Lezione del 3 marzo 2007
Oggetto di studio del corso: l’insieme N dei numeri naturali (interi >0) e più in generale l’insieme Z dei numeri interi relativi (positivi, negativi e lo zero).
Applicazioni: crittografia.
Testi consigliati:
Rosen: “Elementary Number theory”
Koblitz: “A Course in Number Theory and Cryptography”
Uno degli argomenti che affronteremo sarà quello relativo agli algoritmi sui numeri naturali:
ognuno di essi è un procedimento composto da un valore in entrata (input) costituito da uno (o più) numeri naturali, da un numero finito di passaggi (steps), e da un valore in uscita (output) costituito da uno (o più) numeri (non necessariamente naturali) oppure da una affermazione relativa all’input (del tipo “si”o “no”, “vero” o “falso” etc…)
Esempi di algoritmi:
a) algoritmo della divisione: input a,b (numeri naturali); steps: con l’usuale procedimento
“scolastico” si trovano gli interi non negativi q,r tali che a=bq+r, con r<b; si esce con output q (quoziente), r (resto)
b) test di primalità: input n (numero naturale >1); steps: per i=2,3,…,n-1 si verifica se i è divisore di n; se per qualche i la verifica è positiva si esce con output “n non è primo”, altrimenti si esce con output “n è primo”
Gli algoritmi si implementano per lo più su un computer, dunque supporremo sempre che i dati numerici siano rappresentati in base 2 cioè in forma binaria: in particolare ogni numero naturale m ha una rappresentazione binaria della forma m=at2t+at-12t-1+…+a121+a020 (dove ai sono le cifre binarie 0,1 dette bits) e in tale caso scriveremo m=(atat-1……a0)2 .
Se vogliamo dare una “stima” del tempo necessario affinché un algoritmo venga eseguito, e quindi della sua “complessità” di calcolo, dobbiamo scegliere delle operazioni “elementari”, che fungano da “unità di misura” e mediante le quali si possano costruire tutte le altre operazioni eseguite nei diversi algoritmi; sceglieremo come operazione elementare l’operazione di somma sui singoli bits con riporto (carry). Tale operazione, dati 2 bits x,y=0,1 da sommare e fissato un valore c=0,1 del carry, calcola il bit risultato x+y e il nuovo valore c1 del carry, secondo le regole esposte nella seguente tabella:
Nella prima e seconda colonna vi sono rispettivamente il valore del bit x e il valore del bit y; nella terza colonna il valore c del carry prima della somma;
nella quarta il valore del bit somma x+y; nella quinta il nuovo valore c1 del carry dopo la somma. Per esempio se x=1, y=0 e se il carry (prima della somma) è c=1, allora dalla quarta riga si ricava il bit somma x+y=0 (quarta colonna), e il valore aggiornato del carry c1=1 (quinta colonna).
Formalmente l’operazione di somma sui singoli bits con riporto é una funzione:
BitSum: {0,1}x{0,1}x{0,1} {0,1}x{0,1} definita da BitSum(x,y,c)=(x+y,c1) e in genere è implementata nell’hardware nel processore centrale (CPU) del computer.
x y c x+y 0
0 0 0 0 0
0 0 1 1 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
0 1 0 1 0
0 1 1 0 1
1 1 0 0 1
1 1 1 1 1
Se trascuriamo il tempo che il computer impiega per altri tipi di operazioni più veloci (accesso alla memoria, operazioni di shift, confronto fra bits etc..) possiamo ragionevolmente supporre che il tempo totale dell’algoritmo sia proporzionale al numero di operazioni elementari eseguite (secondo una costante di proporzionalità che all’incirca coincide con il tempo impiegato dal computer per eseguire una operazione elementare).
(Nota: E’ ovvio che la nostra scelta dell’operazione BitSum come operazione elementare è dovuta al fatto che ci occuperemo di algoritmi di tipo “aritmetico”. Per altre categorie di algoritmi potrebbe essere invece opportuno una scelta diversa: per esempio per gli algoritmi di ordinamento (sorting) le operazioni elementari potrebbero essere quelle di confronto di bits e di accesso alla memoria per la lettura e scrittura dei dati da ordinare).
Per fare in modo che la nostra stima sia funzione della “grandezza” dell’input dobbiamo scegliere un modo per misurare quest’ultima: poiché le operazioni elementari agiscono sui singoli bits, è naturale ricorrere al concetto di lunghezza di un numero naturale m nella sua rappresentazione binaria.
Se m=ak-12k-1+ak-22k-2+…+a121+a020==(akak-2……a0)2 (dove ai sono le cifre binarie =0,1) e se supponiamo che non vi siano cifre nulle (non significative) fra quelle più a sinistra (cioè in pratica se ak-1=1), il numero k=L(m) di cifre della rappresentazione binaria di m è detto lunghezza (binaria) di m. In tale caso 2k-1≤m<2k, dunque k-1≤log2m<k ossia k-1=log2m (dove in generale, dato un numero reale x, indichiamo con x la cosiddetta parte intera di x, ossia il massimo intero che non supera x). Da ciò si ricava ls formula per il calcolo della lunghezza di m:
k=L(m)=log2m+1.
Chiameremo dimensione dell’input (di un algoritmo) la lunghezza binaria dell’input stesso (se l’input è costituito da più numeri naturali, sceglieremo la lunghezza massima di tali numeri come valore della dimensione dell’input).
Dato un algoritmo A potremmo allora definire il valore TimeA(n) come il numero di operazioni elementari eseguite nell’algoritmo quando l’input ha dimensione n: tale definizione non sarebbe però univoca perché due diversi input di eguale dimensione n potrebbero dar luogo a un diverso numero di operazioni elementari nell’esecuzione dell’algoritmo.
Definiremo allora il valore TimeA(n) come il numero di operazioni elementari eseguite nell’algoritmo quando l’input ha dimensione n nel caso peggiore (cioè quello in cui il numero di operazioni elementari è il massimo, fra tutti i casi in cui l’input ha dimensione n).
