Prof. Massimiliano de Magistris

(1)

Elettrotecnica

Introduzione ai circuiti

Prof. Massimiliano de Magistris

massimiliano.demagistris@uniparthenope.it

Energia elettrica e circuiti di potenza Università di Napoli PARTHENOPE

Dipartimento di Ingegneria

(2)

Energia elettrica e circuiti di potenza

In questa lezione studieremo le tecniche legate ai circuiti per il trasporto la distribuzione dell’energia elettrica.

Definiti i valori efficaci e trovate le corrispondenti espressioni per le potenze in regime sinusoidale, affronteremo il problema dell’efficienza della trasmissione, sia in termini di onere di

realizzazione che di gestione.

A tal fine introdurremo la tecnica del rifasamento, che

minimizza la potenza reattiva, ed il trasporto in alta tensione dell’energia, basato sull’uso intelligente dei trasformatori.

Infine analizzeremo la struttura e le tecniche di analisi delle reti trifase, che con i loro intrinseci vantaggi strutturali

rappresentano lo standard di riferimento nel trasporto e distribuzione dell’energia elettrica.

2

(3)

Unità 1: circuiti per la trasmissione dell’energia elettrica, potenza e valori efficaci, parametri nominali e dati di

targa, strumenti di misura per il regime sinusoidale.

Unità 2: Linee di trasporto, schemi equivalenti e

dimensionamento; efficienza energetica e rifasamento;

trasporto in alta tensione dell’energia elettrica Unità 3: reti trifase simmetriche ed equilibrate,

equivalente monofase, espressione della potenza; trifase non equilibrati, formula di Millman; misura della potenza ed inserzione di Aron.

3

Energia elettrica e circuiti di potenza

(4)

Unità 1

Circuiti per la trasmissione dell’energia elettrica, potenza e valori efficaci, parametri nominali e dati

di targa

Strumenti di misura per il regime sinusoidale

4

Energia elettrica e circuiti di potenza

(5)

Il modello circuitale è di fondamentale importanza nello studio dei sistemi elettrici di potenza, ed in particolare dei sistemi per la distribuzione dell’energia elettrica.

Essa si realizza in massima parte in regime sinusoidale,

generalmente ad una frequenza di 50 Hz nei paesi europei (60 Hz nel continente americano).

L’utilizzo del regime sinusoidale, a frequenze relativamente

basse, è dettato dall’esigenza di poter disporre di trasformatori efficienti e di semplice realizzazione tecnologica.

La struttura dei circuiti progettati a tale scopo è principalmente orientata all’efficienza energetica ed economica della

infrastruttura. Ciò è all’origine delle metodologie e delle tecniche che andremo ad introdurre.

5

Energia elettrica e circuiti di potenza

(6)

Valori efficaci, potenze, dati di “targa”/1

Nel contesto dei sistemi di potenza in regime sinusoidale è d’uso riferirsi al valore efficace (valore quadratico medio, o valore rms) delle grandezze (periodiche di periodo T):

( )

2 0

1 ( ) ; ( ) cos

2

T

eff m eff m

X x t dt x t X t X X

T

ò

= w + a ® =

!

La corrispondenza con i fasori è in tal caso definita da:

( )

^cos

( )

2

j j

m m eff

x t = X wt + a « X = X e ^a = X e ^a

Il vantaggio di tale scelta è la semplificazione delle espressioni delle potenze:

ˆ ; _{eff eff} cos ; _{eff eff} sin .

P ! V I× ^* = P + jQ P V I= f Q V I= f 6

(7)

Valori efficaci, potenze, dati di “targa”/1

La denominazione “valore efficace” si comprende meglio

considerando il caso di un resistore, per cui la potenza media assorbita, espressa attraverso i valori efficaci ha la stessa

espressione di quella del regime stazionario:

= = =

( )

1

2 2 2

2

a

R m eff eff

P RI RI V R

7

R

Z

_R

+

-

V _ I _

+

-

V I

= =

( )a 2 2

P

R

RI V R

(8)

Valori efficaci, potenze, dati di “targa”/2

Le caratteristiche di un bipolo in regime sinusoidale possono essere specificate attraverso le seguenti grandezze:

-il valore efficace V_eff della tensione nominale di funzionamento;

-la potenza media nominale P assorbita dal bipolo;

-il fattore di potenza cosf;

-il segno della potenza reattiva Q assorbita.

La loro conoscenza consente di ricavare agevolmente tutte le altre e caratterizza in modo univoco l’impedenza del bipolo.

Per le utenze in bassa tensione i valori nominali delle tensioni in Europa sono di 230/400 V (utenze domestiche/industriali), e sono dettati da esigenze di sicurezza elettrica.

8

(9)

Strumenti di misura in regime sinusoidale/1

Nei circuiti di potenza è frequente l’esigenza di misurare le

grandezze, in corrispondenza di assegnate sezioni del circuito.

Dal punto di vista circuitale è dunque necessario introdurre, per il regime sinusoidale, le definizioni di voltmetro ideale, amperometro ideale e wattmetro ideale.

Solitamente il voltmetro e l’amperometro sono definiti in relazione ai valori efficaci, il wattmetro alla potenza media.

Simboli del voltmetro, amperometro e wattmetro ideali con i relativi schemi di inserzione

9 V

+

-

V

A W

+ +

B B B

+

-

_

_I

V_ _I

+ +

(10)

Strumenti di misura in regime sinusoidale/2

Il voltmetro ideale è un bipolo che collegato in parallelo ad un qualsiasi altro bipolo è in grado di rilevarne il valore

efficace della tensione senza influire sul funzionamento del circuito (dunque dovrà comportarsi come un circuito aperto).

Analogamente l’amperometro ideale è un bipolo che collegato in serie ad un qualsiasi bipolo è in grado di

rilevarne il valore efficace della corrente senza influire sul funzionamento del circuito (e cioè dovrà comportarsi come un corto circuito)

Il discorso per il wattmetro è solo lievemente più complesso:

dovendo rilevare una tensione ed una corrente esso sarà un componente con due coppie di terminali, detti voltmetrici ed amperometrici.

10

(11)

Strumenti di misura in regime sinusoidale/3

Va osservato che in questo caso la potenza dipende da, oltre che da lo sfasamento f tra i due fasori di tensione e corrente; pertanto è necessario distinguere i versi delle grandezze, e dunque i terminali del wattmetro vanno contrassegnati, come visto nella figura precedente!

11 Esso misurerà la potenza media, ovvero:

cos .

eff eff

P = I V f

(12)

Unità 2

Linee di trasporto, schemi equivalenti e dimensionamento

Efficienza energetica e rifasamento

Trasporto in alta tensione dell’energia elettrica

12

Energia elettrica e circuiti di potenza

(13)

Trasporto dell’energia e dimensionamento

Uno schema di trasporto dell’energia è in figura: per distanze non piccole è necessario considerare esplicitamente gli effetti della linea. Essi in prima approssimazione coincidono con quelli dovuti alla resistività dei conduttori, rappresentati dalla

resistenza R_l della linea. Fissati i parametri di targa dell’utilizzatore V_u, P_u e cosf_u si ha:

Linea per la trasmissione dell’energia elettrica e circuito equivalente

; 2; se ; .

cosû ^l ^l ^l û ^l û û

u u

I P P R I R R P P V E

V f

= = ! Þ ! »

13 R_l

Z._u

E ⁺

- Z._u

E ⁺ _

-

_ _I

(14)

Rifasamento/1

Per ridurre la potenza persa sulla linea si può minimizzarne la corrente, a parità di tensione dell’utilizzatore. Consideriamo un utilizzatore:

Schema di

rifasamento in parallelo

Senza agire sull’utilizzatore, si può modificare la potenza reattiva complessiva Q’ mettendo in parallelo una pura

reattanza che assorba una potenza reattiva (di rifasamento) Q_r.

2 2

; ^u ; ^u ;

u u u u u

u u

V V

Z R jX P Q

R X

= + = =

!

R_l E ⁺

- Z._u

I_u _

_ R_l

E ⁺

- Z._u

I_l

I_u

_ _

_

Z._r=jX

14

(15)

Rifasamento/2

L’obbiettivo è che Q’=Q_u+Q_r=0, cosf’=0. Più in generale si richiede una condizione meno restrittiva, ponendo cosf’ ³0.9:

tan _r _u, _r ^u2 r

Q P Q Q Q X V

f Q

¢ = ¢ ® = ¢ - =

In questo modo si determina il valore della reattanza X_r da aggiungere in modo da verificare la condizione posta.

È frequente che gli utilizzatori siano di tipo ohmico-induttivo, e di conseguenza il rifasamento si effettua con condensatori in parallelo. In questo caso, dalla formula della reattanza si ha:

2 1

C u

r C

X V C

Q w X

= ® =

Per un esempio svolto si veda es.5.15 a pag. 290 del testo

; 0 cos 1 min

cos^u ^u

L L L

u u

P P

I Q I I

V f V

f ^¢ ^¢

= = ® = ® = =

¢

15

(16)

Dimensionamento di una linea ed efficienza/2

Consideriamo una tipica utenza domestica da 230 V, 3.5 kW P_max. La sua resistenza equivalente a pieno carico è data da:

2 2

max

15

eff eff

eq eq

V V

P R

R P

= ® = @ W

Un cavo di rame per il trasporto dell’energia da 1 cm² ha una resistenza per unità di lunghezza di circa 0.2 W/km.

Per una distanza di 10 km con i due cavi (“andata” e “ritorno”) si ha una resistenza totale di 0.2x10x2 = 4 W.

Il valore di resistenza è comparabile con quello del carico! Ciò ha riflessi sulla tensione nominale al carico e sull’efficienza del trasporto.

Se abbiamo poi N carichi equivalenti in parallelo, la condizione diviene più severa essendo:

_

eq eq N

R R

= N

16

(17)

Trasporto in Alta Tensione ed efficienza

In figura è rappresentato schematicamente un nuovo schema per la trasmissione dell’energia con due trasformatori. Essi, di rapporto di trasformazione l’uno inverso dell’altro hanno

funzioni complementari: il primo eleva la tensione ed abbassa la corrente all’ingresso della linea (rispetto ai valori del

generatore) di un fattore n, il secondo fa l’operazione inversa.

Schema con trasformatori per la trasmissione dell’energia elettrica

17

Z._u n:1

1:n

Z._u n:1

1:n +

-

+

-

+

- V1

_ V_₂

V__u I__u

Il

I__g _ R_l

T1 T2

E

+ - _

E

+ - _

(18)

Trasporto in Alta Tensione ed efficienza/2

Per n>1 il trasformatore T₁ eleva la tensione e quello T₂

l’abbassa. L’interposizione dei due trasformatori produce le relazioni:

2 , 1 , _l ^u , _l.

u g

V I

V V nE I I nI

n n

= = = =

Per quanto riguarda la potenza dissipata sulla linea per il trasporto, nonché la “caduta di tensione” tra generatore e carico abbiamo:

( )

2 2

2

2 2

1 _l 1 ^l .

l l l l u

u u u

u

P R I R I n

V E Z I Z V

n n Z

= =

æ ö

- = = ç ÷

è ø

! !

!

È evidente come per entrambi i parametri ci si avvantaggia del fattore 1/n² (rispetto al caso senza trasformatori) senza

alterare il funzionamento nominale di generatore e carico!

18

(19)

Unità 3

Reti trifase simmetriche ed equilibrate ed

equivalente monofase, espressione della potenza Trifase non equilibrati, formula di Millman

Misura della potenza ed inserzione di Aron.

19

Energia elettrica e circuiti di potenza

(20)

Sistemi trifase: definizioni

La produzione, il trasporto e spesso anche l’utilizzo dell’energia elettrica sono basati sui cosiddetti sistemi trifase. Introduciamo qui i fondamenti di analisi ed i vantaggi tecnici di tale scelta.

Consideriamo un tripolo di generatori (in figura). Le tensioni e₁(t), e₂(t), e₃(t) coincidono con i potenziali dei terminali 1,2,3 se 0 è assunto come riferimento e sono dette stellate. Le

tensioni v_ij sono dette concatenate e valgono le relazioni:

q w

e

G

v₁₂+

p +-

- -

+ v23

v31

+-

e1

+-

e₂

+-

e3

+

- +

- - +

q

w

e v31

v₁₂

v23

G

Circuiti equivalenti di un generatore trifase: a stella (sx), a triangolo (dx)

= -

12 1 2

23 2 3

31 3 1

.

v e e

20

(21)

Generatore trifase simmetrico

Il tripolo considerato prende il nome di generatore sinusoidale trifase simmetrico di tensione se:

( ) ( )

a a p

a p

w a

w a p

-

= + ® =

= + - ® =

1 1

( 2 / 3)

2 2

( 4 / 3)

3 3

cos

cos 2 / 3

cos 4 / 3

j

m eff

j

m eff

j

m eff

e t E t E E e

Fasori di una terna simmetrica

Posto per semplicità a=0, si ha:

2 4 2

3 3 3

1 _eff ; 2 1 ^j ; 3 1 ^j 1 ^j

E = E E = E e^- ^p E = E e^- ^p = E e ^p

1 2 3 0; _eff 3 _eff

E + E + E = V = E

La terna si definisce in questo caso diretta in quanto E₁, E₂, E₃ si

susseguono in verso orario.

E2

_ E_₁ E3

_

V_₁₂

V23

_ V_₃₁

p/6 2/3p

21

(22)

Sistemi trifase simmetrici ed equilibrati/1

Colleghiamo un generatore trifase simmetrico ad un tripolo utilizzatore costituito da una stella di tre impedenze uguali (carico equilibrato).

Sistema trifase

“a quattro fili”

1 2 3

1 2 3 0

3

1 2

1 2 3

, , 0

Z Z Z Z Ze j

I I I I

E E E

I I I

Z Z Z

f ü

= = = =

ï ® + + = =

= = = ýï

þ

! ! ! !

! ! !

q w e

Z2

. Z1

.

Z3

. I1

_

I2

_

I3

_

U

+-

E1

+-

E2

+-

E3

I0

_ _

G

Dunque i tre carichi sono alimentati in modo indipendente, come “monofase”; inoltre il quarto filo risulta superfluo!

22

(23)

Pertanto un sistema trifase simmetrico equilibrato consente

l’alimentazione dei carichi con la metà dei conduttori e la metà delle perdite rispetto ai tre equivalenti monofase!

A livello della distribuzione dell’energia elettrica la condizione di carico equilibrato viene spesso perseguita da un punto di vista statistico, realizzando le tre impedenze ciascuna come parallelo di un numero elevato di singole utenze con le medesime

caratteristiche. In tal caso:

0 0; 1 2 2 0

I ¹ I @ I @ I ! I

e tutte le considerazioni precedenti valgono in modo approssimato

Sistemi trifase simmetrici ed equilibrati/2

23

(24)

È molto istruttivo calcolare la potenza assorbita dal carico in un sistema trifase simmetrico ed equilibrato.

Potenza nei sistemi trifase simmetrici equilibrati

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

1 1 2 2 3 3

cos cos cos 2 3 cos 2 3

cos 2 3 cos 2 3

[cos cos 2 cos cos 2 4 3

2

cos cos 2 4 3 ]

3 cos 3 cos 3 cos

2

a

m m m m

m m

m m

m m eff eff eff eff

p t i t e t i t e t i t e t

E t I t E t I t

E t I t

E I t t

t

E I E I V I

w w f w p w p f

w p w p f

f w f f w p f

f w p f

f f f

= + + =

× + + - × - + +

+ + × + + =

= + + + + - +

+ + + + =

= = =

Infatti il termine fluttuante della potenza risulta una terna

simmetrica, dunque è identicamente nullo. Pertanto la potenza istantanea è costante, e coincide con quella media!

Per un esempio svolto si veda es.5.17 a pag. 300 del testo 24

(25)

È frequente il caso di sistemi trifase a tre fili simmetrici ma non equilibrati. Applicando l’analisi di nodo con 0 come riferimento dei potenziali, si ha:

Sistemi trifase non equilibrati

Sistema trifase “a tre fili”, 0 centro stella dei generatori, 0’ dei carichi

1 0' 2 0' 3 0'

1 2 3 1 2 3

1 2 3

1 1 2 2 3 3

0' 0'0

1 2 3

- - -

, , ; 0

1 1 1

E U E U E U

I I I I I I

Z Z Z

E Z E Z E Z

U V

Z Z Z

= = = + + =

+ +

= =

+ +

! ! !

La formula (di Millmann)

trovata esprime la tensione V_0’0 tra il centro stella dei

carichi e quello dei generatori, che perciò prende il nome di spostamento del centro stella.

Si vedano es. 5.19-520 a pag.

303-306 del testo.

Z.₂ Z.₁

Z.₃

p^’

I₁ _

I₂ _

I₃ _

p

+- +- +-

E_₁ E_₂ E_₃

25

(26)

Per un carico trifase squilibrato la misura della potenza richiede in principio tre wattmetri, inseriti come in figura: ciascuna

amperometrica è in serie con un carico, la voltmetrica in parallelo a ciascun carico. Si ha: W_tot=W₁+W₂+W₃.

Mostriamo ora che la somma delle indicazioni dei wattmetri è indipendente dal potenziale del loro centro stella. Ciò risulta comodo quando ad esempio il centro stella dei carichi non è accessibile.

Misura della potenza ed inserzione di Aron/1

Misura della potenza con tre wattmetri

p

Z.₂

Z.₁

Z.₃

p

^’

_

W⁺₁

+

W⁺₂

+

W⁺₃

+

+-

E₁ _

+-

E₂ _

+-

E₃

26

(27)

Calcoliamo la potenza complessa assorbita dai carichi, esprimendo le relative tensioni per mezzo della V_00’:

Misura della potenza ed inserzione di Aron/2

( ) ( ) ( )

( )

* * *

1 00' 1 2 00' 2 3 00' 3

* * * * * *

1 1 2 2 3 3 00' 1 2 3

Pˆ E V I E V I E V I

E I E I E I V I I I

= - + - + - =

= × + × + × + + +

* * *

1 1 2 2 3 3 .

E I E I E I

=

= × + × + ×

Essa è indipendente dal potenziale del nodo 0’, e dunque invariante rispetto alla posizione del centro stella dei

wattmetri. Di conseguenza lo è anche la parte reale, che coincide con la potenza attiva.

Di qui anche la possibilità di posizionare il centro stella dei wattmetri in modo particolarmente conveniente (come in fig.

precedente), in modo da annullare la lettura di uno di essi.

27

(28)

Misura della potenza ed inserzione di Aron/3

Difatti, collegando il centro stella ad una delle tre fasi (quella centrale in figura sx) la lettura del wattmetro corrispondente (nell’esempio W₂) si annulla: di conseguenza W_tot=W₁+W₃.

Con soli due wattmetri, ed avendo accesso ai soli tre conduttori di linea, si riesce a misurare l’intera potenza assorbita

dall’utilizzatore trifase, e questo indipendentemente dal fatto che sia equilibrato.

Questo particolare modo di connettere i wattmetri `e detto inserzione di Aron, dal nome del suo ideatore.

Z.₂ Z.₁

Z.₃

p^’

W₁

+ +

W⁺₃

+

p

_

+-

E₁ _

+-

E₂ _

+-

E3

Schema di Aron per misura della potenza

28

(29)

Misura della potenza ed inserzione di Aron/4

Infine, è possibile dimostrare che, per il solo caso equilibrato, si può esprimere la potenza reattiva attraverso la differenza della lettura dei due wattmetri considerati:

Si veda es. 5.21 a pag. 308 del testo.

3 1 sin 3

W -W = VI f = Q

29