Analisi Matematica 1

(1)

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Analisi Matematica 1

Testi d’esame e Prove parziali

1a _{prova - 21 Ottobre 1998 . . . pag.} ₂

2a _{prova - 25 Novembre 1998 . . . pag.} ₄

3a _{prova - 16 Dicembre 1998 . . . pag.} ₆

Esame - 20 Gennaio 1999 . . . pag. 8 Esame - 8 Febbraio 1999 . . . pag. 10 Esame - 24 Febbraio 1999 . . . .pag. 12 Esame - 14 Giugno 1999 . . . pag. 13 Esame - 12 Luglio 1999 . . . pag. 14 Esame - 10 Settembre 1999 . . . pag. 16 1a _{prova - 5 Novembre 1999 . . . .pag. 18}

2a _{prova - 26 Novembre 1999 . . . pag. 20}

3a _{prova - 17 Dicembre 1999 . . . pag. 22}

Esame - 10 Gennaio 2000 . . . pag. 24 Esame - 31 Gennaio 2000 . . . pag. 26 Esame - 21 Febbraio 2000 . . . .pag. 28

(2)

ANALISI MATEMATICA 1 (Sv) - 21 Ottobre 1998 - (1a _{prova parziale)} ₁h a) Si consideri l’insieme A = 2x − 1 x2_{+ 2} , x∈ R . - Determinare sup A.

- `E vero che sup A = max A ?

Si osservi che 2x_x2− 1₊₂ `e definito per ogni x reale.

Per determinare l’estremo superiore di A cerchiamone i maggioranti: m `e un maggiorante di A se e solo se

2x− 1

x2 _{+ 2} ≤ m ∀x ∈ R . Sviluppando i calcoli si ottiene (essendo x2 _{+ 2 sempre positivo)}

mx2− 2x + 2m + 1 ≥ 0

che è verificata per ogni x∈ R se e solo se il primo coefficiente è maggiore di zero ed il discriminante è minore od uguale a zero, ovvero

n_{m > 0} −2m2 − m + 1 ≤ 0 cio`e m > 0 m_{≤ −1 ∪ m ≥} 1 2 Pertanto m `e maggiorante di A se e solo se m _≥ 1

2; ne segue che il minimo dei maggioranti, ovvero l’estremo superiore di A `e 1

2.

Per quanto riguarda la seconda domanda, poich´e l’equazione 2x− 1

x2_{+ 2} = 1 2 ha come soluzione x = 2, si ha che 1₂ ∈ A ovvero 1

2 `e anche il massimo di A.

2) Sia f : R→ R una funzione il cui grafico `e quello in figura:

Disegnare i grafici di

f1(x) =|f(x)| , f2(x) = f (|x|) , f3(x) = 2f (x) , f4(x) = f (x + 1) Per quanto riguarda f1 sar`a sufficiente ribaltare la parte negativa di f .

(3)

Per quel che riguarda f2 si osservi che, se x≥ 0 risulta f2(x) = f (x), ed inoltre f2 `e pari, per cui il suo grafico sar`a simmetrico rispetto all’asse delle ordinate.

Per disegnare il grafico di f3 `e sufficiente moltiplicare per 2 la scala delle ordinate.

Infine, il grafico di f4 sar`a semplicemente la traslazione di un’unit`a verso sinistra del grafico di f . I quattro grafici richiesti saranno pertanto

(4)

ANALISI MATEMATICA 1 (Sv) - 25 Novembre 1998 - (2a _{prova parziale)} ₁h a) Si consideri la successione an +1 =₁₂1 a2 n+ 3 a1 = 2 - Provare che an `e crescente.

- Determinare il limite di an.

La successione an `e crescente se e solo se an +1 ≥ an per ogni n, ovvero se e solo se 1

12a 2

n + 3≥ an ∀n ∈ N . Sviluppando i calcoli ci`o `e vero se e solo se

a2n− 12an + 36≥ 0 ∀n ∈ N che risulta sempre vero, essendo il primo membro uguale ad (an− 6)2.

Per quanto riguarda la seconda domanda, poiché la successione è crescente, esisterà sicuramente il limite di an; tale limite (che coincide con l’estremo superiore) può essere a∈ R oppure +∞. (Dalla figura a fianco si può facilmente desumere che il limite è reale e vale 6)

Proviamo pertanto che an `e limitata superiormente da 6, ovvero che

an ≤ 6 ∀n ∈ N

Utilizzando l’induzione si ha, per n = 1, a1 = 2≤ 6 che `e vero.

Supponendo poi an ≤ 6 proviamo che an +1 ≤ 6; la tesi `e vera se e solo se 1

12a 2

n + 3≤ 6 ovvero se e solo se a2

n ≤ 36 che risulta vera per l’ipotesi (ricordando che an `e crescente e quindi maggiore di a1 = 2 > 0).

Pertanto essendo an limitata, si ha lim an = a∈ R. Per calcolare il valore di a sar`a sufficiente passare al limite nella relazione di ricorrenza (ricordando che lim an +1 = a) dalla quale si ottiene

a = 1 12a 2_{+ 3} _ovvero _{a = 6} _. b) Sia f : R→ R definita da f (x) =        −x2_{+ 4} _{, x}_{≤ 0} x + 4 , 0 < x≤ 3 −x + 13 , 3 < x≤ 6 1− (x − 6)2 _{, x > 6} - Disegnare il grafico di f .

- Determinare il pi`u grande intervallo che contiene l’origine in cui f `e invertibile, disegnare il grafico dell’inversa g e trovare, se possibile, g(9).

(5)

Il grafico di f risulta

Si noti che f : (_{−∞, 6) → (−∞, 10) è iniettiva (e non lo è su intervalli più grandi contenenti l’origine);} infatti f : (−∞, 3] → (−∞, 7] è strettamente crescente, mentre f : (3, 6) → (7, 10) è strettamente decrescente.

Pertanto l’intervallo richiesto `e (−∞, 6). Il grafico dell’inversa g : (−∞, 10) → (−∞, 6) `e

e, poich´e f (4) = 9, risulta g(9) = 4.

Una espressione esplicita di g `e (trovando l’inversa sui vari intervalli)

g(x) =    −√4− x , x≤ 4 x− 4 , 4 < x≤ 7 −x + 13 , 7 < x < 10

(6)

ANALISI MATEMATICA 1 (Sv) - 16 Dicembre 1998 - (3a _{prova parziale)} ₁h 1) Calcolare, se esiste, al variare del parametro α∈ R

lim x→ 0+

arctan(αx)− 2x3_{+ 1}_{− cos(2x)} sin(x3₎_{− x}2₊√_{α x} Intanto deve essere α≥ 0 affinch´e la funzione sia definita. Consideriamo prima il caso α > 0:

il numeratore `e la somma di tre funzioni infinitesime:

arctan αx di ordine 1

− 2x3 _{di ordine 3}

1− cos(2x) di ordine 2 mentre il denominatore `e la somma di tre funzioni infinitesime:

sin(x3) di ordine 3 − x2 di ordine 2 √ α x di ordine 1 Pertanto lim x_{→ 0}+ arctan(αx)− 2x3_{+ 1} − cos(2x) sin(x3₎_{− x}2₊√_{α x} = lim_x → 0+ arctan(αx) √ α x = limx_{→ 0}+ arctan(αx) α x √ α =√α

Se invece α = 0 allora il limite diventa lim x_{→ 0}+

−2x3_{+ 1}

− cos(2x) sin(x3₎_{− x}2

e per le considerazioni fatte sopra si ha, (tenendo come sempre gli ordini inferiori)

lim x→ 0+ −2x3_{+ 1}_{− cos(2x)} sin(x3₎_{− x}2 = lim_x → 0+ 1− cos(2x) −x2 = lim_x → 0+−4 1− cos(2x) (2x)2 =−4 1 2 =−2

2) Si consideri, al variare di a, b∈ R, la funzione

f (x) = ln(1 + x − x

2₎ _x

≤ 0 −3x2_{+ (2a}

− b + 3)x − (a + b − 2) x > 0 a) Determinare a e b in modo che f risulti continua sul suo dominio. b) Determinare a e b in modo che f risulti derivabile sul suo dominio.

c) Per i valori di a e b per i quali f `e derivabile, disegnare il grafico di f . Per quel che riguarda il dominio di f dovr`a essere, per x≤ 0, 1 + x − x2 _{> 0 ovvero x}

∈ (1−√5 2 , 0]. Essendo formata a tratti da funzioni continue, f risulta quindi continua in (1−₂√5, 0) ed in (0, +∞). Resta da verificare la continuit`a in 0. Poich´e

lim x→ 0−ln(1 + x− x 2_{) = 0} lim x→ 0+−3x 2_{+ (2a} − b + 3)x − (a + b − 2) = 2 − a − b

(7)

dovr`a risultare 0 = 2− a − b ovvero

a + b = 2 .

Per quanto riguarda la derivabilit`a, ancora come sopra f risulta derivabile (in quanto formata da funzioni derivabili) in (1−₂√5, 0) ed in (0, +∞). Nell’origine si ha lim x→ 0−f 0_{(x) = lim} x→ 0− 1− 2x 1 + x− x2 = 1 lim x_{→ 0}+f 0_{(x) = lim} x_{→ 0}+−6x + (2a − b + 3) = (2a − b + 3)

Dovr`a quindi risultare 2a− b + 3 = 1, che unita alla condizione di continuit`a sopra trovata, fornisce a = 0 , b = 2 .

Disegnamo ora (nel caso a = 0 e b = 2) il grafico di

f (x) = ln(1 + x− x2₎ 1₋√5 2 < x≤ 0 −3x2_{+ x} _{x > 0} Si ha lim x_→1− √ 5 2 f (x) = lim x_→1− √ 5 2 ln(1 + x− x2_{) =} −∞ lim x_{→ +∞}f (x) =x_{→ +∞}lim −3x 2_{+ x =} −∞

Intersezioni con gli assi: per x = 0, f(0)=0; inoltre per x≤ 0, ln(1 + x − x2_{) = 0 fornisce 1 + x}_{− x}2 _{= 1} ovvero x = 0 (e x = 1 non accettabile); infine, per x > 0,−3x2_{+ x = 0 fornisce x =}1

3 (e x = 0). Crescenza e decrescenza: essendo

f0(x) = ₁ − 2x 1+ x− x2 1−√5 2 < x≤ 0 −6x + 1 x > 0

dallo studio di f0(x)≥ 0, si ha, per x ≤ 0, 1− 2x

1+ x− x2 ≥ 0, e ricordando che il denominatore `e sempre positivo,

risulta x≤1

2, ovvero sempre verificato (essendo x≤ 0); infine, per x > 0, si ha −6x + 1 ≥ 0 ovvero x ≤ 1 6. In conclusione f risulta crescente in (1−₂√5,1₆] (il suo massimo si ha per x = 1₆ e vale ₁₂1 ) e quindi il grafico `e:

(8)

ANALISI MATEMATICA 1 (Sv) - 20 Gennaio 1999 1h • Si consideri la funzione f (x) = 1 e(x− 1)2 − 4 . a) Disegnare il grafico di f .

f risulta definita per e(x− 1)2 − 4 6= 0, ovvero per x 6= 1 ±√ln 4. Si ha f (0) = _e_{− 4}1 mentre f non si annulla mai.

Inoltre f (x) > 0 se e solo se x∈ (−∞, 1 − 1 −√ln 4)∪ (1 +√ln 4, +∞) e lim x_{→ (1 −}√ln 4)− f (x) = +_∞ , lim x_{→ (1 −}√ln 4)+ f (x) =_−∞ lim x_{→ (1+}√ln 4)− f (x) =−∞ , lim x_{→ (1+}√ln 4)+ f (x) = +∞ lim x_→−∞ f (x) = 0 , x_{→ +∞}lim f (x) = 0 Calcolando la derivata prima

f0(x) =− 1 (e(x_{− 1)}2

− 4)22(x− 1)e (x− 1)2

essa risulta positiva per x < 1, x6= 1−√ln 4 ; pertan-to f sar`a crescente in (−∞, 1−√ln 4)∪(1−√ln 4, 1).

Il grafico di f risulter`a pertanto:

(Si poteva pi`u semplicemente disegnare la fun-zione pari ex2_{, quindi traslarla a sinistra di 1 ed in} basso di 4, e infine disegnarne la reciproca).

b) Calcolare, se esiste, l’equazione della retta tangente al grafico di f , per x = 0. f `e derivabile in 0 e quindi l’equazione della retta richiesta `e

y = f (0) + f0(0)x = 1 e− 4 +

2e (e− 4)2x

c) Determinare, se esiste, l’inversa di f su [0, 1].

Poiché si è già visto che f risulta strettamente crescente in [0, 1], allora f : [0, 1]→ [ 1 e− 4,− 1 3] è invertibile e risolvendo x = f (f− 1(x)) = 1 e( f − 1 ( x )− 1) 2_{− 4} si ottiene f− 1(x) = 1₋ s ln 4 + 1 x x_∈ ₁ e− 4,− 1 3

(9)

• Si consideri la successione

n_{an +1} _{= 2an}− 1 a1 = 3

a) Verificare che, per ogni n naturale, an = 1 + 2n. Per n = 1 si ha a1= 1 + 21 _{= 3, che risulta vero.} Supponendo ora an = 1 + 2n_{, si ottiene}

an +1 = 2(1 + 2n)− 1 = 1 + 2n +1 e quindi il risultato `e provato per induzione.

b) Calcolare, se esiste, l’ordine di infinito di ln an. Per quanto visto sopra

ln an = ln(1 + 2n) = ln[2n(1 + 2− n] = ln(2n) + ln(1 + 2− n) = n ln 2 + ln(1 + 2− n) Poich´e ln(1 + 2− n)→ 0, la parte che `e infinita risulta n ln 2, che ha ordine 1.

(10)

ANALISI MATEMATICA 1 (Sv) - 8 Febbraio 1999 1h • Si consideri la funzione f (x) = ax 2_{+ x + b} _{, se x} ≥ 0 ex+ c , se x < 0 a) Determinare a, b, c∈ R in modo che f sia continua su R.

f risulta sicuramente continua per x6= 0. Inoltre lim

x→ 0− f (x) = lim_x_{→ 0}− e

x_{+ c = c + 1} _, _lim

x→ 0+f (x) = lim_x_{→ 0}+ax

2_{+ x + b = b = f (0)}

per cui f sar`a continua su tutto R se e solo se b = c + 1.

b) Determinare a, b, c∈ R in modo che f sia derivabile su R. f risulta sicuramente derivabile per x6= 0 e vale

f0(x) = 2ax + 1 , se x > 0 ex _{, se x < 0}

Supponiamo ora, come visto al punto precedente, che sia b = c + 1, e studiamo la derivabilit`a in x = 0. Poich´e i limiti delle derivate esistono e valgono

lim x→ 0−f 0_{(x) = lim} x→ 0−e x _{= 1} _, _lim x→ 0+f 0_{(x) = lim} x→ 0+2ax + 1 = 1

allora f0(0) = 1 e f `e derivabile su tutto R se e solo se b = c + 1.

• Si consideri la funzione

g(x) = 1

ln(1 + x2₎_{− 1} a) Disegnare il grafico di g.

g risulta definita per ln(1 + x2)− 1 6= 0, ovvero per x 6= ±√e− 1. Si ha g(0) =−1 mentre g non si annulla mai.

Inoltre g(x) > 0 se e solo se ln(1 + x2) > 1 ovvero 1 + x2 > e se e solo se x∈ (−∞, −√e− 1) ∪ (√e− 1, +∞) e lim x→ (−√e− 1)− g(x) = +∞ , lim x→ (−√e− 1)+ g(x) =−∞ lim x→ (√e− 1)−g(x) =−∞ , _x_{→ (}lim√_e_{− 1)}+ g(x) = +∞ lim x→−∞ g(x) = 0 , x→ +∞lim g(x) = 0 Calcolando la derivata prima

g0(x) =− 1 (ln(1 + x2₎_{− 1)}2

1 1 + x22x

(11)

essa risulta positiva per x < 0, x6= −√e− 1 ; pertan-to g sar`a crescente in (−∞, −√e− 1) ∪ (−√e− 1, 0).

Il grafico di g risulter`a pertanto:

(Si poteva pi`u semplicemente disegnare la fun-zione pari ln(1 + x2_{), quindi traslarla in basso di 1,} e infine disegnarne la reciproca).

b) Calcolare, se esiste, l’equazione della retta tangente al grafico di g, per x = 1. g `e derivabile in 1 e quindi l’equazione della retta richiesta `e

y = g(1) + g0(1)(x− 1) = 1 ln 2− 1−

1

ln 2− 1(x− 1)

c) Determinare, se esiste, l’inversa di g su [−1, 0].

Si `e gi`a visto che g risulta strettamente crescente in [−1, 0], allora g : [−1, 0] → [ 1

ln 2_{− 1},−1] `e invertibile e risolvendo x = g(g− 1(x)) = 1 ln (1+( g− 1_(x))2_{− 1} si ottiene g− 1(x) =₋ q e1+1 x − 1 x∈ ₁ ln 2− 1,−1

(12)

ANALISI MATEMATICA 1 (Sv) - 24 Febbraio 1999 1h • Si consideri la successione definita da

an +1 = a2n− an + 1 a1 = 2

a) Stabilire se an `e crescente.

an `e crescente se e solo se an +1 ≥ an per ogni n∈ N, ovvero se e solo se a2_n − an + 1 ≥ an ⇔ (an− 1)2

≥ 0 che `e vero per ogni n∈ N.

Pertanto an `e crescente.

b) Calcolare, se esistono, lim an, inf{an}, sup{an}, min{an}, max{an}.

Poiché an è crescente esiste il lim an = sup{an} e tale limite può essere o +∞ o reale (= a). Se è reale, passando al limite nella definizione di an, si ha

a = a2− a + 1 ovvero a = 1 che è impossibile perché a1= 2 e an è crescente.

Pertanto lim an = +∞; da cui sup{an} = +∞ e non esiste max{an}. Inoltre, sempre per la crescenza di an, inf{an} = min{an} = a1 = 2.

f (x) = 2− 3x + 2 ln(x + 1) a) Disegnare il grafico di f .

f `e definita per x + 1 > 0 ovvero x >−1. Inoltre f(0) = 2 e lim

x→− 12− 3x + 2 ln(x + 1) = −∞ , x_{→ +∞}lim 2− 3x + 2 ln(x + 1) = −∞ Calcolando la derivata prima si ha

f0(x) =_{−3 +} 2 x + 1

che `e positiva (essendo x >−1), per −1 < x < −1 3. f risulta pertanto crescente in (−1, −1

3] e decre-scente in [−1

3, +∞) e il suo grafico `e:

b) Determinare il più grande intervallo contenente 0 in cui f è invertibile. Si è già visto che f è strettamente decrescente in [−1

3, +∞) e quindi `e ivi invertibile (e non su intervalli pi`u grandi).

c) Calcolare, se esiste, (f− 1)0(2).

Poich´e f (0) = 2 ed f0(0) =−1 si avr`a, per il teorema di derivazione della funzione inversa (f− 1)0(2) = 1

(13)

ANALISI MATEMATICA 1 (Sv) - 14 Giugno 1999 1h • Si consideri la successione definita da

( an +1 =6− an₂ a1 = 3₂ a) Verificare che an = 2 + (_{− 1)}n 2n `

E possibile verificare quanto richiesto per induzione: infatti si ha a1 = 2−1

2 = 3 2 e an +1 = 6_{− an} 2 = 6− 2 − (− 1)2nn 2 = 2− (₋₁₎n 2n +1 = 2 + (₋₁₎n +1 2n +1 b) Calcolare lim an

Risulta lim an = 2 (poich´e (− 1)₂nn → 0).

• Si consideri la funzione definita da

f (x) = x + arctan(x + 1) + arctan 1 x + 1 c) Disegnare il grafico di f0.

f `e definita per x6= −1 e si ha, essendo composta di funzioni derivabili, f0(x) = 1 + 1 1 + (x + 1)2 − 1 (x + 1)2 1 1 + 1 (x+1)2 = 1 d) Disegnare il grafico di f .

Per quanto visto sopra risulter`a

f (x) = x + a , se x <−1 x + b , se x >−1

Poich`e si ha f (−2) = −2 + arctan(−1) + arctan(−1) = −2 − π 2 e f (0) = arctan(1) + arctan(1) = π₂ avremo che

f (x) = x − π

2 , se x <−1 x + π₂ , se x >−1

e) Determinare, se esiste, l’inversa di f . Essendo f : (−∞, −1) ∪ (−1, +∞) → (−∞, −1 −π

2)∪ (−1 + π

2, +∞) strettamente monotona, essa risulta invertibile e si ha f− 1(x) = x + π 2 , se x <−1 − π 2 x−π 2 , se x >−1 + π 2

(14)

ANALISI MATEMATICA 1 (Sv) - 12 luglio 1999 1h

f (x) = x3+ x a) Verificare che f `e invertibile su R

Poiché f è la somma di due funzioni strettamente crescenti (x3 _{ed x) risulter`}_{a strettamente crescente,} e quindi invertibile, su tutto il suo dominio, che è R.

b) Detta g l’inversa di f su R, calcolare, se esiste g0(2)

Poich´e f `e derivabile su R, 2 = f (1) e f0_{(1) = 4, per il teorema di derivazione della funzione inversa, si} ha

g0(2) = 1 f0₍₁₎ =

1 4

c) Calcolare l’ordine di infinitesimo di g(x)− g(2) in x = 2

La funzione considerata si annulla per x = 2 ed inoltre la sua derivata prima vale g0_{(2) =} 1

4 6= 0, per cui l’ordine di infinitesimo `e 1 (ordine della prima derivata non nulla).

• Si consideri la funzione h il cui grafico `e

d) Disegnare il grafico di k(x) = h(x2_{+ 1).}

Il grafico cercato si ottiene, prima traslando a sinistra di una unit`a il grafico di h, ottenendo in tal modo il grafico di h(x + 1), e quindi disegnando, per x > 0 un grafico analogo a quello di h (essendo x2 _crescente per x > 0), e facendo poi il simmetrico rispetto all’asse delle ordinate, essendo la funzione k una funzione pari.

Si noti che k(0) = h(1) = 0 e che l’asintoto verticale per x > 0, si ha per x2_{+ 1 = 3, ovvero per x =}√_2. Inoltre, nell’origine, k deve essere derivabile e quindi non vi pu`o essere una ‘punta’ nel grafico.

(15)

e) Disegnare il grafico di k0.

Essendo k una funzione pari, k0 sar`a una funzione dispari. `

E quindi sufficiente disegnarla per x > 0 (essendo poi il grafico simmetrico rispetto all’origine). Si ha k0(0) = 0 e k0(x) < 0 per ogni x > 0, x6=√2. Inoltre lim_x_→√

2k0(x) =−∞ e limx→ +∞k0(x) = 0. Infine, essendo k convessa per x >√2 risulter`a k0 crescente per x >√2 (e decrescente per 0 < x <√2).

(16)

ANALISI MATEMATICA 1 (Sv) - 10 settembre 1999 1h

• Si consideri la successione

an = n 2_{+ 3} n2_{+ 1}

a) Verificare che an `e decrescente.

an `e decrescente se e solo se an +1 ≤ an per ogni n, ovvero (n + 1)2+ 3

(n + 1)2_{+ 1} ≤ n2+ 3 n2_{+ 1}

e sviluppando i calcoli, ne segue 4n + 2≥ 0, che `e sempre vero per ogni n naturale. Pi`u rapidamente si poteva notare che

an = n

2 _{+ 1 + 2} n2_{+ 1} = 1 +

2 n2_{+ 1} che risulta decrescente.

b) Determinare, se esistono, il massimo, il minimo, l’estremo superiore e l’estremo inferiore della successione data.

Essendo an decrescente si ha

max{an} = sup{an} = a1 = 2 , inf{an} = lim an = 1 mentre non esiste il minimo, non essendo alcun termine della successione uguale a 1.

• Si consideri la funzione f : R → R, il cui grafico `e:

c) Disegnare il grafico di f (1− x)

(17)

d) Disegnare il grafico di f0(x)

La funzione f `e decrescente (e quindi f0 `e negativa per x < 0 e per a < x < b, ove si sono indicati con a e b i punti di massimo e di minimo relativo di f per x > 0.

Inoltre limx_{→ inf ty} f0(x) = 0 poich´e la perdenza tende a diventare nulla.

Infine, sempre dall’esame del grafico di f , si ha limx_{→ 0}− f0(x)≈ −1 e limx_{→ 0}+f0(x)≈ 2.

Si noti che non sono richieste considerazioni sulla derivata seconda di f ; in ogni caso si avrebbe f0 crescente (cio`e f convessa) per x maggiore del punto di flesso vicino ad 1.

Un grafico ragionevole sar`a pertanto

e) Disegnare il grafico di g(|x|), dove g `e l’inversa di f su [3, +∞).

Per x > 0, sar`a sufficiente considerare la parte di grafico di f con x ≥ 3 e disegnarne il simmetrico rispetto alla bisettrice del 1o e 3o quadrante; essendo poi g(|x|) una funzione pari, ci sar`a anche il ramo simmetrico rispetto all’asse delle ordinate.

(18)

ANALISI MATEMATICA 1 (Sv) - 5 Novembre 1999 - (1a _{prova parziale)} ₁h a) Provare che, per ogni n naturale,

n X k =0 3k = 3 n +1 − 1 2 `

E possibile provare ci`o per induzione: per n = 1 si ha 1 X k =0 3k = 30+ 31= 1 + 3 = 4 = 3 2_{− 1} 2 e quindi la formula risulta vera.

Supponiamo ora che Pn_{k =0} 3k ₌ 3n +1− 1

2 e proviamo che Pn +1 k =0 3 k ₌ 3n +2− 1 2 ; si ha n +1 X k =0 3k = n X k =0 3k + 3n +1 = 3 n +1_{− 1} 2 + 3 n +1 ₌ 3n +1− 1 + 2 3n +1 2 = 3n +2 _{− 1} 2 e quindi la formula `e valida per ogni naturale.

f (x) = 1 x2_{− 2x + 2} b) Determinare l’estremo superiore di f .

Osserviamo intanto che x2− 2x + 2 non si annulla mai.

Determiniamo quindi l’insieme dei maggioranti, ovvero degli m∈ R tali che 1

x2_{− 2x + 2} ≤ m ∀x ∈ R

Risolvendo la disequazione (ricordando che il denominatore della frazione `e sempre positivo) si ottiene mx2_{− 2mx + 2m − 1 ≥ 0}

Tale disequazione sarà verificata per ogni x reale se e solo se m è positivo ed il discriminante è negativo o nullo, ovvero se e solo se

n_{m > 0} m− m2

≤ 0 ⇔

m > 0

m≤ 0 oppure m ≥ 1 che fornisce come soluzione m≥ 1.

Pertanto l’estremo superiore (minimo dei maggioranti) `e 1. c) Disegnare il grafico di f .

Il grafico di x2_{− 2x + 2 è una parabola di vertice (1,1) con la concavità rivolta verso l’alto.} Da tale grafico è immediato dedurre quello di f (reciproco del precedente).

(19)

d) Verificare che f `e invertibile su (−∞, 0).

f `e sicuramente invertibile su (−∞, 0) essendo ivi strettamente crescente (lo si deduce dal grafico, o dal fatto che `e la reciproca di una funzione strettamente decrescente e positiva).

e) Determinare l’inversa di f su (−∞, 0). Poich´e f : (_{−∞, 0) → (0,}1 2), si avr`a f− 1 : (0, 1 2)→ (−∞, 0) ed essendo y = 1 x2_{− 2x + 2} ⇔ x = 1± r 1 y − 1

si ricava facilmente l’espressione dell’inversa (ricordando che il rango di f− 1`e (−∞, 0) )

f− 1(x) = 1− r

1 x− 1

• Dato il grafico della funzione g : R → R

f ) Disegnare il grafico di g(x + 3) , |g(x)| e g(|x|).

Il grafico di g(x + 3) si ottiene traslando a sinistra di 3 unit`a quello di g; il grafico di|g(x)| si ottiene ribaltando in alto la parte negativa del grafico di g; il grafico di g(_{|x|) si ottiene ribaltando a sinistra la parte} del grafico di g avente ascissa positiva:

(20)

ANALISI MATEMATICA 1 (Sv) - 26 Novembre 1999 - (2a _{prova parziale)} ₁h • Si consideri la successione definita da

an +1 = _{1 + a}an n a1 = 5

a) Provare che, per ogni n naturale, si ha an > 0. Per n = 1 si ha a1 = 5 > 0. Supponendo poi an > 0 si ha

an +1 = an

1 + an > 0 (essendo positivi sia il numeratore che il denominatore).

Pertanto quanto richiesto `e provato per induzione. b) Provare che an `e decrescente.

an `e decrescente se e solo se an +1 ≤ an , ∀n, se e solo se an

1 + an ≤ an , ∀n

se e solo se (essendo 1 + an > 0)

an ≤ an+ a2n ovvero 0≤ a2n ∀n che `e banalmente vero.

c) Determinare, se esiste, il lim an.

Essendo an decrescente, esiste sicuramente lim an = a∈ R (essendo a = inf{an} si ha che a ∈ R oppure a =−∞, ma il secondo caso è impossibile poiché an è sempre positiva).

Pertanto, passando al limite nella relazione di ricorrenza, si ottiene a = a

1 + a da cui a = 0 .

d) Calcolare, se esistono, i seguenti limiti

lim n 3 + n2 1 + n + n2 , _xlim_{→ 0} x(1_{− cos(2x))} (sin(3x))3 , _xlim_{→ 1} x3 − 2x + 1 x2_{+ 2x}_{− 3} .

Tutti e tre i limiti risultano forme indeterminate ∞_∞ o 0₀. Si ha

lim n 3 + n2 1 + n + n2 = lim_n 3 n2 + 1 1 n2 + 1 n + 1 = 1 lim x_{→ 0} x(1− cos(2x)) (sin(3x))3 = lim_x_{→ 0} x (2x) 2 1 (3x)3 (1− cos(2x)) (2x)2 (3x)3 (sin(3x))3 = 4 27 1 2 = 2 27 lim x→ 1 x3_{− 2x + 1} x2_{+ 2x}_{− 3} = lim_x_{→ 1} (x− 1)(x2_{+ x}_{− 1)} (x− 1)(x + 3) = limx→ 1 x2_{+ x}_{− 1} x + 3 = 1 4

(21)

e) Verificare, utilizzando la definizione di limite, che lim

x→ +∞ x x + 1 = 1 Si tratta di verificare che

∀ > 0 ∃δ > 0 : x∈ Io₍₊ ∞, δ) ⇒ x x + 1 ∈ I(1, ) ovvero ∀ > 0 ∃δ > 0 : x > δ ⇒ x x + 1− 1 < Si ha x x + 1− 1 = 1 |x + 1| < se e solo se |x + 1| > 1 ovvero se x > 1

− 1 e la tesi, scegliendo (se < 1), δ = 1 − 1.

(22)

ANALISI MATEMATICA 1 (Sv) - 17 Dicembre 1999 - (3a _{prova parziale)} ₁h • Determinare, al variare di α ∈ R, α ≥ 0 lim x→ 0+ 1− cos(3x) + 2x2_sin(2x) x3_{cos(x) + ln(1 + αx}2₎

Si tratta di una forma indeterminata 0₀; esaminando gli ordini di infinitesimo, si ha 1− cos(3x) `e infinitesima di ordine 2

2x2sin(2x) `e infinitesima di ordine 3 x3cos(x) `e infinitesima di ordine 3

ln(1 + αx2) `e infinitesima di ordine 2 se α > 0 Pertanto, se α > 0, il limite richiesto `e uguale a

lim x→ 0+ 1− cos(3x) ln(1 + αx2₎ = _xlim → 0+ 1− cos(3x) (3x)2 αx2 ln(1 + αx2₎ (3x)2 αx2 = 1 2 1 9 α = 9 2α .

Se invece α = 0, sempre per le considerazioni fatte sugli ordini, il limite risulta +∞, essendo il numeratore di ordine inferiore al denominatore.

f (x) =( a + arctan(2x)_b , se x < 0

x + 1 , se x≥ 0

a) Stabilire per quali a, b∈ R f risulta continua su R.

f `e sicuramente continua per x6= 0, essendo formata da composte di funzioni continue. Per quel che riguarda x = 0, si ha limx→ 0− a + arctan(2x) = a e limx→ 0+ _x+1b = b = f (0) per cui f sar`a continua su R

se e solo se

a = b b) Stabilire per quali a, b∈ R f risulta derivabile su R.

f `e sicuramente derivabile per x6= 0, essendo formata da composte di funzioni derivabili e

f0(x) =    2 1+4 x2 , se x < 0 − b (x + 1)2 , se x > 0

Per quel che riguarda x = 0, si ha limx_{→ 0}− _{1+4 x}2 2 = 2 e limx_{→ 0}+ _(x+1)− b 2 =−b per cui f sar`a derivabile su

Rse e solo se

a = b =−2

c) Per i valori di a e b per i quali f risulta derivabile in R disegnarne il grafico. Si tratta di disegnare il grafico di

f (x) =( −2 + arctan(2x) , se x < 0

(23)

d) Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di f in x = 0. Essendo f (0) =−2 e f0_{(0) = 2, l’equazione della retta tangente risulta}

y = f (0) + f0(0)(x− 0) = −2 + 2x

e) Detta f− 1 _{l’inversa di f , determinare (f}− 1₎0_(1).

Si noti che f risulta invertibile su tutto R essendo strettamente crescente; inoltre, essendo f (0) =−2, si ha

(f− 1)0(−2) = 1 f0₍₀₎ =

1 2

(24)

ANALISI MATEMATICA 1 (Sv) - 10 Gennaio 2000 - 1h • Si consideri la successione definita da

n_{an +1} _{= 2an} − 1 a1 = 7

a) Determinare α, β∈ R tali che, per ogni n, si abbia an = β αn+ 1. Se an = β αn+ 1 si ha, sostituendo nell’equazione che definisce la successione

β αn +1+ 1 = 2β αn + 2− 1

da cui, semplificando e dividendo per βαn _(βα_{6= 0 in quanto se fosse nullo si avrebbe an} _{identicamente 1),} α = 2

Dalla condizione a1 = 7 si ha poi βα + 1 = 7 ovvero 2β + 1 = 7 e quindi β = 3. b) Determinare, se esiste, l’ordine di infinito di ln(an).

Poich`e an = 3 2n+ 1 si ha ln(an) = ln(3 2n + 1) che tende all’infinito con lo stesso ordine di ln(3 2n) = ln 3 + n ln 2, ovvero di ordine 1.

f (x) = e x x2

c) Disegnare il grafico di f , precisando dominio, limiti, continuità, derivabilità e crescenza. La funzione risulta definita per x_{6= 0 e sul suo dominio è continua e derivabile, in quanto composta da} funzioni derivabili.

Inoltre, utilizzando per il secondo limite gli ordini di infinito,

lim x→−∞ ex x2 = 0 , _x_{→ +∞}lim ex x2 = +∞ , _xlim_{→ 0} ex x2 = +∞ Si ha poi, per x6= 0, f0(x) = exx 2 − 2x x4

da cui f risulta crescente per x2_{− 2x > 0 ovvero per x < 0 oppure per x > 2.} Nel punto di minimo si ha f (2) = e₄2

(25)

d) Scrivere, se esiste, l’equazione della retta tangente al grafico di f per x = 1. L’equazione della retta richiesta `e

y = f (1) + f0(1)(x− 1) = e − e(x − 1) = e(2 − x)

e) Determinare, al variare di k_{∈ R, il numero degli zeri dell’equazione} ex_{= kx}2_. L’equazione data `e equivalente, per x6= 0, a

k = e x x2

(d’altra parte per x = 0 l’equazione diventa 1 = 0 per ogni k e quindi x = 0 non `e mai soluzione). Dal grafico della funzione al punto c) si deduce pertanto che si avranno

nessuna soluzione per k _{≤ 0} una soluzione per 0 < k < e₄2 due soluzioni per k = e₄2 tre soluzioni per k > e₄2

(26)

ANALISI MATEMATICA 1 (Sv) - 31 Gennaio 2000 - 1h • Si consideri la successione definita da

n_{an +1} _{= 3an} _{+ 4} a1= 1

a) Determinare α, β∈ R tali che, per ogni n, si abbia an = β αn− 2. Se an = β αn− 2 si ha, sostituendo nell’equazione che definisce la successione

β αn +1− 2 = 3β αn

− 6 + 4

da cui, semplificando e dividendo per βαn _(βα_{6= 0 in quanto se fosse nullo si avrebbe an} _{identicamente -2),} α = 3

Dalla condizione a1 = 1 si ha poi βα− 2 = 1 ovvero 3β − 2 = 1 e quindi β = 1. b) Determinare, se esiste, l’ordine di infinito di ln(an).

Poich`e an = 3n− 2 si ha ln(an) = ln(3n− 2) che tende all’infinito con lo stesso ordine di ln(3n_{) = n ln 3,} ovvero di ordine 1.

f (x) = e x x3

c) Disegnare il grafico di f , precisando dominio, limiti, continuità, derivabilità e crescenza. La funzione risulta definita per x_{6= 0 e sul suo dominio è continua e derivabile, in quanto composta da} funzioni derivabili.

Inoltre, utilizzando per il secondo limite gli ordini di infinito,

lim x→−∞ ex x3 = 0 , _x_{→ +∞}lim ex x3 = +∞ , _xlim → 0− ex x3 =−∞ , _xlim → 0+ ex x3 = +∞ Si ha poi, per x_{6= 0,} f0(x) = exx 3_{− 3x}2 x6 da cui f risulta crescente per x3

− 3x2 _{> 0 ovvero per x > 3.} Nel punto di minimo si ha f (3) = e₂₇3

(27)

d) Scrivere, se esiste, l’equazione della retta tangente al grafico di f per x = 1. L’equazione della retta richiesta `e

y = f (1) + f0(1)(x− 1) = e − 2e(x − 1)

e) Determinare, al variare di k_{∈ R, il numero degli zeri dell’equazione} ex_{= kx}3_. L’equazione data `e equivalente, per x6= 0, a

k = e x x3

(d’altra parte per x = 0 l’equazione diventa 1 = 0 per ogni k e quindi x = 0 non `e mai soluzione). Dal grafico della funzione al punto c) si deduce pertanto che si avranno

una soluzione per k < 0 nessuna soluzione per 0 ≤ k < e3

27 una soluzione per k = ₂₇e3 due soluzioni per k > ₂₇e3

(28)

ANALISI MATEMATICA 1 (Sv) - 21 Febbraio 2000 - 1h Si consideri la successione an = n X i=1 1 2i a) Provare che, per ogni n naturale, si ha

an = 1− 1 2n Utilizzando il principio di induzione si ha, per n = 1

a1 = 1 X i=1 1 2i = 1 2 = 1− 1 21 . Supponendo ora vera la formula per n,

an +1 = n +1 X i=1 1 2i = n X i=1 1 2i + 1 2n +1 = 1− 1 2n + 1 2n +1 = 1− 1 2n +1 e quindi il risultato `e provato anche per n + 1.

b) Calcolare, se esiste, liman +1

an . Si ha liman +1 an = lim1− 1 2n +1 1− 1 2n = 1

Si consideri la funzione definita da

f (x) = 1 x2_{− 2x} c) Determinare il rango di f .

Dal grafico della funzione (facilmente ottenibile da quello di x2 − 2x)

(29)

In altro modo si possono cercare i valori di y per cui l’equazione

y = 1

x2_{− 2x} ha soluzioni (diverse da 0 e -2). Risolvendo si ottiene

yx2− 2yx − 1 = 0 da cui x = y± p

y2_{+ y} y e quindi affinch´e esistano soluzioni deve essere y2_{+ y > 0, con y}

6= 0, ed il risultato precedente. d) Determinare, se esiste, l’inversa di f in (−∞, 0).

f : (−∞, 0) → (0, +∞) `e invertibile in quanto strettamente crescente.

Dai calcoli del punto precedente, scegliendo quindi la soluzione negativa, si ha

f− 1(y) = y− p y2_{+ y} y , y > 0 . e) Calcolare, se esiste lim x→ +∞ p x2_{+ x}₋p_x2_{− x} Si ha lim x→ +∞ p x2_{+ x}₋p_x2_{− x = lim} x→ +∞ x2+ x− x2_{+ x} √ x2_{+ x +}√_x2_{− x} = = lim x→ +∞ 2x √ x2_{+ x +}√_x2_{− x} = = lim x_{→ +∞} 2 p1 + 1/x + p1 − 1/x= 1