Calcolare media e varianza del tempo di attesa totale T =Pn i=1Ti nel modello di Claudio

Elementi di Probabilità e Statistica - 052AA - A.A.

2014-2015

Prova scritta - 4 settembre 2015

Problema 1. Tornato a casa dal supermercato con la spesa, Alberto racconta ai suoi co-inquilini Bruno e Carlo che si potrebbe modellizzare il tempo di attesa T in …la ad una cassa come una variabile aleatoria avente legge Exp(1=n), se vi sono n persone in …la.

1. Sulla base del fatto che T , in realtà, sarebbe la somma di n tempi indipen- denti, ciascuno con legge Exp(1), Bruno ritiene più appropriato che T sia una variabile aleatoria con legge (n; 1). Confrontare media e varianza per un tempo di attesa avente questa legge, rispetto al modello di Alberto. Oltre ad arrivare al risultato utilizzando la formula nota per i momenti di una (r; ), si provi a trovare il risultato partendo dalla sola densità esponenziale, più l’uso di teoremi di base ed alcuni calcoli.

2. Claudio, che ama generalizzare, propone quindi un modello più complicato, in cui alla persona i-esima in …la associamo un tempo Ti con legge Exp(1= i), dove i è un parametro deterministico …ssato (valutato in base a certi fattori di cui non ci occupiamo), e i tempi Ti sono indipendenti. Calcolare media e varianza del tempo di attesa totale T =Pn

i=1T_i nel modello di Claudio.

3. Claudio si accorge che il suo modello è troppo complicato, e decide di am- mettere soltanto due possibili valori a, b per i vari i. Ottenere un’espressione (coinvolgente integrali) per la densità della legge di T nel caso in cui ci siano n_a occorrenze di i = a (e quindi nb := n n_a occorrenze di i = b) e, nel caso na = 2, nb = 1 ottenere un’espressione senza integrali.

Problema 2. Si consideri, per 2 R, la funzione f ( ; x) = 1fx>0gp1

2 x² exp ^{(log x}₂ ⁾² . 1. Constatare che, per ogni 2 R, è una densità di probabilità e, detta X una

v.a. con tale densità, calcolare E [log X].

2. Calcolare il quantile di ordine 1=2 di X [Suggerimento facoltativo: trovare la densità di probabilità di Y = log X]

3. Si consideri un campione di taglia n e densità f ( ; x). Dopo aver scrit- to il modello statistico, calcolare la stima di massima verosimiglianza del parametro , dove esiste ed esaminarne correttezza e consistenza.

Problema 3. Gli utenti che si rivolgono ad un certo sportello del Comune di Capanni sono infastiditi dalla durata T del tempo di servizio, che a dir loro non

poche volte è davvero eccessiva. Il Comune li informa innanzi tutto che un docu- mento nazionale indica un giusto tempo medio di servizio pari a 10 minuti (cioè E [T ] = 10) e segnala una …siologica elevata variabilità del tempo di servizio, per quel particolare tipo di sportello; e d’accordo con una rappresentanza degli utenti, registra la durata del servizio di 20 utenti a campione (in momenti casuali e sepa- rati di alcuni giorni, in modo da supporre indipendenti le osservazioni), trovando una media empirica pari a 10.2 minuti ed una deviazione standard empirica pari a 9.75 minuti. A questo punto l’azienda, ipotizzando che la distribuzione di proba- bilità del tempo di servizio sia una gaussiana, da un lato nota la forte concordanza della media emprica con la prescrizione nazionale; dall’altro, prendendo come veri i valori m = 10:2 e = 9:75, a¤erma: solo il 50% circa delle volte il tempo di servizio supera i …siologici 10 minuti; inoltre

1) la probabilità che un servizio duri più di 30 minuti è ...; ed il 95% delle volte il servizio dura meno di t =... minuti (lo studente calcoli questi due valori; questa è la prima domanda dell’esercizio)

ed essendo queste probabilità o tempi accettabili, l’azienda rigetta l’accusa ricevu- ta.

Paolo, che ha studiato un po’ di statistica, pur riconoscendo che i dati sono abbastanza favorevoli all’azienda, completa l’analisi dei dati nel seguente modo che smorza un poco la sicurezza che tutto vada bene.

2) Il valore m = 10:2 è in realtà solo la stima puntuale x; il valore vero di m sta, con probabilità 0.9, in un certo intervallo X ; quindi non è assurdo che il valore vero m sia pari a 10:2 + . Calcolare questo valore ed assumendolo come media vera ricalcolare la probabilità che un servizio duri più di 30 minuti.

3) Paolo traccia un’istogramma dei 20 valori sperimentali e da esso ha il dubbio che T sia una v.a. esponenziale; usando la stima puntuale di massima verosimiglianza (si usi il risultato noto dagli esempi del corso) del suo parametro come fosse il valore vero del parametro, calcolare le due grandezze descritte al punto (1).

4) Per confutare l’ipotesi di gaussianità fatta dall’azienda, oltre che basarsi sull’impressione visiva dell’istogramma, Paolo pensa al seguente test. Consideri- amo la v.a. X che vale 0 se T è inferiore a 10 minuti, 1 se è superiore; poniamo

= P (X = 1). Se fosse vera l’ipotesi di gaussianità dell’azienda, sarebbe = 1=2.

Paolo allora esegue, per questa Bernoulli, un test con l’ipotesi nulla H⁰) 1=2 contro H¹) > 1=2. Formalizzare matematicamente un buon test per questo problema (cioè scrivere il modello statistico, basato sulla distribuzione di X e in- dicare una regione critica di livello commentando perché la si sceglie). Poi scri- vere una formula per calcolare il valore-p (o soglia di accettazione) relativamente all’osservazione di 13 servizi di durata superiore a 10 minuti su 20 registrati.

1 Soluzioni

Esercizio 1. Premessa: La media di una v.a. esponenziale X avente legge Exp( ) vale

E[X] = Z ₁

0

x e ^xdx = ¹; mentre per la varianza, calcoliamo prima

E[X²] = Z ₁

0

x² e ^xdx = ² Z ₁

0

x²e ^xdx = 2 ²; e otteniamo Var(X) = E[X²] E[X]² = ².

1. Nel modello di Alberto, vale

E^A[T ] = n; Var^A(T ) = n²: Nel modello di Bruno, T =Pn

i=1T_i con Ti i.i.d. Exp(1), da cui E^B[T ] =X

i

E^B[T_i] = n; Var^B[T ] = Var^B Xn

i=1

T_i

!

= Xn

i=1

Var^B[T_i] = n:

2. Nel modello di Claudio, basta semplicemente ripetere i calcoli del modello di Bruno tenendo conto delle diverse medie e varianze:

E^B[T ] =X

i

E^B[Ti] = Xn

i=1

i; Var^B[T ] = Var^B Xn

i=1

Ti

!

= Xn

i=1

Var^B[Ti] = Xn

i=1 2 i: 3. Se vi sono na occorrenze di tempi Ti, con parametro i = aed nb occorrenze

di tempi Ti con parametro i = b, possiamo scrivere T =

Xn i=1

T_i = X

i:i=a

T_i+ X

j: j=b

T_j = T_a+ T_b;

dove Ta =P

i: i=aT_i, Tb =P

j: j=aT_j. Per risultati noti (Proposizione 4.3.7 del foglio riassuntivo), Ta ha legge (n_a; 1=a), Tb ha legge (n_b; 1=b), e sono indipendenti (composizione di blocchi disgiunti di variabili indipendenti).

Perciò la legge di T ha densità data dalla convoluzione delle due densità, ossia nulla per x 0 e, per x > 0,

f (x) = Z

R

(n_a; 1=a)(y) (n_b; 1=b)(x y)dy =

= e ^xb

a^nab^nb (n_a) (n_b) Z x

0

y^{na 1}(x y)^{nb 1}e ^{y(a 1 b 1)}dy

= x^{na+nb 1}e ^xb a^nab^nb(n_a 1)!(n_b 1)!

Z 1 0

t^{na 1}(1 t)^{nb 1}e ^xtdt

dove abbiamo e¤ettuato il cambio di variabili y = xt e introdotto :=

b ¹ a ¹. Nel caso in cui na = 2, nb = 1, integrando per parti Z 1

0

te ^xtdt = e ^x x

1 x

Z 1 0

e ^xtdt = e ^x x

e ^x

( x)² + 1 ( x)² da cui la densità in x > 0 vale

x²e ^xb a²b

e ^x x

e ^x

( x)² + 1

( x)² = e ^xb + e ^xa a²b ²

xe ^xa

a²b = be ^xb + e ^xa (a + b)²

xe ^xa a(a + b) Esercizio 2.

1. La funzione x 7! f ( ; x) è non negativa, misurabile e vale Z

f ( ; x) dx = Z ₁

0

p1

2 exp (log x )² 2

! 1 xdx

= Z ₁

0

p1

2 exp (log x )² 2

!

D log xdx

= Z ₁

1

p1

2 exp (y )² 2

!

dy = 1

perché ^p1₂ exp ^(y₂ ⁾² è la densità N ( ; 1). In…ne

E [log X] = Z

log xf ( ; x) dx = Z ₁

0

y 1

p2 exp (y )² 2

!

dy = E [Y ] =

dove Y N ( ; 1).

2. Detto q il quantile cercato, esso è de…nito dall’identità (usiamo il fatto che sia una v.a. continua; inoltre, dev’essere q > 0 perché P (X 0) = 0)

0:5 = P (X q) = Z q

0

p1

2 exp (log x )² 2

! 1 xdx Z log q

1

y 1

p2 exp (y )² 2

! dy:

Si può proseguire questo conto, oppure seguire il suggerimento dell’esercizio

(che servirà anche in seguito). Vale, per ogni continua e limitata, E [ (Y )] = E [ (log X)] =

Z

(log x) f ( ; x) dx

= Z ₁

0

(log x) 1

p2 exp (log x )² 2

!

D log xdx

= Z ₁

1

(y) 1

p2 exp (y )² 2

! dy

da cui segue che Y ha legge N ( ; 1). Pertanto

0:5 = P (X q) = P (log X log q)

= P (Y log q ) = (log q )

da cui log q = 0, ovvero q = exp .

3. Il modello statistico standard è = Rⁿ, F = B (Rⁿ), P avente densità L ( ; x₁; :::; x_n) rispetto alla misura di Lebesgue, con 2 := R, dove la verosimiglianza L ( ; x1; :::; x_n) è

L ( ; x₁; :::; x_n) = 1

(2 )ⁿ⁼² exp

Pn

i=1(log x_i )² 2

! 1

Yn i=1

x_i

1_fx1>0;:::;xn>0g

Questa è, …ssati x1; :::; x_n in cui non è nulla, una funzione strettamente con- cava di , quindi ha un unico punto di massimo caratterizzato dalle equazioni di MV

@

@ Xn

i=1

(log xi )² = 0 che producono

b = Pn

i=1log Xi

n

dove X1; :::; Xnindica il campione statistico canonico. Espandendo il quadra- to (log x )² si vede che il modello è esponenziale, quindi consistente. E’

corretto perché

E hbi

= E [log X1] = E [Y ] = essendo Y , per quanto visto sopra, una N ( ; 1).

Esercizio 3.

1.

Pm=10:2; =9:75(D > 30) = P^{m=0; =1} Z > 30 10:2 9:75

= 1 30 10:2

9:75 = 1 (2:03) = 0:021

0:95 = Pm=10:2; =9:75

(D t ) = P^{m=0; =1} Z t 10:2

9:75 = t 10:2

9:75 t 10:2

9:75 = q_0:95 = 1:64; t = 10:2 + 9:75 1:64 = 26:19 2.

= q_0:95

pn = 9:75 1:64

p20 = 3:575 da cui

Pm=10:2+3:575; =9:75(D > 30) = 1 30 10:2 3:575

9:75 = 1 (1:664) = 0:048:

3. La stima puntuale di è ¹_x = _10:2¹ = 0:098, quindi P ^=0:098(D > 30) = e ^t

t=30 = e ^{0:098 30}= 0:0528 0:95 = P ^=0:098(D t ) = 1 e ^0:098t

e ^0:098t = 0:05; 0:098t = log 0:05 = 2:995 t = 2:995

0:098 = 30:561:

4. Il modello statistico standard, con campione statistico canonico X1; :::; X₂₀, è = f0; 1g²⁰, F = P ( ), P avente densità discreta L ( ; k¹; :::; k₂₀), con

2 := [0; 1], data da

L ( ; k₁; :::; k₂₀) = Y20 i=1

ki(1 )^{1 ki} = ^P20i=1ki(1 )^{n P20i=1ki}; (k₁; :::; k₂₀)2

(usiamo la convenzione 0⁰ = 1 per includere i casi = 0; 1). In base al teorema sul rapporto di verosimiglianza crescente, prendiamo come regione critica

C_m :=

(

! 2 : X20

i=1

X_i(!) m )

dove m dev’essere il più piccolo intero tale che P (C_m) .

La regione è ottimale per gli tali che, in questo calcolo, si ottiene l’uguaglian- za. SiccomeP20

i=1X_i B (20; ), la condizione è X20

k=m

20 k

k(1 )^{20 k}

che però non permette il calcolo esplicito di m. Il valore-p è dato da

P ⁼¹⁼² X20

i=1

X_i 13

!

= X20 k=13

20

k 0:5^k0:5^{20 k}

= 0:5²⁰ X20 k=13

20

k = 0:131: