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Page 1 of 29Fondamenti e metodi per l'analisi empirica nelle scienze sociali a.a. 2012-2013 Fondamenti e metodi per l'analisi empirica nelle scienze sociali a.a. 2012-2013 Corso di laurea in Teorie, culture e tecniche per il Servizio sociale

Università degli Studi di Macerata

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Iap rl?p ouJeJazz\Iln lsatodt ulsanb sf,IJIJa^ B ar.rodotlos Jad 'tuor8a.r Jnp alsenb rzzttatlvJv) eUeIlIJ IS e{.{J <<szualoln slleP eJnllnf,>> eluns -ard ugap eul^ uI 'tseno,llsP a PnS IeP lluls IT33u _?snJJIP lld Q qll1su -ruJrJr BI eqr oJaA Brs as epaqJ IS IJ (eluo(UBJlllredg ltfual"JJlPqlITBu-rurrJJ rp rswl vp DvzzrJJllvJv) ouos ssJeAIP tuot8ar 3 llueueuudd? nuts er{J aJpIU JeJJv ayqrssod a :odural vP etnnvglP Juollsanb ?un e ISIIEU?

E4sou pllep ona88g 'ltpn n31S q8e nnela; EuP ns olzszg otdruasa un B osJoJrJ otuaJEJ vzIJeItv^ slleP rsllsus(llep urt8o1 ?l eJerlsnlll Jed

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r16

ANALISI DELLE RI,LAZ 1985 relativi ai cinquanta stati americani, classificati secondo le quattro grandi regioni definite dall'Istituto centrale di statistica statunitense. La vanabile dipendente sarà il tasso di crimini gravi noti alla pohzta, inteso come numero di crimini per 1.000 abitanti. La nostra ipotesi di ricerc a rmzrale è che i tassi di crimini gravi siano più alti negli stati del Sud (,1), seguiti - in ordine decrescente - dagli stati dell'Ovest (O), del Nordest (N) e del cosiddetto Midwest (M). L'ipotesi nulla, invece, sostiene che le medie di queste quattro <<popolazioni>> - indicate con i simboli p5, F6,lr,r, e pnt - sono uguali una all'altra. Dunque, secondo questa ipotesi le quattro medie regionali sono anche uguali alla media generale dell'intera popolazione di 50 stati, indicata con g,. Tuttavia, se f ipotesi alternativa è vera e I'ipotesi nulla viene rtfiutata, ci aspettiamo di trovare che /-.c.. ) po ) &x > ltu. I modelli ANOVA permettono di verificare I'ipotesi nulla secondo la quale tutte le / medie campionarie provengono dalla stessa popolazione e, quindi, sono uguali una all'altra. Formalmente, f ipotesi nulla implicita in un modello ANOVA è la seguente: Ho: tr.rr = Fz = ... = Fl L'ipotesi alternativa, invece, afferma che almeno una delle medie campionarie proviene da una popolazione la cui media differisce dalle medie delle altre popolazioni. Il rifiuto dell'ipotesi nulla implica una fra diverse possibilità alternative. 1. La media di ogni popolazione differisce dalla meclia di tutte le altre popolazioni, cioè Hr: &r * pz + ... + tll 2. Le medie di alcuni sottoinsiemi di popolazioni differiscono I'una dalle altre (ad esempio, p, è diversa du p, ma è uguale a p, e p,). ). Alcune combinazioni di medie differiscono da una singola media o da un'altra combinazione di medie (ad esempio, p, differisce dalla media d, p, e pc). L'analisi della varianza sottopone a verifica I'ipotesi nulla secondo la quale le medie delle varie popolazioni sono uguali. Se i risultati del test portano al rifiuto dell'ipotesi nulla, rimane da stabilire in che modo le medie differiscono fra loro. 1.2. Gli effetti delle variabili Per esaminare I'effetto esercitato da una variabile discreta su una variabile dipendente continua si consideri un'unica popolazione all'interno della quale la media della variabile dipendente è uguale a p. Se, come afferma I'ipotesi nulla Hn, le medie / dei vari gruppi sono uguali una all'altra, allon popolazione p,. Qu misurare gli effetti e variabile dipendente to con il simbolo ar. quel gruppo e la me Se il gruppo./ nc allora ai= 0, cioè pr allora a/ assumerà u dia del gruppo sia n Riprendendo il americani, i clati mor vi (per 1.000 abitant Sud, Ps = 4,59; Ov Fu = 4,21. Pertanto 0.r = -0,18; as - *1,1 che il Sud e l'Ovest di quelli osservati n, all'Ovest è inaspetta Sud. In effetti, la me mane ancora da stab mente significative. 1.3. ll modello ANOV L'analisi della va ne della varrazrone 1 alle singole osservaz VA generale con un valore osservato in t dove: Yti =valore deli'osse tL - media generale ai - effetto esercital quel gruppo c,, = errore, unico a Riordinando que siduo - è quella part buita né alla compol

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:oddnr8 rp eluauoduor vllv eu eunruor atuauoduroJ EIIE eu Elrnq-rJuB aJasse ond uou ei.{J olu^Jesso eJoFA un rp auud ulanb a - onprs-aJ o - aJoJJa(l aqJ aJepe^ ouurssod 'zpurol ztsanb opuuurpJorll

'/oddn.r8 IJp ! auorzunJesso,ll? oJrun 'aJoJJJ = '!a

oddn.r8 lanbrp ruoruv Jesso el eunt E eunuJo: '/ oddn;8 pp olutrrJase ouoJJe - tn auotzzlodod u11ap ruorzv^Jesso el ennl E aun(uol 'o1u;eue8 zrpaur - rl

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tuSo auoduors eluepuedrpur elrqpuz^ elo8urs uun uoJ ap;aue8 y1-ONV ollepolu 11 '/oddnfi y rlueuaueddv t ruorzunrasso alo8urs ellu AIIqNqIJIIE E / ETUEPUAdIP EIIqsIJs^ ?IIAU 3IBIOI EUOIZETJV^ BIIJP EU-orz.rodord apnb erzurulJarop B vwZZTIEUU e vzuvrJv BIIap rsrlpup(T

vAoNV oltoporu ll 'e'L 'anrlurryu8rs aluaur-pJllsrlels ouos JIEAJJSSo ezueJeJJrp atsanb as oJrlrguts Ep pJoJup aueru-lr If 'ap;aua8 Brpa{u pllop erourur ? pns Iap Erpatu ul '{rneJJe uI 'pns

IB otzrJossz ollanb rp osuarur qrd ollotu aluaulzlulladsuur ? tsa^O,lleoturJoss? ollaJJa,l os eqJUE 'ruor8a.r enp aJilz ellau nsnJesso nlanb rpuorSSuu qlrlzunurJl Ip rssul Ep nvzrottuJeJ ouos tse^O,l a pns II Jr{JeJePaA utB otuutssod '9í0- - t\'tp e :IV'0- - Np il0'I+ - on lg1'g- - su rouos ruor8ar elo8urs ellzp netrrJasa rlleJJa r13 'o1uuila4 'IZ'V - wrl'1sanpr141 J i9l'b =Nrl 'tsap;o51 ig'E - orl 'tsanO i6g'b =srt 'pns :lluan8as r ouos qeuorEa; rssut I'LL'Vvr.rcd zra (nuutlqz 000'1 tady rn-s.r8 rur{ulJJ Ip orpeu ossut II '(g6I Ieu '<aqJ ouuJtsoru pup I 'ruuluetuu r1e1s q8ap qtrleurr.ulJr Ip rssel rns ordurasa oJlsou I opuepua;dry'rl apraua8 urparu EIIap eJourru o e.ror88eul Brs oddnr8 lep ulp-eur pl Jt{l EpuoJes B 'onrlu8ou a onnrsod aJolpn un EJauJnssB /p v;oIIv'{onaJJe un ElrJJesa / oddn;E 1r 'aranur 'ag 'rl -lrl ?olJ '0 -tn vto11v'etuapuadrp olrqsrJe^ EIIns oueJJa unf,lu ulrJJese uou I oddn;8 p ag

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BIINS UTAJJS}P ATUAPUAdIPUI JIIqEUE^ ?IIEP I1EIIJJESJ IUEJJA T1E ATUTNSTU rad aszq EI Eluasardde.r euorzglal atrlduas etsanQ 'd euorzulododBIIep aleraua8 Erpetu e1p rlzn8n egrup ouos asso pJollv 'vtt1v;Iv vun

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118 ANALISI DELLE RELAZIONI BIVARIATE €,, = Y,i- lL - at Nell'analisi della varranza l'errore può essere visto come la discre- panza fra r valori osservati e quelli predetti dall'appaîtenenza a un àrto gruppo. In sostan za, tale errore tiene conto del fatto che i vari casi i appartenenti a un gruppo./ non hanno tutti lo stesso valore osservato Y,. 2. Le tavole ANOVA 2.1. La somma dei quadrati Per determinare la proporzione della varianza diY,tattribuibile agli effetti di gruppo (a1) ela proporzione che, invece, è attribuibile all'erro- te (rr), bisogna partire dal numeratore della varlanza campionaria: N

7,v'-Y)'

Ognuna delle N osservaziont presenti in un campione appartiene a ,rno déi / gruppi precedentemente identificati. Se n, indrca il numero di osservazioni appartenenti al gruppo j, allota nI+ n2 + ... +nt= N. In alli termini, la tò--u delle osservazioni appartenenti a ciascuno dei / gruppi è uguale alla dimensione complessiva del campione- N'.Pertan- i", iè a ciaicuna osservazione associamo sia un indice individuale (i) che un indice di grupp o (j), possiamo riscrivere il numeratore della varlanza come segue: N t n;

7,v,-Y)'= :,,ì (Yi -YY

Il termine destro dell'equa zíone rappresenta la somma dei quadrati totale, spesso indicata con il simbolo SQ'or.or* In sostanza, essa equivale ullu ro-ma delle deviazioni al quadrato di ciascun valore dalla media generale di tutti i gruppi (Y). Per fare un esempio, supponiamo di avere un campione con N = 5 osservazioni, ognuna delle quali appartiene al gruppo 1 o al gruppo 2 (cioè, I =2); trrppotiamo anche che ny=) e ftz=2. E,spandendo il termine destro dell'espressione riportata sopra, si ottiene: I tt , ,r1Yii -Y)t = [(Y,, -Y)t + (Yn -Y )' + (Yt, -Y )',f + i=Ii=I +l(Ytz - Y )' + (Y 22 -Y )21 l,a prima coppia gruppo 1, mentre li somma relativa al g L'analisi della vr totale in due comtr (JQrnru^.touooo), Par scuna media di grul dei quadrati nei grr ziom al quadrato dr quel gruppo. Nel f< e sottrarre simultar senza alterarne il v, deviazione di ciascr A questo punto segno uguale in mc Il primo termin senta la deviazione gruppo; in sostanzz secondo termine a invece la deviazion tutti i gruppi; in so esercitato dal grupl bi i lati dell'equazi, J oi

LZ(Y,i

j=r i=I Questa uguaglir essere sempre sud< Pertanto: JQt',

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oddnd)EsjnrÒs + oddnd)vdr*Òs _ EIvJ.oJÓs

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:Juarpo rs rJolBA rsJa^rp r opueturuos e euorzunba,gap ppl I Iq-uruJtuo oturpunb p opuu^alg 'rl -trl - /p aotr '/ oddruE IEP olullf,Jese orlaJJe,llep plJ?uolduur Eurlls BIIaP elten ts 'uzuelsos uI irddn.r8 I Illnl rp epreue8 zrpau eilvp / oddn;8 Iop Erplu pllep euoIZpIAOp BI rf,a^ul Btuasa.rddeJ'(^- tl) aotl 'alun8n ouEas IeP uJlseP 3 eulurJal oPUoJOS II'ra a.ro.r.ra.lap Bl;-Buoldusr eurrts BIIap vltvtt rs 'ezuvtsos uI ioddnr8 lanb rp erparu vM /oddnrE pp ! èuorzv^rosso,fiep euoIZúIAep pl B]ues-arddu.r'(!A- 4/) ?olr'epnEn ou8as Iop EJtsep u auluJrel our,rd 1

(l-'^)* (À- t'^) - ^- IA iftrorzer^op enp oJauelto Bp JIB1 opotu ut apn8n ou8as IJp ?Jlsep E IuIuIJet o;nunb I eJBuIpJoIr ouoAJP IS otund orsanb y

^-('^-t4)+ !'^- A- t!^

:ap;aua8 prpetu vfivp oser unJSuIJ Ip auoIZzIAaP vIV t^ e8unÉ8u rs a u88ur1tos IS 'oluBtred 'eJolpl II euJEJellB ezues auotssa.rdsa ISzISIBnb up eJolz^ olzP un elueureaupllnuJls eJJBJllos a a;aEunr88u opqrssod Q euoISIAIppns ulsenb a;zuto; 1ag 'oddn.rE lanbrp prporu ullup oddnrE unrsplJ 1p IuoIzvlrasso eileP otu;penb lv ruolz-Er^ep eilep BuIuIos e11v ued < loddnù2wrttÒS) lddnlE lau llsJPunb lappruruos q (Z irddn;8 IOp alzrrua8 ulpau er;1vP oddn,r8 IP BIPaU sunrs-plr Ip ote.rpunb Iv ruo:zernep ellap ptutuos e11v r.tvd < loddldlszrttÒS)rddn.rE r. vq rlu.rpenb Iep Brutuos u1 (1 :ttuauodulor anP uI elulol

r1u;punb rap puJtuos pl aptnppns ?IA vrtr. v vzuvrJv^ EIIaP ISIIBUe(T

7 oddn;8 Iv v^nv1eJ BuJuJos EI auelluoJ eJpunb tsalua.rsd Ip etddor BPuoJes EI eJluotu '1 oddn;8 Iv v^uvIo.r er.utuos zl eueltuoJ oJpunb tsatuatud IP Btddoc urutrd e1

6II VZNVnIVA V'r'rAC ISI"IVNV + lz(.\-

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eJolEA unf,ssrJ rtvssa'vzuulsos uI-e.rpunb rep ?ruru

EIIaP arolBrer.unu(z) apnpr^rpur er-ueilad '1g auordr l pp ounrsurJ E rq 'l{ -tî't+ "' + z' oJerunu Ir sJrPure auarueddp auor :ur.rzuordurur-oJra,ll3 alrgmqrrlrpu apqrnqrntv ",

-so JJolsA ossels

rJsA i eqr ouEJ I:un E vzueuelwd-eJJSrP 3l AUIOJ c

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T2O ANALISI DELLE RELAZIONI BIVARIATE Se si eccettuano i casi in cui tutte le osservaziom di un dato campione assumono lo stesso valore, la loro varianza è sempre maggiore di zero. Una parte di questa varranza può essere attribuita agli effetti dei gruppi ai quali le osservazioni appartengono. In altri termini, la somma dei quadrati fra i gruppi esprime I'effetto complessivo esercitato sulla variabile dipendente continua dalla variabile indipendente discreta. Tuttavia, all'interno di ogni singolo gruppo le osservaziom possono essere diverse fra loro a causa di fattori casuali come la vartazione campion arra o di effetti esercitati da vartabili indipendenti non osser- vate. Dunque, la somma dei quadratt nei gruppi esprime l'influenza di fattori non misurati. Trattare le osservazioni appartenenti a un dato gruppo come se fossero tutte uguali sarebbe scorretto. 2.2. La somma dei quadrati nell'esempio dei tassi di criminalita Se l'ipotesi nulla relativa alle differenze regionali fra statr in termini di tassi di crimini gravi fosse vera, allora dovremmo osservare la stessa media in tutti e guattro i gruppi considerati, cioè: Fs = po = lf,N = llu. In questo caso la somma dei quad rati fra i gruppi (SQr"ro^,;nupp6) sarebbe uguale a zeîo e, quindi, SQrn o* = SQrNz71"(;Ruppo.In altri termini, tutta la vartazíone osservaf-a nei tassi di criminalità statali sarebbe dovuta a <<errore>>, cioè a fatton casuali. Nei casi in cui la variabile indipendente non esercita alcun effetto, il modello ANOVA generale per i dati campionari si riduce a: Y -Y +e, Supponiamo, invece, che la regione influisca sul tasso di criminali- tà, e cioè che p5 ) llct > ÉrN ) Fu.Inoltre, supponiamo che tutti gli stati appartenenti a ogni data regione siano caratt-erizzatr dallo stesso tasso di crimini gravi, cioè che le devrazioni delle singole osservazioni dalle medie dei gruppi corrispondenti siano tutte uguali a zero.In questo caso, i tassi di criminalità osservati negli stati appartenenti alle quattro regioni sarebbero uguali a: Yi.s =Y + a.e Yi.o =Y + ao Y,.,v=Y+an Yi,u =Y + a, dove i simboli a, tndrcano le stime campionarie degli effetti a, aIl'opera nella popolazione.

In questo caso li uguale a zero e, qu tutta Ia vanazione ol alla regione alla qur nessuna singola vari, tutta la vartazione ot go, quest'ultima pot da altre variabili in< riabile dipendente p di vario tipo. Poicht può derivare da fatl le equazioni che ra anche l'errore: La tabella 4.1 n esiste una sostanzia Inoltre, il fatto che se suggerisce la pr< gruppi. Pertanto, la nalità statali (SQt.., che a SQ,"ro^,tRUp1,( sono statisticaffìentr clusi le varie somm Per calcolare la re di ciascuna osser risultato ottenuto e SQrrr,'oro - (7,56 - La somma dei sotffaendo la medir al quadrato il risult gruppo e somman( pio si ha: SQt"r.,^,rRLIPP6 = (1t 4,1

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8l'6r = z(LL'V - rZ'b)lT) + ,(LL'V -- 9l'y)(6) + ,(LL'Y - 08'E)Gr) + ,(LL'Y - 6s'v)(9t) - octdùtt)dzJ,ttÒs

:uq rs ord-Luase oJlsou Iep osBJ IaN 'Irnuelto uolzn I Ittnl opuurutuos a oddnr8 Iap qlrsoJoulnu z1 ,rad olopuerrldrrlou 'ornualro orutlnslJ p orzrpenb popuz^ele 'a1u;eua8 prpeur BIIBp oddn;8 unrsEIJ Ip ulpatu EI opuopJltosetuaureileJrp etulorlur euel^ rddn.r8 T vJJ rwJpunb rap EuJuros uT tI'08: z(LL'v-69'z) + "'+ ,(LL'l- LE'il + .(LL'Y-99'L) -slvrorÓS

:r1u;punb I Illnt JJuurtuos e olnuallo otztlnslJ Ir oluJp?nb p arznala 'aizraua8 utparu vlvp èuorzv^Jesso EUnJSPIJ IP eJ-ole^ Ir eJJEJnos e^ap IS elutol qerpznb Iap Btutuos EI aJBIoJI?J Jad'i atuatzonb p e Ipeiu ne.rpenb t 'nu.rpenb Iep eururos aIJBA al Isnll-ur 'eJnsruJ esJenrp oJBIoJIuJ euSosrq a^rluJrJruEts atuaupJllsllels ouosrtuaJeddv azueJeJyp etsanb es JJpulur;alep Jed 'oddnYi)uEINrÒS. E aqJoddne:)vlirutÒS v vTS olrqmqrJnu eJasse ?rq{ues ('tv.Lct.r(g) [eters qlrl?U-r(urJJ Ip ISSzI rau ElEAJesso Enrssalduor euorzvrJvn e1 'o1uuua4'ddn'8

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(9)

I22 ANALISI DELLE RELAZIoNI BIVARIATE StatoYir Stato

2.3. I quadrati medi Il passo successir i quadrati medi co ognuno di essi rapl buibile agli effetti dì esiste alcun effetto Se, al contrario, esis drato medio fra i gr medio nei gruppi (J I quadrati medi quadrati per I'appro associati alla varian perché una volta c gruppi sono note, I mente. Pertanto, pe ciente dividere la sc

Y,l Sud Florida Texas Louisiana Oklahoma Maryland Delaware Georgia South Carolina Tennessee North Carolina Alabama Virginia Arkansas Mississippi Kentucky West Virginia 2Y,1 = 73,49 Y' = 4'59 s' = 1,37 Nord-Est Neu, York Connecticut New Jersey Massachusetts Rhode Island Vermont Maine New Hampshire Pennsyìvania \Y4 = 39,26 YN = 4)6 .tN = 0,95

Ovest Colorado Arizona C)regon Nevada New Mexico \Washington California Alaska Utah Hawaii Montana Wyoming Idaho ZY;i = 75,31 Io = 5'80 so = I,I3 Midwest Michigan Illinois Missouri Kansas Ohio Indiana Minnesota \ilisconsin Iorva Nebraska South Dakota North Dakota 2Y4 = 59,56 Yt6 = +,zt .î,lt = 0,96

Nel nostro esen QN. I gradi di liberr N - /. Ciascun gru; gradi di libertà di t

7,56 6,5J 5 7t 5A) 538 4,c)6 4,89 4,83 41) 411 \9) ),78 ),r8 4)1 )95 / /1

6,92 6,90 6,7J 6,68 6,54 6,53 65) 5R2 53r 5,20 417 4,01 I,86

e

5,56 54) 5,10 4,1r 3,Bl ),61 )99

6,16 5)7 4,65 435 4)6 4,16 4,r) ),98 194 ),78 29R )69 Y = 1,7J sY = 1,28 Infine, la somma dei quadrati nei gruppi può essere calcolata sottraendo il valore di ciascuna osservazione dalla media del gruppo cor- rispondente, elevando al quadrato il risultato ottenuto e sommando tutti i quadrati: SQ,rr*"RUppo =*Zí.Í;4,59)2 + (6,51 - 4,59)2 + ... + (2,69 - 4,2r)' = In altern ativa,la somma dei quadrati nei gruppi può essere calcolata sottraendo la somma dei quadrati fra i gruppi dalla somma dei quadrati totale: 80,11 - L9 ,38 = 60,7 5 .

(n _ (nt Dunque, per ca dere la somma dei

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(10)

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I.7,T VZNVnIVA VT'IEC ISI-IVNV 98',1r0'ttt',0z'er t's28, Eze'9tE'9vE989'9tL'906'9LO -)

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(11)

I24 ANALISI DELLI, RELAZIONI BIVARIATE Nel nosffo esempio, quindi, si ha: QM,^,.*, RLTPPO _ 60,75/(lo _ 4) = 1,32 Come possiamo vedere, nel nostro esempi o la varianza stimata attribuibile agli effetti di gruppo è maggíore di quella attribuibile all'errore (6,46 contro I,32). Una diffeîenza di questa entità si verífichereb- be solo se la regione esercitasse un effetto significativo sul tasso di crimini gravi. L'operazione finale, nell'analisi della varranza, consiste nel determinare quanto maggiore QM,rlunrtr<uppo deve essere rispetto a QM,*r-*r,Ruppo affinché I'ipotesi nulla possa essere rifiutata. 2.4. ll quoziente F Nell'analisi della varianza la statistica F viene calcolata semplice- mente come rapporto fra i due quadrati medi:

4-'t-;

QM,nro^(;RrJPPo QM t*r-*(;RLtppo La distribuzione campion arta di F può essere utrhzzata per verificare I'ipotesi nulla secondo la quale nessuna parte della variinza osservata nell a varrabrle dipendente è dovuta agli effetti di gruppo. Due assunti devono essere soddisfatti: 1. i / gruppi devono essere esrratti indipendentemente da una popolazione normalmente distribuita; 2. Ia varianza della popolazione deve essere identica alle varianze dei / gruppi. Quest'ultimo assunto è noto come omoschedasticità. Quando le / varianze della popolazione differiscono, si è in presenza dr eterosclteda- sticità. Se entrambi gli assunti sono soddisfatti,la statistica F risulta distribuita secondo una distribuzione F teorica con / - 1 gradi di libertà al numeratore e l{ - J gradi di libertà al denominatore. Poiché nell'analisi della varianza l'ipotesi alternativa tipicamente si attende che la stima della vananza fra i gruppi sia maggiore della stima della varianza nei gruppi, il test di significatività appropriato è a una coda. Se il quo zien- te F ottenuto è maggiore del valore critico associato a un dato livello a, rifiuteremo f ipotesi nulla e concluderemo che la variabile indipendente influenza la variabile dipendente in modo significativo. Per a = 0,05 e 0,01 la tavola B4 in appendice B fornisce 2 valori critici corrispondenti a numerose distribuzioni F. I gradi di libertà del numeratore (v,) sono riportati nelle colonne, mentre quelli del denominatore (zr) sono riportati nelle righe. Nella cella che si mova all'in-

q,**,1.,,,,4,9:,,:::,: :f# udfut lrtfl{i,ú A Fonte SQ Fra i gruppi Nei gruppi Totale

19 3t 60,1: 80,1; ,, Significativo al livell crocio della colonna F necessario per rifi Tornando al no valore: Ponendo a - 0,C cando la cella corrisl re il valore critico è lato equivale a 4,89,, lità di commettere u que, che nel 1985 la criminalità osservati I risultati dell'ar presentati sotto forr viamo un esempio r tnformazioni rilevar significatività: le sc medi, il quoziente f 3. ll test delle differ Generalmente I variabile indipende I'approccio ANOV, frontare sono solo c clistribuziom Z e t, grafo mostreremo c queste distribuzioni varranza e danno lu zeremo i dati della verifica l'ipotesi nuì uomini e quello del

(12)

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ET 'rsJanrp aluauE^ItErrJIUBts ouos uou euuoP eileP o11anb 3 IuIuJon ISap oJrlrlod otuaulpturrro,l olunb BI opuorJs pllnu lsotodl,l PJIJIJaA E oruerrodouos e 1661 1ap .{an.rns PIJoS IEreuoC EIIaP IIEP i oureJez-zr1pn orduasa Ip olotll V 'IlBllnsIJ ISSets q8u o8onl ouueP e vzuvlJv^

EIIOp rsrlpup eleroue8 ryd egap tpt:ads ISEJ ouos IUoIZnqIJtstp alsanb ns rlBSEq erpalu enp EJ,+ ezuereJJlp aileP tsel I el{f, o{uaJaJlsou olvt?-vmd otsanb uJ 'aluapara;d ololtder IJU assnJtlP '/ e Z ruorunqlJlslP ellu eqrup osroJrr arpJ ellqlssod a ISPJ IIEI uI 'enP olos ouos JJsluoJJ -uor pp arpeul el opurnb aqruu otBudo;dd, ? VAONV ot:ro.lddu,1'Br,rElnJ 'ar-ro8atzJ lld o JJI vp ewurJoJ Q atuapuadlpq e[qvrJv^

EI opupnb eturrlddu auatn vzuvrJu,^ EIIaP ISII?uE.l JlueullzraurC

alpot|'| onp erl ozuaJa$lp allop lsat ll 'e 'qllllqegord Ip oila^{ I e C aluatzonb U'lPaturte;punb I '{qlJogll lp rpe;8 t 'tte;pznb IaP eruruos el :ell^Ilurrytu8ts

rp tsal p aruta;dtalul ;ed ou8oslq Bq IS Inr IP IluE^3IrJ r.uorzeruJoJulal allnl erJJo VAONV elo^et vl.'Z'V sllrgul sllau otduasa un otuEIA-oJl rnf, rp 'urrllunssulJ VAONV BIo^31 BUn IP sruJoJ ollos tluluasa.rd

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szl vzNvluvA V'I'IEC ISI'IVNV

(13)

126 ANALISI DELLE RELAZrcNI BIVARIATE variabile <<orientamento politico> è stata operativizzata chiedendo agli intervistati di autocollocarsi su una scala a sette posizioni che ,ru aa <<fortemente progressista>> (punteggio 1) a <<fortemente conservatore>> (punteggio 7), con la categoria <<moderato>> in posizione intermedia (punteggio 4). La nostra ipotesi alternativa è che gli uomini e le donne sono caratteîizzati da orientamenti politici differenti; poiché non abbiamo nessun motivo plausibile per formulare aspettative su quale dei due sessi sia più conservatore, I'ipotesi alternativa assume un ca- rattere bidirezionale: Ho: &r = Fu Ht: lte * ltu 3.1. ll test Z Come abbiamo già visto (cfr. cap. 3,par.5), il teorema del limite centrale assicura che, per campioni sufficientemente numerosi, la distribuzione di tutte le medie campionarie (cioè la distribuzione campionaria) sarà normale, e la sua media sarà una stima corretta della media della popolazione dalla quale il campione è stato estratto. Quando si tratta di verificare se esiste una diffe îenza fra le medie di due popolazioni, assume un ruolo rilevante il seguente corollario del teorema del limite centrale: La distribuzione della differenza fra due medie campionarie, calcolare su campioni casuali di numerosità l{, e N, tratti da popolazioni con medie p, e p'2 e vaúanze cl e a3, segue una distribuzione normale con medi a pari a ltt - ltz e deviazione standard (errore standard) parr a fit, tX; ,tfi . fn forma delle distribuzioni delle popolaziont può essere di qualunque tipo. In sostanza, questo corollario ci dice che: FEr-v2t=14-Fz 0r 7-t:r = La tavola delle probabilità associate alla distribuzione normale ci permette di effettuare una verifica di ipotesi sulla differenzafua medie avente per oggetto le medie di due popolazioni. I requisiti da soddisfa- re sono solo due: l{, e N, devono essere sufficientemente grandi (in pîatica, Nr + N, dovrebbe essere almeno paîr a 60, preferibilmente maggiore di 100), e le varianze di entrambe le popolazioni (cr? e cr3) devono essere note. Poiché i parametri della popolazione sono raîa-

mente noti, general campionarie. Se N, pionarie sf e sr2 po popolazioni o,2 e o Per sottoporre Í (che equivale ad af alla procedura desc I'orientamento polit mo a=0,01. Datc Nz = 818 donne), la rica più appropriata appendice B mostrr a - 0,01 equivalgon Secondo l'ipotes Iazrone è uguale all, consiste nel deterrn campionarie (f - I vera differcnza fra I (cioè Se &r - llz = 0', Utrlizzando inve test diventa: La figura 4.I tll cui l'ipotesi nulla . differenza osservatz valore positivo prc come questo non ri

(14)

-jrp ?lorJld EI oluBnb uI BIInu lsJlodr(l ouIuJaJalnIJIJ uou olset auIoJ ossJ un uJ 'vTvzz\odl ellnu vzuJDJJIP v[v otuISSoJd o^rllsod aJols^

oloJJId un 3 U?d a aIJ?uoIduJEJ eIPJtu anP al vI vlv^JèSSo BZUOJaJJIP uf aror;adns orpunbrr 1ag 'PJaA Q 0 = zd - Irt :011 zgnu tsalodt,l tn:

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LZI vzNvruv^ V'I'Isc ISI'IVNV 'N/lt'rV/lt

'lruls 'rV/Jt

(15)

128 ANALISI DELLE RELAZIONI BIVARIATE F1G, 4,1, Esenrpi di,ri*ulte$..'.oitenutf,.,,sómaffiéndCIi.,à.iiir\rètifi i.,1$$ i..i.s l1e.,ditrétU*ae..,.fia dorerneàiè(i*iies,i'n,utlruÀinf,,' r' ' ii , * ' , i i , Fory1ei:Adartato da;D, Knoke e G,W. Bohrnsredt,.Basii,srtctài Statisrics;Iiasca; Iil,, fercnza osservata fra le due medie campionarie è molto probabile in una popolazione in cui Ft - l-tz = 0. Passando al riquadro inferiore, in questo caso la differenza campionaria osservata appare sostanziale. Con ogni probabilità, dunque, rifiuteremo la nostra ipotesi nulla, in quanto I'ampia differenza osservata fra le due medie campionarie si verificherebbe solo raramente se frr - Fz = 0. Piuttosto, è probabile che le due medie campionarie provengano da due popolazioni nelle quali pt ) pz. Tornando al nostro esempio, l'orientamento politico medio degli uomini risulta paîr a 4,14, mentre quello delle donne è uguale a 4,04. Le due varranze campionarie sono pari, rispettivamente, a I,90 e I,66. Pertanto, la statistica del test può essere calcolata come seguel

p1-tt2=o Yr-Yt Pr-P2=0

Poiché il valore possiamo rifiutare I la quale uomini e < differenti. Dunque, ne hanno orientamr 3.2. La verifica delle Nel secondo ca dicotomica è ugual cioè equivale a pr.I 1.078 dei 1.414 sog della pena di mort caso, Pt = I.078/1.4 Le stesse formu re a verifica le ipot, plicate alle variabi significatività dell variabile dicotomic dendo I'esempio d< in questo caso la

(r-0,762)-(0,76

una distribuzione c In questo esem -îp Supponiamo di considerati più conr democratici. Formz

(16)

Iep auou rp uuad EIIep eroAEJ E lldelueuIlBuorzue^uor'ruurrlqqndal r

'I I0'0 = :eluetulsurJoc'rJrlsJJouaP

ouzrs 'uoluNasuor lrd Il?JepISuoJ aqr eJvzzrtodr rp ou?ruoddng

'ordruasa olsanb u1 :an8as au'99'r306'J?'41:'lr1'V u alen8n a,

IISep orpeur orrl rllau ruorzulodoralrquqo,rd e 'o1sr

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ur 'u11nu rsalodr'alazuvl,sos arud ur 'aJorJsJuI OJPE

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ruorzrodord el1ns rselodr ollop ecrluan e-l 'Z'e 'ilruls olloru nrrqod rlueuJzluarJo ouueq au-uop J Iultuon 'atuatullguqo;d 'eqr otuaJapnlruor 'anbunc 'ItuaJOJJIp

r:rtrlod rluoureluJrJo Ep DvzzrJaltEJB) ouos euuop a runuon apnb u1opuoras EArtEUJelp zlanb rp aJo^BJ B BIInU rsalodr,l aJElnrJrJ oruulssoduou '(8E'z) ]se] IeP oJrlrrJ arole^ IE erorJaJUI ? z rP eroiE^ II 9r{rlod

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8t8 rz9 99\- odl

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6ZI VZNVIUVA VT'IEC ISI'IVNV

,,,,'mrtlillilil|il

(17)

I3O ANALISI DELLE, RELAZIONI BIVARIATE Ho: Pn = Po Hr: Pn > Po dove: pp è la proporzione di repubblicani che si dichiarano a favore della pena di morte, mentre pp è l'equivalente proporzione di democratici. Nella General Social Survey del 1991, su 611 repubblicani che hanno espresso un'opinione l'86,I"h hanno dichiarato di essere a favore della pena di morte, contro Il 67 "/" dei 622 democratici. Dunque, pn = 0,68I " p, = 0,670. Se poniamo e - 0,05, la statistica del test della drfferenza fra le due proporzioni può essere calcolata come segue: 7 _ 0,861 - 0,670 _ "tpn-pD)- - 1l 611 622 _ 0,191 _ 0,023 = 8r3 Poiché il valore critico, in un test a una coda, è pari a I,645, rifiu- tiamo I'ipotesi nulla e concludiamo che la propensione dei repubblicani a sostenere la pena di morte è maggiore di quella manifest ata dar democratici. La formula dell'errore standard uufizzata nel calcolo della statistica del test mostra chiaramente che all'aumentare dí N, e l{, I'errore standard diminuisce. Se Nr e N, sono sufficientemente grandi, quasi ogni drfferenza fta Y, e Y, diventerà significatíva. Per questa ragione, si dovrebbero adottare strategie di verifica delle ipotesi più prudend. Ad esempío, ogni dlffercnza fta medie inferiore a un quarto della deviazione standard dovrebbe essere considerata irrilevante, indipendentemente dalla sua significatività statistica. Un approccio ancora più pre- feribile consiste nello stimare Ia forza della relazione fra vartabili. In ogni caso, i semplici test di significatività statistica non rivelano mai l'intera storia, 3.3. ll test f Quando i dati consistono in due campioni di piccole dimensioni - cioè quando N, + l{, < 100 - gli assunti che sottendono il test Z della differenz a fra due medie sono violati. In questi casi si può ricorrere alla famiglia delle distribuzioni /, purché siano rispettati due assunti: 1) entrambi i campioni sono estratti casualmente da due popolazioni

indipendentí e norr laztont sono ornoSr test Z, in questo car ni è importante. Ir produrrà effetti lirr Per ottenere ur due varianze camp formula: dove: N,+^/2-2-gradr I gradi di liber libertà associati a s gl, + gl Dunque, per pi fra due medie è ug dove: -îrii-yzr = stima dell Per illustrare l' di sindacahzzazion< siedono una legisla: dacale è più bassa 4.3 rtporta i dati ri merosità limitata (r

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