Facolt`a di Agraria

Facolt`a di Agraria

Prova scritta di Matematica del 31/3/2003 A.A. 2002-2003

Voto

Istruzioni: scrivere la risposta nel riquadro a fianco dell’esercizio ed allegare lo svolgimento completo. Apporre nome, cognome e numero di matricola su ogni foglio. Prima della consegna indicare nell’apposito spazio il numero totale di fogli di cui ` e composto l’elaborato.

Cognome Nome

no. fogli (compreso questo) N. Matricola

1. Risolvere la disequazione

log ₅ |x − 2| ≥ log _1/5 x

{1} ∪ [1 + √ 2, +∞[

2. Data la funzione

f (x) = 2 x √

x + 4 1. determinarne il dominio;

2. calcolarne i limiti agli estremi degli intervalli che costituiscono il dominio di f ;

3. determinare in quali intervalli la funzione `e crescente e in quali decrescente;

4. scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di f nel punto di coordinate (−8/3, f (−8/3));

5. disegnare un grafico approssimativo di f e della retta tangente precedentemente individuata.

1. ] − 4, 0[∪]0, +∞[;

2. lim

x→−4

f (x) = −∞, lim

x→0

f (x) = −∞,

x→0 lim

f (x) = +∞, lim

x→+∞ f (x) = 0.

3. f ⁰ (x) = − 3x + 8 x ² (x + 4) ^3/2 . f `e crescente in ] − 4, −8/3[

e decrescente in ] − 8/3, 0[ e in ]0, +∞[.

4. y = −3 √ 3/8.

5.

-4 0

-8/3

x

y

2 Matematica, 31/3/2003

3. Si consideri la funzione f : R → f (R) con legge

f (x) =

( 1 + ax se x < 0

a + x ² se x ≥ 0 dove a `e un parametro reale.

1. Dire per quali valori di a la funzione `e in- vertibile e per quali di essi risulta f (R) = R;

2. dire se per a = 2 la funzione `e invertibile e, in caso affermativo, determinare dominio, codominio e legge della funzione inversa;

3. determinare per quali valori di a, se ne esistono, la funzione `e continua in ogni punto;

4. determinare per quali valori di a, se ne esistono, f `e derivabile in ogni punto.

1. `e invertibile per ogni a ≥ 1 con f (R) = R solo per a = 1.

2. per a = 2 la funzione `e invertibile con f ⁻¹ :] − ∞, 1[∪[2, +∞[ definita da

f ⁻¹ (y) =

( _y−1

2 se y < 1

√ y − 2 se y ≥ 2

3. a = 1 4. non esistono

4. Dati i problemi di Cauchy

1)

( y ⁰ = e ^−y −1

y(0) = 0, 2)

( y ⁰ = e ^−y −1

y(0) = log 3, 1. esibire una soluzione del problema 1);

2. dire se la funzione y(t) = log(2 e ^−t +1) `e una soluzione del problema 2);

3. determinare una soluzione del problema 2), nel caso in cui non lo sia gi`a la funzione di cui al punto precedente.

1. la funzione identicamente nulla;

2. no

3. y(t) = log(2 e ^−t +1)

5. Calcolare l’integrale Z ₂

1

1 1 − e ^−x dx

1 + log 1 − e

1 − e ²