CAPITOLO 3

CAPITOLO 3

VALUTAZIONE NUMERICA DEGLI

INTEGRALI

3.1 INTRODUZIONE

Il Metodo dei Momenti, come molti altri metodi numerici dell’elettromagnetismo, richiede spesso di integrare una certa funzione su un particolare dominio.

Molte volte non è possibile giungere alla soluzione analitica dell’integrale e si deve ricorrere a tecniche d’integrazione numerica.

Nel caso monodimensionale l’integrazione numerica è ampiamente trattata in letteratura, mentre i casi bidimensionali e tridimensionali sono discussi quasi esclusivamente in articoli tecnici o in rapporti specifici.

In particolare nell’applicazione di Rao-Wilton-Glisson, che prevede il metodo di Galerkin su domini triangolari, ci si trova di fronte a problemi legati alla presenza di integrali impropri; infatti, nel calcolo dei termini di auto-ammettenza, si deve risolvere un integrale multiplo che presenta una

singolarità a causa della coincidenza del punto d’osservazione con il punto sorgente (self-patch integral).

In questo capitolo è dapprima esposto il metodo generale utilizzato per risolvere il problema della singolarità e, poi, la risoluzione dei vari integrali incontrati nei capitoli 1 e 2.

3.2 RISOLUZIONE ANALITICA DELL’INTEGRALE DOPPIO

Nel caso in cui si voglia procedere alla risoluzione analitica di un integrale doppio, è di grand’utilità il teorema integrale di Gauss (o teorema della divergenza di Gauss), che permette di passare da un integrale doppio sulla superficie S ad un integrale di linea lungo il contorno ∂S della superficie stessa.

Secondo il teorema suddetto, vale la seguente relazione:

∫∫

∫

∂ ⋅ = S f dS SG ˆudl G (3. 1) con

( )

S. frontiera della punto ogni in uscente normale versore ˆ ; che tale ∂ ⋅ ∇ = u G GG f _S G

Perché il teorema sia applicabile, la funzione f deve essere continua e derivabile sul dominio d’integrazione S.

Nel caso in cui tale condizione non sia verificata, il problema può essere agevolmente superato isolando la regione che comprende la singolarità. Per far ciò basta considerare l’intersezione tra il patch in esame ed un dominio circolare S_ε, centrato nella singolarità ed avente raggio ε sufficientemente piccolo. L’area d’integrazione risulta così suddivisa in due zone: una superficie S-Sε, in cui la funzione da integrare è continua e derivabile e può

essere applicato il teorema di Gauss, ed una superficie infinitesima Sε. Sia

l’integrale su S_ε, sia quello sulla sua frontiera ∂Sε possono essere valutati in

modo semplice utilizzando un sistema locale di coordinate polari, con origine centrata nella singolarità. Per valutare questi integrali si deve ricorrere all’uso del residuo α(ρ), che può assumere valori diversi a seconda della posizione della singolarità relativamente al patch:

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

=

ρ

α )

(

0 Se la singolarità cade al di fuori del triangolo

2π Se la singolarità è interna al triangolo (fig. 3.1.a)

π Se la singolarità si trova su uno spigolo (fig. 3.1.b)

β

Se la singolarità si trova su un vertice del triangolo e β è l’angolo formato dai due spigoli che s’intersecano sul vertice in questione (fig. 3.1.c)

S ∂S ε ∂Sε Sε

Fig. 3.1.a: Singolarità interna al triangolo

Sε

S

∂Sε

∂S

ε

Fig. 3.1.b: Singolarità su uno spigolo del triangolo

Sε

S

∂Sε

∂S

ε

In conclusione i passi da percorrere sono i seguenti:

1) Inizialmente è necessario dividere l’integrale su S in due integrali: su S-Sε e su Sε rispettivamente. E’ conveniente

guardare a ciascun integrale come ad un limite con ε → 0, sebbene il valore della somma sia indipendente da ε.

2) La funzione integranda dell’integrale su S-Sε deve essere scritta

come il differenziale di una certa quantità (utilizzando l’operatore superficiale ∇S), così da poter utilizzare il teorema

integrale di Gauss (il teorema della divergenza superficiale) per trasformare l’integrale su S-Sε in uno sul contorno ∂(S-Sε) di

S-Sε stesso. L’orientazione del percorso d’integrazione si assume

essere in accordo con la regola della mano destra in relazione alla normale

n

ˆ

uscente dal patch.

3) Si procede alla valutazione del limite dell’integrale su S_ε; con una semplice ispezione visiva ci si può rendere subito conto se il limite è nullo: ciò accade se l’integrando è limitato ed il dominio tende a 0. Quando l’integrando è illimitato, l’integrale deve essere valutato esplicitamente con la tecnica del residuo α(ρ), per poi calcolarne il limite per ε → 0.

4) Si procede alla valutazione del limite dell’integrale su ∂(S-Sε),

sviluppandolo come differenza tra l’integrale su ∂S e quello su ∂Sε. Se l’integrando rimane limitato mentre ∂Sε tende a 0, allora

il contributo della porzione di ∂Sε in S tende a 0; quando così

non è, il limite dell’integrale su ∂Sε deve essere valutato

esplicitamente in coordinate polari con la tecnica del residuo. 5) L’integrale rimasto su ∂S viene decomposto in una somma

6) Si valutano questi integrali di linea.

3.3 RISOLUZIONE NUMERICA DELL’INTEGRALE DOPPIO

Per la valutazione numerica dell’integrale doppio è conveniente portare avanti l’analisi in termini di coordinate simplesse {ξ, η, ζ}.

Se sulla faccia triangolare si disegnano i vettori ρi (fig. 3.2), si nota che essi

dividono il triangolo S in tre sottotriangoli d’area AP23, AP13 ed AP12 aventi

l1, l2 e l3 come uno dei tre lati [26].

AP23

r

y x P

t

3 y 1 y

_s

Fig. 3.2: Suddivisione del patch per la definizione dei simplessi 1

x x₃ x₂

S P23 A A ξ= P13_S A A η= P12_S A A ζ= (3.2)

dove AS è l’area totale del triangolo e APij è l’area del generico

sottotriangolo, che è pari a:

j j i i ij y x y x y x AreaP 1 1 1 =

Si notano subito alcune proprietà di cui godono queste coordinate:

⇒ esse individuano univocamente un punto all’interno del triangolo;

⇒ ogni coordinata è unitaria su un nodo e nulla sugli altri due;

⇒ bastano due sole coordinate per individuare un punto, essendo valida la relazione: ξ +η+ζ=1.

Dalle coordinate simplesse si può risalire agevolmente alle coordinate cartesiane:

x=ξx₁ +ηx₂ +ζx₃

y=ξy₁ +ηy₂ +ζy₃ (3.3)

Con l’introduzione dei simplessi, l’integrale sul dominio triangolare diventa:

∫ ∫

( )

(3.4) − = 1 0 η 1 0 η ξ η , ξ d d F F

Quest’integrale può essere valutato in molti modi; ad esempio si può scrivere:

∑

(

(3.5) = = L l l l l F w 1 η , ξ F

)

dove i wl sono i pesi.

Nelle tabelle 1 e 2 sono riportati dei set di punti (ξl, ηl) situati

all'interno del triangolo ed i relativi pesi wl per la valutazione dell’integrale;

in particolare in tabella 1 sono riportati sette punti relativi ad un polinomio di quinto grado [27] (metodo numerico dei sette punti), mentre in tabella 2 sono riportati nove punti (metodo numerico dei nove punti).

La formula (3.5) è valida per triangoli aventi dimensioni massime dell’ordine di ⅓ di lunghezza d’onda. Questa limitazione non pone restrizioni ai casi trattati, in quanto le dimensioni dei patch non superano un decimo di lunghezza d’onda.

. 1200 15 155 , 21 15 2 9 , 21 15 6 , 1200 15 155 , 21 15 2 9 , 21 15 6 , 40 9 , 3 1 , , , , , , , η , ξ : 1 TABELLA 5 4 3 2 1 4 5 5 4 4 4 2 3 3 2 2 2 1 1 ∆ + = − = + = ∆ − = + = − = ∆ = = c b a c c c b b b a l l w v v w v v w v w w w w w w w pesi v v v v v v v v v v v v v v punti punti sette dei numerica formula . 18 13 , 18 7 , 9 2 , 18 1 , 9 , , , , , , , , , η , ξ : 2 TABELLA 5 3 2 1 2 4 4 2 3 3 2 3 3 2 1 4 4 1 1 2 2 1 = = = = ∆ = v v v v w peso v v v v v v v v v v v v v v v v v v punti punti nove dei numerica formula S l l

3.4 CALCOLO DEGLI INTEGRALI UTILIZZATI NEL METODO

Fatte queste premesse, è possibile passare al calcolo degli integrali che ricorrono nella (1.23):

S'

)

R

(

)

'

(

T T M

d

-n n m A xx n mn

∫∫

∪ ± ± +

=

f

r

G

A

µ

_(3.6)

_ε

(

'

)

(

R

)

S'

1

ω

1

Φ

T T M

d

j

-n n m q n mn

∫∫

∪ ± ± +

⋅

∇

−

=

f

r

G

_(3.7)

dove le funzioni di Green per il potenziale vettore e scalare sono entrambe composte, come abbiamo visto nel capitolo 2, da una somma di termini del

tipo R eikR e 2 2 2 2 d R ejk R d + +

e da un termine dato dalla funzione di Hankel del

secondo tipo di ordine zero (2)( ) (vedi (2.20) e seguenti).

0 R

H

I termini del primo e terzo tipo presentano una singolarità nel caso di

patch di osservazione coincidente con il patch sorgente (R=0), infatti vale:

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ − = →

π

2

γ

ln 2 1 )) ( ( (2) 0 0

lim

H kR j kR R (3.8)

dove

γ

è la costante di Eulero e vale 0.5772.

Gli integrali (3.6) e (3.7) inoltre, dipendono esclusivamente dalle caratteristiche geometriche dell’oggetto.

3.5 TERMINE ESPONENZIALE

Consideriamo dapprima i termini del tipo:

S'

R

e

)

'

(

T T kR

-d

-n n m m j n

∫∫

∪ ± + ±

r

f

_,

S'

R

e

)

'

(

T T kR

-d

-n n m m j n

∫∫

∪ ± + ±

⋅

∇

f

r

_(3.9)

Scegliamo un sistema di riferimento u, v come di seguito illustrato (il

contorno della figura ha un verso ed è orientato in senso antiorario):

l2 m2 m1 l1 l3 0 ∂ l1 ∂ l2 ∂ l3 u v P1 P3 P2 m3

Fig. 3.3: Sistema di riferimento

3 1 2 3 1 2 ˆ ˆ ˆ l l P P n v P P u − × = − = da cui

) 3 , 2 , 1 ( 1 1 − = = _{− +} i l_i P_i P_i

(

, ,

)

=(1,2,3) = x_i y_i z_i i i P (3.10)

(

2 1

) (

3 1 S 2 1 ˆ A n = P −P × P −P

)

I due termini (3.9) implicano la risoluzione dei seguenti tre integrali:

' R ' ' R ' ' R R R R dS e v dS e u dS e S jk S jk S jk

∫

∫

∫

− − − (3.11)

dove con R=|r’-r0| si è indicata la distanza tra il punto d’osservazione ed il

punto sorgente.

Gli ultimi due integrali conseguono dalla seconda delle (3.9) valutata nel nuovo sistema di riferimento, mentre il primo deriva dalla prima delle (3.9) dopo aver applicato l’operatore divergenza alle funzioni di base [28]:

altrove 0 ) ( 1 ) ( _m m ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∈ − ∈ = ρ ∂ ρ ∂ ± = ⋅ ∇ − − + + ± ± ± r T T r r f m m m m m m m m m A l A l f ρ (3.12)

Nel caso in cui non vi siano singolarità, l’integrale non presenta particolari problemi e può essere determinato per via numerica, ad esempio

col metodo dei sette o dei nove punti.

Ci si pone, allora, nel caso dell’autotermine (self-patch), cioè patch

sorgente e patch d’osservazione coincidenti: r0 ∈ S.

Nella fig. 3.3 si vede che ad ogni punto corrisponde una coppia di coordinate (u, v), perciò si può scrivere:

v u r v u r v' u' v u + = + = ' 0 0 0 _(3.14)

S’introduce una notazione che consenta di sintetizzare gli integrali da analizzare: _R ' ' ' 1 _R dS e v u Ι S jk

∫

− ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = _(3.15)

Prima di procedere con il calcolo, si nota che l’integrale sopra riportato esiste ed è finito; infatti, vale la relazione seguente:

∞ < φ ρ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ρ ρ < ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ < ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

∫

∫

∫

− max 1 ' R 1 ' ' 1 ' R ' ' 1 _R C S S jk d d dS v u dS e v u _(3.16)

dove Cmax è un dominio circolare con centro nel punto d’osservazione e

raggio tale da racchiudere tutto il triangolo (S ⊂ Cmax).

Un approccio tipico [29] prevede la scomposizione dell’integrale nella somma di due termini:

Ι =Ι_anl + Ι_num ' R 1 ' ' 1 ' R 1 ' ' 1 R dS e v u Ι dS v u Ι S jk num S anl

∫

∫

− ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − (3. 17)

Il secondo integrale, non presentando singolarità

(

j R e jR R =− − − → 1 lim 0 ), può

essere determinato numericamente senza alcun problema.

Il primo, invece, deve essere calcolato analiticamente a causa proprio della singolarità. A tal fine è necessario introdurre alcune notazioni mostrate nella seguente figura:

0 oss. r d r’ R -R+ R n Ro m s r l

ρ n oss.’ m l+ l - 0’ p- p p+ ρ’ po

fig. 3.4 - Geometria associata al generico spigolo e relativa proiezione nel piano A questo punto si sfrutta il teorema integrale di Gauss [8]. Per il potenziale scalare si ha:

_∫

_∫

_∫

→ − → + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ∇ = ε ε ' R 1 ' ˆ P R ' R 1

lim

lim

0 ε ' 0 ε S S S S S dS P dS dS (3.18)

Infatti, volendo applicare il teorema di Gauss, è necessario esprimere l’integrando come la divergenza di una funzione vettoriale; quindi, si deve trovare quel vettore GG per il quale valga l’uguaglianza:

( )

GG R 1 ⋅ ∇ = S

( )

GG =

( )

PG ⋅GG ⋅ ∇ P P 1 d d S si scrive:

( )

R P P P⋅G = G G d d

Perciò il prodotto scalare tra il vettore PG ed il vettore che si sta cercando deve soddisfare alla seguente uguaglianza:

∫

= ⋅ P R P d G PG G ⇒ P R d P P 2 2 ₊ = = ⋅G

_∫

d PG G

Quest’ultima relazione permette di scrivere GG :

P G ˆ P R = ⇒ G

Applicando il teorema di Gauss alla (3.18), si ottiene:

( ) ( ) ( ) ( ) _/ = + / − + + ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = + ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = + ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = → → ∂ → ∂ → ∂ → − ∂ →

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

ε ε ε d ε ε α(ρ) d ε 1 2 ε α(ρ) ' ˆ ˆ P R ' R 1 ' ˆ ˆ P R ' ˆ ˆ P R ' R 1 ' ˆ ˆ P R ' R 1 2 2 0 ε 2 2 2 0 ε 0 ε 0 ε 0 ε 0 ε

lim

lim

lim

lim

lim

lim

ε ε S S S S S S S S dl dS dl dl dS dl dS u P u P u P u P

= ⋅ + + − = = ⋅ + − = ⋅ + − = = ⋅ + − = ⋅ + − =

∑∫

∑∫

∑∫

∑∫

∑∫

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ' ˆ RP d P d α(ρ) ' ˆ RP R d α(ρ) ' ˆ P R d α(ρ) ' ˆ P R d α(ρ) ' ˆ ˆ P R d α(ρ) 0 i 2 2 2 0 i 2 2 0 i 2 i 2 dl dl dl dl dl i i S i i S i i S i i S i i S i i i i i u P u P u P u P u P ' R P d R 1 ˆ d ) ( ₂ 2 0 i dl i i iS

∑

_∫

_∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ + ρ α − = P u _(3.19)

Svolgendo l’integrale sopra, si scrive [9]:

R P l d tan R P l d tan d l R l R ln P ˆ ˆ d α(ρ) ' R 1 i 0 i i 1 i 0 i i 1 i i i i 0 i 0 i

∑

∫

_⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + + + ⋅ + − = − −₋ + + − − − + + i i S dS P u (3.20)

Per compattare la formula sopra riportata, si scrive α(ρ) come somma degli angoli formati dai vertici adiacenti intorno al triangolo [9]:

P l tan P l tan ˆ ˆ ) ( ₀ i i 1 0 i i 1 0 i

∑

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ = ρ α − + − − i i u P

e si sfrutta la seguente identità:

( )

± ± − ± ± − ± − _{− =} i 2 0 i i 0 i 1 i 0 i i 1 0 i i 1 R d R l P tan R P l d tan P l tan

giungendo, così, alla formula finale di seguito riportata:

( )

( )

R d R l P tan R d R l P tan d l R l R ln P ˆ ˆ ' R 1 i 2 0 i i 0 i 1 i 2 0 i i 0 i 1 i i i i 0 i 0 i

∑

∫

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + + ⋅ = = − − − + + − − − + + i i S dS u P (3.21)

In letteratura è possibile trovare altri metodi per la risoluzione dell’integrale sopra proposto, ma la formula riportata presenta vantaggi in termini d’accuratezza e velocità di calcolo.

Per il potenziale vettore elettrico si ha:

' R 1 ) ( ' R ' ' R ' dS dS dS S n S S n

∫

∫

∫

ρ−ρ = ρ−ρ + ρ−ρ _(3.22)

dove, a secondo membro, il secondo termine è risolvibile tramite la

(3.4.11-d), mentre il primo termine, utilizzando il teorema di Gauss ed il metodo

del residuo come per il potenziale scalare, diventa [8] [9]:

∫

∫

∫

=

−

+

∇

=

=

−

→ − → ε ε ε ε S S S S S

dS

dS

R

dS

'

R

'

lim

'

'

lim

'

R

'

0 0

ρ

ρ

ρ

ρ

( ) 0 0

P ˆ

ˆ

lim

R

' lim

'

R

S Sε

dl

Sε

dS

ε→ ∂ − ε→

=

_∫

u

+

_∫

P

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

+

+

+

=

=

=

− − + + − − + + ∂

∑

∫

∑

i i i i i i i i i i i S i i

l

l

l

l

dl

i

R

R

R

R

ln

)

R

(

ˆ

2

1

'

R

ˆ

2 0

u

u

(3.23)

Come per il potenziale scalare, anche questa risoluzione presenta vantaggi in termini d’accuratezza e velocità di calcolo.

3.6 TERMINE LOGARITMICO

Consideriamo ora i termini del tipo:

S'

)

(

)

'

(

T T ) ( ) 2 ( 0

k

R

d

H

-n n i p n

∫∫

∪ + ρ

r

f

_,

(

'

)

(

)

S'

_(3.24) T T ) ( ) 2 ( 0

k

R

d

H

-n n i p n

∫∫

∪ +

⋅

∇

f

r

_ρ

limitandoci per brevità al caso del self-patch, dato che in assenza di singolarità l’integrale può essere ancora risolto in maniera numerica col metodo dei sette o dei nove punti.

Come abbiamo visto dall’espressione (3.8), la funzione di Hankel, per l’argomento tendente a zero, ha un andamento di tipo logaritmico e quindi presenta una singolarità.

Sostituendo la (3.12) e la definizione di divergenza nelle (3.24) si può scrivere:

∫∫

∫∫

∪ ∪ + +

∝

⋅

∇

-n n -n n i p i p n

H

k

R

d

k

T T ) ( T T ) ( ) 2 ( 0

(

)

S'

ln(

)

)

'

(

r

_{ρ ρ}

f

_{, (3.25)}

( )

(2) 0 ( ) n ( ) T T T T

( ')

(

) S'

ln(

)

- -n n n n n

H

k

ρp i

R d

k

p

R

+ + ± ∪ ∪

∝

∫∫

f r

∫∫

ρ

_{ρ i (3.26)} Vale infatti:

altrove

0

)

(

1

)

(

_m m

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

∈

−

∈

=

∂

∂

±

=

⋅

∇

− − + + ± ± ±

r

T

T

r

r

f

m m m m m m m m m

A

l

A

l

f

ρ

ρ

ρ

che può essere portato fuori dall’integrale.

Possiamo ancora applicare il teorema di Gauss ricorrendo al trucco adottato nel paragrafo precedente per i termini di tipo esponenziale.

Consideriamo un sistema di riferimento come in figura (3.4), limitandoci al caso di punto di osservazione e origine del sistema di riferimento giacenti sullo stesso piano del patch in esame ( R=P ), dato che

stiamo limitando la nostra analisi al caso di strutture a microstriscia planari. In tal caso si ottiene per la (3.25):

( ) ( )

(

₋

)

_⎥⎦⎤ − ⎢ ⎣ ⎡ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ = = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ ⋅ = = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ ⋅ = − + = − − + − − − + + ∂ ∂ ∂

∑

∫

∫

∑

∫

∑

∫

+ i i i i i i p i i p i i S i p i i S i i S p i l l l l k l k l dl dl l k dl dl l k i i i 2 3 P tan P tan P P 2 1 ln P 2 1 ln ˆ 2 1 ' 2 1 ' ) ' ( ) (P 2 1 ln ˆ 2 1 ' 2 1 ' ) ' ( ) (P 2 1 ln ˆ 2 1 3 1 0 1 0 1 0 ) ( ) ( 0 i l l 2 2 0 ) ( 0 i 2 2 0 ) ( 0 i i -i ρ ρ ρ ρ u P u P u P ( ) ( )⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₋ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +

_∫

_∂ → ˆ 2 1 P 2 1 ln 2 P ' ₍₎ 0 ε

lim

k Sε ρp i P ( ) = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₋ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ = = ⋅ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₋ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₋ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ + ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₋ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₋ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

∑

∫

∑∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∂ ∂ ∂ → ∂ → → − ∂ → → − → ' 2 1 P 2 1 ln ˆ 2 1 ' ˆ ˆ 2 1 P 2 1 ln P 2 1 ' ˆ ˆ ˆ 2 1 P 2 1 ln 2 P 2 1 ln 2 α(ρ) ' ˆ ˆ 2 1 P 2 1 ln 2 P ' 2 P ln ' ˆ ˆ 2 1 P 2 1 ln 2 P ' 2 P ln ' 2 P ln ' 2 P ln ) ( 0 i ) ( ) ( 2 0 ε ) ( 0 ε ) ( 0 ε ) ( 0 ε ) ( 0 ε ) ( 0 ε ) (

lim

lim

lim

lim

lim

lim

ε dl k dl k dl dl k dl k dS k dl k dS k dS k dS k i i S pi i i S pi S p i S p i S pi S S p i S pi S S pi S pi i i ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ε ε ε

ε

ε

u P u P u u P u P u P (3.27)

Allo stesso modo per la (3.26), data la figura (3.4), si trova:

(

)

(

)

' 2 P ln ) ( ' 2 P ln ' ' 2 P ln ' k ₍₎ dS k ₍₎ dS k ₍₎ dS S p i n S p i S n p i

∫

∫

∫

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −ρ _ρ ρ ρ _ρ ρ ρ _ρ ρ

dove, a secondo membro, il secondo termine è risolvibile tramite la (3.27), mentre il primo termine, utilizzando il teorema di Gauss come per il potenziale scalare, diventa [8] [9]:

(

)

∫

∫

∫

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₋

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∇

=

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

→ − → ε ρ ε ε ρ ε ρ S pi S S S p i S p i

dS

k

dS

k

dS

k

'

2

P

ln

P

ˆ

lim

'

2

P

2

P

ln

P

'

2

1

lim

'

2

P

ln

'

) ( 0 2 ) ( 2 0 ) (

P

ρ

ρ

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

_∫

_{∂ −} → ( ) 2 ) ( 2 0

2

ˆ

'

P

2

P

ln

P

lim

ε ρ ε S S

k

p i

u

dl

( )

( )

( )

( )

2 2 ( ) 2 2 ( ) 2 2 2 2 0 i 0 i i ( ) i i 1 P P ˆ P ln ' 2 2 2 1 P 1 ˆ P ln ' P ' 2 2 2 P P 1 1 1 ˆ P ln P ln 2 3 2 3 2 P 3 i i i i i i _S p i i l l i p i i _{l l} i i i p i i i p i i k dl k dl dl l l k l l k ρ ρ ρ ρ + + − − ∂ + − + + − − ⎛ _{⎛ ⎞} ⎞ = _{⎜ ⎜ ⎟}− _⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎡ _{⎛ ⎞} ⎤ = ⎢ _{⎜ ⎟} − ⎥= ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎪⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = _⎨⎢ + _{⎥ ⎜ ⎟}−_⎢ + _{⎥ ⎜} ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎩ +

∑ ∫

∑ ∫

∫

∑

u u u

( )

( ) 2 ⎞ + ⎟ ⎠

( ) ( )

( ) (

)

3 3 3 2 0 1 1 0 i 0 0 i i 5 7 tan tan P . P P 18 6 i i i i i i l l l l l l + − − − + − + − ⎫ ⎛ ₋ ⎞_{− ⎡ − ⎤− −} ⎪ ⎬ ⎜ ⎟ _{⎢⎣ ⎥⎦} ⎪ ⎝ ⎠ ⎭ (3.28)