34 m N=14 Configurazione B1 h=0,50 mm lavv.=0,29 m N=12 Configurazione C1 h=0,60 mm lavv.=0,25 m N=10 s = 0,30 mm Configurazione A2 h=0,50 mm lavv.=0,27 m N=11 Configurazione B2 h=0,55 mm lavv.=0,29 m N=12 Configurazione C2 h=0,67 mm lavv.=0,25 m N=9 s = 0,40 mm Configurazione A3 h=0,60 mm lavv.=0,24 m N=10 Configurazione B3 h=0,67 mm lavv.=0,22 m N=9 Configurazione C3 h=0,75 mm lavv.=0,20 m N=8

Tabella 6.1- Parametri geometrici di diversi riscaldatori ad avvolgimenti

Riportiamo di seguito gli andamenti della potenza assorbita dal riscaldatore e della temperatura per le varie configurazioni riportate in tabella, al variare della corrente imposta.

Figura 6.10 - Potenza del riscaldatore al variare della corrente imposta per diverse configurazioni

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Figura 6.11 - Temperatura del riscaldatore al variare della corrente imposta per diverse configurazioni

6.3.3 SIMULAZIONE CON COMSOL

Al fine di verificare l’analisi effettuata è possibile utilizzare il programma di simulazione Comsol per le diverse configurazioni del riscaldatore ad avvolgimenti denominate A1, A2 ed A3, tutte caratterizzate dall’avere un diametro del filamento pari a 0,25mm. Come densità di potenza volumetrica è stata utilizzata quella ottenuta nell’analisi condotta precedentemente in corrispondenza di una corrente imposta pari a 5 A. In particolare:

Diametro [mm] Passo [mm] Lunghezza avvolgimento [m] Numero di avvolgimenti Corrente imposta [A] Densità volumetrica di potenza qr sh ut A1 0,25 0,40 0,34 14 5 90 A2 0,25 0,50 0,27 11 5 69 A3 0,25 0,60 0,24 10 5 63

Tabella 6.2 - Parametri geometrici, corrente assorbita e potenza per unità di volume, per diversi riscaldatori ad avvolgimenti

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UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI PISA 105 L’analisi termica è sta effettuata in condizioni stazionarie, imponendo come costante la condizione di potenza per unità di volume a seconda delle varie geometrie analizzate.

Come condizioni al contorno per le superfici laterali del riscaldatore, sono state utilizzate quelle di flusso termico con irraggiamento superficiale verso ambiente, con una emissività imposta costante e pari a 0,26 (valore assunto dal tungsteno alla temperatura di circa 2˙000 K), mentre per le due superfici di estremità circolari è stata utilizzata la condizione di isolamento termico.

Figura 6.12 - Visualizzazione della suddivisione in elementi finiti utilizzata per l’ analisi termica stazionaria mediante il programma di simulazione Comsol

La simulazione con Comsol permette di ricavare la distribuzione di temperatura di tutto il riscaldatore, mettendo in evidenza il valore di massimo e di minimo. Nella figura seguente sono state riportate per le tre geometrie, caratterizzate dall’avere un valore del passo geometrico crescente, le temperature ottenute analiticamente e quelle di massimo e di minimo ricavate dalla simulazione mediante Comsol.

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Figura 6.13 - Temperature per le configurazioni del riscaldatore denominate A1 A2 ed A3 nel caso analitico e simulato (temperatura massima e minima)

La differenza massima di temperatura che si ha tra i valori ottenuti analiticamente e quelli ottenuti mediante il programma di simulazione Comsol è di 18 gradi. La discrepanza tra valori analitici e valori ottenuti con il programma di simulazione, è da attribuire al fatto che l’analisi con Comsol è stata eseguita utilizzando le caratteristiche del materiale costanti, a causa dell’elevato numero di iterazioni richiesto nel caso di caratteristiche variabili.

Come evidenziato in Figura 6.13, è possibile considerare attendibile il modello analitico utilizzato, confermando ancora una volta la validità delle equazioni proposte da Vukcevich.

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6.4 CONCLUSIONI

L’analisi condotta è basata su un valore del parametro = 0,0038 metri; la dimensione è strettamente collegata alla scelta del tipo di isolamento elettrico interposto tra la superficie esterna del tubo del catodo ed il riscaldatore stesso. Inoltre è da notare che esisterà un valore minimo del parametro sotto il quale non sarà possibile scendere, legato alla necessità di evitare il corto circuito tra le spire. In genere questi filamenti sono avvolti su un supporto ceramico filettato a due passi. Lo spessore della cresta del filetto costituisce il vincolo di minimo . Ancora una volta, il valore dipenderà fortemente dal tipo di ceramica utilizzata per la realizzazione dell’isolamento elettrico, in particolare dalla lavorabilità, dalla resistenza meccanica e dalla rigidità ad alte temperatura. Quindi per il dimensionamento accurato dei parametri geometrici caratterizzanti il riscaldatore ad avvolgimenti, risulta necessaria l’analisi e la scelta dell’isolamento elettrico da utilizzare.