Prof. Massimiliano de Magistris

(1)

Elettrotecnica

Introduzione ai circuiti

Prof. Massimiliano de Magistris

massimiliano.demagistris@uniparthenope.it

Topologia dei circuiti e formulazione LK Università di Napoli PARTHENOPE

Dipartimento di Ingegneria

(2)

Questa lezione è dedicata alle proprietà che nascono nei circuiti per le sole leggi di Kirchhoff, che chiamiamo

topologiche in quanto dipendono esclusivamente da come i bipoli sono collegati fra loro nei nodi, e non dalla loro natura.

Introdurremo a tal fine gli elementi di base della teoria dei

grafi, che si riveleranno fondamentali nell’affrontare questioni quali l’individuazione di insiemi di equazioni indipendenti.

Definiremo poi le cosiddette matrici topologiche, che consentono di descrivere in forma algebrica le stesse

informazioni contenute nei grafi, permettendone così un più diretto utilizzo nella formulazione del modello matematico.

Infine descriveremo due importanti tecniche di analisi circuitale, dette dei potenziali di nodo e delle correnti di

maglia, molto legate alle proprietà topologiche già evidenziate.

Topologia dei circuiti e formulazione LK

2

(3)

Unità 1: introduzione ai grafi e legame con le LK, equazioni di Kirchhoff indipendenti;

Unità 2: matrici topologiche e LK in forma compatta;

Unità 3: formulazione delle equazioni circuitali con i metodi dei potenziali di nodo e delle correnti di maglia.

Topologia dei circuiti e formulazione LK

3

(4)

Unità 1:

introduzione ai grafi e legame con le LK;

equazioni di Kirchhoff indipendenti

Topologia dei circuiti e formulazione LK

4

(5)

Esempio di circuiti differenti ma con le stesse interconnessioni

I circuiti (a) e (b) in figura hanno la stessa struttura di

interconnessione, pur essendo differenti per la natura dei

componenti. È facile rendersi conto che hanno le stesse leggi di Kirchhoff.

2 3 5 6 1 2 5 4

0; 0

C i i i i v v v v

¢ ® - +¢ ¢ - +¢ ¢ = - ¢ + ¢ - ¢ - ¢ =

¢¢ ® - +¢¢ ¢¢ - +¢¢ ¢¢ = - ¢¢ + ¢¢ - ¢¢ - ¢¢ =

e

i’’4

e r (a)

+ -

r (b)

q w

i’1

i’2

i’3

i’4

i’5 i’6 i’’1

i’’2

i’’3 i’’5 i’’6

C’ C’’

q w

Ad esempio scelti il nodo 2 e la maglia 1-2-5-4, con la convenzione utilizzatore, si ha:

Dunque le equazioni di Kirchhoff dipendono solo dal numero di nodi, da quello dei bipoli e da come sono interconnessi tra loro!

circuiti topologicamente equivalenti

5

(6)

Generico circuito di bipoli ed il suo corrispondente “grafo” orientato

Tutte le informazioni necessarie alle leggi di Kirchhoff, ivi

compresi i versi di riferimento, sono rappresentabili attraverso un grafo orientato, una volta scelta una convenzione.

1

2

3 4

5 6

q w

r e

2

4

1 3 5 6

e r

q w

Esso in sostanza rappresenta, attraverso lati orientati, la

maniera di come i nodi sono o meno collegati tramite i bipoli.

L’informazione contenuta nel grafo è di natura topologica, nel senso che deformando la sua figura senza lacerarla la

semantica rimane la stessa!

Una volta capita la relazione tra circuito, grafo orientato e leggi di Kirchhoff, possiamo sfruttare la teoria dei grafi per studiare alcune proprietà generali dei circuiti.

circuiti e grafi

6

(7)

Diamo ora alcune importanti definizioni:

1. grafo G(N,L): insieme di N nodi {n_k} ed L lati {l_k} associati da una relazione di incidenza (quali nodi sono collegati da quali lati);

2. grafo connesso: se da ogni nodo esiste sempre almeno un percorso per raggiungere qualsiasi altro nodo;

3. sottografo: sottoinsieme del grafo, in termini di nodi e lati che conserva la relazione di incidenza originaria;

4. maglia (o ciclo): sottografo che determina un percorso chiuso, per il quale però in ogni nodo incidono due e soltanto due lati;

5. albero: sottografo connesso che collega tutti i nodi senza realizzare alcuna maglia;

6. coalbero: complemento all’albero rispetto al grafo;

7. taglio: insieme di lati che, quando rimosso completamente,

determina la disconnessione del grafo, mentre il ripristino di anche uno solo di essi rende nuovamente connesso il grafo.

Elementi di teoria dei grafi

7

(8)

Un esempio di grafo (a) ed alcuni sottografi fondamentali: (b) maglia, (c) albero, (d) taglio

In figura troviamo un

esempio di grafo orientato (a), con alcuni sottografi fondamentali:

(b) un esempio di maglia.

(c) un albero ed il relativo coalbero in tratteggio; si osservi che, essendo n=4 i nodi ed l=6 i lati, quelli

dell’albero sono n-1(=3) e del coalbero l-(n-1)(=3).

(d) un insieme di taglio, che separa l’insieme dei nodi nei due sottoinsiemi disgiunti

{1,4} e {2,3}.

w

r e

q w

r e

(c)

(b)

(d)

q w

r e

(a)

q w

r e

Grafo G

Albero A

Maglia M

Taglio T q

Esempi sui grafi

8

(9)

È interessante mostrare che per gli insiemi di taglio vale la

legge di Kirchhoff per le correnti, analogamente a quanto visto per i nodi. Consideriamo l’esempio in figura: la rimozione di

tutti i lati del taglio determina la partizione dell’insieme degli N dei nodi in due sottoinsiemi, N₊ ed N_-. Associamo al taglio il verso che va dall’insieme N₊ ad N_-, e scriviamo le LKC ai nodi di N₊:

Un esempio di taglio, orientato da N₊ a N_-

2 3 5 6

4 5 6

2 3 4

nodo 2 0

nodo 3 0

0

taglio

i i i i

i i i i i i T

- - - - =

®

® + + =

- - + =

®

q w

r e

1

T

2

3 4

5 6

N_- N₊

Come si vede, sommando le LKC ai nodi di uno dei sottoinsiemi (N₊)

individuati dal taglio otteniamo la LKC al taglio. Ciò è generale!

Legge di Kirchhoff ai tagli

9

(10)

Per un grafo connessi con n il nodi ed l lati, si ha:

1) i lati dell’albero sono sempre n-1, e quindi quelli del

coalbero l-(n-1) (basta provare a collegare in modo qualsiasi tutti i nodi senza però chiudere maglie)

2) fissato un albero, ogni lato di coalbero, aggiunto ad esso forma sicuramente una maglia, detta anche “fondamentale”;

infatti i nodi su cui incide il lato di coalbero sono già collegati tra loro attraverso un percorso sull’albero

3) fissato un albero, ogni lato di esso, assieme ad alcuni lati di coalbero opportuni definisce un taglio detto anche

“fondamentale”; infatti ogni lato di albero, se rimosso,

rendendo non connesso il grafo individua due insiemi di nodi disgiunti, che risultano collegati dal lato dell’albero considerato assieme ad alcuni del coalbero

Proprietà dei grafi, maglie e tagli fondamentali

10

(11)

Abbiamo già evidenziato come le LK, se scritte per tutti i nodi o per tutte le maglie, portano inevitabilmente ad insiemi di

equazioni tra loro dipendenti.

Le maglie fondamentali, avendo per definizione ciascuna un lato di coalbero in esclusiva, corrispondono a LKT sicuramente indipendenti (per la presenza nella corrispondente equazione della tensione, in esclusiva, del lato di coalbero). Pertanto:

“è sempre possibile individuare un insieme di l-(n-1) equazioni di Kirchhoff indipendenti per le tensioni considerando le maglie fondamentali”

Si può altresì far vedere che le equazioni di altre maglie non fondamentali possono ottenersi combinando opportunamente quelle fondamentali. Va comunque sottolineato che esistono anche altri modi di costruire insiemi di LKT indipendenti.

Grafi e leggi di Kirchhoff indipendenti

11

(12)

Ad esempio per grafi planari si possono definire gli anelli (maglie che non contengono al loro interno lati che non

appartengano alla stessa). Essi risultano in numero di l-(n-1).

Le LKT scritte per gli anelli risultano indipendenti.

Anche i tagli fondamentali, che hanno per definizione ciascuno un lato (dell’albero) in esclusiva, corrispondono a LKC

indipendenti (per la presenza nella corrispondente equazione della corrente, in esclusiva, del lato di albero). Pertanto:

“è sempre possibile individuare un insieme di n-1 equazioni di Kirchhoff indipendenti per le tensioni considerando i tagli

fondamentali”

Si può altresì far vedere che le equazioni di altri tagli non fondamentali, o anche quelle per i nodi, possono ottenersi combinando opportunamente quelli fondamentali.

Grafi e leggi di Kirchhoff indipendenti/2

12

(13)

Unità 2:

matrici topologiche e LK in forma compatta

Topologia dei circuiti e formulazione LK

13

(14)

Quanto visto riguardo le proprietà topologiche dei circuiti, che nascono dalle leggi di Kirchhoff, può essere descritto, in modo equivalente, da altri strumenti matematici come le matrici.

È possibile infatti descrivere la relazione di incidenza di un

grafo grafo orientato G costituito da n nodi ed l lati, mediante una matrice A_a (detta d’incidenza dei nodi) con n righe ed l

colonne, per la quale l’elemento a_ij è così definito:

1 se il lato esce dal nodo ;

1,2, ...,

1 se il lato entra nel nodo ;

=1,2, ..., 0 se il lato non incide nel nodo .

ij

j i

i n

a j i

j l

j i

ì+ ï =

= -í ïî

È evidente come la matrice così costruita sia in relazione biunivoca con il grafo orientato del circuito.

Matrici topologiche e forma compatta LK

14

(15)

Osserviamo che, considerato il vettore di correnti i=(i₁,i₂,….i_l)^T, la matrice di incidenza A_a consente di scrivere in modo

compatto le LKC a tutti i nodi del circuito come: A_ai=0. Ad esempio, considerata la prima riga di A_a, si ha:

Circuito di bipoli (a), corrispondente grafo orientato (b), matrice d’incidenza

e r q

w

1 3

4 5 2

e r

(a)

q

w

2

4

3 5

1

(b)

1 1 0 0 1 nodo 1

1 0 0 1 0 nodo 2

0 0 1 1 1 nodo 3

0 1 1 0 0 nodo 4

a

- ¬

æ ö

ç- ÷ ¬

ç ÷

= ç - - ÷ ¬

ç - ÷ ¬

è ø

A

(

1 1 0 0 -1

)(

i i i i i1, , , ,2 3 4 5

)

^T = 0 = i1 + i2 - i5 = 0 ® LKC nodo 1 È piuttosto evidente che la matrice A_a non ha rango pieno; le righe sono tra loro dipendenti (la loro somma è sempre nulla), a causa della presenza di solo un +1 e -1 in ogni colonna!

Matrice d’incidenza dei nodi/1

15

(16)

Definiamo la matrice d’incidenza ridotta A di dimensione (n-1) x l, rimuovendo una qualsiasi riga da A_a. È possibile mostrare che essa risulta a rango pieno.

Proprietà della matrice A è che scelte in essa n-1 colonne indipendenti (sempre presenti a causa del suo rango), i lati corrispondenti costituiscono sempre un albero, e viceversa.

Usando la matrice ridotta A, e a causa del suo rango pieno, riusciamo a scrivere n-1 equazioni di Kirchhoff alle correnti indipendenti per i nodi nella forma compatta: Ai=0.

Esiste uno stretto legame tra il rango di A ed il numero di

equazioni indipendenti per le correnti in un circuito. È possibile dimostrare, tra l’altro, che n-1 nodi possono essere visti come particolari insiemi di taglio fondamentali, con un’opportuna e ben precisa scelta dell’albero (a “stella”).

Matrice d’incidenza dei nodi/2

16

(17)

Parallelamente a quella d’incidenza, è possibile introdurre la matrice delle maglie. Infatti le maglie orientate di un grafo possono essere descritte attraverso una relazione analoga a quella di incidenza, che associa a ciascuna maglia i lati che la compongono. La matrice delle maglie B_a è dunque così

definita:

1 se il lato maglia e concorde;

1,2, ...,

1 se il lato maglia e discorde;

=1,2, ..., 0 se il lato maglia .

ij

j i

i m

b j i

j l

j i

+ Î

ì =

= -ïí Î

ï Ï

î

Anche la matrice delle maglie risulta in relazione biunivoca con il grafo orientato del circuito.

Va osservato però che, diversamente dalla matrice d’incidenza, il numero di righe (di maglie) non è noto a-priori e non è

direttamente correlato ad n ed l.

Matrice delle maglie/1

17

(18)

Anche qui, considerato il vettore delle tensioni v=(v₁,v₂,….v_l)^T, la matrice di maglia B_a consente di scrivere in modo compatto le LKT a tutte le maglie del circuito come B_av=0. Ad esempio, considerata la prima riga di B_a, si ha:

Un grafo orientato e tutte le sue maglie

1 2 3 4 5 6

1 0 1 1 0 0

0 1 1 0 1 0

1 1 0 1 1 0

0 0 0 0 1 1

0 1 1 0 0 1

1 1 0 1 0 1

a

M M M M M M

- - - ¬

æ ö

ç ÷ ¬

ç ÷

ç- - ÷ ¬

= çç - - ÷ ¬÷

ç - ÷ ¬

ç ÷

- - - ¬

è ø

B

( )(

1 2 3 4 5 6

)

1 3 4 1

1 0 1 1 0 0 0

0 LKT ( )

v v v v v v T

v v v M

- - - =

¯

- - - = ®

e r q

w

1 3

4

5 2

6

M₂

M₃

M6

M₅ M₁

M₄

Matrice delle maglie/2

18

(19)

Anche la matrice di maglia B_a completa non ha rango pieno, e corrispondentemente le LKT corrispondenti non sono tutte

indipendenti. Per trovare le maglie indipendenti, e la corrispondente matrice ridotta B a rango pieno, basta

considerare un albero e le corrispondenti maglie fondamentali.

e r q

w

1 3

4

5 2

6

M1

M2

M4

Un grafo orientato, un suo albero e le corrispondenti maglie fondamentali

1 1 3 4

2 2 3 5

4 5 6

0 0 0

M v v v

M v v

® - - - =

® + + =

® - - =

1 2 4

1 0 1 1 0 0

0 1 1 0 1 0

0 0 0 0 1 1

M M M

- - - ¬

æ ö

ç ÷

= ç ÷ ¬

ç - - ÷¬

è ø

B

È immediato verificare, per ispezione diretta, che il rango di B è pieno, r=l-(n-1)=3. Corrispondentemente le LKT sono

indipendenti.

Matrice delle maglie/3

19

(20)

Attraverso le matrici di incidenza e di maglia ridotte è dunque possibile scrivere le equazioni circuitali in forma compatta :

0 1 eq. (LKC)

0 ( 1) eq. (LCT)

( , ) 0, 1.. , eq. (caratteristiche)

k k k

n

l n

f v i k l l

= ® -

ìï = ® - -

íï = = ®

î Ai Bv

Le equazioni indipendenti corrispondenti alle LK sono sempre lineari ed omogenee, e prendono il nome di equazioni di

interconnessione. Le matrici A e B “ridotte” non sono

univocamente determinate (dipendono da come riduciamo A_a e B_a); ciò nonostante definiscono, per il circuito, un unico

sottospazio lineare detto di Kirchhoff.

In base alla natura della caratteristiche dei componenti si potranno avere diverse proprietà matematiche del modello!

Forma canonica “compatta”

20

(21)

Unità 3:

formulazione delle equazioni circuitali con i metodi dei potenziali di nodo e delle correnti di maglia

Topologia dei circuiti e formulazione LK

21

(22)

Le equazioni di interconnessione di un circuito possono essere riformulate attraverso l’introduzione dei potenziali di nodo e delle correnti di maglia.

Il metodo dei potenziali di nodo si basa sull’esprimere le tensioni di ciascun lato attraverso le omonime grandezze

ausiliarie, in maniera tale da imporre che la legge di Kirchhoff per le tensioni sia verificata automaticamente per ogni maglia del circuito.

Dualmente, il metodo delle correnti di maglia si basa

sull’esprimere le intensità di corrente di ciascun lato attraverso le omonime grandezze ausiliarie in maniera tale da imporre che la legge di Kirchhoff per le correnti sia verificata

automaticamente per ogni nodo del circuito.

Formulazioni alternative equazioni circuitali

22

(23)

Il metodo dei potenziali di nodo si basa sulla definizione: presi due nodi i e j ed un lato k tra

essi, orientato da i a j, fissata la convenzione dell’utilizzatore, ai nodi si associano i potenziali u_i e u_j in modo che, il legame con la tensione del lato k sia: v_k= u_i-u_j.

Potenziali di nodo e tensione per un lato k; un grafo orientato ed una sua maglia generica.

Considerata una maglia qualsiasi (es. M₅), l’applicazione della LKT esprimendo le tensioni in termini dei potenziali porta ad

una identità:

( )

2 3 6

1 4 3 1 3 4

LKT 0

v v v

u u u u u u

® - + - - - =

!"#"$ !"#"$ !"#"$

e r q

w

1 3

4

5 2

6

i

j

k v_k

+

-

u_i

u_j

In generale ogni LKT nel circuito è identicamente verificata se si utilizzano i potenziali dei nodi come prima definiti

Potenziali di nodo/1

23

(24)

La definizione data dei potenziali di nodo ha come conseguenza che essi risultano noti a meno di una costante: difatti se

sommiamo o sottraiamo lo stesso valore a tutti i potenziali del circuito e ne ricaviamo le tensioni, esse risultano invariate!

Fissato il valore del potenziale di uno qualsiasi dei nodi del

circuito, è possibile determinare tutti gli altri in modo univoco, note le tensioni. Basta infatti a tal fine considerare l’albero e le tensioni dei suoi lati, partendo dal nodo di riferimento. Ad es.:

e r q

w

1 3

4

5 2

6 u₁=0

u₂ u₃

u₄

Un grafo orientato ed un suo albero

1

2 1 1 1

3 2 4 1 4

4 3 5 1 4 5

0 u

u u v v

u u v v v

u u v v v v

=

= + =

= + = +

= - = + -

Potenziali di nodo/2

24

(25)

Per il grafo in figura scriviamo ora i legami tra tutte le tensioni

ed i potenziali di nodo !

!

1 1 2 1

2 1 4 2 1

3 3 1 3 2

4 3

4 2 3

5 4

5 4 3

6 3 4 6

1 1 0 0

1 0 0 1

1 0 1 0

0 1 1 0

0 0 1 0

0 0 1 1

Ta

v u u v a

v u u v u

v u

v u u

v u

v u u

v u u v

= - æ ö æ - ö

ç ÷ ç ÷

= - ç ÷ ç - æ÷ ç ÷ö

== -- « çççç ÷ ç÷ ç÷ ç÷ ç= - -- ÷÷ ç ÷÷ ç ÷÷ç ÷

= - ç ÷ ç ÷è ø

= - è ø è - ø

v A

u

"###$###%

e r q

w

1 3

4

5 2

6

È possibile riconoscere nella matrice trovata la trasposta della matrice d’incidenza A_a. Sinteticamente: v= A_a^Tu_a. Considerato il vettore dei potenziali di nodo ridotto u (eliminando il nodo assunto come riferimento), si ha: v= A^Tu. Tale legame risulta biunivoco essendo la matrice A a rango pieno.

Un esempio di grafo orientato

Potenziali di nodo/3

25

(26)

Per quanto visto, tramite i potenziali di nodo le equazioni di Kirchhoff per un circuito risultano riformulate come:

0 0

0 ^T

ì = ì =

í = Û í =

î î

Ai Ai

Bv v A u

Essa prende il nome di prima forma

Tableau, e dipende dalla sola matrice A.

Per contro le incognite risultano

aumentate a 2l+(n-1) in virtù della presenza dei potenziali.

Vediamo subito con un esempio però che tale aggravio è in

realtà solo apparente. Basta infatti scrivere le LKC esprimendo le correnti in funzione dei potenziali, attraverso le

caratteristiche, per ottenere direttamente un sistema di n-1 equazioni in altrettante incognite (i potenziali di nodo)! Solo successivamente, risolto questo, possono facilmente essere ricavate tutte le tensioni e tutte le correnti del circuito.

Potenziali di nodo/4

26

(27)

1 2

1 4

2 5

1 2 1 4

3

1 2

2 3

2 1

1 4

4 3 4 1

6

5 2

(1)

( 0)

(2) 0

( 0)

(4)

i i

u u u u

R R J

u u

R R

u u u u

R R J

-

- -

® + = -

- =

® - + =

- = -

® + =

!"#"$ !"#"$

!"#"$ !""#""$

!"#"$

!""#""$

e r q

w

R₁

R₅ R₂

R₄

J₆ J₃

Un esempio di circuito con 4 nodi e 6 bipoli

Otteniamo dunque un sistema n-1(=3) equazioni in altrettante incognite. Si noti che le correnti impresse dai generatori ideali rappresentano in questo caso i termini noti del sistema.

Risolvendo il sistema si ricavano i potenziali, e da essi all’occorrenza tutte le tensioni e le correnti del circuito.

Scegliamo di porre u₃=0.

Potenziali di nodo: un esempio

27

(28)

1 2

1 4

5 2

3 2 3 4

1 2

2 3 2 3

1 4

4 3 4 3

6

5 2

(1) 0

( 0)

(2) 0

( 0)

(4)

E

i i

E u E u

R R i

u E u u

R R

u u u E

R R J

-

- -

® + + =

- - =

® + =

- = -

® + =

!"#"$ !"#"$

!"#"$ !""#""$

!"#"$

!""#""$

Una variazione dell’esempio precedente

In questo caso la corrente i_E del generatore di tensione, non potendosi esprimere in funzione dei potenziali, diviene una incognita aggiuntiva. Nello stesso tempo l’equazione E₃=u₁- u₃=u₁àu₁=E₃ si aggiunge al sistema, riportando il numero di incognite pari a quello delle equazioni.

Scegliamo di porre u₃=0.

e r q

w

R1

R5

R₂

R4

J₆ E₃

+ -

i_E

v_J +

-

Potenziali di nodo modificato: un esempio

28

(29)

Il metodo delle correnti di maglia si

basa sulla definizione di correnti fittizie alle maglie, legate a quelle reali nei lati dalla relazione:

Il circuito già considerato in precedenza, la scelta di tre maglie con le relative correnti di maglia

Considerato un nodo qualsiasi (es. 3), l’applicazione della LKC esprimendo le correnti in termini di quelle di maglia porta ad

una identità:

( )

_!

( ) (

_!

)

4 6

3 5

2 1 1 2 3 3

LKC (3) 0

i i

k k k k k k

® - - - + - =

"#$#% "#$#%

In generale ogni LKC nel circuito è identicamente verificata se si utilizzano le correnti di maglia come appena definite!

e r q

w

1 3

4

5 2

k₁ 6

k₂

k₃

k n

n

i =

å

±k

per ogni lato k la somma è estesa alle maglie cui esso appartiene, ed i segni dipendono dalla concordanza tra il

verso del lato e quello della n-ma corrente di maglia.

Correnti di maglia/1

29

(30)

Per il grafo della figura precedente scriviamo ora i legami tra tutte le correnti e le correnti di maglia:

1 1; 2 2; 3 1 2; 4 1; 5 2 3; 6 3

i = -k i = k i = k - k i = -k i = k - k i = k

Se si scelgono come correnti di maglia quelle associate alle maglie fondamentali, e si fissano i versi di percorrenza

concordi con quelli dei lati di co-albero, non è difficile mostrare che il legame tra correnti dei lati e di maglia è esprimibile nella forma: i= B^Tk, dove B è la matrice di maglia fondamentale

associata all’albero e k è il vettore delle corrispondenti correnti di maglia. In definitiva, le equazioni di Kirchhoff per un circuito risultano riformulate nella seconda forma Tableau:

0 0

0 ^T

ì = ì =

í Û í

= =

î î

Ai Bv

Bv i Β k

Le incognite risultano aumentate a 2l+[l-(n-1)] in virtù della presenza delle correnti di maglia.

Correnti di maglia/2

30

(31)

! !

!

( )

1 4

1 5

5

1 1 1 1 4 3

2 2 2 2 5 3

3 2 5 0

v v

J v

M k R k R E

M k R k J R E

M J k R v

-

® + = -

® + + =

® - - + =

"#$#%

"##$##%

Esempio precedente

Per l’esempio precedente, avremo le equazioni indicate. La tensione v_J del generatore di corrente, non potendosi

esprimere in funzione delle correnti di maglia, diviene una

incognita aggiuntiva. Nello stesso tempo l’equazione k₃=-J si aggiunge al sistema.

e r q

w

R₁

R₅ R₂

R₄

J₆ E₃

+ -

i_E

v_J +

-

Anche qui l’aggravio è solo apparente. Basta infatti scrivere le LKT, esprimendo le tensioni in funzione delle correnti di

maglia, per ottenere direttamente un sistema di l-(n-1) equazioni in altrettante incognite (le correnti di maglia)!

Correnti di maglia: un esempio

31

(32)

Nella soluzione manuale dei circuiti i due metodi

sostanzialmente si equivalgono. Se è possibile considerare le sole incognite ausiliarie, si potrà propendere per l’uno o l’altro a seconda di quale dei due, nel circuito in esame, porti al

minor numero di incognite dirette (n-1>=<l-(n-1)?)

Invece nella formulazione automatica delle equazioni bisogna osservare che quello dei potenziali nodali, essendo basato

sulla sola matrice ridotta A, non necessita di determinare le maglie indipendenti, e dunque un albero, cosa che invece accade nel caso delle correnti di maglia.

Ciò è il motivo per cui i principali simulatori circuitali sono tutti basati sulla formulazione con i potenziali di nodo!

Poteziali di nodo vs. correnti di maglia

32

(33)

Come esercizi sugli argomenti di questa lezione si suggeriscono gli ex. 1-6,8 a pag. 154 e segg. del testo di riferimento, dove vengono riportati i risultati.

I relativi svolgimenti completi sono disponibili alla pagina:

http://www.elettrotecnica.unina.it/files/demagistris/libro.html

Esercizi proposti

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