Due tluestioni di relativith generale.
ALDO Bm~SSAN (Padova) (*) (**)
S u n t o . - Si considera u n generieo conduttore ideale elastieo magnetizzabile C i n Relativith gene- tale. S i mostra ehe quando il moto di C ~ rigido seeondo Born sussistono certe propriet~ di invarianza per grandezzc elettromagnetiche, le quali, nel caso dl non magnetizzabilith, sl r~du- cono a certe proprieth gi5 note sia ~n .Fisica classlea the i n l~elativith generale, c]. [11] e [14].
Inoltre sl serivono le equazioni (in termini finltl) the determinano la veloeitd di propaga- zione i n ~ deUe onde magneto-elastiche d'aceelerazione e le discontinuith d'accelerazione. Con eiJ si generalizzano aleuni rlsultati noti per ]luidi.
Summary. - A n arbitrary magnetizable and elastic ideal conductor, C, is considered in general Relativity. Certain invarianee properties of some eletromagnetic quantities arc shown to hold ]or C, under the condition o] the Born rigidity. This is a generalization o] a result that ]or nonmagnetlzable bodies is already known i n both classical physics and general Eelativity, el. [11], [14]..Furthermore the author deduces the algebraic equations ]or the propagation speed i n C o] (acceleration) magneto-elastic waves and ]or the discontinuity vector o] accel- eration. Thus some known results concerning ]luids have been generalized.
PARTE I
S U I C O N D U T T O I ~ I I D E A L I I N I ~ E L A T I V I T A
1 . - I n t r o d u z i o n e .
Nel p r e s e n t e lavoro m i riferiseo, nel q u a d r o della r e l a t i v i t ~ r i s t r e t t a o generale, ad u n corpo elastieo m ~ g n e t i z z a b i l e C che sis u n e o n d u t t o r e ide~le m ossia a b b i a eondueibilitb~ e l e t t r i c a i n f m i t a . I n g e n e r a l e r i t e n g o C solido; p e r b n o n p r e s u p p o n g o n e c e s s ~ r i a m e n t e l ' e s i s t e n z a di u n suo st~to n a t u r a l e (a sforzi nulli) eosicch~ C 9 o t r e b b e a n e h e essere u n fluido n o n viseoso.
E s t e n d o ~1 eorpo C ~lcune p r o p r i e t ~ d ' i n v a r i a n z a p o s s e d u t e da e e r t e q u a n t i t £ e l e t t r o m ~ g n e t i e h e in c o r r i s p o n d e n z a di m o t i rigidi (§ 11); l~ v~lidit~ di q u e s t e pro- 9rietb, 8 st~ta d i m o s t r a t ~ du CAa~STIOTY in un~ t r ~ t t a z i o n e non rel~tivistica m cf. [11]
e d ~ st~t~ e s t e s a ~lla R e l a t i v i t ~ da SctI6PF i n [14]. I n o l t r e p e r lo stesso solido C d e d u e o in r e l a t i v i t ~ gener~le le e q u a z i o n i della veloeit~ d ' ~ v ~ n z a m e n t o detle onde d'aeeelerazione m a g n e t o - e t a s t i e h e , e l ' e q u a z i o n e delle e o r r i s p o n d e n t i discontinuitY.
E q u a z i o n i e q u i w l e n t i sono s t a t e gib, s c r i t t e d~ Sctt6PF nel caso di n o n magnetiz-
(*) Lavoro eseguito nell'ambi~o dell'attivit~ dei gruppi di ricerca del C.N.R.
(**) Entrata in Redazione il 26 luglio 1971.
12 - Annalf dt Matemalica
1 7 8 ALDO B~ESSA~: Due questioni di relativit5 generale - I
zubilit~ e dn Mine Y v o ~ i ~ B n ~ ~ T nel case di fluidi unche magnetizzabili cf. [14], [i0].
Nei §§ 2-5 si espongono prelimin~ri di tipo euleriano che, t r a l'a]tro includono carti tensori c~rtesiani relativistiei: i flussi t l ~ s p o r t a t i 1)~Y.../Ds e .D~T..Y/Ds, corri- s p o n d a n t i al tensore ~ffine costituito dul]~ derivuf~ del L]~ di u n ca.rope tensoriala spaziula T..." lunge la linia d'nniverso degli e l e m e n t i muteria]i. ]~ pure inclusn un'op - p o r t u n a varsione della equazioni di ~AXW]~LL per continui deformubili in relutivit~
generale (§ 5).
Saguono alauni p r e l i m i n a r i di einemutiea relativistie~ di tipo lagrangiv.ao (§§ 6-8) b a s a t i sui lavori [1], [2], [4] e [5] (ui quuli si r i n ~ a d a per le dimostra.zioni). Lu trat- ta, zione dalle ral~zioni tr~ D~T../"/Ds~ DtT../~'/Ds ed i corrispondenti lagrangiuni /r~..
e / ~ * di T . Y f a t t a nel (§ 8) si r i d u c e a quelta, scritt~ in [5] nel case ehe T..."" sia u n v e t t o r e .
Nei §§ 9 e 10 si s t u d i a n o i m o t i rigid~ secondo Bo]¢~ in rel~zione alla teoriu di cinem~tic~ lagrnngiaaa de1 t ° e 2 ° ordine eostruitu in Rel~tivit~ genem,le in [1] e [7].
Tra l'~ltro si h a occasiona di osservare che u n a soddisfucente estensiane allu l~ela-
~ivit~ generala dei m o t i omogra~fici classici n o n pub essere quellu pifi spontane~, se si vuole abe questu estensiona includu i m o t i rigidi secondo B o ~ , m a per es. lu (61)~.
S f r u t t a n d o le suuccennate considarazioni (§§ 2-10) ]a generulizzuzione dei sud- d e t t i r i s u l t a t i di C ~ s ~ o u e Sc~SP~ riesce pressoch~ i m m e d i a t ~ (§ 11). Ulteriori sviluppi analitici (§§ 12-1~) sono inveee necess~ri per la s u d d e t t a t r a t t a z i o n a delle onde m~gneto-el~stiche per c o n d u t t o r i ide~li solidi. Questu si riullueeia allu trattu- zione [3] delle onde elastiche in R e l a t i v i t £ generale, per deform~zioni finite~ e a l l a [3]
si riduce in ~ssanzu di campo elettrom~gnetico.
2. - Preliminari geometrici e cinematiei riguardanti il e r o n o t o p o relativistieo.
Considaro lo sp~zio t e m p o $4 dul p u n t o di vista dell~ Rel~tivit~ generale o ristreth~
e lo rifariseo a u n sistemu di coordinate (x). Convengo abe, salvo eontrario avviso, gli indici greci vurino dn 0 u 3 e quelli l a t i n i da 1 a 3, sin ehe eompaiano liberi o ehe siano soggetti ~ sommutoria.
Considero la metric~ di 3 { i ~ o w s ~ (~)
(1) ds ~ . . . g ~ d x ~ dx ~
ova il tensore metrieo g ~ ~ o v u n q u e riducibile alla forma
r ! f f
(i) Sottintendo una sommatoria su ogni indice che compaia sia in alto che in basso in una stessa espressione.
ALDo B l U ~ S s ~ : D u e q u e s t i o n i d$ relat$vit5 generate - I 179
S u p p o n g o ehe il s i s t e m a (x) di c o o r d i n a t e si~ a m m i s s i b i ~ e (~).
D e n o t o le p a t t i s i m m e t r i c a ed e m i s i m m e t r i c a di n n t e n s o r e , r i s p e t t o a due indici
~, 7, con p a r e n t e s i t o n d e e q u a d r e r i s p e t t i v a m e n t e , seeondo le formule
(3)
2TI~ ~ U~) ---- T~# Uv -1- T~Z U~,
2T~#~ -~ T ~ # - - T#~ , T(f) : T~#)gr ~ etc.
Siu C u n corpo e o n t i n u o 3-dimensionale. C occup~ in S~ u n a regione 4-dimen- sionale 2~, d e t t a suo t u b o d i u n i v e r s o . S i a ~ il generico p u n t o - e v e n t o i n t e r n o a d ~ .
Poieh~ n o n eonsidero m o t i irregoluri p r e s e n t a n t i , p e r es., speocchi o lacerazioni, posso p e n s u r e C come u n i n s i e m e di p u n t i m a t e r i a l i / ~ * . Allora p e r ~ pussu u n b e n d e t e r m i n a t o P * di C (~). I n d i e o con u~ 1~ 4-veloeit~ e con A ~ Paccelerazione intrin- seca di P * (o C) in ~. Si h a
D x ~ D u ~
_ A ~ ~ (u~u~ ~ - - 1 , C A ~ - - - - 0),
o r e 1~ s b u r r e t t a obliqua d e n o t a derivazione tensori~le e D differenziazione tensori~le lungo le linee d ' u n i v e r s o (~).
Tnlvoltu s~r~ utile s u p p o r r e il s i s t e m a (x) l o e a l m e n t e n a t u r a l e e p r o p r i o ossi~
v e r i f i c a n t e le rel~zioni
= u ~ [ , _ ~)t'~
(5) g ~ = ~'~, g~., o, = ~ . V.~,_ ~x~] ,
o r e
6~ ~
il simbolo di K~0~EO~:E~ e 1~ virgol,~ d e n o t a h~ d e r i w z i o n e parziule r i s p e t t o~lle c o - o r d i n a t e .
Sin e~zvt il t e n s o r e (ussieAe) di R i c c I , e o m p l e t a m e n t e emisimmetrico~ p e r cni
(6)
(3) I1 sistema (x) di coordinate si dice ammissibile se lc linee coordinate x0 sono tempo- tall, ossia lungo esse ~ d s ~ > O, e le variet£ x o = cost sono spaziali, ossia su di esse ds~< O.
(3) In altre parole ~ appartiene alla linea d'universo 12, di P*.
(4) Introdotti i simboli eli CH~ISTOrF~L
per ogni %ensore T~.,~,~...~. funzione derivabile di x ~, si ha
= ... - - . . . 4- T~.., z'" + . . . ,
( , ) T~,..f--.~, ~ T~ ~ . - - - ;Z'~.. ~ ~ 7
(**) D
D s Tc~'"Z"" : T~_.~"tvuv.
180 A~D0 BRI]SSA_N; .0U6 questioni di relativit5 generale - I
Definiseo il proiettore spazia~e ~ e i l tensore spaziale di i~ieci $~r m e d i a n t e ]e e g u a g l i a n z e
(7) ~
m e n t r e 1~ p r o i e z i o n e spaziale di ~ n indice ~ del g e n e r i e o t e n s o r e /'_.'" e q~ell~ di T.Y s t e s s o sono d e f i n i t e dalle
... ±~ ± = ~ & ' " = ~L
(8) T • = ' / ...eg ~ , ( S . . .
2~
I1 t e n s o r e T_"" ~ d e t t o spazia~e se coincide con T.Y. C o m e easo p a r t i c o l a r e di (Sh i1 derivato ter~soriale spaziale di u n q u a l u n q n e t e n s o r e P.Y~ f u n z i o n e deriva~bile di a ~,
e s p r e s s o m e d i n n t e
(8') T'" l ~ T ..rag ~ , p e r e8. '~tOl~--'t~ql~ = ~qli~l, ~ = A q ' g c ~
o r e (8')~ s e g n e da (~)~.~.
3. - Equazioni di continuitg. Sforzi.
Sia d e u n e l e m e n t o (infinitesimo) del corpo c o n t i n ~ o C~ c o n t e n e n t e / ~ * . D e n o t o con dC il v o l u m e p r o p r i o nttaeole - - ossia, p e r _P* in g ~ del de, con c la v e l o c i t g della luce n e l v u o t o , e con c-~o~dC la m a s s u g r a v i t a z i o n u l e propriu, u t t u a l e del d e . Ess~ n o n ~ in g e n e r u l e c o s t ~ n t e ed ~ r i t e n u t u a n n f u n z i o n e delIo stuto fisico intrinseco.
Si~ S * u n o s t a t o fisico i n t r i n s e c o di r i f e r i m e n t o p e r d e . P e r es. n e t c~so di a n fluido ela.stico Z * p u b consider~rsi d e t e I m i n a t o d a l v o l u m e dC* e dallu t e m p e r ~ t u r u ussolut~ T* del d e nelto s t u t o di r i f e r i m e n t o che si considera.. I n ~ltri eusi oceorrono n l t e r i o r i e l e m e n t i .
SJa k*dC* (= c-2~*dC *) lu m,~ssu g r a v i t ~ z i o n u l e p r o p r i n del d e in X*. Lu dirb massa propria di ri]erime~to o massa convenzionale. Ess~ p u b p e n s u r s i c o m e ~nu g m n d e z z ~ i n w r i u b i l m e n t e legut.~, lu d ~ e se n e p u b e o n s i d e r u r e lu d e n s i t g (propriu) a t t n ~ l e k leg~t~ ~ k* d a
(9) kdC = k*dC*, ossiu k~D = k* con ~ = dC/dC*.
S u p p o n g o i t e n s o r i k, kt~ , %, e u~t ~ d e f i n i t i e c o n t i n a i in t u t t o ~ 4 - % o r e % u n a s u p e r f i c i e del g e n e r e t e m p o . I~e segue che in ~ ~ s o d d i s f u t t ~ l'equa.zione di e o n t i n u i t g
(10) ( k P ) ~ = 0 , o s s i ~ Dk - ~ s + ku~,~ = 0 .
A~Do B~ESSA~: D u e questioni di relativith generale - I 181
D e f i n i t a w m e d i u n t e l'eguaglia.nz~
(11) ~ = k(c ~ + w ) , o n d e - - eL (9) ~ k w d C -= ~ d C - - ~*dC* (~* ~ c~k *) , in ba, s e a l p r i n c i p i o di e q u i v n l e n z a i r a m a s s n ed e n e r g i a w d C ~ la differenz~ fr~ i v u l o r i u s s u n t i neg]i s t u t i n t t u u l e e di r i f e r i m e n t o dull'energi~ ~dC del dC, p e r u n i t ~ di m u s s a c o n v e n z i o n ~ l e . L ' e n e r g i a ~dC ~ que]lu c o r r i s p o n d e n t e ~lla mussu g m v i t a - zionule del dC; q u i n d i , al p ~ r i di q u e s t ' u l t i m % ~ considei~tu c o m e unu f l m z i o n e dello s t u t o fisico i n t r i n s e c o u t t u u l e X del dC. D u n q u e w v i e n e sosta.nziulmente a, coincidere con l'energi~, i n t e r n u specificu del dC. Cib ~ c o n f e r m a t o deo c o n s e g u e n z e delle equa- zioni g m v i t u z i o n a , li.
R i s p e t t o a d e s p e r i m e n t i loca~i su u n ~ particella~ di p r o v u P elettrica~mente n e u t r a (all~ q u a l e sin collegato u n orologio sta.ndard) i r i f e r i m e n t i I o c a l m c n t e n~tura~li e p r o p r i dellu R e l u t i v i t ~ genera.]e o r i s t r e t t % si e o m p o r t a n o c o m e i r i f e r i m e n t i euc]idei e h e l o c a l m e n t e n o n r u o t u n o r i s p e t t o ugli spazi inerzie~]i e eudono ] i b e r a m e n t e (ossi~
sono d o t ~ t i dell'~ccelerazione y~ c o s t i t u e n t e la forza d ' ~ t t r a z i o n e newtonia.na p e r u n i t ~ di mussu). I n b a s e a cib e ~1 f n t t o c h e l a fisicn clv~ssicu ~ rigu~rdut~ come teoriu
~tt~ ~ d e s c r i v e r e i f e n o m e n i fisici in p r i m u u p p r o s s i m a z i o n % si richiede che le equ~- zioni della fisica c]assicu e s p r e s s e in u n r i f e r i m e n t o euclideo loca.lmente n o n r o t a n t e e l i b e r a m e n t e c a d e n t e e q u i v u l g a n o ~ m e n o di t e r m i n i piccolissimi ~ delPordine di c-" con ~ >~ 1 ~ a d o p p o r t u n e eqnuzioni r e l u t i v i s t i c h e s c r i t t e in a n r i f e r i m e n t o loeaJ=
m e n t e natura~le e p r o p r i o (~).
I1 s u d d e t t o r e q u i s i t o ~ s o d d i s I u t t o , p e r e s e m p i o , p e r l'equa, zione di c o n t i n u i t £ (10).
U n v e t t o r e spazi~le i n f i n i t e s i m o da~ ~pplica£o in 8 r a p p r e s e n t a , u n a q u a l u n q u e snperfieie spa, ziale infinitesima, d~ p e r ~ (ivi) o r t o g o n a l e a d ~ , di ~rea d~=-(d%d(~) ½ e o r i e n t a t a e o n c o r d e m e n t e ~ da~.
Sulla b a s e d e l l ' e s p e r i e n z ~ e di consider~.zioni t e o r i e h e clussiche u s u u l m e n t e si n m m e t t e che gli e l e m e n t i m a t e r i u l i a d e r e n t i u]lu facci~ n e g a t i v u della snperficie da espliehino su qnelli u d e r e n t i u]lu fucci~ p o s i t i v u u n s i s t e m a di forze il cui risulteonte d/~= ~ e s p r i m i b i l e nella f o r m a
(12) dt~ ~ =- X ~ d ( ~ con u ~ X ~ =- 0 ---- X c ~ .
4. - F l u s s o trasportato da u n c a m p o tensoriale. Utile espressione di T~t~.
D a (10) s e g u e f u c i l m e n t e
D T . . D T . .
(13) k D s k (T'"'u~)l~-- Ds ~ - T u ~ l ~ "
(5) Com'~ ben noto, si pone s = ct e i l cosidetto tempo proprio t della Fisica relativi.
stica si identifica col <~ tempo ~> della Fisica classiea in varie considerazioni diconffonto tra queste fisiche.
182 ALDO BRESS~X~: Due questioni di relativitd genera.le - I
I n r e h , z i o n e ~d u n q u a l u n q u e c~mpo tensoriMe T... deriv~bile p o n i a m o
(14)
cosicch~ D~T..,/Ds e D~T... / D s , d e t t i flussi controvariante e r i s p e t t i v u m e n t e ¢ovariante t~r~sport~ti da,t c s m p o T..Y sono spuziMi p e r T..Y spaziMe.
chiaro che D ° T . Y / D s e DoT.."/Ds sono i t e n s o r i c a r t e s i a a i i n d i v i d u u t i dMlu d e r i v a t u di L~E ~T..Y secondo in congruenzn ~ (ossiu secondo il m o t o ~ del corpo in considerszione) nel ca, so che T..Y siu p u t , m o n t e c o n t r o v ~ r i u n t e o r i s p e t t i w r n e n t e cov~ri~nte. Essi sono qui p r e f e r i t i ~ £T_Y perch~ q u e s t ' u l t i m o t e n s o r e ~ ~ffine~ e differenz~ di q u e s t o essi sono p e r m u t u b i l i con l'operazione di innMza,mento o ubb~.s- s u m e n t o di indici.
D~ (14) s e g u o n o le proprieth,
(15)
Le (13) e (14) implicuno
D ~ T . Z D°T,.Y kD~ T..Y _D~T,.."
(15') k D s ~ - - Ds ~
T...u~f~,
Ds k - - Ds {- T..Yu~I~.l~icordiamo che lu decomposizione naturale di un q u M u n q u e t e n s o r e dolopio - - vedi [8] - - ~ espress~ d~
3- i [ 7/'
(16) T ~ = T~n + T~u n ~ u~Ip -~- Tu~up ( T ' U ~ = 0 = 1 ' / ~ ),
o v e
(17)
P e r (8')1 le (7)1 e (4)2.8 i m p l i c s n o
(18) T ~ = / ~ + Y A~, 2.
ALP0 B]~ESSA~: Due quest~oni di relativith generale - I 183
p e r (16) e (~)~,~
(19) D T ) D T ~ T" u¢,;~-F T~¢~Z-J- TA~ + u ~ T "~.
± fl ±
I n o l t r e da Y~#u = 0 segue - - u ~ T a ~ / ~ : T~u~m e da (16)~ --u~DT'~/.Ds ===A~T%
Allom, t e n e n d o a n c h e conto di (4)~,,,~, (13) e {18)7 si deduce
(2o)
D T
- - u a Y a Z ~ : k ~s s - ~ + T ~ u ~ z + (T'~+ T"~)A~+ T"~±
Consideriumo ora il caso che siu
(21) T~ , -- T a ,, ~ ± ±
D s (7)~ e (8')~.3 segue (2~)
Da u n luto per (21)2 e (22), e dall'altro p e r (21)1 e (14)~ l~ (20)~ diviene la prima delle
(23)
J . ~ A.
gayT'mtz= TA~ + eJ~(Vo/p+ VeAz) + k - - - - _ u a 1 , ~ = k l ) T + ~ T " ~
D ~ T~
Ds k '
La (20)2 diviene (23)2 per (21h.
5. - Opportuna versione delle equazioni di Maxwell per continui defornmbili. Caso dei conduttori ideali privi di propagazione termica. Equazioni di conservazione.
Sia E~ il c~mpo elettrico proprio, H a quello magnetico, e siano _P~ e M~ le cor- r i s p o n d e n t i polarizzazioni, che ul pa, ri di J~a e H~ sono v e t t o r i spuziuli. Inoltre poni~mo
(24) D a = Ea + P~ , B ~ = It~ + M a , P ~ = kzc~ , M = k,ua , cosicch~ D a ~ l'induzione elettrica, e /C a quella m~gnetic~, l~isult% per esempio,
(25) H~u a = 0 = B~u ~, M~u ~ = 0 = # a u t
184 A~DO B ~ S S A ~ : D u e q u e s t i o n i d i relativit~t generale - I
Ponia, m o
(26)
e indichiamo t o n J~ lu 4-corrente elettricu, onde (27) ~ : - - ~ J ~ , ego, J ~ = ~ : 6~JE~
],,,~ = 2ut~,D ~ + ~ ~ H v , .E ~ - - e ~,~ .~ ~,
Da (16) e (26)~ segue
(29) T ~ = F~*~ p e r Y = 0 , - - T~ : T"~---- B~ e T ~ : - - e ~ B y ,
cosicch~ p e r l~v =
--.~,
v~lgono ~nche le (21) e quindi le (23). Allora la (28)~ equi- vale ulle2) ° B~, B ~' ~_ = 2~:'.Er con 2~Q~' - : s ~u~,~,
..t. Y
(30) e ~ ( E ~ + E~A~) = - - ~ D s 1¢ ' ~
o r e p e r (30)~ cQ v b 1~ velocit~ angola~re spaziule propria,. Analogamente da (26h e (27) si deduce che (28)~ equivale a
(33.) ~ ( / / ' ~ + H ~ A z ) = ~ s s ~ + ~ '
Vanno a g g i u n t e le rela,zioni
(32) D~ = ~ p , B~ = / ~ H ~
o r e ~ ~ il tensore dielettrico e ~ quello di permeubilitg m~.gnetica.
Ora supponia~mo che il eorpo C i n consider~zione sis u n eondut$ore ideale, eio~
ehe L~ sua conducibilit$ elettrica sia. infinita (mentre quella termicu t~ riteniamo nullu).
T o n p o t e n d o essere j~---= cxD, per (27)8 deve essere / ~ - ~ 0 , cosicch~, tra l'ultro, si a n n u l l a i d e n t i c u m e n t e il v e t t o r e di PO¥~TI~G~ e per (32)~ pure D~. D u n q u e per o r e ~ ~ la densit~ propria, di carica~, j~ quella di eorrente, e 5 ~ ~ il tensore di con- dueibilit£ elettrica.
I n o p p o r t u n e u n i t g di misur~ le equazioni di ]~IAXWELL si scrivono
(St~,pl
= 0 =8~,~u~),
AI~DO B~,wss~': Due ques$ion$ d~ relativi~ generale - I 185
conduttori ideali le (30) e (31) divengono
(33)
ore, s t a n t e (24)~,
(3~) eI~
D ~ Bc~
Ds k '
2O'H~ = ~ , ~&Brt ~ = I~ (E~ ~ 0 =- D~)
I1 vettore j'~, t h e potrebbe pensarsi definito da (34)~, 6 la densit~ propria della eorrente di polarizzazione. Per M~ ~-0 (34) diviene
" ~/~ = B ~ (M~ = 0 ) . (34') cI~ = j ~ , - e~Jv:B~A~, ?~ = 0 ,
Per (33)5.o 1~ determinazione del tensore dell'energia elettromagneticu propostu in [6] per solidi, divicne
.L ±
(35) J ~ = W%u~ + E ~ con 2W = HVH~ e E ~ = W ~ z - - H ~ H ~ .
Stunti (35), (12) e {11), le equazioni di conservuzione per conduttori ideali privi di conduzione *ermica sono le
(36) ° t L ~ = 0 con cO°~ = (9 + W) ~ + X ~ + -E~'~.
6. - Prellminari di fipo lagranglano.
Supponiamo il moto di C regol~re nel modo preeisato pifi uvanti; esso 6 com- patibile con lu seguente ipotesi: I1 cronotopo S~ - - la cui forma dipende dM feno- meni - - siu necessariamente unu variet~ differenzi~bile con continuit~ Mmeno lm~
volta ovunque, e Mmeno due volte ovunque salvo un'eventuale ipersuperficie a3 di discontinuit~ per l'accelerazione di C.
I riferimenti in $4 t h e considereremo saranno rego]uri nel senso che in essi g,~
e g~.r sono continui ovunque, e g~.~ 6 eontinuo in $4--a3.
Consideriamo un processo if* fisicamente possibile per l'universo il quale includu il corpo C; in if* o3 siu vuoto. Inoltre in corrispondenza u if* siu g*~ il tensore me- trico e ~3" il tubo d'universo descritto du C; inoltre sia (y) un sistema di coordinate solidMi e S* l'intersezione di 2~* con l'ipersuperficie Yo = 0. Per Z = 1, 2, 3 userb lu coordinuta y~ del punto di S* per cui pussa (lu linea d'universo de) il punto ma- teriMe P* di C nel processo if*, come Z-mu co-ordinata materiale di P*.
186 ALDO BlCESSAN: D u e questioni di relativitd generale - I
Q u e s t o s i s t e m a di c o o r d i n a t e m a t e r i a l i , che diloende da if* e (y), i n d i v i d u a u n a topologin s~ ~ la qna,l% nelle condizioni di r e g o ] a r i t ~ s u p p o s t e p e r il m o t o di ~, vu r i t e n ~ t a c o m e i n d i p e n d e n t e da if* e (y), e q n i n d i come d o t u t a di c a r a t t e r e ussoluto a, differenza, p e r esempio, del]~ metrica, a t t n a l e di S~, e in t)articolnre della cur- v a t u r ~ di S~.
L e c o o r d i n a t e m a t e r i a l i y~ e i loro i n c r e m e n t i dy ~ s e r v o n o s o s t a n z i a l m c n t e solo a,d i n d i v i d u a r e p u n t i m~teri~li ed e l e m e n t i m a t e r i a l i lineari infinitesimi del corpo C.
P e r ta,le individua,zione ~ sufficiente conoscere a p p u n t o lu topologi~ a t t r i b n i t a a ~.
T ~ t t a v i a in s e g u i t o di a p p l i c h e r ~ la t e o r i a dei d o p p i t e n s o r i a ~ ed S~. Perci6 con- v i e n e d a r e a ~ u n a m e t r i c a . A t a l e scopo considero ]o s t a t o fisico S* e la coniigura- zione C* a s s u n t a da, G nel processo if*, sulla sezione sp~ziale 5", r i s p e t t i v a m e n t e come s t a t o fisieo e configurazione di r i f e r i m e n t o . I n o l t r e ussnmo come m e t r i c a ds *~
i n ~ la m e t r i c a c r o n o t o p i c a sloaziale sullu sezione $* di S~ in reluzione al processo if*
e a,1 r i f e r i m e n t o (y), ossia l~ongo
(37) ds *~- = a*~1dy~dy ~ con a~ -~ a ~(y , y~, y~) = g (0, y~, y ~ y~) .
O v v i a m e n t e il t e n s o r e m e t r i c o materia,le az* d i p e n d e da C*, ossia da if* e S*.
Nel seguito considererb il corl0o C c o m e u n o sl~azio t~iema,nniano 3-dimensionale e -aserb i n d i c i l~tini maiuscoli l~er ogni e n t e r i f e r e n t e s i ul generico p u n t o / ) * di C.
Ra,ppresento il m o t o di C m e d i a n t e e q u a z i o n i della forma,
(38) ~ = ~ ( t , y~, y~, y~)
o r e t 6 u n p a r a m e t r o t e m p o r a l e c r e s c e n t e v e r s o il iutl~ro (per a n osservatore soli- da,le cot p u n t o m u t e r i a l e y~). Z e equ~zioni (38) sono d e t e r m i n a t e a, m e n o della s o s t i t u z i o n e
(39) t = t(t, y~, y~, yS) [t = t'(x), t = t(x)]
su t a l e p a r a m e t r o . F i s s a t o il p u n t o e v e n t o g, di c o o r d i n a t e x ~, il d e t t o p a r a m e t r o t = ~'(x) p u b scegliersi in m o d o che in g risnlti
~X ~
(40) u~ =-- % x ~ = 0 o r e xQ~ = ~y~.
P e r b in g e n e r a l e n o n ~ possibile scegliere il p a r a m e t r o t = ~'(x) in modo c h e l a (40)5 v a l g a o v u n q u e .
L a c o n d i z i o n e locale (40)2 sulla r a p p r e s e n t a z i o n e (38) del m o t o di C equivale alla, c o n d i z i o n e che, p e r ogni p~mto m a t e r i a l e y ~ ÷ d y ~ v i c i n o a y~ i p u n t i e v e n t i x ~ = ~ e ( t , y t y~ y3) e x e + d x ~ x Q ( t , y l ÷ d y l , y ~ ÷ d Y ~, y ~ ÷ d Y 3) appai~no s i m u l t a n e i in u n q u u l u n q u e r i f e r i m e n t o il q~,~le l o c a l m e n t e si~ psendo-euclideo e proprio~ o pifi in pa,rticolare n a t u r a l e e proprio.
ALD0 BRESSAN: Due questioni di relativitd generale - I 187
L a p r o p r i e t £ di simultaneitg~ c o n s i d e r a t a p e r il pema, m e t r o I figura.nte in (38) i m p o r t a n t e affinehg a b b i u n o u n interessa, n t e significato fisico c e r t i d o p p i t e n s o r i
ef. [t3] ~ assoeiati ~1 p u n t o materia.le P * e al p u n t o e v e n t o g (~). T r a q u e s t i tensori c'g, p e r e s e m p i o , il d o p p i o t e n s o r e 3xO/~y ~ che p o t r e b b e considerarsi come u n d i r e t t o analogo r e l a t i v i s t i c o det p r i m o g r a d i e n t e di posizione ~ s a t o in Fisica c h s s i c a ; inol- t r e v i sono i d e r i v a t i assoluti - - nel sense di ~BOICTOLOT~ e VA~ D]~ WAtgI~DEN
(§ 7)
di t e n s o r i o d o p p i t e n s o r i che siano essi stessi interessa.nti da.1 p n n t o di v i s t a fisico.
Si sono considereoti c r i t e r i generali - - cf. [1] ~ p e r r e n d e r e i s n a c c e n n a t i doppi t e n s o r i , p e n s a t i come d e s c r i v e n t i p r o p r i e t £ fisichc del cerpo C g n i m a t o del m o t e (38), i n v a r i a n t i p e r t m s f o r m a z i o n i sul p u r ~ m e t r o tempom.le del ripe (39). Sosta.nzialmcnte q u e s t i c r i t e r i consistono ne] s o s t i t u i r e la d e r i w t g gssolntg con la d e r i v a t a lagrgn- gia~na spgzia, l e c h e definirb esplicit~.mente t r a poco, e w~ col (primo) gradiente spa- ziale di posizione o:~ t h e pn6 i n t r o d u r s i c o m e segue:
( ~ ) ~% = OLx~ onae %~% = 0 .
S i a d e u n e l e m e n t o d e l s i s t e m a c o n t i n u e C, c o n t e n e n t e i l p u n t o materia~le P*<
I n o l t r e s i a n o d C e dC* i v o l u m i p r o p r i o c c u p a t i d ~ l d e r i s p e t t i w , m e n t e h e l l e confi- g u m z i o n i u t t u a l e e d i r i f e r i m e n t o . A l l o r a si h u
dC ~/~¥g~(xo,...,x~)l)t
(4~) ~) = d e - - ~ = ~yo, ..., : ) 2)~ ( : = 4e~ i[~,1[).
7. - D e r i v a t a l a g r a n g i a n a t r a s v e r s a e t e n s o r i di C a u c h y - G r e e n .
Sia T,..¢'"z... ~r.- ( b r e v e m e n t e T..Y) u n doppio t e n s o r e ~ssociato ~t p u n t o e v e n t o ~ (riguardo agli indici greci) e al p u n t o m u t e r i u l e yZ (rJguezdo agli indici latini) ~ cf.
n o r a ("). P e n s a n d o T..Y c o m e d i p e n d e n t e dalle varia,bili i n d i p e n d e n t i ~ e y~, si usa definire i d e r i v a t i p a r z i a l i di T..Y in S~ e C r i s p e t t i v a m e n t e m e d i u n t e le formule
(~3)
~o~, fl,.,z, .~s- Ix -- ~T
T~, : L Y . . . . . , . ÷ ÷
_,_s
.... " z - - ' " ~ / M '
~J
.... ~ " . . . .t/~AJ
(6) Dice che it sistema di scalari T~,..t~.-z_.~... ~ an doppio tensore associate at p u n t o event~) xq, tramiCe gli indici c o v a r i a ~ i ~ ... e con~rovarian~i fl ..., e al p u n t o ma~criale ya
~ramite gli indlci c o v a r i a n t i / ) ... e con~rova~'aati M ..., se ~ale sistcma dipcnde da u n rife- r i m e n t o (x) in S t e u n o (y) i n C i n mode che ncl pa~sagglo dalla coppi~ di rifcrimcnti
<(~c), (y)> ad u n a qualunque ~l~r~ coppia <(~), (~)> dcilo s~esso ~ipo, il sistemu di sculari i n discorso si m u t a nel sis~ema T~,...~'...z,... ~'... determinate dalla rclazionc
5x~ ~ P ' 3y~ 2~M' r~ ,..f'... ,..~s'... = T~...Z..z...m.
~ .... ~x~ "'" 3~z .... ~y~ . . . .
188 ALP0 B~ESSAN: D u e questioni di relat,~vit~ generale - I
P e n s i a m o ora T _ d i p e n d e n t e da x ~, y~ e dal p a r a m e t r o t e m p o r a l e t. P e r b y~ e x e siano leg~ti a l l ' e q u a z i o n e det m o t o (38). Allora, fissato u n valore di t, si d i m o s t r a che il s i s t e m a T~.~~_ ~-" definito d a
(44) T~. ~'"z,.z~ • . , . . . . ; P - - T Z"" = ' x e + T=..Zz... ,~'' ~ . . . L , . . 1 5 P / P
6 u n doppio t e n s o r e associato a x ~ ( t r a m i t e gli indici greci) e ~ y~ ( t r a m i t c gli indic- latini); i n o l t r e si c h i a m a tale doppio t e n s o r e derivato totale di T~..f'"z. ~'' basato sulla rapl~rese~tazione (38) di C in Sa (per i c o n s i d e r a t i v a l o r i di t e y~, o di x~).
I1 deriva.to t o t a l e T";~ (in x ~) ba.sato sul m o t o ( 3 8 ) d i ~ d i p e n d e dall~ par- ticola~re r a p p r e s e n t a z i o n e (38) di ~ale m o t o a t t r a v e r s o il pa, r a m e t r o tempor~le t=~'(x).
]gel caso che valgu ta c o n d i z i o n e (40)~ c h i a m o il consideruto d e r i w t o assoluto deri.
vato lagrangiano spaziale e lo d e n o t o con T.yt~.
A q u e s t o si possono d a r e le s e g u e n t i espressioni i n d i p e n d e n t i dallu scelta del s u d d e t t o p a r a m e t r o ~ cf. ([1], § 13)
÷ D
(45) T~. ~...~ 7%~ = T~...~L':~-I- u~ Dss T ~ ~ ~ ?~ cf, (40h,
~i'... D t ¢ T~,...~~,.?%p = T . , . ~ % + T,..u, ÷ ~t ~ s u~ . (45')
Si usn i n d i c a r e con u n p u n t o la d e r i v a t a m a t e r i a l e r i f e r i t a al t e m p o ordinurio t.
I n d i c h e r b con a n u c e e n t o quella r i f e r i t a al t e m p o r S m e r i a n o s - ct (~):
(46) , Dt ~ D T . Dt ~ T~ z. z z~...
~r ~-.. ~ . . . .., - - - - T~ ~,..~ ~,,.~u~ ~ ~ss ()t . . . '
~,,. L.. --/)S / ) s . . .
P e r 18 d e r i v a t a assoluta,, p e r quells l a g r a n g i a n a e p e r Ia d e r i v a t a lungo l'arco c r o n o t o p i c o - - cf. (46) - - v a l e l'ordinuriu regotu di d e r i v a z i o n e del p r o d o t t o . I n o l t r e , p e r es. 6 g~le = 0 = a*~i~,, o n d e 18 d e r i v a t a l a g r a n g i a n a spaziale 6 p e r m u t a b i l e con l ' i n n a l z u m e n t o o u b b a s s a m e n t o di un q u u l u n q n e indice greco (cronotopico) o h t i n o
(materiale).
~ e d i a n t e 1~ d e r i v a t a l a g r a n g i a n a spaziale defmisco, in r e l a t i v i t ~ generale o r i s t r e t t a , l'~-mo g r ~ d i e n t e sp~zi~le di posizione a~,..~,, e l'n-mo t e n s o r e di C A ~ c ~ r ~ - G ~ ] ~
C~,..r, come segne - - cfr. (41)1:
(~7)
!
(7~L~...~ = ~Q~%..~. (~ = 1, 2, ...).(:) Poich~ le y~ sono coordinate materiali (Dy~/Ds = O) si ha
, ... D x Q T "'/~ Dy~ ~T..."" D t
Ta...~'-L..~'"= T... Ie-~s + "" ~ + ~t Ds"
Ax,])o B~:ESSi~: Due questioni di rdativit5 generale - I 189
I n r e l ~ t i v i t £ generule o r i s t r e t t ~ v~lgono le s e g u e n t i p r o p r i e t ~ di s i m m e t r i a - - c ~ . [7 (~4)]
(48) ~ = 0 , C ~ = 0 , C , ~ = O.
Si p u b i n t r o d u r r e il t e n s o r e di d e f o r m u z i o n e sly, nullo nello stuto di r i f e r i m e n t o , m e d i a n t e l'egua.glianza
(49) a~* + 2 e ~ = C ~ , onde %~,~ = 0 .
Da (42) segue - - cf. [1 (69)]
(50)
C o n v i e n e i n t r o d u r r e a, n c h e l'inverso sTaziale ff)7~ di a~, definito d~
(51) ~ 7 ' ~ = f f ) ~ , o n d e u~7~ = O.
ESSO verifica p u r e ]e - - cf. [1, (62), (66)]
--1
(5~) " ~ ' d =
~)~*~, ~
c ~ = ~ : r ~ .L e d e r i v a t e m a t e r i a l i rOmeri~ne di C~, s~B , ~Q~ e CLa ~ possono e s p r i m e r s i come segue - - cf. [1, § 16] e [7, (30, 49)]:
" • 1 )
(53)
o r e /~Z~ ~ il t e n s o r e di R I E ~ t ~ (s).
8 . - I c o r r i s p o n d e n t i l a g r a n g i a n i ~?* ... e T , ... d i T . . . , e l o r o r e l a z i o n e c o n
DOT...
e D 0 / ' . . . .
Sia T... u n a r b i t r a r i o t e n s o r e di ~4 definito ncl t u b o d ' u n i v e r s o "64 di C, o almeno n e l p u n t o 8 in ~4- t~icordando la c o n v e n z i o n e {8)3, associa,mo ~ TQ~..q. il eorrispo~- dente lagrangiano eovariante e quella controvariante T~,z":
(54) * ±
(a) Preeisamente ritengo
= 2 Q
190 ~ I ) O BRESS~W: D u e questioni di relativitd generale - I
cosieeh~ p e r (47)~ con n = 1 segue f a e i l m e n t e (55) ~[?;;(...In : CIX.'[, "'" CLn:ln T'~I1 l]In ~ I A,,
- - 1 - 1
Ii...Zn •
I n o l t r e le definizioni (54h,~ implicuno lu p r i m a delle
- - 1
g~,. ~, * U~,...I~ ~*i,... g~... = C~,m... ~* U*
( 5 6 ) ~ ' ~,, = ~ , . . . ~ o = c ~ : , , . . . 1,... ,,,....
L e (56)~.~ seguono da (55). Ora d i m o s t r i a m o 18 reluzioni
D ° Te, ~, DT~,..~, D~Ta. Q, D T * ..t,
(57) Ds = ~Q~L~ ... z:%,, D s ' D s ~'~, ... z:%,, - - D s
A p p l i c h i a m o l ' o p e r u z i o n e (D../Ds) ~- a (54h m e m b r o a m e m b r o . Allora, poieh6
±
T o , & ~ = 0 , in b a s e a (53)3 e (14)1 o t t e n i a m o
(5s)
... = • "°n t - - : , / a o " / ) o r e su ~ n o n ~ i n t e s a a l c u n a sommutoriu. Allora p e r (54)2
±
~ . ~, ~o~ e~-:e~+r.e,~Ue %
(58') \ ~ ! = o:%... ~%,, Ds
+-,:,
"D i qui o t t e n i a m o (57)1 in base a (14)~, L a (57)~ si o t t i e n e a, n a l o D t m e n t e (e in m o d o pifi d i r e t t o ) sulla b a s e di (14)2, di (53)3 e della (54)1 nella quale Te,...e. si pensi
&
s o s t i t u i t o c o n Ter..en ~ c0m~e lecito.
Da (54)~.~ e (47)2 con q~ = 1 seguon f a e i l m e n t e le
- - 1
(59) W* Is, Z~ = C ~ ' I * A~L~ In p e r Wo~,.,on = ~cs ~a., ~ q~ ,
e
(59') W~:" I. __ ~aB~ T AB~I~, p e r W Q~'~" = T ~ q~'q~.
9. - S u i m o t i r i g i d i s e e o n d o B o r n .
I1 m o t o 2L di C in $4 6 d e t t o rigido secondo B o r n (e R o s e n ) se in ~ vale Ia p r i m a delle c i n q u e eondizioni
De.,
(60) n(~:~ ) ~ 0 ~ - D ~ ' D ~ = D~
P e r (53)1.2 essa e q u i v a l e alla (60)3. La (60)1 implic~ (60)8 p e r (14), (60)4 per (10)2, e (60) 5 p e r (60)4 e (9)2.
A~Do B ~ E S S ~ : D u e q u e s t i o n i di r e l a t i v i t d generale - I 191
l~icordo che (60)z implica che non m u t u lu lunghezza spuzia, le di un~ quulunque line~ m~teriale l*, ossi~ che coincidono le lunghezze spa.zi~li delle inter~ez~cni di
due ~rbitra~rie sezioni spa, ziali di $4 con 1~ supe~ficie descrit~a da l* in $4.
TEol¢. 9.1. - S e il moto ~ d i ¢ ~ rigido seeondo B o r n ,
(61) [u~/~u + 2u~l(~A~) - - R p ~ u ~ ] ± - - O ~ C~L ~ (u(oj~) ~-- O) . DI~0STRXZIO~E. -- D~ (7)~ e da (4)~.~ e (8)2.8 segue
(62) g~/~ = uelru~ + ue u~1~ , (u~leg pl~) = A~u~I~ • Supponiumo (60)~, onde I)er (62)~
Inoltre, p e r le propriet£ cieliehe del tensore di 1 ~
(64) e ~ u ~ - - o ~ ~ ]
Ora usiumo coordinate loealmente n a t u r a l i e proprie; inoltre denotiamo con
~ 1~ sommutori~ sulle permntuzioni purl (a, b, c) di (1, 2, 3). Allor~ per (64)
O = 2-1,S.°°~'eTCbal- = Z p~, alao - - '~al~,~ 27 (Ub,~ -F Uclb)la -{- 2¢~¢IM, l
eosieeh~ per (63) e (60)~
(65) O : - Ualb~ - - 2At~ ~ e)/a -~ ~t~.~acab % alb~ - F 2~al(o A ~ ~ , che equivPAe ullu (61)~.
D~ (60)~ segue (60)~ ehe per (53)~ implica e ' ~ = 0 . Allor~ da (53)~e (61)~ segue (61)~.
c.d.d.
Colgo t'occazione p e r o s s e r w x e che in fisic~ classie~ u n moto omogra.fico p~b c~mtterizz~rsi m e d i ~ n t e lu condizione v ~ ~ 0 sull~ velocit~ %. Una, spontanea s ~ relativizzuzione ~ la
(61')
(~%/(~))± ~ 0[uq~[~]
= ~ R ~ , ]che differisce du (61)~ per t e r m i n i dell'ordine di c -~. Tutt{~vi~ 1~ (61)~, a differenza de]l~ (61'), soddisfa l ' i m p o r t a n t e reqaisito di essere imptieata dullu (60)t (rigidit~
secondo BoR~). Quindi i r a te dne solo 18 (61)1 ~ ~tt~ a c~r~tterizzare u n tipo accet- tubile di m o t i omografici in t~el~tivit~ ristrett~ o gener~le.
192 A.t~I)O B~ESS~A~: D u e questioni di relativitd generale - I
Noto che, a differenzu dell~ (61')x, la eondizione (uqt~,) x = - - O ~ in~ecettabile in ReL~Mvitg genera le p e r (6Y)~. I n o l t r e ricordo che il primo m e m b r o di (61)z ~ sim- metrico r i s p e t t o a A e # al pari di quello di (61') ~ cf. lu formul~ a) nella nora (~)
pi~ di p. 181 in [7].
10. - Rigidith s e e o n d o B o r n e t e n s o r i s t a z i o n a r i .
Diremo che il tellsore T . . definito in ~6~ ~ stazionario (rispetto a C) se 1)°T..-/Ds = 0 . TEOl~. 10.1. - I I moto ,~(, di ~ sia stazionario seeondo ~Born. Allora valgono le se- guenti tesi:
(a) Sorw mutualmente equivalenti le quattro eondizioni
D o T ; " D ~ T _ DT*"" D T , . . . (66) D - - - - s - - 0 - - D ~ ' D s " ~ - 0 = Ds
(b) Se To~..Q ~ e U,,..,~ sono e a m p i tensoriali spaziali e stazionari, allora tall sono TQ, Q U~, ,~, e (per . . . n > 2 ) T ~ ~ ~ a , - . q n "
(c) Se T...'" ~ spaziale e stazionario, tale ~ (T...'"I~)'.
(d) F,' stazionario s ~ . .k
DI~OSTt~&ZIONE. - P e r ipotesi v~le (60h~ onde la (60)8. Questa e (57) implicano la tesi (a).
L a p a r t e della t e s i (b) r i g u a r d a n t e T~,...~, e U~,...~ segue da (15)1; quell~ riguar- d a n t e T ~ vale perch~ (66)~ eqnivale a (66)a, e inoltre valgono (59) e (60)~.
Qv"On
P e r d i m o s t r a r e I~ t e s i (e) suppolli~mo D ~ T . . Y / D s - ~ 0 , onde .DT*/Ds =--0 per la tesi (a). Illoltre COllsideria~mo /'... come fullzione di zq, e /~*... come funzione di t e yL, ollde delle sole y~. Allora p e r (45')
(67)
D , 1 ) _ , o ( D r * - - o )
JO---s T ' " l ~ ~ s 2'...m ~ oltre a 3 ) ~ "
P e r (54)1 e (45')
(68) T ~ov..~onlM Z~'" ~'Y' o # ~ La ~ VLI...Ln * Da (47) segue
- - 1
(69) = c
o r e V'~r..q,~# ~ T~,r..e,da.
- - 1
eosicch~ p e r (54)~ e (68)
(70) T* LI..Ln[M - - ~Ll...l~n M - ~ -- * ,r* ~LI...L~_~HZI+v,,Ln v ~ C AL~$I iffil
(T
ALDO BRESSAN:
Due questioni di relativitd generale-
I 193L7ipotesi (601, implica da un b t o (611, [Teor. 9.11, e dd'altro (601%' onde D&A,D~ = O per (69),. Allora per (67) e (70) abbismo D V ~ ~ , , , ~ J D ~ . = O , onde DCVQr,,enJDs
=
0 per la tesi (a). Dunque vale la tesi (c).Da (GO), e ( 4 ) , , segue ue,,= 0. Inoltre, come si verifica facilmente sotto le lecite condizioni locali (5)1,3, per (7jz e (4),, si ba
Allora da (141, segue, come si riconosce facilmente a,~llmettendo (5),,, e inten- dendo ~l~~~ = cn;,
Dunque vale la tesi (d). c.d.d.
11.
-
Alcune proprieta d'invarianza per quantith elettromagnetiche inerenti conduttori ideali in moto rigido secondo Born.Riprendiamo il conduttore idede (3 considerato a1 $ 5. Siccome i! privo di con- duzione termica, esso compie solo procesxi adiabatioi e, com'8 noto, si pub supporre che l'entropia q sia costante addirittura in 'G4. Supponiamo (3 elast'ico e ma'gnetiz- zabile, ma non imponiamo l'esistenza di uno stato naturale (a sforzi nulli); dunque in particolare (3 pub anche essere un fluid0 non viseoso mapetizzabile. Pih in gene- rale pensiamo sulla base di [7, •˜ 61 che C abbia le equazioni costitutive
-
cf. (24), (12)ove YLH 4 il secondo tensore di PIOLA-KIRCHBOFP determinato in funzione di Xe5 mediantc la prima delle eguaglianze
che poi implica (74), per (12),, e (74), per (51), e (12),,, (').
(7
Le formule (29) e (30) in [7, p. 3911 forniscono le equazioni costitutive di un mate- riale elmtico Gapaceai
elettro-magneto-stsizione, ed eventualmente di coppie di contatto.Esse sono basate su una funzione
3
= y( T , sL,, CBLx,
Ez ,z)
connessa con I'energia Iibera specifica.Si zlmmette il postulate di HELMOLTZ: B positivo i l calore specific0 a O,,, CBL,
,
E: e HZ194 A~Do B~ESSA~n: D u e questioni di relativitd generaIe - I
D~ (24) e (59)
- t
C ~ h * 1~ .... H o
P e r (75)a e (33): D°be/Ds - - O, o n d e p e r il Teor. 10.1 (a) D b ~ / D s ~ O , ossiu b~
una, f u n z i o n e fl~(y~)/k* delle sole y~. AlIor~ 18 (9)~, (73)~ e (75) implica, no
(76)
TEOR. 11.1. - I1 moto ~ del eonduttore ideale ~ s i a rigido secondo B o r n . A l l o r a , stante la de]inizione (34) della (< corrente ~> 1 ~
D B ~ B ~ D I ~ I ~ D B ~ I ~
(77) D ~ : O - - D s ' D s - - 0 (u(~/~)~O).
D~OS~]~AZIO~E.- ~%lgu (77)~, o n d e u~j~ ~ 0. Alloru p e r (33)~ e (15~)~ D~B~/Ds ~ O, ossiu / ~ ~ stuzionurio.
I n o l t r e p e r (33)4 e p e r il Teor. 10.1 (b), (c), (d), unche I~ ~ stazionurio. O m le egua- gliunze (77) s e g u o n o dul Teor. 10.1 (b) e da, (14)~ p e r n--~ 0.
N e l cuso M~ ~ 0 l~ I~ ~ e s p r e s s ~ du (34')~ e le (77)~,~,s si r i d u c o n o ullu r e l ~ i v i z - zuzione di SCHSP~ di c e r t i r i s u l t a t i di CAnSTIou in Fisicu c h s s i c a - - cf. [11], [14].
~ e l l o s t e s s o euso 1~ (76) v a l e con 3~/3H*---= 0, e t r u Pnltro r i e s c e ]~ = ]l$~y~).
12. - Equazioni dinamiche per conduttori ideall elastici magnetizzabili.
P e r (35) il v e t t o r e spuziule E ~ ~ s i m m e t r i c o come X ~ ~ cf. (12)2.3. Alloru pos- siumo i n t r o d u r r e P a n a l o g o ZL~ di YL~, ehe soddisf~ le ~n~loghe delle (74):
(78) - - - - ---- 0 , =
Du (35)2 e (56) s e g u o n le p r i m e d u e delle
- 1
(79) 2 W - ~ H e H ~ ~ ~PQTzr*rr* ~ ) y ~ ' v ~ x W g ~ ~ = ~ "~ ~ q C ~ .
costanti. Allora, secondo an procedimento di tipo ben note, le (29) e (30) in [7] sono mutate in altre equazioni costitutive dello stesso materiale mediante la trasformaziene T ~ V, ~ - ~ - T,
~ - + ~ = :~ ~- ~T. Quando CBL~ non influisca su ~ o su ~, come nel caso presente in cui le copple di contatto non sono considerate, fra ]e equazioni trasformate figurano appunto le (73).
A_~DO BRI~SS±~: .Due q u e s t i o n i di r e l a t i v i t d generale - I 195
Q u e s t e e le (52)~ implieuno (79)3. P e r (54h, (51)~ e (25)1 w le lu p r i m u delle (8o)
-1
~ q
y~/t~, Hoy~
= ~ C ~ / / * .Lu secondu n e segue p e r (52)~. Du (78h, (35)3, (79)~ e (80)~ deduciumo (8~)
--I --I
--1
--iZ Ljiz (~t[1 I"~PQcLM (TLI'(-~MQ]~-]:~]£]* ... Z2~IL
= a . , ( - ~ , J -- -- ~ / - - i " -- q
che p u b porsi nellu f o r m u
(82) ~ - ~ Z ~ :
l -1
C~Q--1
(~M~1 )
1 _ 1 - i .
C M ~
P e r (50) e n o t e espressioni tensoriuli dei d e t e r m i n ~ n t i
(83) ~ _ I Z ~ = ( t , ~ s , ~ C ~ ~ - : 1 C~: C~ ~ H.Hq* * .
]
*$ $
S u p p o n i u m o che l o c u l m e n t e (y) sin geodetico (a,~,..~ * .... 0), t'(x) verifichi (40), e (x) sin n a t u r M e e p r o p r i o , onde vulgono le (5); i n o l t r e mostfi~ m e ehe p e r il c o n d u t t o r e ideule ¢ le e q u a z i o n i dina~miche (di CAvc-~T) si serivono, s t u n t e 1~ eonvenzione (5),,
~ X s
(84) k q ~ ~t ~ = - - ( Y ~ ÷ z - , ~ ~.~.,~ - - ( I 7 - , ÷ z ~ , ) . ~ x ~
e v e
(85)
.L w
+ w(.l~ a " ÷ X"" + ~ "
q " = 1 +
7~
-] W = k~ca ] ~"-F kc~ - - q s r con 2 k w ( ' ) = 2 W = H , H ~ . I n f ~ t t i p e r (36)a e (35).~ 1~ tra~sform~zione X ~ ° + E e ° - + X ~" m n t ~ p e r (74)1 e (78)1 [yL~ + Z ~ in Y ~ ; i n o l t r e essa r i d u e e CtL~ - - v. (36)3 m ~1 t e n s o r e e n e r g e t i c o tota.le v~lido in ~ssenzu di c~mpo elettroma.gnetico; infine ess~ mut~ le (84) e (85h in for- mule e q u i w l e n t i ulle (20) e (28h in [3], come si riconosce immedi2~tumente quundo si t e n g a e o n t o dell~ differenz~ in segno fru i significa~ti ~ t t r i b u i t i ~lle (~ g ~ }~ in [3]
e nel p r e s e n t e l~voro. I n [3] q u e s t e (20) e (28h sono d e d o t t e a~pl)nnto p e r J ~ ~ H~ ~ 0 su]l~ buse delle equ~zioni di eonserv~zione (36h e delle posizioni (74)1: I n questa d e d u z i o n e le X Q" sono p e n s ~ t e s e m p l i c e m e n t e come f n n z i o n i di ~¢ o di y~ e t. L~
196 ALDO B R E S S n ~ : D u e questioni di relativi.t~ generale - I
3.
s t e s s a d e d u z i o n e p u b r i p e t e r s i u s a n d o X e ~ + E ~ i n l u o g o d i X ~', e c o n ci6 si g ~ u n g e
~ p p u n t o ulL~ v a l i d i t ~ d i (84), sta, n t e 1~ p o s i z i o n e (85)1.
T r a l ' a l t r o , p e r (5), (7)1 e ( 4 1 h 6 a~---xqz, c o s i c c h b p e r (9)~, (73)~ e (78)a 1~
(85)~ d i v i e n e
. . . . ~ ~ ~ ~ [ ~ = ~(~q, e , ~ ,
ca ] a + e~ \ ~ ~ ~'Y~)]:
D ~ (73h,~ seg~le (~o)
(87)
o r e - - c o m e n e l s e g u i t o - - (~ ..za ~r e s p r i m e 1~ d e r i v ~ t u tota~le r i s p e t t o ~ ya e (~ 3.../3ya ~ q u e l l u paxzia,le.
P e r (50), (49)1 e o (81)1 o (83), possi9~mo c o n s i d e r a t e Z z~ c o m e u n u f u n z i o n e d i szn , ~ t t r u v e r s o ~ e C a~, e d i H a. A l l o r ~ - - cf. l~ n o t u (~o)
(88) Z ~ 3Z~n 3 Z Z ~ H *
P o s s i u m o e s p l i c i t a r e 1~ (88) t e n e n d o c o n t o d e l l e (~)
(89)
3 Z ~ -1 -1 - i - I ~il) -1
= H ( C ~ C ~ ' - ~C (~
¢~") ~*,
~ - = H e a~,--I --i --I --I --I --I
~ Z ~ - - H[~*~<a ~*~) + C~<~ C~)~ C~ + C ~ C ~(a C ~ ] H * H~ + Z ~
(7~
o~ S A ~
(io) Bastu ricord~re - - cf. [2 (55), (56)] - - che sotto le nostre ipotesi loeali su (x), (y) e ~'(x) si h~
Ds~B , -l-
D y z
(n) L a I89h segue d~ (81)~. Inoltre per (50) e (49)~
~sa~
d a cui ottenia, mo facilmente
~2 H --1
(b) = e*AL~Z~e*ZM~M~ Cz1~l Cz~M~ = 2~D ~ C a~,
~saB
il che porge (89)2. P e r d i m o s t r a r e la (89)a osserviamo che
--1
~C~K 1 OCX~
-C ~ = - - CH~
(c) C~x C ~ " : 6~ z'x oade ~sa. DeAB
A~D0 BRv.SSAZ~: D u e question~ di r e l a t i v i t h 9enerale - I 197
L e (83), (88) e (89)1. 3 p e r m e t t o n o di esplicitare t u t t i i t e r m i n i delle equuzioni dins- m i c h e (84), connessi col c a m p o m a g n e t i c o .
1 3 . - E q u a z i o n i d i n a m i c h e di d i s e o n t i n u i t h per u n e o n d u t t o r e i d e a l e ~ e l a s t i e o e m a g n e t i z z a b i l e .
Consideriamo u n ' o n d a m a g n e t o - e l a s t i c a a3 p r o p z g a n t e s i nel c o n s i d e m t o con- d u t t o r e ideale C, p r i v o di conduzione t e r m i c u . O v v i u m e n t e sup9onia~mo C regolare, e pifl p r e c i s a m e n t e che le f u n z i o n i k*----k*(y z) e ~ = ~ ( ~ , s z ~ t , H * , yL) siuno di elusse C (~) (ossia differenziabili con c o n t i n u i t ~ due volte).
I n t e n d i ~ m o che a3 sia u n u ipersuperfieie di S~ del g e n e r e t e m p o p e r cui (i) 3~xe/bt ~ (con ct ~ s) ha su aa u n a d i s e o n t i n u i t ~ di p r i m a specie,
(ii) le f u n z i o n i x ~ = x~(y °, ..., y~) - - che r a p p r e s e n t a n o ~ ~ , ~x~/Oy a (A =-0, ..., 3), e i c a m p i g ~ , g~.r e Ho, sono c o n t i n u i in u n i n t o r n o 3(a~) di a3, e
{iii) gli stessi c a m p i e f u n z i o n i sono di elasse C (x) in 3(a~)--a3, al p a r i di k*, H x , # z , B ~ , b~ e B e .
T r a l ' a l t r o p e r (76) b~ ~ unu f u n z i o n e di yZ (e n o n di t) n o n o s t a n t e l'ondu di d i s c o n t i n u i t ~ a~.
Come n b b i a m o gi~ d e t t o , possiumo considerare ~ costunte o v u n q u e .
Consideriamo il p u n t o e v e n t o ~ su as e s u p p o n i a m o che ivi (x), (y) e ~'(x) veri- fichino te (5), (40)1.~ e la az~.a = 0 , cosicch~ in g valgono le (84), ..., (89). *
I ~ d e r i v a t a l a g r a n g i a n a spaziale di (76) (eseguita m e m b r o a m e m b r o ) d~ h o g o a
- - 1
o v e i p u n t i n i s t a n n o a p o s t o di t e r m i n i c o n t i n u i u t t r ~ v e r s o a3. I n o l t r e p e r (89)2, (49)1 e (50) ~ b b i a m o r i s p e t t i v a m e n t e
- 1
(91) ~DC an ~ 2 ~2~)z 2 . . _
Oe~ OeexOeaB
if) OCn~bC a~S e r i v e n d o ciuscuna delle equuzioni (90) e (84) - - e ciuscuna delle (87), (88) e (99)1.3
Da (c), (a)~ e (49)1 segue
- 1
~CZ~ -1 ~CHK - i -1 -1
- - C , L H C ~ M _~_ _ _ 2 C L ( A C I ~ ) M .
Da (83)1, (89)~ e (d) o~enlamo (89)z.
198 ALDO B~ESSA~: Due questioni di relativit~ generale - I
du umbo i luti di a~ (in ~) e sottruendo i risultuti, o t t e n i a m o delle condizioni sulle d i s c o n t i n u i t ~ di ~X~/~,yA~y z (yO= t e A, X = O, ..., 3) e di
Hx.~,,
Sivo qY,~ l'inverso del coefficiente tensorie,le di H~, M in (90):
(92) "Ox~ ~DC ~ - k * ~ , = dz B.
~H~OHB
Se C n o n ~ nmgnetizz~bile, (92) si riduce ulla,
(92') ¢Uz~ = 9 - 1 C ~ (per ~ = ~(fl, eLM , y~)) .
D u n q u e Fequuzione (92) in ~U,~ hu soluzione nel ca so c h e / ~ - - cf. (73)2 - - non vuri t r o p p o r-apid~mente con H*. Oru supponiamo cbe {92) siu solubile in ~ .
D e n o t i u m o discontinuit~ uttr~verso ~ con A. P e r (92) e (91) le condlzioni di d i s c o n t i n u i t h o t t e n u t e d~ (90) possono porsi nell~ form~
(93) AH~.,,= ¢U,~ (k* ~H*~e~r~w ~2 e * ~ % * ~ C ~ H * ) A e ~ , ~ .
Le equazioni di discontinuit~ corrispondenti a.lle (84), (87) e (88) sono le
I t * q r A ~ = - - ( Z.)Z r ~" ~.~, ,
Oea.,~z ~eA~ " " O e ~ M C ~ z
o r e w a g o n le (89)~,a. P e r (73)i e (94)~.~ I~ (94h diviene
p~ AH~.~
o Y e
(96)
P e r (93), p e r le rela,zJoni AsH~,=
1~ (95) diviene
1
~Z~
(97)
- - cf. 1~ n o t a . ( l ° ) - - e per (40)
~2XS
ALDO BRESSAN: D u e questioni di reIativit5 generale - I 199
o Y e
Possiamo esplieitare (97) e o m p l e t a m e n t e m e d i a n t e le (98), (96), (89)~,~ e (92).
14. - Onde m a g n e t o elastiche di aecelerazione per u n eonduttore ideale magnetizzabile.
Si~ a*~ la superficie mobile, i m m a g i n e di a3 nella configur~zione di r i f e r i m e n t o . Allora a3 e o'* h a n n o r i s p e t t i v ~ m e n t e equuzioni del t i p o
(99) ] ( x ° , . . . , x ~ ) = O , ] ( y ° , . . . , y ~ ) - = O o r e ](yA)~=][Xe(yA)], y ° ~ t ... C-~S.
Siano £Vq il v e r s o r e spaziale n o r m a t e di aa in ~, e V l a velocit~ di a v a n z u m e n t o di aa in ~; i n o l t r e siano ~ * e V* le c o r r i s p o n d e n t i q u a n t i t £ p e r * a , . Atlor% helle f a t t e ipotesi su (x), (y) e ~ ( x ) s i hu - - eL [3, § 2]
- 1
(~oo) ~ * ...
(a*~*/fl.)-~/~
V* = - ( a * ~ ' l fl,.~-~/.t, V = ~C*~*.~*.w*~ -~I n o l r e sia ~.~ il v e t t o r e spaziale (2°= 0 in ~) delle d i s c o n t i n u i t £ delle ~xO/3ya3y z, cosiech6 valgono in ~ le cond~zioni di tt~'GO~I0~-H~)~V~A~)
~UXr ~Uxr ~r kO~" ~ ¢
(101) A - ~ = V ~ ~, A ~yZOy~ . . . ~ '~' ~ "
Allora (97) d i v i o n e
(102) ( p , ~ - - V*~q~))~ . . . . O, ova p ~ --~,~ ~, ~ , ~ .
L ' a c c e l e r a z i o n e ha u n ' e f f e t t i v ~ d i s c o n t i n u i t ~ ~ t t m v e r s o a~ in ~ se e solo se (102h ha u n auto-soluzione 2~, ossia se e solo se l'equa.zione
(103) det l i p - - xq.]] = o
in x h a a h n e n o ung rgdice V .2 con V* r e a l e (e>O). Se cib accade, la velocit~ V di a v ~ n z a m e n t o di a3 ~ d e t e r m i n a t a da (100)3.
:Nel caso p u r a m e n t e elastico ( / ~ ~ H ~ 0 ) si ha w(H~ ~ 0 p e r (85),.5 , e Z ~ 0 p e r (81). I n o l t r e ~ ~ u n a f u n z i o n e del t i p o ~(~, et~, YL). Allor2~ i d o p p i t e n s o r i q,~, p,~*~ e p,~ espressi r i s p e t t i v a m e n t e da (86)~, du (96) e (98), e da (102)~ divengono quelli d e n o t a t i allo stesso m o d o nel lavoro [3] sulle onde elnstiche. I n armoniu con tale lavoro 8 s p o n t a n e o c h i u m a r e q,~ tensore della massa inerziaIe generalizzata e p,~ tensorv acust@o generalizzato p e r r i c o r d a r e il ruolo di q,~ n e l l ' e q u a z i o n e dinamica (84)
200 A~Do B~ESSA~: D u e questioni di relativit~ generale . I
e quello di p,~ nell'equ~zione (102)~ che h a lo stesso a, sloetto che nel cuso laUr~.mente elastico.
5~ei fiuidi si possono prol~ugaxe onde m a g n e t o - e l u s t i c h e , di A ~ v ~ , con velocit~
il cui limite classico (c --> c~) ~ unu fuiizione di qua.ntit~ m a g n e t i c h e , dellu densitY, e dellu direzione di proloa.guzione _ ~ , come uppure du [14] p e r il csso di n o n mu- gnctizzubilit~ e du [10] o r e lu ma,gnetizzabilit~ ~ consideruta. Un simile semplice risultuto sembrn n o n sussistere p e r muteriali elustici m~gnetizzubili generici, anche se sono i s o t r o p i e B~ ~ purullelo ud u n usse p r i n c i p a l e di deformazione, u m e n o di cusi m o l t o pa~'ticol~ri (~).
(~) Nel caso generico, ~ eausa di una deformazione anisotropa, un corpo isotropo nella configurazione (~ naturale ~) non Io ~ in quella attuale.
B I B L I O G R A F I A
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