Capitolo Sesto

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Capitolo Sesto

Soluzione del problema decisionale

6.1 La matrice di valutazione

La matrice di valutazione indica i valori delle azioni delle alternative in relazione ai punti di vista definiti.

La matrice di valutazione ottenuta dopo la verifica e la correzione degli attributi sarà una matrice di 3 colonne (criteri) per 3 righe (le ipotesi progettuali), i cui valori sono il risultato della fase di analisi compiuta nel capitolo precedente.

Costi (€) Tempi (s) Impatto ambientale (mq)

Ipotesi del Comune 46 300 000 1373 441720

Ipotesi di Monte 34 280 000 1414 475200

Ipotesi di Valle 66 075 000 1386 339120

∆

31 795 000 41 136080

µ

48 885 000 1391 418680

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Tali valori verranno successivamente normalizzati, così da rappresentare per ciascuna alternativa e ciascun punto di vista, la stima della variazione dell’utilità connessa con la realizzazione del tracciato stradale.

Nella penultima riga è indicata la massima differenza

∆

j

= b

j

– a

j

fra le azioni dei tre progetti per ciascun punto di vista j. Nell’ultima righa è riportata la media

µ

delle azioni dei progetti. Applicando il metodo AHP modificato si parte dalla matrice delle azioni riportata in tabella 6.1 e si costruisce sulla base di quanto esposto nel capitolo quarto la matrice dei criteri riportata di seguito:

)

(

1

x

i

g

₂

(

x

_i

)

g

₃

(

x

_i

)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

1.000

0.680

0.000

1.000

0.246

1.000

0.622

3 2 1

x

Dove il generico elemento

j i j i j x x g ν ν Δ = ( ) )

( è il criterio relativo al punto di vista j , in

cui ( ) ( ) max _j( _h) h i j i j x =e x − _∀ e x ν e Δ =−_⎝⎛⎜(max ( )−min _j( _h)⎟_⎠⎞ h h j h j e x e x ν poiché gli

attributi dei progetti sono sfavorevoli.

I criteri g_j(x_i) sono quindi funzioni lineari delle azioni dei progetti, misurate in una scala in cui g_j(x_i) = 0 se x è il peggiore fra i progetti dell'insieme delle alternative _i

rispetto al punto di vista j e g_j(x_i) = 1 se x è il migliore. _i

6.2 Matrice di confronto

La costruzione della matrice di confronto richiede che tutti i criteri scelti vengano confrontati a coppie. Da tale confronto saremo in grado di ottenere i pesi dei criteri.

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In generale in un procedimento di Analisi Multicriteria i pesi sono coefficienti che misurano l'importanza relativa di singoli elementi.

La scelta dei pesi è ovviamente una parte critica della procedura. Una scelta sbagliata può portare a risultati privi di senso. Si useranno dei pesi normalizzati, cioè pesi positivi a somma 1; questo permette più facilmente di confrontarli e di accorgersi di situazioni anomale. Ad esempio se un criterio dovesse avere un peso troppo elevato, si avrebbe una situazione in cui la relazione di precedenza risulterebbe dipendente sostanzialmente da un solo criterio, cosa poco accettabile.

Vi sono diverse metodologie per la determinazione dei pesi. Qualunque procedimento si usi è comunque opportuno che in tale fase vengano consultati tutti coloro che in un modo o nell’altro sono interessati alla decisione o possono venire toccati dalle conseguenze delle scelte fatte. In generale si procede nel modo seguente: gli elementi di ciascuna coppia vengono comparati al fine di stabilire quale di essi è più importante in rapporto all'elemento sovraordinato, e in quale misura: il risultato del confronto è un

coefficiente a ij che rappresenta una stima della importanza del primo elemento (i) rispetto al secondo (j). Per determinare i valori dei coefficienti a ij occorre utilizzare la scala semantica di Saaty, mostrata nel capitolo quarto, che mette in relazione i primi nove numeri interi con altrettanti giudizi che esprimono, in termini qualitativi, i possibili risultati del confronto (Saaty 1980):

γi / γj Risultato del confronto Spiegazione

1 Importanza uguale L'importanza dei due elementi è _{praticamente la stessa} 3

Importanza moderatamente maggiore

L'importanza di un elemento appare alquanto superiore a quella dell'altro

5 Importanza maggiore L'importanza di un elemento appare

senz'altro superiore a quella dell'altro 7 Importanza molto _maggiore L'importanza di un elemento è _{decisamente superiore a quella dell'altro} 9

Importanza estremamente più grande

L'importanza di un elemento è senza dubbio nettamente maggiore di quella dell'altro

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Confrontando a coppie n elementi si ottengono n2_{coefficienti: di questi soltanto} n(n-1)/2 devono essere direttamente determinati dal decisore o dall'esperto che effettua la valutazione, essendo aii = 1 e aij = 1 / aji per ogni valore di i e j.

La relazione di reciprocità, scaturisce dalla necessità di garantire la simmetria dei giudizi di importanza.

I coefficienti così ottenuti definiscono una matrice quadrata reciproca e positiva detta

matrice dei confronti:

A

= ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a

La matrice A oltre a essere reciproca deve anche essere consistente ovvero deve soddisfare la condizione a_ij =a_ik⋅a_kj per tutti i valori i , j , k.

Nel nostro caso applicando il metodo AHP modificato si costruisce la matrice di confronto fra le utilità dei criteri , paragonando fra loro le utilità sociali che si ritiene derivino dalle massime differenze

∆

j relative ai diversi punti di vista, ed applicando la scala di confronto di Saaty.

Per costruire la matrice si è quindi chiesto ai professori Mario Tempestini, Massimo Losa e Paolo Ferrari del Dipartimento di Ingegneria Civile dell’Università di Pisa, quali esperti del settore, di attribuire ciascuno un valore relativo al confronto delle utilità dei criteri alla luce delle massime differenze ottenute nella matrice di valutazione.

Si è registrata una grande uniformità nel giudizio, tanto che i valori forniti sono risultati molto simili, permettendo così di ottenere facilmente un’unica matrice di confronto delle utilità riportata nella pagina seguente.

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Costo Tempo Impatto ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 9 4 9 1 1 9 1 4 1 9 1 / / / Impatto Tempo Costo

Si può vedere come si sia ritenuto ininfluente l’utilità derivante dalle differenze

∆

j

relativa al tempo di percorrenza rispetto agli altri punti di vista, data la modesta differenza tra i valori massimo e minimo delle azioni relative ai tempi. Più problematica è stata l’attribuzione del valore di confronto tra impatto ambientale e costo di realizzazione: si vede come sia stato deciso di privilegiare l’impatto ambientale a fronte anche di un buon risparmio economico proprio per l’importanza e la molteplicità degli effetti diretti e indiretti cui l’indicatore scelto per definire l’impatto ambientale dei progetti fa riferimento.

6.3 Applicazione del modello di calcolo

Come visto i metodi AHP richiedono ora il calcolo dell'autovalore principale e del corrispondente autovettore normalizzato della matrice.

Si andranno ora a calcolare le componenti dell'autovettore principale della matrice come medie geometriche degli elementi delle sue righe. L'autovettore così ottenuto viene successivamente normalizzato. Detti w l'autovettore normalizzato e y = A·w, indicando con zi = yi / wi il rapporto fra le i-esime componenti di y e di w, si ha che

∑

= n i i n z 1

/ costituisce una buona stima dell'autovalore principale λ_max di A. L’autovettore normalizzato della matrice di confronto così calcolato risulta:

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w = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 682 . 0 048 . 0 271 . 0

L’autovalore principale della matrice di confronto è λ_max = 3.2166 , con un indice di

consistenza CI = 0.1083 il quale rappresenta il valore medio degli autovalori della

matrice di confronto eccetto λmax , che dovrebbero essere uguali a zero se la matrice

fosse consistente.

Moltiplicando la matrice dei criteri per l’autovettore normalizzato della matrice di confronto si ottengono i pesi normalizzati dei tre progetti alternativi rispetto all’obbiettivo finale: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 521 . 0 199 . 0 280 . 0 3 2 1 w w w

ovvero la soluzione del problema decisionale, con l’individuazione della scala di priorità completa delle ipotesi progettuali:

- Ipotesi di valle

- Ipotesi del Comune di Massa - Ipotesi di monte