6. Metodi di analisi
6.1 Analisi Lineare
L’analisi lineare può essere utilizzata per il calcolo dell’azione sismica sia nel caso di sistemi dissipativi che non dissipativi. Il comportamento strutturale non dissipativo, al quale si fa riferimento per la progettazione agli stati limite di esercizio, prevede il calcolo dell’azione sismica e delle altre azioni, a prescindere dalla tipologia strutturale adottata, senza tenere conto delle non linearità (geometriche e di materiale) se non rilevanti. Invece nel comportamento strutturale dissipativo, a cui ci si riferisce per progettare agli stati limite ultimi, le azioni sismiche combinate e le altre azioni sono calcolate tenendo conto della non linearità.
Nell’analisi lineare le capacità dissipative e il comportamento anelastico della costruzione sono considerati in maniera indiretta, con il fattore di struttura, cosa che invece nelle analisi non lineari si fa in maniera diretta tramite la modellazione.
Dal cap. 7.3.1 delle NTC “Il valore del fattore di struttura da utilizzare per ciascuna direzione dell’azione sismica, dipende dalla tipologia strutturale, dal suo grado di iperstaticità e dai criteri di progettazione adottati e prende in conto le non linearità di materiale.”
È definito attraverso l’espressione nella quale:
q0 è il valore massimo del fattore di struttura che dipende dal livello di duttilità
attesa, dalla tipologia strutturale e dal rapporto tra il valore dell’azione sismica per il quale si formano le cerniere plastiche, in numero tale da rendere labile la struttura e il valore dell’azione sismica per il quale raggiunge la plasticizzazione il primo elemento in tutta la struttura;
KR è un fattore riduttivo che dipende dalle caratteristiche di regolarità in altezza della
moltiplicatori di carico in funzione della tipologia strutturale, per quelle non regolari occorre fare una media tra 1 e il valore riportato.
Per la componente verticale dell’azione sismica si assume, a meno di disposizioni più precise, un fattore di struttura pare a 1,5.
Le non linearità geometriche si prendono in considerazione valutando il fattore θ definito come
Dove:
P è il carico verticale totale della parte sovrastante l’orizzontamento in esame;
dr è lo spostamento medio di interpiano, cioè la differenza di spostamento tra due
orizzontamenti consecutivi;
V è la forza orizzontale totale in corrispondenza dell’orizzontamento in esame;
h è la distanza tra orizzontamento in esame e quello sottostante.
A seconda del valore di θ occorre prendere o meno in considerazione le non linearità:
- Se θ < 0,1 non si deve tenere conto delle non linearità;
- Se 0,1 < θ < 0,2 si tiene conto delle non linearità moltiplicando l’azione sismica orizzontale per un valore ;
- Se θ > 0,3 si ha un valore non ammesso e occorre rivedere la progettazione.
-
6.2 Analisi non lineare
L’analisi non lineare si utilizza per sistemi dissipativi e tiene conto delle non linearità geometriche e di materiale.
6.3 Analisi statica o dinamica
Oltre che in base alla considerazione o meno delle non linearità, le analisi si possono dividere anche in base al fatto che l’equilibrio sia trattato dinamicamente o staticamente.
Il metodo di analisi lineare di riferimento per calcolare gli effetti dell’azione sismica è l’analisi modale, cioè l’analisi lineare dinamica. Si può usare con sistemi dissipativi e non dissipativi e in essa l’equilibrio è trattato dinamicamente e l’azione sismica è modellata attraverso uno spettro di progetto.
Per le costruzioni in cui la risposta sismica, in ogni direzione principale, non dipenda dai modi di vibrare superiori si può utilizzare il metodo delle forze laterali, cioè l’analisi statica lineare, nella quale l’equilibrio è trattato staticamente e le forze sono modellate attraverso lo spettro di progetto. Anche questo metodo è utilizzabile sia per sistemi dissipativi che non.
Nel caso dei sistemi dissipativi, si possono inoltre usare metodi non lineari in cui l’equilibrio è trattato staticamente modellando l’azione sismica mediante forze statiche che vengono fatte crescere monotonamente o dinamicamente in cui l’azione sismica è modellata indirettamente attraverso accelerogrammi.
Raggruppando i vari modi di analisi si ottengono 4 principali metodi di analisi: - Analisi statica lineare o della forze equivalenti
- Analisi dinamica lineare o analisi modale - Analisi statica non lineare o push over - Analisi dinamica non lineare
6.4 Analisi lineare dinamica
È il metodo di analisi scelto per il caso di studio. Non avendo infatti molte informazioni sul materiale, in fase preliminare, non si sceglie un’analisi non lineare,che prevede alcune informazioni precise sulle non linearità del materiale, ma lineare, consigliando per un futuro studi più approfonditi.
Questo metodo consiste in tre principali passaggi:
1. Determinazione dei modi di vibrare “naturali” della struttura (analisi modale); 2. Calcolo degli effetti dell’azione sismica, mediante spettro di progetto, per
ciascuno dei modi di vibrare individuati;
3. Combinazione degli effetti relativi a ciascun modo di vibrare.
Questa analisi consiste nella soluzione delle equazioni di moto della costruzione, considerata elastica, in condizioni di oscillazioni libere (assenza di forzante esterna) e nella determinazione dei modi di vibrare della struttura, cioè di particolari deformate che la struttura sollecitata assume. Questi modi sono definiti “naturali” perché sono una caratteristica intrinseca della struttura e sono caratterizzati da un periodo proprio di oscillazione T, da uno smorzamento convenzionale ξ e da una forma. Sono le caratteristiche degli oscillatori convenzionali. L’equazione di un sistema a un grado di libertà smorzato non forzato è la seguente:
In cui a parole il prodotto della massa per l’accelerazione meno il prodotto dell’attrito viscoso con la velocità meno il prodotto tra la costante di elasticità e lo spostamento (in cui accelerazione, velocità e spostamento sono funzioni del tempo) è uguale a 0. Lo smorzamento è convenzionalmente assunto pari al 5%.
Ogni deformata può essere ottenuta come combinazione di altre deformate elementari, ciascuna con forma e modo di vibrare. Alcuni modi di vibrare influenzeranno maggiormente degli altri il comportamento della struttura. Questa loro influenza si stabilisce in base alla massa partecipante di ciascun modo, cioè in
base alla quota parte della forze sismiche di trascinamento che il modo è in grado di descrivere. Per rappresentare al meglio il comportamento di una struttura occorre tenere in considerazione tutti i modi che abbiano massa partecipante superiore al 5 % e comunque in modo tale che diano un totale superiore all’85 % di tutta la massa.
Nel caso in cui il periodo di vibrazione di ciascun modo differisca da tutti gli altri del 10 % si può utilizzare una combinazione che calcola l’effetto come radice quadrata della somma dei quadrati (Square Root of Sum of Squares o SRSS):
Con E valore dell’effetto combinato ed Ei valore dell’effetto relativo al modo i-esimo.
Questa regola si basa sul presupposto che i massimi dei singoli modi non si verifichino contemporaneamente e quindi non siano correlati. La possibilità che i massimi contributi modali siano collegati tra loro è tenuta conto attraverso la combinazione quadratica completa (Complete Quadratic Combination o CQC):
In cui Ej è l’effetto relativo al modo j e ρij è il coefficiente di correlazione tra modo i e
modo j calcolato tramite l’espressione in normativa in funzione di βij che è il rapporto
tra l’inverso dei periodi di ciascuna coppia i-j di modi e in funzione degli smorzamenti viscosi convenzionali del modo i e del modo j.
6.5 Analisi lineare statica
L’analisi statica lineare consiste nel calcolo e nell’applicazione di forze statiche equivalenti alle forze d’inerzia indotte dall’azione sismica. Si articola in tre passaggi:
1. Invece di effettuare un’analisi modale, si ipotizza un modo di vibrare principale della costruzione, calcolato in maniera approssimata;
2. Si calcolano gli effetti dell’azione sismica, tramite spettro di progetto, per il solo modo considerato;
modi secondari.
La stima del periodo relativo al modo principale si può effettuare, nel caso di costruzioni inferiori ai 40 m di altezza e con la massa distribuita approssimativamente in maniera uniforme su tutta l’altezza, tramite la relazione:
Con H altezza della costruzione dal piano di fondazione e C1 coefficiente che vale
0,085 per strutture in acciaio, 0,075 per costruzioni in calcestruzzo armato e 0,050 nelle altre situazioni.
Si può utilizzare questo metodo solo se il periodo principale T1 non supera TD o di
2,5 volte TC e se la costruzione è regolare in altezza.
La forza da applicare a ciascuna massa è data poi dalla formula:
Dove:
;
Fi è la forza da applicare alla massa i-esima;
Wi e Wj sono i pesi della massa i e della massa j;
zi e zj sono le quote rispetto al piano di fondazione della massa i e della massa j;
Sd(T1) è l’ordinata dello spettro di risposta;
W è il peso complessivo della costruzione;
λ è un coefficiente pari a 0,85 se la costruzione ha almeno tre orizzontamenti e T1 <
2TC e pari ad 1 in tutti gli altri casi;
6.6 Analisi non lineare statica
L’analisi non lineare statica consiste nell’applicare alla struttura i carichi gravitazionali e per ogni direzione considerata per l’azione sismica un sistema di forze orizzontali distribuite, ad ogni livello della costruzione, proporzionalmente alle forze d’inerzia ed aventi risultante (taglio alla base) Fb. queste forze sono scalate
per far crescere monotonamente, in direzione sia negativa che positiva e fino al raggiungimento del collasso locale o globale, lo spostamento orizzontale dc di un
punto di controllo coincidente con i centro di massa dell’ultimo livello della costruzione. Il diagramma Fb-dc rappresenta la curva di capacità della struttura.
Questo metodo di analisi si può utilizzare solo per costruzioni il cui comportamento è governato da un modo di vibrare principale, con associata una significativa partecipazione di massa.
Occorre legare il sistema strutturale ad un sistema equivalente ad un grado di libertà, legando le grandezze corrispondenti attraverso un fattore di partecipazione modale e alla curva di capacità del sistema equivalente sostituire una curva bilineare avente un primo tratto elastico d un secondo tratto perfettamente plastico.
principali (Gruppo 1) e secondarie (Gruppo 2). Gruppo 1 – distribuzioni principali:
- Distribuzione proporzionale alle forze statiche applicabile solo se il modo di vibrare principale ha una partecipazione di massa non inferiore al 75 %. Deve essere applicata abbinata alla distribuzione secondaria 2.
- Distribuzione corrispondente ad una distribuzione di accelerazioni proporzionale alla forma del modo di vibrare, applicabile per una partecipazione di massa non inferiore al 75 %.
- Distribuzione corrispondente alla distribuzione dei tagli di piano calcolati con analisi dinamica lineare; applicabile se T1 > TC.
Gruppo 2 – distribuzioni secondarie:
- Distribuzione uniforme di forze, cioè derivata da una distribuzione uniforme di accelerazioni lungo l’altezza della costruzione;
- Distribuzione adattiva, che cambia al variare dello spostamento del punto di controllo in funzione della plasticizzazione della struttura.
6.7 Analisi dinamica non lineare
Questo metodo di analisi consiste nell’integrazione delle equazioni di moto per calcolare la risposta sismica, utilizzando un modello non lineare della struttura e gli accelero grammi. Ha lo scopo di valutare il comportamento dinamico della struttura in campo non lineare e verificare l’integrità degli elementi strutturali nei confronti dei comportamenti fragili.
Quanto è stato detto fino ad ora vale in generale per tutte le costruzioni, siano esse in calcestruzzo armato, acciaio o muratura. Entrando nello specifico del caso di analisi sono stati adottati i parametri relativi alle costruzioni in muratura ordinaria. Quindi per quanto riguarda il fattore di struttura, essendo l’edificio in muratura
ordinaria e con più di due piani, si è preso q=3. Da notare che per quanto riguarda i due moltiplicatori di carico le definizioni sono leggermente modificate rispetto al caso lineare, in particolare:
- α1 è il moltiplicatore della forza sismica per cui il primo pannello murario
raggiunge lo stato di collasso (per pressoflessione o taglio)
- αu è il 90 % del moltiplicatore della forza sismica orizzontale per il quale la
costruzione raggiunge la massima forza resistente.
Per le costruzioni in muratura di solito si utilizzano l’analisi statica non lineare (push over) o l’analisi dinamica lineare (modale).
